Análise Real - 4ª lista de exercícios (Soluções do 20, 23, 31, 33 e 37)

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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
4a Lista de Exerc´ıcios
Para entregar: exerc´ıcios 20, 23, 31, 33 e 37.
Obs.: Regras para ganhar a nota extra referente aos exerc´ıcios marcados com “boˆnus”: (1) a resoluc¸a˜o
deve redigida de forma clara e sem erros, e na˜o ha´ notas intermedia´rias; (2) a nota ma´xima a ser dada
como boˆnus e´ 1,0 ponto na me´dia do semestre; (3) os exerc´ıcios devem ser entregues no prazo para
entrega da lista.
1-) Exerc´ıcios dos cap´ıtulos 6 e 7 do Elonzinho.
2-) Sejam X,Y,Z ⊂ R, X = Y ∪ Z, a ∈ Y ′ ∩ Z ′. Dada f : X → R, tome g .= f |Y e h .= f |Z . Se
limx→a g(x) = L e limx→a h(x) = L, enta˜o limx→a f(x) = L.
3-) Seja f : X → R mono´tona, com f(X) ⊂ [a, b]. Se f(X) e´ denso no intervalo [a, b], enta˜o (∀ c ∈
X ′+ ∩X ′−
)
limx→c+ f(x) = limx→c− f(x). Se c ∈ X, enta˜o este limite e´ igual a f(c).
4-) Se f : X → R e´ mono´tona, enta˜o o conjunto dos pontos a ∈ X ′+ ∩ X ′− para os quais limx→a+ f(x) 6=
limx→a− f(x) e´ enumera´vel.
5-) Seja f : [0,+∞)→ R uma func¸a˜o limitada em cada intervalo limitado. Se limx→+∞[f(x+1)−f(x)] = L,
enta˜o limx→+∞
f(x)
x
= L. Boˆnus: vale 0,5 ponto na me´dia do semestre.
A seguinte definic¸a˜o sera´ usada nas questo˜es subsequ¨entes:
Definic¸a˜o: Seja X ⊂ R. Um subconjunto Y de X diz-se aberto em X se existir um aberto A ⊂ R tal
que Y = A ∩X; Y diz-se fechado em X se existir um fechado F ⊂ R tal que Y = F ∩X.
Observac¸a˜o: Na definic¸a˜o acima, note que, se X ⊂ R e´ aberto, enta˜o Y ⊂ X e´ aberto em X se,
e somente se, Y e´ aberto em R (mas, se X na˜o for aberto, Y ⊂ X pode ser aberto em X e na˜o ser
aberto em R; por exemplo, [1, 2) e´ aberto em [1, 3], mas na˜o e´ aberto em R). Analogamente, se X ⊂ R e´
fechado, enta˜o Y ⊂ X e´ fechado em X se, e somente se, Y e´ fechado em R (mas, se X na˜o for fechado,
Y ⊂ X pode ser fechado em X e na˜o ser fechado em R; por exemplo, [1, 2) e´ fechado em (0, 2), mas na˜o
e´ fechado em R).
6-) Sejam X ⊂ R e Y um subconjunto de X. Sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Y e´ aberto em X;
(b) para todo y ∈ Y , existe δ > 0 tal que (y − δ, y + δ) ∩X ⊂ Y .
7-) Sejam X ⊂ R e Y um subconjunto de X. Sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Y e´ fechado em X;
(b) X \ Y e´ aberto em X;
(c) para toda sequ¨encia (xn)n∈N de elementos de Y tal que xn → a ∈ X, tem-se a ∈ Y .
1
8-) Sejam X ⊂ R e f : X → R. Sa˜o equivalentes:
(a) f e´ cont´ınua;
(b) para cada A ⊂ R aberto, a imagem inversa f−1(A) e´ aberta em X;
(c) para cada F ⊂ R fechado, a imagem inversa f−1(F ) e´ fechada em X.
