Análise Real - 6ª lista de exercícios (Soluções do 2, 7, 8, 9 e 11)

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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
6a Lista de Exerc´ıcios
Para entregar: exerc´ıcios 2, 7, 8, 9, 11.
1-) Exerc´ıcios dos cap´ıtulos 10 e 11 do Elonzinho.
2-) Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o integra´vel. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i)
∫ b
a |f | = 0;
(ii) Se f e´ cont´ınua em c ∈ [a, b], enta˜o f(c) = 0;
(iii) X .= {x ∈ [a, b] | f(x) 6= 0} tem interior vazio.
3-) Seja f : [a, b]→ R cont´ınua. Se f na˜o e´ identicamente nula, enta˜o ∫ ba |f | > 0.
4-) Seja f : [a, b]→ R limitada. Enta˜o:
(i)
∫ b
a f = sup{
∫ b
a φ | φ : [a, b]→ R func¸a˜o escada , φ 6 f};
(ii)
∫ b
a f = inf{
∫ b
a φ | φ : [a, b]→ R func¸a˜o escada , φ > f}.
Observac¸a˜o: Disto decorre que f e´ Riemann-integra´vel se, e somente se, sup{∫ ba φ | φ : [a, b] →
R func¸a˜o escada , φ 6 f} = inf{∫ ba φ | φ : [a, b]→ R func¸a˜o escada , φ > f}, i.e. poder´ıamos ter tomado
esta u´ltima igualdade como definic¸a˜o de func¸a˜o Riemann-integra´vel. Uma func¸a˜o Lebesgue-integra´vel
no intervalo [a, b] pode ser definida de maneira ana´loga, tomando-se func¸o˜es simples (a serem definidas
no curso de “Ana´lise I”) no lugar de func¸o˜es escada. Toda func¸a˜o escada e´ uma func¸a˜o simples (mas
na˜o vale a rec´ıproca); disto decorre que, se f e´ Riemann-integra´vel, enta˜o f e´ Lebesgue-integra´vel, e as
integrais de Riemann e de Lebesgue de f em [a, b] coincidem.
5-) Todo conjunto de medida nula tem interior vazio.
6-) Sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es, dado X ⊂ R:
(i) X tem medida nula;
(ii) para todo ² > 0, existe uma famı´lia (Ij)j∈N de intervalos (na˜o necessariamente abertos) tal que
X ⊂ ∪j∈NIj e
∑∞
j=1|Ij | < ².
Noutras palavras, na definic¸a˜o de conjunto de medida nula poder´ıamos ter usado intervalos quaisquer,
na˜o necessariamente abertos.
7-) Dadas f, g : [a, b] → R Riemann-integra´veis, seja X .= {x ∈ [a, b] | f(x) 6= g(x)}. Se X tem medida
nula, enta˜o
∫ b
a f =
∫ b
a g.
1
8-) Se f : [a, b]→ R e´ lipschitziana (em particular, se f e´ de classe C1) e X ⊂ [a, b] tem medida nula, enta˜o
f(X) tem medida nula.
9-) Seja g : [a, b] → R integra´vel e na˜o-negativa. Se ∫ ba g = 0, enta˜o, para toda f : [a, b] → R integra´vel,
tem-se
∫ b
a (f · g) = 0.
10-) Se g : [c, d]→ R e´ cont´ınua e f : [a, b]→ [c, d] e´ integra´vel, enta˜o g ◦ f : [a, b]→ R e´ integra´vel.
11-) Se f : [a, b]→ [c, d] e´ de classe C1 com (∀x ∈ [a, b]) f ′(x) 6= 0, e g : [c, d]→ R e´ integra´vel, enta˜o g ◦ f e´
integra´vel.
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MAT0206/MAP0216 - Ana´lise Real - IME - 2007
Prof. Gla´ucio Terra
6a Lista de Exerc´ıcios - Resoluc¸a˜o dos Exerc´ıcios
2-) Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o integra´vel. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i)
∫ b
a |f | = 0;
(ii) Se f e´ cont´ınua em c ∈ [a, b], enta˜o f(c) = 0;
(iii) X .= {x ∈ [a, b] | f(x) 6= 0} tem interior vazio.
Demonstrac¸a˜o:
(i)⇒(ii) Suponha que f seja cont´ınua em c ∈ [a, b]. Enta˜o |f | : x 7→ |f(x)| e´ cont´ınua em c; se |f(c)| 6= 0,
por continuidade existem δ > 0 e ² > 0 tal que |f | e´ maior ou igual a ² no intervalo na˜o-degenerado
[α, β] .= [a, b] ∩ [c− δ, c+ δ], donde ∫ ba |f | > ∫ βα |f | > (β − α)² > 0.
(ii)⇒(iii) Seja D ⊂ [a, b] o conjunto dos pontos de descontinuidade de f . Por (ii), tem-se X ⊂ D; como
f e´ integra´vel, segue-se do teorema de Lebesgue que D tem medida nula, logo X tem medida nula,
portanto tem interior vazio.
