Tópico 6. Métodos de Energia

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Curso de Engenharia Civil UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
Prof. Rodolfo Krul Tessari 
(Notas de Aula) 
Tópico 6. Métodos de Energia 
6.1 Introdução 
Quando aplicadas a um corpo, forças externas provocam deformação do material. Desde que não haja perda 
de energia sob forma de calor, o trabalho externo por elas realizado será convertido em trabalho interno, 
denominado energia de deformação. Essa parcela de energia fica armazenada no corpo em decorrência do 
aparecimento de tensões normais e de cisalhamento que executam trabalho sobre as correspondentes parcelas 
de deformação. 
A energia externa, por outro lado, é resultado da ação das forças externas pelo correspondente deslocamento 
sofrido pelo corpo na direção de aplicação das mesmas. 
6.2 Energia externa 
Considere uma barra solicitada axialmente por uma força F, aplicada gradualmente de modo que sua 
intensidade varia de zero até seu valor máximo P, provocando deslocamentos δ com valor máximo Δ: 
 
O trabalho realizado pela força F é tão maior quanto maior for o deslocamento sofrido pela barra, sendo que o 
trabalho total realizado por ela corresponde à área do gráfico representado abaixo: 
 
tal que 
0
.
2
F
Ue F d
 
 
 
De forma análoga, pode-se determinar a energia externa decorrente do trabalho realizado por momentos. Neste 
caso, o deslocamento corresponderá às rotações sofridas pelo corpo: 
0
.
2
M
Ue m d
  
 
2 
 
6.3 Energia de deformação 
Assumindo que não haja dissipação de energia, toda a energia decorrente do trabalho externo será convertida 
em energia de deformação. Essa parcela de energia está associada às tensões normal e de cisalhamento e pode 
ser expressa em função das deformações normal e distorcional. 
6.3.1 Tensão normal 
Considere o elemento infinitesimal a seguir submetido a uma tensão normal σz, conforme ilustrado: 
 
A tensão aplicada corresponde a uma força igual a: 
𝑑𝐹𝑧 = 𝜎𝑧. 𝑑𝐴 → 𝑑𝐹𝑧 = 𝜎𝑧. (𝑑𝑥. 𝑑𝑦) 
O deslocamento associado à deformação normal sofrida pelo elemento será: 
𝜀𝑧 =
𝛿∆𝑧
𝑑𝑧
 → 𝛿∆𝑧= 𝜀𝑧. 𝑑𝑧 
Se a tensão σz for aplicada gradualmente no elemento, a energia resultante pode ser determinada de modo 
análogo ao que vimos para as forças externas. Portanto: 
𝑑𝑈𝑖 =
𝑑𝐹𝑧 . 𝛿∆𝑧
2
=
𝜎𝑧. (𝑑𝑥. 𝑑𝑦). 𝜀𝑧. 𝑑𝑧
2
 
Como o volume do elemento é 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧, temos: 
𝑑𝑈𝑖 =
𝜎𝑧. 𝜀𝑧. 𝑑𝑉
2
 
Observação: A energia interna resultante será sempre positiva uma vez que σ e ε atuam sempre na mesma 
direção. 
Se o material apresenta comportamento elástico-linear, pode-se aplicar a lei de Hooke à equação anterior. 
Assim: 
𝑑𝑈𝑖 =
𝜎𝑧
2
2𝐸
𝑑𝑉 
Caso o corpo esteja submetido a uma tensão σ uniaxial, em uma direção qualquer, a energia total de 
deformação será, portanto: 
𝑈𝑖 = ∫
𝜎2
2𝐸
𝑑𝑉
𝑉
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
6.3.2 Tensão de cisalhamento 
De forma análoga, pode-se determinar a energia de deformação associada às tensões de cisalhamento. Para 
isso, considere o elemento infinitesimal submetido a um estado de cisalhamento puro, conforme ilustrado: 
 