Observac¸a˜o: Em particular, se X ⊂ R e´ aberto, enta˜o f : X → R e´ cont´ınua se, e somente se, a
imagem inversa por f de qualquer aberto de R e´ um conjunto aberto (i.e. um subconjunto aberto de R);
se X ⊂ R e´ fechado, enta˜o f : X → R e´ cont´ınua se, e somente se, a imagem inversa por f de qualquer
fechado de R e´ um conjunto fechado (i.e. fechado em R).
9-) Sejam X ⊂ R e f : X → R uma func¸a˜o cont´ınua. Para todo a ∈ R, tem-se:
(a) os conjuntos {x ∈ X | f(x) = a}, {x ∈ X | f(x) > a},{x ∈ X | f(x) 6 a} sa˜o todos fechados em
X; em particular, se X for fechado, os referidos conjuntos sa˜o todos fechados.
(b) os conjuntos {x ∈ X | f(x) 6= a}, {x ∈ X | f(x) > a}, {x ∈ X | f(x) < a} sa˜o todos abertos em
X; em particular, se X for aberto, os referidos conjuntos sa˜o todos abertos.
Sugesta˜o: Na˜o ha´ o que fazer; apenas observe que os conjuntos {a}, [a,+∞) e (−∞, a] sa˜o fechados,
e que os conjuntos R \ {a}, (a,+∞) e (−∞, a) sa˜o abertos, e use a questa˜o anterior.
10-) Sejam X ⊂ R e f, g : X → R func¸o˜es cont´ınuas. Enta˜o os conjuntos {x ∈ X | f(x) = g(x)},
{x ∈ X | f(x) > g(x)} e {x ∈ X | f(x) 6 g(x)} sa˜o fechados em X (em particular, fechados em R se X
o for), e os conjuntos {x ∈ X | f(x) 6= g(x)}, {x ∈ X | f(x) > g(x)} e {x ∈ X | f(x) < g(x)} sa˜o abertos
em X (em particular, abertos em R se X o for).
Sugesta˜o: Tambe´m na˜o ha´ o que fazer; aplique a questa˜o anterior para F
.
= f − g e a = 0.
11-) Seja S ⊂ R na˜o vazio, e defina d(·, S) : R → R por (∀x ∈ R) d(x, S) .= inf{|x− s| : s ∈ S}. Mostre que,(∀x, y ∈ R) |d(x, S)− d(y, S)| 6 |x− y|. Conclua que d(·, S) e´ uniformemente cont´ınua.
12-) Sejam X ⊂ R e f, g : X → R uma func¸o˜es cont´ınuas. Se f e g coincidem num subconjunto denso de
X, enta˜o elas coincidem em X. Em particular, f, g : R → R sa˜o cont´ınuas e coincidem em Q, enta˜o elas
sa˜o iguais (equivalentemente: se uma func¸a˜o Q → R admite uma extensa˜o cont´ınua R → R, enta˜o esta
extensa˜o e´ u´nica).
13-) Sejam X ⊂ R e f : X → R. Tem-se:
(a) Se Y,Z ⊂ X sa˜o fechados em X tais que X = Y ∪ Z, enta˜o f e´ cont´ınua se, e somente se,
fY
.
= f |Y : Y → R e fZ .= f |Z : Z → R sa˜o cont´ınuas.
(b) Se (Uα)α∈A e´ uma famı´lia de abertos em X tal que X = ∪α∈AUα, enta˜o f e´ cont´ınua se, e somente
se,
(∀α ∈ A) fα .= f |Uα : Uα → R e´ cont´ınua.
