Estudo de Lentes e Espelhos na Física Experimental II

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Disciplina: Física Experimental II Semestre: 2018.1
Prof.: Renné Araújo
Grupo 3: TIAGO ZANELATTO, HYURI FERNANDES,
 DHIOZER VALDATI
Turma: 04211B 
	
 Experiência 13 – LENTES E ESPELHOS
OBJETIVOS
A presente experiência teve como objetivo o estudo de lentes e espelhos, mas especificamente identificar a distância focal dos mesmos através dos seguintes métodos: 
Um espelho côncavo pelo Método da Ampliação;
Lentes convergentes pelos Métodos Gráfico e de Bessel;
Uma lente divergente pelo Método do Acoplamento
TEORIA
Na óptica geométrica, fenômenos tais como a refração e a reflexão são descritos usando-se o conceito de raios de luz — linhas perpendiculares às frentes de onda, que indicam a direção de propagação da luz. Isso é válida somente em situações em que as dimensões dos objetos com que a luz interage — por exemplo, lentes, espelhos ou anteparos — são muito maiores que o comprimento de onda da luz. 
Um sistema óptico pode ser definido como qualquer elemento físico que realize interação com a luz, ou seja, que altere as características dos raios luminosos que nele incidem. Lentes convergentes e divergentes, espelhos côncavos e convexos são os mais comuns sistemas ópticos.
Se a superfície refletora for curva, o espelho por exemplo é denominado côncavo quando a parte espelhada está na face interna da curvatura, porém se está na face externa, o espelho é denominado convexo. Já as lentes convergentes que são capazes de focalizar a luz, são mais espessas na parte central, ao passo que as divergentes, que dispersam a luz, são mais espessas nas bordas. A representação desses sistemas está na Figura 1.
Figura 1 - (a) Espelhos côncavo e convexo e seus respectivos focos (b) Lentes convergente e divergente e seus respectivos focos
O tipo e a posição da imagem de um objeto, formada por um espelho esférico de pequena abertura ou lentes delgadas, é determinada por uma equação que relaciona a distância do objeto , a distância da imagem e a distância focal .
Figura 2- Representação de um espelho côncavo e outro convexo, seus focos e distâncias.
Por essa mesma equação, determinam-se, também, o tipo, a ampliação e a posição da imagem de um objeto formada por uma lente delgada. Para a utilização dessa equação, devem-se observar as convenções de sinais que estão descritas da tabela abaixo:
	Maior que zero
	Menor que zero
	F → lente convergente
	F → lente divergente
	p → objeto real
	p → objeto virtual
	p’ → imagem real
	p’ → imagem virtual
	i → imagem para cima
	i → imagem para baixo
Para determinar a ampliação da imagem em relação ao objeto, usa-se a seguinte relação, na qual representa o tamanho da imagem e representa o tamanho do objeto:
É importante observar que a vai ser um número positivo se a imagem tiver a mesma orientação que o objeto, ou seja, se a imagem for direita e um número negativo quando a imagem tiver orientação oposta.
Dessas relações fundamentais, surgiram vários métodos diferente para determinar o ponto extado do foco das lentes e/ou espelhos, dentre eles estão:
Método da ampliação: a partir de algumas manipulações algébricas é possível chegar na equação a seguir, na qual não é necessário medir a distância em que a imagem é formada;
Método gráfico: construindo um gráfico de 1/p em função de 1/p’ a partir da coleção de pontos, obtém-se uma reta na qual o coeficiente linear nos dá a distância focal;
Método de Bessel: é possível determinar o foco a partir da relação entre as distancias quando há a formação de duas imagens 
Método do acoplamento: a partir do acoplamento de duas lentes uma convergente e divergente e medindo a foco do conjunto é possível determinar a distância focal de uma das lentes, conhecendo previamente a distância focal da outra lente. 
ESQUEMAS DE MONTAGEM EXPERIMENTAL
Figura 3 - Montagem experimental para obtenção da distância focal do espelho côncavo através do Método da Ampliação
Figura 4 - Montagem experimental para obtenção da distância focal da lenta convergente através do Método Gráfico.