Nesse caso, a tensão de cisalhamento provoca a deformação (distorção) do elemento, tal que somente a força 
cisalhante que age na face superior desloca-se 𝛾. 𝑑𝑧 em relação à face inferior (as faces verticais apenas 
rotacionam). Portanto, as demais componentes não realizam trabalho. Desse modo, a energia de deformação 
armazenada no elemento é: 
𝑑𝑈𝑖 =
𝑑𝐹𝑦 . ∆𝑦
2
=
𝜏𝑥𝑦. (𝑑𝑥. 𝑑𝑦). 𝛾𝑥𝑦. 𝑑𝑧
2
 → 𝑑𝑈𝑖 =
𝜏𝑥𝑦. 𝛾𝑥𝑦. 𝑑𝑉
2
 
Integrando a energia do elemento infinitesimal ao longo de todo o volume do corpo, obtém-se: 
𝑈𝑖 = ∫
𝜏. 𝛾
2
𝑑𝑉
𝑉
 
Finalmente, aplicando a lei de Hooke (𝜏 = 𝐺. 𝛾): 
𝑈𝑖 = ∫
𝜏2
2𝐺
𝑑𝑉
𝑉
 
6.3.3 Tensões multiaxiais 
As expressões anteriores foram obtidas assumindo-se que o corpo estava sujeito a estados uniaxiais de tensão. 
Quando estados planos ou tridimensionais de tensão estão presentes, a energia de deformação do corpo é obtida 
somando-se as parcelas encontradas para cada uma das componentes atuando no corpo. Assim, para o caso 
geral, a energia de deformação total no corpo é: 
𝑈𝑖 = ∫ (
𝜎𝑥𝜀𝑥
2
+
𝜎𝑦𝜀𝑦
2
+
𝜎𝑧𝜀𝑧
2
+
𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦
2
+
𝜏𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧
2
+
𝜏𝑦𝑧𝛾𝑦𝑧
2
) 𝑑𝑉
𝑉
 
Utilizando a lei de Hooke generalizada, pode-se substituir as parcelas de deformação por tensões. Disto resulta: 
𝑈𝑖 = ∫ [
1
2𝐸
(𝜎𝑥
2 + 𝜎𝑦
2 + 𝜎𝑧
2) −
𝜐
𝐸
(𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑥𝜎𝑧 + 𝜎𝑦𝜎𝑧) +
1
2𝐺
(𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑥𝑧
2 + 𝜏𝑦𝑧
2)] 𝑑𝑉
𝑉
 
 
 
6.4 Energia de deformação elástica em problemas unidimensionais 
6.4.1 Força axial 
Quando elementos de barra simples (treliças) estão submetidos à ação de carregamentos externos, surgem 
esforços normais N que atuam no plano de sua seção transversal A. A tensão normal será σ = N/A. Portanto, a 
energia correspondente de deformação do elemento pode ser calculada como: 
𝑈𝑖 = ∫
𝜎2
2𝐸
𝑑𝑉
𝑉
= ∫
1
2𝐸
(
𝑁2
𝐴2
) 𝑑𝑉
𝑉
 
ou ainda 
𝑈𝑖 = ∫
𝑁2
2𝐸
(∫
1
𝐴2
𝑑𝐴
𝐴
) 𝑑𝐿
𝐿
= ∫
𝑁2
2𝐸𝐴
𝑑𝐿
𝐿
 
 
4 
 
Nos casos mais comuns, em que N, E e A são constantes ao longo do comprimento da barra, a equação da 
energia interna devido à uma força axial simplifica-se para: 
2
2
N L
Ui
EA

 
6.4.2 Momento Fletor 
Esforços de flexão introduzem tensões normais no plano da seção transversal de um elemento de barra geral. 
Assim, podemos utilizar a expressão 2
2V
Ui dV
E

 
para determinar a energia de deformação armazenada no 
elemento em virtude da flexão. 
Sabendo que 
z
x
z
M
y
I
  
, pode-se escrever que: 
 
𝑈𝑖 = ∫
𝜎𝑥
2
2𝐸
𝑑𝑉
𝑉
= ∫
1
2𝐸
(
𝑀𝑧
𝐼𝑧
. 𝑦)
2
𝑑𝑉
𝑉
 → 𝑈𝑖 = ∫
1
2𝐸
𝑀𝑧
2
𝐼𝑧2
(∫ 𝑦2𝑑𝐴
𝐴
) 𝑑𝐿
𝐿
 