Sugesta˜o: Nos dois casos, uma das implicac¸o˜es e´ trivial: se f e´ cont´ınua, enta˜o sua restric¸a˜o a qualquer
subconjunto do seu domı´nio e´ cont´ınua. Para demonstrar a outra implicac¸a˜o, use a questa˜o 8-) e: (i)
dado W ⊂ R, em (a) tem-se f−1(W ) = f−1Y (W ) ∪ f−1Z (W ), e em (b) tem-se f−1(W ) = ∪α∈Af−1α (W );
(ii) verifique que a unia˜o de dois conjuntos fechados em X e´ um conjunto fechado em X (e, por induc¸a˜o,
o mesmo vale para qualquer famı´lia finita de fechados em X, mas na˜o precisamos disto), e que a unia˜o
de uma famı´lia arbitra´ria de abertos em X e´ um conjunto aberto em X.
14-) Sejam f, g : [0, 1] → R cont´ınuas. Se f(1) = g(0), enta˜o a func¸a˜o h : [0, 1] → R dada por h(x) = f(2x)
se 0 6 x 6 1/2 e h(x) = g(2x − 1) se 1/2 6 x 6 1 e´ cont´ınua.
Sugesta˜o: Use a questa˜o anterior.
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15-) (Teorema de Extensa˜o de Tietze na Reta) Seja F ⊂ R fechado. Enta˜o toda func¸a˜o cont´ınua
f : F → R admite uma extensa˜o cont´ınua φ : R → R (i.e. existe φ : R → R cont´ınua tal que φ|F = f).
Sugesta˜o: Por exemplo, defina φ linearmente nos intervalos componentes de R\F , de modo a coincidir
com f nos extremos de cada intervalo; mostre que a func¸a˜o φ : R → R assim definida e´ cont´ınua.
16-) Definic¸a˜o: Seja X ⊂ R. Uma func¸a˜o cont´ınua f : X → R diz-se pro´pria se, para todo K ⊂ R
compacto, f−1(K) e´ um subconjunto compacto de R.
Mostre que sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es, dada f : X → R cont´ınua:
(a) f e´ pro´pria;
(b) para toda sequ¨eˆncia (xn)n∈N em X que na˜o possui subsequ¨eˆncias convergentes para pontos de
X, a sequ¨eˆncia {f(xn)}n∈N na˜o possui subsequ¨eˆncias convergentes.
(c) para toda sequ¨eˆncia (xn)n∈N em X tal que a sequ¨eˆncia {f(xn)}n∈N e´ convergente, (xn)n∈N possui
uma subsequ¨eˆncia convergente para um ponto de X.
17-) Seja f : R → R cont´ınua. Sa˜o equivalentes:
(a) f e´ pro´pria;
(b) lim
x→+∞
|f(x)| = lim
x→−∞
|f(x)| = +∞;
(c) para toda sequ¨eˆncia (xn)n∈N em R tal que |xn| → +∞, |f(xn)| → +∞.
18-) Seja p : R → R uma func¸a˜o polinomial na˜o-constante. Dado b ⊂ R, suponha que existe uma sequ¨eˆncia
(xn)n∈N em R tal que p(xn) → b. Prove que (xn)n∈N e´ limitada e que o conjunto dos seus valores de
adereˆncia e´ na˜o-vazio e contido em p−1({b}). Em particular, se existe uma sequ¨eˆncia (xn)n∈N em R tal
que p(xn)→ 0, enta˜o p tem alguma raiz real. Boˆnus: vale 0,25 pontos na me´dia do semestre.
19-) Sejam X ⊂ R e f : X → R cont´ınua. Para que f se estenda continuamente a uma func¸a˜o φ : X → R,
e´ necessa´rio e suficiente que exista limx→a f(x) para todo a ∈ X ′.
20-) Sejam X ⊂ R e f : X → R mono´tona, tal que f(X) seja denso num intervalo limitado. Mostre que
existe uma u´nica func¸a˜o cont´ınua, mono´tona, φ : X → R tal que φ|X = f .