Figura 5-Montagem experimental para obtenção da distância focal da lenta divergente através do Método do Acoplamento de duas lentes, uma convergente com distancia focal conhecida e outra divergente com distancia focal a ser determinado.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
A primeira parte do experimento consiste em encontrar a distância focal do espelho côncavo a partir do Método da Ampliação, no qual não é necessário medir a distância entre o espelho e a imagem formada. Logo, primeiramente, verifica-se se a luz e o objeto estão devidamente alinhados. Após esse primeiro passe, deve-se colocar o espelho côncavo A sobre o trilho, e alinhar o conjunto para que os feixes de luz saiam paralelamente ao trilho e encontrem a superfície do espelho. Já com o anteparo colocado perpendicularmente a lateral da lâmpada (para evitar ao máximo o efeito de aberração ou distorção da imagem), desloca-se o espelho sobre o trilho buscando formar uma imagem nítida do objeto no anteparo. 
Com a imagem formada, deve-se então anotar os dados (distância do objeto ao espelho, tamanho do objeto e tamanho da imagem) que serão utilizados para calcular a distância focal do espelho côncavo através da seguinte formula: 
 
Onde é a ampliação, ou seja, a razão entre o tamanho da imagem e do objeto.
Feito a primeira media, volta-se novamente a repetir o mesmo experimento por mais duas vezes, porém tomando valores de p e p’ tão diferentes quanto possível. Importante notar que é mais fácil arbitrar a posição do anteparo e tentar focalizar a imagem sobre ele.
Ao fim desse experimento já retirado o espelho côncavo, deve-se colocar sobre o trilho a lente convergente B e novamente ajustar o conjunto. Ao final do trilho coloca-se o anteparo, que a partir de agora não ficará mais ao lado da lâmpada. Com o conjunto pronto deve-se mover a lente procurando encontrar a posição a qual é formado uma imagem nítida no anteparo. Como esse experimento irá utilizar o Método Gráfico então agora é necessário medir a distância da imagem (formada no anteparo) a lente, bem como a distância do objeto a lente.
No terceiro experimento deve-se substituir a lente convergente B pela lente convergente C colocando-a o mais próximo possível do objeto, mantendo o anteparo sobre o trilho. Após o conjunto devidamente alinhado, move-se a lente convergente C em direção ao anteparo, procurando a posição que ocorre a formação de uma imagem nítida no mesmo. Anota-se a distância entre o objeto e o anteparo e a guarda-se o valor entre o objeto e a lente. Movendo novamente a lente C em direção ao anteparo é possível notar que haverá uma nova posição a qual formará uma outra imagem nítida no anteparo. Medindo-se a nova distância do objeto a lente e diminuindo da distância guardada anteriormente entre o objeto e a lente tem-se a distância entre as duas posições da lente a qual ocorreu formação de uma imagem nítida. Esse é o Método de Bessel ou Método dos Deslocamentos, e aplicando a formula abaixo é possível calcular o foca dessa lente.
Onde é a distância do objeto ao anteparo e é a distância entre as duas posições da lente a qual ocorreu formação de uma imagem nítida.
Já na última parte do experimento deve-se substituir a lente C pelo conjunto de lentes D, constituído por uma lente convergente de distância focal conhecida e uma lente divergente atarraxada sobre ela, de distância focal a ser obtida. Move-se o conjunto de lentes D sobre o trilho até obter uma imagem nítida no anteparo, então anota-se a distância do objeto a lente e a distância da imagem a lente. Após feito as medidas, deve-se rotacional o conjunto de lente D em 180°, ou seja, posicionar a outra fase da lente para a lâmpada e fazer novamente as medições. Calcula-se o foco para os dois conjuntos de dados objetos e tira-se a média aritmética entre os dois valores obtidos, esse será considerado a distância focal do conjunto de lentes D. Sabendo-sepreviamente a distância focal da lente convergente é possível, através do Método de Acoplamento, calcular a distância focal da lente divergente que está no conjunto.
RESULTADOS E MEDIDAS
Tabela de dados em anexo.
ANÁLISE DOS DADOS
 
(Q1) Com os dados obtidos e anotados na Tabela I (primeira parte –Método da Ampliação para espelho côncavo) é possível calcular a distância focal através da seguinte equação:
Onde:
É importante notar que o valor de é negativo, e consequentemente o valor de M, são negativos, uma vez que a imagem é invertida em relação ao objeto.
Os valores da distância focal obtidos no experimento foram {26,9 ± 0.2; 24,26 ± 0.2; 27.59 ± 0.2}cm, tirando a média desse valores, têm-se uma distância focal média de = (26,25 ± 0,1) cm. 