Lembrando que a integral interna corresponde ao momento de inércia da seção em torno do eixo z, temos: 
𝑈𝑖 = ∫
1
2𝐸
𝑀𝑧
2
𝐼𝑧2
𝐼𝑧. 𝑑𝐿
𝐿
= ∫
1
2𝐸
𝑀𝑧
2
𝐼𝑧
𝑑𝐿
𝐿
 
Portanto, para calcular Ui devemos primeiro expressar o momento interno em função da posição x ao longo da 
viga para só depois resolvermos a integral. Nos casos em que E e I forem constantes, a integral simplifica-se 
para: 
𝑈𝑖 =
1
2𝐸𝐼
∫ [𝑀(𝑥)]2. 𝑑𝐿
𝐿
 
 
6.4.3 Cisalhamento transversal 
No cisalhamento transversal, a tensão de cisalhamento está relacionada ao esforço cortante por meio da 
seguinte expressão:
VQ
It
 
. Assim, a energia de deformação pode ser calculada em função do esforço cortante 
atuando em uma dada seção do elemento: 
 
 
𝑈𝑖 = ∫
𝜏2
2𝐺
𝑑𝑉
𝑉
= ∫
1
2𝐺
(
𝑉𝑄
𝐼𝑡
)
2
𝑑𝑉
𝑉
 → 𝑈𝑖 = ∫
𝑉(𝑥)
2𝐺𝐼2
(∫
𝑄2
𝑡2
𝑑𝐴
𝐴
)
2
𝑑𝑥
𝐿
 
5 
 
A integral interna é calculada sobre toda a área da seção transversal do elemento e corresponde ao fator de 
forma ao cisalhamento. Este fator depende unicamente da forma geométrica da seção transversal e é calculado 
por meio da expressão: 
∫
𝑄2
𝑡2
𝑑𝐴
𝐴
=
𝐼2
𝐴
𝑓𝑠 → 𝑓𝑠 =
𝐴
𝐼2
∫
𝑄2
𝑡2
𝑑𝐴
𝐴
 
Assim, 
𝑈𝑖 = ∫
𝑉(𝑥)2
2𝐺𝐴
𝑓𝑠. 𝑑𝑥
𝐿
 
 
 
6.4.3 Momento de torção 
Para problemas envolvendo a torção de barras circulares, a tensão de cisalhamento é calculara por meio da 
seguinte relação:𝜏 =
𝑀𝑡
𝐼𝑝
𝜌 
onde: 
Mt: momento torçor aplicado 
Ip: momento polar de inércia 
ρ: coordenada radial do ponto 
A energia de deformação armazenada no eixo é então: 
𝑈𝑖 = ∫
𝜏2
2𝐺
𝑑𝑉
𝑉
= ∫
1
2𝐺
(
𝑀𝑡
𝐼𝑝
𝜌)
2
. 𝑑𝑉
𝑉
= ∫
𝑀𝑡
2
2𝐺𝐼𝑝
2 (∫ 𝜌
2𝑑𝐴
𝐴
)
2
𝑑𝑥
𝐿
 
A integral
2
A
dA
 representa o momento polar de inércia Ip da seção circular. Logo, a equação resulta: 
𝑈𝑖 = ∫
𝑀𝑡
2
2𝐺𝐼𝑝
𝑑𝑥
𝐿
 
Nos casos mais usuais, a torção se desenvolve em eixos ou tubos circulares, com área e módulo de elasticidade 
transversal constantes ao longo de seu comprimento. Sendo assim: 
𝑈𝑖 =
𝑀𝑡
2𝐿
2𝐺𝐼𝑝
 
 
 
Para seções transversais não circulares, a equação anterior deve ser modificada. 
6 
 
 
6.5 Conservação de energia 
Em uma estrutura solicitada por carregamentos externos há parcelas de energia externa, devidas às forças e 
momentos aplicados, e parcelas de energia interna, devidas às deformações no corpo. Portanto, assumindo que 
não há dissipação de energia e os carregamentos são aplicados gradualmente (sem energia cinética envolvida), 
deve haver um balanço entre essas parcelas para que haja conservação de energia no sistema, isto é: 
Ue Ui
 
Esta equação pode ser aplicada para a determinação do deslocamento de estruturas. Como exemplo, considere 
a treliça a seguir, sujeita a uma força P. 
 
