Cálculo 2 - Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

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Limites e Continuidade de Funções 
de Várias Variáveis 
 
 
Cálculo II 
Limite e Continuidade de 
Funções de 2 Variáveis 
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é 
o número L (se existir) e é representado por 
Lyxf
yxyx

 ),(),( 00
),(lim
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), 
dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função 
será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a 
função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus 
pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das 
funções, por simples inspeção da mesma. 
Limite e Continuidade de 
Funções de 2 Variáveis 
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas 
restrições. 
Limite e Continuidade de 
Funções de 2 Variáveis 
Limite e Continuidade de 
Funções de 2 Variáveis 
Limite e Continuidade de 
Funções de 2 Variáveis 
Limite e Continuidade de 
Funções de 2 Variáveis 
Limite 
O conceito de limite de funções ordinárias pode ser 
estendido para funções de várias variáveis. Assim, 
diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou 
que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima 
de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de 
(xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L. 
Lyxf
ou
Lyxf
yxyx
yy
xx
o
o
o





),(lim
 
),(lim
),(),( 0
Limite de f(x,y) 
Propriedades dos Limites 
Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com 
lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M  0. 
1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L 
2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L 
3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M 
4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M 
5º) 
6º) De maneira geral, 
 Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L) 
Lyxfyxf  ),(lim),(lim
Calculando Limites 














yzx
yzxxy
xyzyzx
z
y
x
22
33
1
2
2
2
75lim )1
106
)1(22
)1(2.22.2.2
)1(2.2.7)1.(2.2.5
22
33 



0
0
00
00
lim )2
3333
)0,0(),( 






yx
yx
yx
0
))((
lim
22
)0,0(),( 


 
yx
yxyxyx
yx
Calculando Limites 
yx
xyx
yx
yxyx
xyx
y
x
y
x
y
x











2
0
0
22
4
3
32
1
0
lim)3
lim)2
5
3
lim)1
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem: 
Calculando Limites 
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem: 
Calculando Limites 
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e 
“funções lineares” é só substituir os valores para os 
quais de x e y estão tendendo. Para funções 
racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer 
este procedimento, deve-se então usar a regra dos 
“dois caminhos”. 
Exemplo da Regra dos Dois Caminhos 
Mostrar que não existe. 
 
Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação 
22
22
lim
yx
yx


Regra dos Dois Caminhos 
Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta 
y = x (“dois caminhos”). 
 
(1º caminho) 
 
(2º caminho) 0lim
1
0
0
lim
22
22
0
22
22
0
0










yy
yy
x
x
xy
x
y
x
Os limites são 
diferentes, logo 
não há o limite. 
y 
x 
z 
1°caminho 
Continuidade de Funções de Várias Variáveis 
O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo 
já descrito para funções ordinárias. 
 
Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se 
lim(x,y)⃗(xo,yo)f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo). 
 
EXEMPLO: 
Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0) 
 
24
2
),(
yx
yx
yxf


Propriedades da Continuidade 
• f(x,y) + g(x,y) também é contínua. 
 
• f(x,y) . g(x,y) também é contínua. 
 
• f(x,y) / g(x,y) também é contínua. 
 
• u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua. 
 
Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então: