calculo 1 aula 19

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Formas indeterminadas
Func¸o˜es hiperbo´licas
Formas Indeterminadas
&
Func¸a˜o Hiperbo´licas
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Formas Indeterminadas & Func¸a˜o Hiperbo´licas
Formas indeterminadas
Func¸o˜es hiperbo´licas
Conteu´do
Formas indeterminadas
Func¸o˜es hiperbo´licas
Formas Indeterminadas & Func¸a˜o Hiperbo´licas
Formas indeterminadas
Func¸o˜es hiperbo´licas
Tipos de formas indeterminadas
Formas indeterminadas sa˜o limites de razo˜es de func¸o˜es que nos
levam a situac¸o˜es do tipo 0/0 ou ∞/∞;
Exemplos:
1. lim
x→0
sen(x)
x
;
2. lim
x→4
x2 − x − 12
x2 − 3x − 4;
3. lim
x→0+
ln(x)
1
x
;
Observe que nesses casos na˜o podemos usar o teorema do limite
da raza˜o de func¸o˜es.
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Func¸o˜es hiperbo´licas
O Teorema do Valor Me´dio de Cauchy para duas func¸o˜es
Teorema:
Se f e g forem func¸o˜es tais que
(i) f e g sa˜o cont´ınuas no intervalo [a, b];
(ii) f e g sa˜o diferencia´veis no intervalo aberto (a, b);
(iii) para todo x no intervalo aberto (a, b), g ′(x) 6= 0,
enta˜o existira´ um nu´mero z no intervalo aberto (a, b) tal que
f (b)− f (a)
g(b)− g(a) =
f ′(z)
g ′(z)
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Prova do Teorema do Valor Me´dio de Cauchy para duas
func¸o˜es
Para demonstrar o teorema:
I Mostre que g(b) 6= g(a) (consequeˆncia do TVM);
I Defina h(x) = [f (x)− f (a)]−
[
f (b)− f (a)
g(b)− g(a)
]
[g(x)− g(a)];
I Observe que h(x) obedece a`s condic¸o˜es do Teorema de Rolle;
I Aplique esse teorema e demonstre o Teorema do Valor Me´dio
de Cauchy para duas func¸o˜es;
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Func¸o˜es hiperbo´licas
A regra de L’Hoˆpital
Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis num intervalo aberto I , exceto
possivelmente em um nu´mero a em I . Suponha que, para todo
x 6= a em I , g ′(x) 6= 0. Enta˜o, se lim
x→a f (x) = 0 e limx→a g(x) = 0 e
ainda, se lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
= L, enta˜o
lim
x→a
f (x)
g(x)
= L
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Prova da regra de L’Hoˆpital
Suponhamos as condic¸o˜es da regra de L’Hoˆpital e as definic¸o˜es de
F (x) e G (x) tais que
F (x) =
{
f (x), x 6= a
0, x = a
e G (x) =
{
g(x), x 6= a
0, x = a
Nesse caso, supondo ainda que x ∈ I tal que x > a, desde que F e
G sa˜o cont´ınuas:
I Do teorema do valor me´dio para duas func¸o˜es sabemos que
F (x)− F (a)
G (x)− G (a) =
G ′(z)
G ′(z)
, em que a < z < x .
I Das definic¸o˜es de F e G segue que
f (x)
g(x)
=
f ′(z)
g ′(z)
;
I Como a < z < x temos que se x → a+, enta˜o z → a+, logo
lim
x→a+
f (x)
g(x)
= lim
x→a+
f ′(z)
g ′(z)
= lim
x→a+
f ′(x)
g ′(x)
= L
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Observac¸o˜es sobre a regra de L’Hoˆpital
I Para demonstrar o limite pela esquerda usamos o mesmo
racioc´ınio para x < z < a. Assim a regra fica demonstrada
por completo;
I A regra tambe´m vale se lim
x→∞ f (x) = 0, limx→∞ g(x) = 0 e
lim
x→∞ f
′(x)/g ′(x) = L:
• Para demonstrar esse fato usamos t = 1/x ;
• Essa substituic¸a˜o de varia´veis leva a` regra na sua forma
original;
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Exerc´ıcios
Utilize a regra de L’Hoˆpital para calcular os limites abaixo:
1. lim
x→0
sen(x)
x
;
2. lim
x→4
x2 − x − 12
x2 − 3x − 4;
3. lim
x→0+
ln(x)
1
x
;
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Conteu´do
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Definic¸o˜es
As func¸o˜es seno hiperbo´lico e co-seno hiperbo´lico, denotadas
respectivamente por senh e cosh sa˜o definidas como
senh(x) =
ex − e−x
2
e cosh(x) =
ex + e−x
2
As demais func¸o˜es hiperbo´licas seguem as definic¸o˜es ana´logas a`s
trigonome´tricas, isto e´:
tgh(x) =
senh(x)
cosh(x)
, cotgh(x) =
cosh(x)
senh(x)
,
cosech(x) =
1
senh(x)
, sech(x) =
1
cosh(x)
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Func¸o˜es hiperbo´licas
Motivac¸a˜o para o estudo das func¸o˜es hiperbo´licas
As func¸o˜es hiperbo´licas aparecem em diversas aplicac¸o˜es na
matema´tica, f´ısica e engenharia:
I Na Matema´tica: diversas relac¸o˜es entre as func¸o˜es
hiperbo´licas motivam o seu estudo, facilitando a soluc¸a˜o de
integrais, derivadas e equac¸o˜es diferencias;
I Na F´ısica: a absorc¸a˜o de quantidades como luz, eletricidade,
radioatividade e calor a partir de reservato´rios que se va˜o
extinguindo gradualmente pode ser modelados por func¸o˜es
hiperbo´licas;
I Na engenharia: a forma de um cabo pendurado entre dois
postes e de um cabo umbilical entre uma plataforma de
petro´leo e o poc¸o no fundo do mar formam curvas
(catena´rias) descritas por func¸o˜es hiperbo´licas;
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Identidades hiperbo´licas
• senh(−x) = −senh(x)
• cosh(−x) = cosh(x)
• cosh2(x)− senh2(x) = 1 (equac¸a˜o da hipe´rbole unita´ria)
• 1− tgh2(x) = sech2(x)
• senh(a + b) = senh(a)cosh(b) + cosh(b)senh(a)
• cosh(a + b) = cosh(a)cosh(b) + senh(b)senh(a)
• senh(x)′ = cosh(x)
• cosh(x)′ = senh(x)
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Alguns gra´ficos
y=senh(x)
y=1/2ex
y=-1/2e-x
y=cosh(x)
y=1/2ex y=1/2e-x
y=tgh(x)
1
-1
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Exerc´ıcios
Calcule:
1.
d
dx
arcsenh(x);
2.
d(tgh2(x))
dx
;
3.
d
dx
ln(sech(x));
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Refereˆncias
I Livro texto, sec¸o˜es 4.6 e 7.4.
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸a˜o 4.4.
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	Funções hiperbólicas