LISTA ALGEBRA LINEAR ESCALONAMENTO

Prévia do material em texto

Lista: Sistemas Lineares
A´lgebra Linear Ba´sica I - MAT0319 - T09
Data de Entrega: 10/04/2018
1. Determine todas as soluc¸o˜es dos sistemas abaixos, se existirem:
a)

2x+ y + z = 0
x+ y + 4z = 1
x+ 4y = 2
.
b)

2x+ y = 2z + y
3x− 2y + 4 = 1− z
−x+ 2y = 2
.
c)

x+ y + z + w = 0
−x+ y − z + w = 1
x− y + z + w = −1
x+ y − z + w = 0
.
d)

x+ 7y + z = 3− 2z
3x+ y + 2z = 1− 3z
2x− 2y = 2− 3z
.
e)

x1 + x2 + x4 + x5 = −1
x1 − x4 + x5 = 1
−x1 + x2 + x3 = 2
x1 + x2 − x5 = 0
x3 − x4 + x5 = −2
.
f)

2x+ y = 0
2y + x+ z = 0
2z + y = 0
.
g)

−2x+ y + z = 0
3y + 4z = 1
4x+ 2y = 2
w − x = 2
.
h)
{
2x+ y + z = 0
x+ 3y + 4z = 1
.
1
i)
{
x+ 2y + 3z + 4w = 0.
2. Determine os poss´ıveis valores de α ∈ R em cada item tal que os sistemas abaixos tenham
nenhuma soluc¸a˜o, uma soluc¸a˜o ou infinitas soluc¸o˜es:
a)

2x+ y + z = 0
x+ 3y + 4z = 1
x+ αy = 1
.
b)
{
2x+ y + z = 0
6x+ 3y + αz = 1
.
c)

x+ y + z = 0
x+ y + αz = 1
x+ y − z = −1
.
d)

x+ 7y + 3z = 3
3x+ y + αz = 1
2x+ 4y + 4z = 2
.
Equil´ıbrio de reac¸o˜es
Dada uma reac¸a˜o qu´ımica simples, podemos atrave´s das leis de conservac¸a˜o de
estequiometria, encontrar a proporc¸a˜o das substaˆncias reagentes e produtos do seguinte
modo:
Dada a reac¸a˜o
aC2H3OH + bO2 −−→ cCO2 + dH2O
queremos saber quais valores naturais a, b, c, d tais que a reac¸a˜o esta´ equilibrada. Isto e´
equivalente a pedir que a quantidade de a´tomos em cada lado da equac¸a˜o seja igual. Isso
cria um sistema linear onde cada equac¸a˜o esta´ associada a um certo elemento qu´ımico
igualando o nu´mero dele em cada lado como abaixo:
2a = c , para C
4a = 2d , para H
a+ 2b = 2c+ d , para O
.
ou seja o sistema homogeˆneo

2a− c = 0
4a− 2d = 0
a+ 2b− 2c− d = 0
com matriz associada
 2 0 −1 0 04 0 0 −2 0
1 2 −2 −1 0
.
2
Resolvendo o sistema obtemos a soluc¸a˜o S = {

a
b
c
d
 =

d
2
5d
4
d
d
 : d ∈ R}.
Podemos tomar enta˜o d = 4 e teremos a reac¸a˜o equilibrada:
2C2H3OH + 5O2 −−→ 4CO2 + 4H2O
3. Equilibre as reac¸o˜es qu´ımicas abaixo pelo me´todo acima:
a) aC2H6 + bO2 −−→ cCO2 + dH2O
b) aCaCO3 + bH3PO4 −−→ cCa3(PO4)2 + dH2CO3
c) aC3H8 + bO2 −−→ cCO2 + dH2O
d) aNH3 + bO2 −−→ cN2 + dH2O
3. Argumente porque faz sentido que o sistemas usados na questa˜o anterior sejam ho-
mogeˆneos.
3