Pode-se, a partir dessa medida, calcular o erro percentual, visto que o valor nominal foi informado. Segue o cálculo abaixo:
A distância focal do espelho é fixa, ou seja, ela não vareia com a posição da lente. Logo, a partir de uma análise da primeira equação, é possível verificar que o aumento da distância do objeto ao espelho ( acarreta em uma redução na distância entre a imagem e o espelho (). 
(Q2) A partir dos dados da Tabela I, também se nota que aumentando a distância entre o objeto e o espelho () a imagem projetada no anteparo diminui. 
Já na segunda parte do experimento (Método gráfico para lente convergente), com os dados obtidos gerou-se o seguinte gráfico 1/p por 1/p’:
Com os dados obtidos é possível ajustar a melhor reta para determinar os coeficientes.
Equação 
Equação característica da reta 
Igualdade dos variáveis ; ; ; 
De acordo com a equação da reta obtida automaticamente pelo Excel, conferida usando a regressão linear na calculadora Casio fx-82ES, tem-se os seguintes resultados:
Coeficiente angular (B) = -0,9752 adimensional 
Coeficiente linear (A) = 0,0514 cm-1
Logo 
Pode-se, novamente a partir dessa medida, calcular o erro percentual, visto que o valor nominal foi informado. Segue o cálculo abaixo:
(Q3) Com os dados do terceiro experimento pode-se determinar o valor médio do foco da lente C, que foi obtido através do método de Bessel. Segundo os dados obtidos o valor médio da distância focal é = 13,91 cm. 
Novamente, a partir dessa medida, pode-se calcular o erro percentual, visto que o valor nominal foi informado. Segue o cálculo abaixo:
De acordo com a seguinte equação: 
O menor valor de quando o foco da lente é de 15 cm é:
Pode-se notar com esses cálculos que para uma lente com distancia focal qualquer a menor distancia para a qual ocorre apenas a formação de uma imagem nítida é de 4 vezes o valor da distância focal da lente. 
Por fim, na última parte do experimento (Método do Acoplamento para lente divergente) teve-se como valor médio da distância focal do conjunto D de lentes a valor de . Usando a seguinte equação:
E sabendo previamente o valor de foi possível determinar a distância focal da lente divergente, .
Determinando o erro percentual, visto que o valor nominal foi informado. Objetem-se o seguinte:
DISCUÇÃO
Com os dados das tabelas, e o auxílio Gráfico I para visualizar os resultados obtidos, é então possível notar o comportamento dos espelhos e lente em estudo.
No primeiro método, usando os conceitos de ampliação pode-se determinar a distância focal da lente A. A média dos valor mostra que a distância focal da lente é de = (26,25 ± 0,1) cm obtida através de dados experimentais. Levando em conta o erro nota-se que o valor experimental não é compatível com o valor nominal = (25,0) cm. No entanto, levando em conta a inexperiência dos alunos, os efeitos de aberração, interferências, imprecisão na aferição dos tamanhos das imagens e outras variáveis, conclui-se que nessas condições o erro de 8% é aceitável.
Foi possível observar, também, nesse experimento o efeito que distância do objeto ao espelho causa na imagem. Os dados mostraram que quanto mais longe o espelho em relação ao objeto, mais pequena a imagem fica. Além de diminuir também a distância entre a lente e a imagem formada, fenômeno que é previsto pela teoria.
Já no segundo experimento, obteve-se um pouco mais de sucesso, pois o erro relacionado a esse experimento foi de 2%. Mas, novamente, nota-se que apesar deste valor não ser muito alto, ele ainda não é compatível com o valor nominal, indicando, também possíveis erros na obtenção de dados.
Na terceira parte do experimento (Método de Bessel para lente convergente), teve-se um pouco de dificuldade para identificar a formação da segunda imagem no anteparo, visto que a mesma se formava num tamanho muito pequeno. Teve-se dificuldade, também, para encontrar a posição para a qual não formava uma segunda imagem, devido a distorções que ocorriam na primeira imagem formada. Provavelmente isso contribuiu para aumentar o erro percentual, que chegou a 7%. No entanto, novamente, considerando as condições em que o experimento foi realizado pode-se considerar esse erro aceitável. 
(Q3) Um ponto importante neste experimento foi que obtivemos um valor mínimo de (distancia entre o objeto e o anteparo). Quando comprado esse valor com o valor teórico, que seria 60 cm, fica claro que houve uma dificuldade em determinar as posições em que ocorriam a formação da imagem. Quando calculamos o erro percentual para nota-se que teve um erro de 8%.