21-) Seja f : R → R uma func¸a˜o arbitra´ria. Para cada n ∈ N, seja Cn .= {a ∈ R | ∃ I intervalo aberto , a ∈
I e (∀x, y ∈ I) |f(x) − f(y)| < 1/n}. Mostre que (∀n ∈ N)Cn e´ aberto, e que f e´ cont´ınua em a se, e
somente se,
(∀n ∈ N)a ∈ Cn. Conclua que o conjuntodos pontos de continuidade de qualquer func¸a˜o
e´ uma intersecc¸a˜o enumera´vel de abertos. Em particular, na˜o existe nenhuma func¸a˜o R → R que seja
cont´ınua nos racionais e descont´ınua nos irracionais (vide questa˜o 28 da lista 3).
22-) Mostre que na˜o existe f : R → R cont´ınua que transforme todo racional num irracional e vice versa.
Boˆnus: vale 0,25 pontos na me´dia do semestre.
23-) (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensa˜o 1) Seja f : [a, b] → [a, b] cont´ınua. Prove
que f tem um ponto fixo (i.e. existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = x). Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o cont´ınua
f : [0, 1) → [0, 1) sem ponto fixo.
24-) Seja n ı´mpar. Prove que, para todo y ∈ R, existe um u´nico x ∈ R tal que xn = y e que, escrevendo
x = n
√
y, a func¸a˜o y 7→ n√y assim definida e´ um homeomorfismo (i.e. uma aplicac¸a˜o cont´ınua, invers´ıvel,
cuja inversa tambe´m e´ cont´ınua) de R sobre R.
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25-) Sejam K,F ⊂ R na˜o-vazios, K compacto e F fechado. Mostre que existem x0 ∈ K e y0 ∈ F tais que(∀x ∈ K,∀ y ∈ F ) |x0 − y0| 6 |x− y|. Deˆ um exemplo de dois conjuntos fechados e disjuntos F,G tais
que inf{|x− y| | x ∈ F, y ∈ G} = 0.
26-) Se toda func¸a˜o cont´ınua, definida num certo conjunto X, e´ limitada, enta˜o X e´ compacto.
27-) Seja f : R → R cont´ınua. Se limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = +∞, enta˜o f tem um ponto de mı´nimo
x0 (i.e. existe x0 ∈ R tal que f(x0) = min f(R)). Enuncie um resultado ana´logo para o caso de ser
limx→+∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = −∞.
28-) Seja p : R → R uma func¸a˜o polinomial de grau par, cujo coeficiente l´ıder e´ positivo. Prove que p
tem um ponto de mı´nimo x0. Se p(x0) < 0, mostre que p tem pelo menos duas ra´ızes reais. Enuncie
resultados ana´logos para o caso em que o coeficiente l´ıder de p e´ negativo.
Sugesta˜o: Para a primeira parte, use a questa˜o anterior.
29-) Definic¸a˜o: Sejam X ⊂ R e f, g : X → R. Definimos f ∨ g, f ∧ g : X → R por (∀x ∈ X) f ∨ g(x) .=
max{f(x), g(x)}, f ∧ g(x) .= min{f(x), g(x)}.
Sejam X ⊂ R e f, g : X → R. Mostre que:
(a) Se f e g sa˜o cont´ınuas, enta˜o f ∨ g e f ∧ g sa˜o cont´ınuas. Sugesta˜o: verifique que, (∀x ∈
X
)
f ∨ g(x) = f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|2 e f ∧ g(x) = f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|2 .
(b) Se f e g sa˜o uniformemente cont´ınuas, enta˜o f + g, f ∨ g e f ∧ g tambe´m o sa˜o. Se f e g sa˜o
uniformemente cont´ınuas e uma delas e´ limitada, o produto f · g e´ uma func¸a˜o uniformemente cont´ınua.
Deˆ um exemplo de duas func¸o˜es uniformemente cont´ınuas cujo produto na˜o e´ uma func¸a˜o uniformemente
cont´ınua.
(c) A composta de func¸o˜es uniformemente cont´ınuas e´ uniformemente cont´ınua.
30-) Uma func¸a˜o polinomial p : R → R e´ uniformemente cont´ınua se, e somente se, tiver grau menor ou
igual a 1. Boˆnus: vale 0,25 pontos na me´dia do semestre.