Pode-se determinar o deslocamento Δ do ponto de aplicação da força P na direção desta força com base na 
conservação de energia da seguinte maneira: 
𝑈𝑒 = 𝑈𝑖 ∴ 
𝑃∆
2
= ∑
𝑁2𝐿
2𝐸𝐴
𝑁𝑒𝑙
𝑖=1
 
sendo Nel o número de barras que compõem a treliça. 
Observação: o deslocamento só pode ser calculado no ponto e direção da força de atuação da força externa 
ou momento aplicado. 
 
Exemplo 6.1 Determine o deslocamento vertical do ponto de aplicação da força P da viga abaixo. Dados: 
fs = 6/5. 
 
Para encontrar o deslocamento desejado, deve-se inicialmente determinar as equações que descrevem a 
variação do momento fletor e do esforço cortante ao longo do comprimento da viga: 
M(x)   Px 
V(x) = P 
Portanto, aplicando o princípio da conservação de energia tem-se: 
𝑈𝑒 = 𝑈𝑖 ∴ 
𝑃∆
2
=
1
2𝐸𝐼
∫ [𝑀(𝑥)]2. 𝑑𝑥
𝐿
+ ∫
𝑉(𝑥)2
2𝐺𝐴
𝑓𝑠. 𝑑𝑥
𝐿
 
𝑃∆
2
=
1
2𝐸𝐼
∫ [−𝑃𝑥]2. 𝑑𝑥
𝐿
+
𝑓𝑠
2𝐺𝐴
∫ 𝑃2. 𝑑𝑥
𝐿
 
𝑃∆
2
=
𝑃2
2𝐸𝐼
∫ 𝑥2. 𝑑𝑥
𝐿
+
𝑃2𝑓𝑠
2𝐺𝐴
∫ 1. 𝑑𝑥
𝐿
 
7 
 
 
Simplificando os termos comuns e realizando as integrais, obtém-se: 
∆=
𝑃
𝐸𝐼
[
𝑥3
3
]
0
𝐿
+
𝑃𝑓𝑠
𝐺𝐴
[𝑥]0
𝐿 
Finalmente, o deslocamento vertical do ponto P corresponde a: 
∆=
𝑃𝐿3
3𝐸𝐼
+
6
5
𝑃𝐿
𝐺𝐴
 
O deslocamento vertical para o ponto de aplicação da carga P dado pela solução da linha elástica é igual a 
3
3
PL
EI
. Verifica-se que, por meio da abordagem de energia empregada, esse deslocamento é ligeiramente maior, 
já que a contribuição devido ao esforço cortante é levada em consideração. Contudo, tal contribuição é 
pequena, podendo, em grande parte dos problemas de engenharia, ser desprezada. 
 
6.6 Teorema de Castigliano 
O teorema de Castigliano é uma dedução direta do Princípio da Conservação de Energia. Ele define que o 
deslocamento em um dado ponto de um corpo solicitado por forças externas quaisquer é igual à derivada 
parcial de primeira ordem da energia de deformação do corpo (energia interna) em relação a uma força Pi que 
age no ponto e na direção do deslocamento desejado δi. Analogamente, o mesmo é válido para o par rotação-
momento. 
Para demonstrar o teorema, considere uma estrutura sujeita a um conjunto de forças P1, P2, ..., Pn, conforme 
representado a seguir. 
 
Devido à ação das forças, a viga sofre deflexão e exibe o conjunto de deslocamentos δ1, δ2, ..., δn. Nesta 
situação, há conservação de energia e, por consequência, a energia externa é igual à energia de deformação, 
ou seja: 
𝑈𝑒
0 = 𝑈𝑖
0 
Agora, se num segundo instante, aplicarmos à estrutura um acréscimo de carga exclusivamente à carga Pi, 
observaremos um acréscimo dos deslocamentos sofridos pela viga, cujo valor corresponderá a dδi no exato 
ponto de aplicação do acréscimo de carga: 
8 
 
 
O acréscimo de energia externa introduzido no sistema é proporcional ao acréscimo de carga dPi, sendo igual 
a: 
.
.
2
i i
i i
dP d
dUe dP
  
 
 