Por fim, avaliou-se o comportamento de um sistema de lentes, composto por uma lente convergente, de valor focal conhecido com uma lente divergente, com foco desconhecido. O valor do foco encontrado foi , o sinal negativo indica que, de fato, o procedimento foi adequado. No entanto, esse experimento foi onde se obteve o maior erro percentual, 14%. Não se soube concluir o porquê de tamanho erro, visto que, o procedimento para obtenção das medidas foi bem simples. 
(Q4) É possível ainda supor alguns cenários diferente para a medição das distancia focai do lente C, por exemplo, poderíamos realizar as medidas com a lente mergulhada na agua. Descobrir-se-ia a distância focal utilizado a equação dos fabricantes:
Como a distância focal (15 cm) e n (os índices de refração) eram conhecidos, descobriu-se os valores dos raios de curvatura 1 e 2 (considerados iguais), constantes independentemente do meio na qual a lente se encontra.
Quando se imerge a lente na água, agora passa a ser o índice de refração da agua, ou seja, 1,33 . Calculando o novo valor na fórmula acima, verifica-se uma distância focal de aproximadamente 58,68 cm, ou seja .
(Q5) Outro cenário possível seria mudar a cor da luz, assim o índice de refração da lente para a cor azul é de 1,58, ligeiramente diferente o índice de refração anterior que era 1,50. Novamente usando a equação dos fabricantes, tem-se:
Ou seja, 
Portanto, percebe-se que quanto maior n (razão entre o índice de refração da lente e o do meio) menor o foco da lente.
CONCLUSÃO
A experiência nos mostrou de forma muito simples vários métodos para calcular a distância focal, seja de um espelho ou de uma lente. Apesar de não haver grande coerência com os valores determinados pelos fabricantes, ainda assim chegou-se a valores aceitáveis quando levado em conta as inúmeras ocasiões na qual poderia ocorrer grandes erros. Como na imprecisão da aferição dos tamanhos das imagens na primeira parte do experimento ou como no caso da terceira parte do experimento, no qual deve-se bastante dificuldades para determinar as distancias de formação da imagem. 
O primeiro método, no qual usou-se conceitos de ampliação para determinar a distância focal, é muito interessante, pois não é necessário fazer a medição da distância da imagem ao espelho. Além disso, ele nos possibilitou notar que o aumento da distância entre o espelho e o objeto resulta em uma diminuição do tamanho da imagem projetada sobre o anteparo.
Um segundo experimento utilizou-se de vários pontos para obtenção de um gráfico,o qual, após ajustar a melhor reta, estabelecesse uma relação entre o coeficiente linear da equação dessa reta e a distância focal da lente. Importante observar que neste experimento obteve-se o melhor erro percentual, o que não nos leva a concluir que este é o método mais preciso, visto que há inúmeras possibilidade de ocorrido erros grosseiros nos outros experimentos. 
Foi avaliada, também, uma outra maneira de se obter o foco de uma lente convergente, através do Método de Bessel. Verificou-se que, apesar do erro ser de 7 %, tal erro deve-se, dentre outros, ao fato de imprecisões na mensuração tanto de D quanto de d, devido as distorções e tamanhos das imagens.
A última parte do experimento foi destinada a obtenção da distância focal de uma lente divergente que estava acoplada em outra lente convergente com o foco conhecido, formando um conjunto de lentes. Apesar da simplicidade do experimento, que consistia basicamente em medir a distância entre objeto a lente e a distância entre imagem a lente para determinar o foco do conjunto, houve um erro bem grande (14%). A explicação para esse erro não foi encontrada.
Uma análise da Equação dos fabricantes de lente possibilitou a criação, imaginaria, de alguns experimentos em condições diferentes ao realizado em laboratório. Verificou-se, então, que quanto maior n (razão entre o índice de refração da lente e o do meio) menor o foco da lente.
Em suma, vários métodos foram vistos tais como, Método da Ampliação, Método Gráfico, Método de Bessel e Método do Acoplamento. E com isso se teve grande proveito da experiência, pois de modo prático, observou-se as dificuldades para determinar a distância focal dos espelhos e lentes, como ocorre a formação de imagens nos mesmo, bem como os demais fenômenos óptico que a teoria prevê.
Observação:
Os erros propagados utilizados nesse relatório foram obtidos através do seguinte site: 
<http://julianibus.de/physik/propagation-of-uncertainty>