31-) Toda func¸a˜o cont´ınua mono´tona limitada f : I → R, definida num intervalo I, e´ uniformemente
cont´ınua.
32-) Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Dado ǫ > 0, existem a = a0 < a1 < · · · < an = b tais que, para cada
i ∈ {1, . . . , n}, (∀x, y ∈ [ai−1, ai]
) |f(x)− f(y)| < ǫ.
33-) Uma func¸a˜o cont´ınua φ : [a, b] → R diz-se poligonal se existirem a = a0 < a1 < · · · < an = b tais que
φ|[ai−1,ai] e´ um polinoˆmio de grau menor ou igual a 1, para 1 6 i 6 n. Prove que, se f : [a, b]→ R e´ uma
func¸a˜o cont´ınua, para todo ǫ > 0 existe φ : [a, b]→ R poligonal tal que (∀x ∈ [a, b]) |f(x)− φ(x)| < ǫ.
34-) Uma func¸a˜o φ : [a, b] → R diz-se uma func¸a˜o escada se existirem a = a0 < a1 < · · · < an = b tais que
φ|]ai−1,ai[ e´ constante (= ci), para 1 6 i 6 n. Prove que, se f : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o cont´ınua, para
todo ǫ > 0 existe φ : [a, b] → R escada tal que (∀x ∈ [a, b]) |f(x)− φ(x)| < ǫ.
35-) Sejam X ⊂ R e f : X → R tal que, para todo ǫ > 0, existe g : X → R cont´ınua tal que (∀x ∈
X
) |f(x)− g(x)| < ǫ. Enta˜o f e´ cont´ınua.
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36-) Definic¸a˜o: Sejam X ⊂ R e a ∈ X. Uma func¸a˜o f : X → R diz-se semi-cont´ınua superiormente em
a se, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X e |x−a| < δ ⇒ f(x) < f(a)+ ǫ; f diz-se semi-cont´ınua
inferiormente em a se, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X e |x − a| < δ ⇒ f(x) > f(a) − ǫ.
Uma func¸a˜o f : X → R diz-se semi-cont´ınua superiormente (abreviadamente, s.c.s.) ou semi-cont´ınua
inferiormente (abreviadamente, s.c.i.), se o for em todos os pontos de X.
Mostre que, dados X ⊂ R e f : X → R, tem-se:
(a) f e´ s.c.s. em a ∈ X se, e somente se, para toda sequ¨encia (xn)n∈N em X tal que xn → a,
lim sup f(xn) 6 f(a);
(b) f e´ s.c.s. em X se, e somente se, a imagem inversa por f de todo aberto da forma (−∞, b) e´
aberta em X;
(c) f e´ s.c.i. em a ∈ X se, e somente se, para toda sequ¨encia (xn)n∈N em X tal que xn → a,
lim inf f(xn) > f(a);
(d) f e´ s.c.s. em X se, e somente se, a imagem inversa por f de todo aberto da forma (b,+∞) e´
aberta em X;
(e) f e´ cont´ınua em a se, e somente se, for semi-cont´ınua superior e inferiormente em a.
37-) Sejam X ⊂ R compacto e f : X → R. Se f e´ s.c.s., enta˜o f tem um ponto de ma´ximo em X (i.e. existe
x0 ∈ X tal que f(x0) = max f(X)); analogamente, se f e´ s.c.i., enta˜o f tem um ponto de mı´nimo em X.
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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
4a Lista de Exerc´ıcios - Resoluc¸a˜o dos Exerc´ıcios
20-) Sejam X ⊂ R e f : X → R mono´tona, tal que f(X) seja denso num intervalo limitado. Mostre que
existe uma u´nica func¸a˜o cont´ınua, mono´tona, φ : X → R tal que φ|X = f .