(iii)⇒(i) Seja P = {t0, . . . , tn} uma partic¸a˜o de [a, b]. Segue-se de (iii) que, para todo i ∈ {1, . . . , n},
existe c ∈ [ti−1, ti] tal que f(c) = 0 (caso contra´rio o interior de X seria na˜o-vazio, pois conteria o
intervalo aberto ]ti−1, ti[), o que implica que mi
.= inf|f |([ti−1, ti]) = 0, donde s(f, P ) = 0. Como
P foi tomada arbitrariamente, segue-se que
∫ b
a |f | =
∫ b
a |f | = sup{s(f, P ) | P ⊂ [a, b] partic¸a˜o} = 0.
¤
7-) Dadas f, g : [a, b] → R Riemann-integra´veis, seja X .= {x ∈ [a, b] | f(x) 6= g(x)}. Se X tem medida
nula, enta˜o
∫ b
a f =
∫ b
a g.
Demonstrac¸a˜o: A hipo´tese implica que f−g e´ integra´vel e o conjunto dos pontos nos quais f−g na˜o
se anula tem medida nula, portanto tem interior vazio. Enta˜o segue-se da questa˜o 2 que
∫ b
a |f − g| = 0,
donde
∫ b
a f −
∫ b
a g =
∫ b
a (f − g) = 0. ¤
8-) Se f : [a, b]→ R e´ lipschitziana (em particular, se f e´ de classe C1) e X ⊂ [a, b] tem medida nula, enta˜o
f(X) tem medida nula.
Demonstrac¸a˜o:
Por um lema ja´ demonstrado em aula (e que tambe´m e´ um exerc´ıcio desta lista), X ⊂ R tem medida
nula se, e somente se, para todo ² > 0, existe uma famı´lia enumera´vel (In)n∈N de intervalos limitados
(na˜o necessariamente abertos) tal que X ⊂ ∪n∈NIn e
∑∞
n=1|In| < ².
Seja c > 0 uma constante de Lipschitz para f , e suponha que X ⊂ [a, b] tem medida nula. Provemos
que f(X) tem medida nula. Com efeito, seja ² > 0. Existe uma famı´lia enumera´vel (In)n∈N de intervalos
1
limitados tais que X ⊂ ∪n∈NIn e
∑∞
n=1|In| < ²/c. Como c e´ uma constante de Lipschitz para f , para
cada n ∈ N a imagem do intervalo In por f e´ um intervalo com comprimento menor ou igual a c|In|;
enta˜o {f(In)}n∈N e´ uma cobertura de f(X) por intervalos limitados tal que (pelo crite´rio de comparac¸a˜o)∑∞
i=1|f(In)| 6 c
∑∞
n=1|In| < ².
¤
9-) Seja g : [a, b] → R integra´vel e na˜o-negativa. Se ∫ ba g = 0, enta˜o, para toda f : [a, b] → R integra´vel,
tem-se
∫ b
a (f · g) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Pela questa˜o 2, o conjunto dos pontos de [a, b] onde g na˜o se anula tem interior
vazio; enta˜o o conjunto dos pontos de [a, b] nos quais fg na˜o se anula tambe´m tem interior vazio, donde
(novamente pela questa˜o 2)
∫ b
a |fg| = 0, portanto
∫ b
a (fg) = 0. ¤
11-) Se f : [a, b]→ [c, d] e´ de classe C1 com (∀x ∈ [a, b]) f ′(x) 6= 0, e g : [c, d]→ R e´ integra´vel, enta˜o g ◦ f e´
integra´vel.
Demonstrac¸a˜o:
A hipo´tese sobre f implica que Im f ⊂ [c, d] e´ um intervalo compacto, f : [a, b] → Im f e´ invers´ıvel
e f−1 : Im f → [a, b] e´ de classe C1. Denote por Dg◦f e Dg, respectivamente, os conjuntos dos pontos
de descontinuidade de g ◦ f e g. Afirmo que f(Dg◦f ) ⊂ Dg. Com efeito, se x ∈ [a, b] e g e´ cont´ınua em
f(x), enta˜o g ◦ f e´ cont´ınua em x; portanto, se g ◦ f e´ descont´ınua em x, segue-se que g e´ descont´ınua
em f(x). Como g e´ integra´vel, segue-se do teorema de Lebesgue que Dg ⊂ [c, d] tem medida nula;
enta˜o f(Dg◦f ) ⊂ Dg tambe´m tem medida nula. Como f−1 e´ de classe C1 no intervalo compacto Im f , e´
lipschitziana no referido intervalo, portanto segue-se da questa˜o 8 que f−1
(
f(Dg◦f )
)
= Dg◦f tem medida
nula. Aplicando-se novamente o teorema de Lebesgue, conclui-se que g ◦ f e´ Riemann-integra´vel.
¤
2
	lista_06_ime_usp
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