Demonstrac¸a˜o: O fato de ser f mono´tona e limitada implica (conforme ja´ demonstrado em aula)
que, para todo a ∈ X ′+, existe limx→a+ f(x), e, para todo a ∈ X ′−, existe limx→a− f(x). Afirmo que:
(i) se a ∈ X ∩X ′+, enta˜o f(a) = limx→a+ f(x);
(ii) se a ∈ X ∩X ′−, enta˜o f(a) = limx→a− f(x);
(iii) se a ∈ X ′− ∩X ′+, enta˜o limx→a− f(x) = limx→a+ f(x).
Com efeito, suponha que f seja crescente (se for decrescente, o argumento que segue e´ o mesmo,
invertendo-se algumas desigualdades), e que sua imagem seja densa no intervalo I ⊂ R. Se a ∈ X ∩X ′+,
podemos tomar b ∈ X tal que b > a; enta˜o, pelo fato de ser f crescente, segue-se f(a) 6 limx→a+ f(x) 6
f(b), portanto [f(a), limx→a+ f(x)] ⊂ I (uma vez que f(a), f(b) ∈ I). Ale´m disso, o fato de ser f
crescente implica que na˜o existe ponto em ]f(a), limx→a+ f(x)[ que esteja na imagem de f ; assim,
]f(a), limx→a+ f(x)[ deve ser vazio, caso contra´rio a imagem de f na˜o seria densa em I. Ora, o in-
tervalo [f(a), limx→a+ f(x)] tem interior vazio se, e somente se, f(a) = limx→a+ f(x) (i.e. o intervalo
e´ degenerado). Isto prova a afirmac¸a˜o (i); as afirmac¸o˜es (ii) e (iii) se demonstram por um argumento
ana´logo.
As afirmac¸o˜es (i), (ii) e (iii), implicam que, para todo x ∈ X ′, existe limy→x f(y), e que, se x ∈ X∩X ′,
limy→x f(y) = f(x). Definimos φ : X → R por φ|X = f e
(∀x ∈ X ′ \X)φ(x) .= limy→x f(y). Afirmo
que φ e´ cont´ınua. De fato, seja x ∈ X. Se x ∈ X \X ′, enta˜o x e´ um ponto isolado de X (logo um ponto
isolado de X), portanto φ e´ cont´ınua em x. Por outro lado, se x ∈ X ′, enta˜o φ(x) = limy→x f(y). Assim,
dado ² > 0, existe δ > 0 tal que, se y ∈ X e 0 < |y− x| < δ, enta˜o |f(y)− φ(x)| < ². Seja w ∈ X tal que
0 < |w−x| < δ. Tomando (yn)n∈N sequ¨eˆncia em X tal que yn → w, como (x−δ, x+δ)\{x} e´ um aberto
que conte´m w, existe n0 ∈ N tal que yn ∈ (x − δ, x + δ) \ {x} para n > n0, donde |f(yn) − φ(x)| < ²
para n > n0. Ora, |f(yn) − φ(x)| → |φ(w) − φ(x)|, portanto |φ(w) − φ(x)| 6 ². Como ² > 0 foi
tomado arbitrariamente, segue-se que limw→x φ(w) = φ(x), portanto φ e´ cont´ınua em x. Isto mostra
que φ : X → R e´ uma extensa˜o cont´ınua de f , e e´ a u´nica tal extensa˜o (vide questa˜o 12). Resta mostrar
que φ e´ crescente. Com efeito, dados x, y ∈ X com x < y, podemos tomar sequ¨eˆncias (xn)n∈N e (yn)n∈N
em X tais que xn → x e yn → y. Enta˜o existe n0 ∈ N tal que, para n > n0, tem-se xn < yn, portanto
f(xn) 6 f(yn) para n > n0. Como f(xn) → φ(x) e f(yn) → φ(y), segue-se φ(x) 6 φ(y), o quemostra
que φ e´ crescente.
¤
23-) (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensa˜o 1) Seja f : [a, b] → [a, b] cont´ınua. Prove
que f tem um ponto fixo (i.e. existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = x). Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o cont´ınua
f : [0, 1)→ [0, 1) sem ponto fixo.
Demonstrac¸a˜o: Se f(a) = a ou f(b) = b, na˜o ha´ o que fazer; suponha f(a) 6= a (portando f(a) > a)
e f(b) 6= b (portanto f(b) < b). Seja φ : [a, b] → R dada por (∀x ∈ [a, b])φ(x) = f(x) − x. Enta˜o φ e´
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cont´ınua, φ(a) > 0 e φ(b) < 0; pelo teorema do valor intermedia´rio, segue-se que existe x ∈ (a, b) tal que
φ(x) = 0, i.e. f(x) = x.
¤
31-) Toda func¸a˜o cont´ınua mono´tona limitada f : I → R, definida num intervalo I, e´ uniformemente
cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o: Seja ² > 0; queremos mostrar que existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ I sa˜o tais que
|x− y| < δ, enta˜o |f(x)− f(y)| < ².
Sem perda de generalidade, suponha que f seja crescente. Sejam a < b os extremos do intervalo I
(pomos a = −∞ se I na˜o for limitado inferiormente, e b = +∞ se I na˜o for limitado superiormente).
Sendo f cont´ınua e definida num intervalo, segue-se como corola´rio do teorema do valor intermedia´rio
que sua imagem e´ um intervalo; e, sendo, f limitada, tal intervalo deve ser limitado. Digamos, pois,
que a imagem de f seja um intervalo com extremos m ∈ R e M ∈ R, m < M . Ou seja, m =
limx→a f(x) = inf f(I) e M = limx→b f(x) = sup f(I). Enta˜o existem α, β ∈ R, a < α < β < b, tais
que
(∀x ∈ I ∩ (−∞, α]) f(x) < m + ²/3, e (∀x ∈ I ∩ [β,+∞)) f(x) > M − ²/3. Portanto, dados
x, y ∈ I ∩ (−∞, α] ou x, y ∈ I ∩ [β,+∞), tem-se |f(x) − f(y)| < ²/3. Por outro lado, sendo [α, β]
compacto, a restric¸a˜o de f a este intervalo e´ uniformemente cont´ınua; assim, existe δ > 0 tal que, se
x, y ∈ [α, β] sa˜o tais que |x − y| < δ, enta˜o |f(x) − f(y)| < ²/3. Afirmo que, se x, y ∈ I sa˜o tais que
|x − y| < δ, enta˜o |f(x) − f(y)| < ². Com efeito, suponha x 6 y, sem perda de generalidade. Sendo
I =
(
I ∩ (−∞, α]) ∪ [α, β] ∪ (I ∩ [β,+∞)), temos os seguintes casos a analisar:
(a) se x, y ∈ I ∩ (−∞, α] ou x, y ∈ I ∩ [β,+∞), ja´ vimos que |f(x)− f(y)| < ²/3;
(b) se x ∈ I ∩ (−∞, α] e y ∈ [α, β], enta˜o |x − y| < δ implica |y − α| < δ, portanto |f(x) − f(y)| 6
|f(x)− f(α)|+ |f(α)− f(y)| < ²/3 + ²/3 < ² (e analogamente para o caso x ∈ [α, β] e y ∈ I ∩ [β,+∞));
(c) se x ∈ I∩(−∞, α] e y ∈ I∩[β,+∞), enta˜o |x−y| < δ implica |β−α| < δ, portanto |f(x)−f(y)| 6
|f(x)− f(α)|+ |f(α)− f(β)|+ |f(β)− f(y)| < ²/3 + ²/3 + ²/3 = ².
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33-) Uma func¸a˜o cont´ınua φ : [a, b] → R diz-se poligonal se existirem a = a0 < a1 < · · · < an = b tais que
φ|[ai−1,ai] e´ um polinoˆmio de grau menor ou igual a 1, para 1 6 i 6 n. Prove que, se f : [a, b]→ R e´ uma
func¸a˜o cont´ınua, para todo ² > 0 existe φ : [a, b]→ R poligonal tal que (∀x ∈ [a, b]) |f(x)− φ(x)| < ².
Demonstrac¸a˜o:
Seja ² > 0. Como φ e´ cont´ınua no compacto [a, b], segue-se que φ e´ uniformemente cont´ınua (ja´
demonstramos em aula que toda func¸a˜o cont´ınua num compacto e´ uniformemente cont´ınua). Assim,
existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ [a, b] sa˜o tais que |x − y| < δ, enta˜o |f(x) − f(y)| < ²/2. Tome
a = a0 < a1 < · · · < an = b tais que, para 1 6 i 6 n, |ai − ai−1| < δ. Defina φ : [a, b] → R tal
que, para cada i ∈ {1, . . . , n}, φ|[ai−1,ai] e´ a func¸a˜o afim tal que φ(ai−1) = f(ai−1) e φ(ai) = f(ai).
Enta˜o φ e´ poligonal e, para cada i ∈ {1, . . . , n}, (∀x ∈ [ai−1, ai]) |φ(x)− φ(ai−1)| 6 |φ(ai)− φ(ai−1)| =
|f(ai) − f(ai−1)| < ²/2. Ora, dado x ∈ [a, b], existe i ∈ {1, . . . , n} tal que x ∈ [ai−1, ai], portanto
|f(x)− φ(x)| 6 |f(x)− f(ai−1)|+ |f(ai−1)− φ(x)| < ²/2 + ²/2 = ². ¤
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37-) Sejam X ⊂ R compacto e f : X → R. Se f e´ s.c.s., enta˜o f tem um ponto de ma´ximo em X (i.e. existe
x0 ∈ X tal que f(x0) = max f(X)); analogamente, se f e´ s.c.i., enta˜o f tem um ponto de mı´nimo em X.
Demonstrac¸a˜o: Seja f : X → R s.c.s. em X compacto. Provemos que f tem um ponto de ma´ximo
em X.
(a) Afirmo que f e´ limitada superiormente. Com efeito, para cada n ∈ N, f−1(]−∞, n[) e´ aberto em
X, pelo fato de ser f s.c.s. (vide questa˜o 36); ou seja, para cada n ∈ N, f−1(] −∞, n[) e´ a intersecc¸a˜o
de um aberto An ⊂ R com X. Ale´m disso, para todo x ∈ X, existe n ∈ N tal que f(x) < n, i.e.
x ∈ f−1(] − ∞, n[). Assim, (An)n∈N e´ uma cobertura aberta do compacto X, da qual podemos (por
Borel-Lebesgue) extrair uma subcobertura finita (Ani)16i6k. Ora, tomando N
.= max{ni : 1 6 i 6 k},
tem-se
(∀x ∈ X) f(x) < N .
(b) SejaM .= sup f(X) (existe, pelo item anterior e pelo axioma do supremo). Queremos mostrar que
M ∈ f(X). Tome (yn)n∈N sequ¨encia em f(X) tal que yn →M . Para cada n ∈ N, tome xn ∈ X tal que
f(xn) = yn. Pela propriedade de Bolzano-Weierstrass, a sequ¨eˆncia (xn)n∈N do compacto X possui uma
subsequ¨eˆncia convergente (xnk)k∈N, com limite x0 ∈ X. Sendo f s.c.s., segue-se que lim sup f(xnk) 6
f(x0) (vide questa˜o 36). Mas, sendo {f(xnk)}k∈N uma subsequ¨eˆncia de {yn = f(xn)}n∈N, segue-se de
f(xn) → M que lim sup f(xnk) = M , donde M 6 f(x0). E, por ser M = sup f(X), tambe´m temos
f(x0) 6M , portanto M = f(x0) ∈ f(X).
A demonstrac¸a˜o de que f : X → R s.c.i. em X compacto tem ponto de mı´nimo em X e´ ana´loga. ¤
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