 
Teríamos ainda uma contribuição das demais parcelas de força (P1, P2, ..., Pn) sobre o acréscimo dos 
deslocamentos em sua direção (linhas retas em vermelho na figura anterior). Contudo, como o acréscimo de 
deslocamento dδi já é muito menor que o deslocamento original δi, ou seja, dδi << δi, então pode-se desprezar 
as demais contribuições, visto que se tratam de valores infinitamente pequenos. 
Analisando então a equação que expressa o acréscimo da energia externa, percebemos que a primeira parcela 
é desprezível frente à segunda, pois se trata de um produto entre duas parcelas diferenciais (infinitesimais). 
Sendo assim, a energia introduzida no sistema corresponde a: 
𝑑𝑈𝑒 = 𝑑𝑃𝑖 . 𝛿𝑖 
Como o Princípio da Conservação da Energia permanece válido, todo aumento de energia externa deve 
corresponder a um aumento da energia de deformação. Logo, tem-se que: 
𝑑𝑈𝑒 = 𝑑𝑃𝑖 . 𝛿𝑖 =
𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑃𝑖
. 𝑑𝑃𝑖 
onde 
i
Ui
P


 corresponde à taxa de variação da energia interna com relação a Pi. Finalmente, obtemos a seguinte 
relação: 
i
i
Ui
P




 
que prova o teorema de Castigliano. 
 
Exemplo 6.2 Utilizando o teorema de Castigliano, determine o deslocamento vertical do nó A e horizontal 
do nó B da estrutura de treliça apresentada abaixo. Sabe-se que todas as barras da treliça possuem as 
seguintes propriedades: E = 200 GPa e A = 600 mm2. 
trabalho da força dPi 
sobre o deslocamento 
original da estrutura 
trabalho adicional em 
função do deslocamento 
adicional dδi 
9 
 
 
Etapa 1. Determinação dos esforços normais nas barras devido ao carregamento original aplicado 
A determinação da intensidade dos esforços normais atuantes nas barras da treliça pode ser facilmente efetuada 
por meio do método dos nós. Aplicando este método, obtêm-se os seguintes valores: 
Nó A 
0
sen 5
5 0,6 8,33
AB
AB
kN
y
N
N kN
F



 

 
0
co 0
8,33 . 0,8 ,
s
6 67
AB
AD
ADN
N
N
kN
Fx
 
 


 

 
Nó B 
0
8,33.0,8 6,
0
cos co
6
s
7
AB BD
BD
y
N N
N kN
F
  
   

 
0
8,33 . 0,8 ( 8,33) . 0,8 1
0
sen
3,3
sen
3
BD BCAB
BC
N
kN
N
N
N
Fx
   
    



 
Nó C 
0
0CD
y
N kN
F 

 0
13,330BC C CN kNH H
Fx
 

 
 
Finalmente: 
68,33 ; 13,33 ;,67 ; 8,33 .AB BD C BA DN kN NkN N kN N kN    
 
 
Etapa 2. Aplicação de uma força P no ponto e na direção de interesse: 
 Deslocamento vertical do nó A 
Para a determinação do deslocamento vertical no ponto 
A, deve-se aplicar uma força vertical P neste ponto e em 
seguida obter expressões que relacionem o esforço 
normal nas barras à intensidade de P. Portanto, 
aplicando o método dos nós à treliça ao lado, obtém-se 
os seguintes esforços normais atuando nas barras: 
 
1,67
2,6
1
7
1,67
,33
AB
BC
BD
AD
N
P
N
P
N
P
N P





 




 
 
Dica: visto que o carregamento original inclui apenas um carregamentoaplicado na direção e sentido de P, 
basta dividir os resultados da Etapa 1 pela intensidade de 5 kN e multiplicar pela constante P. 
 
10 
 
 Deslocamento horizontal do nó B 
O procedimento aplicado anteriormente deve ser 
repetido, agora para uma força aplicada 
horizontalmente no ponto B. Neste caso, apenas a 
barra BC apresenta esforços normais em função da 
carga P aplicada, cujo valor é igual a: 
 
0
0
0
AB
BC
D
D
A
B
N
P
N
N
N





 
 
 
 
Etapa 3. Aplicação do teorema de Castigliano: 
Visto que a energia de deformação de uma barra de treliça com esforço normal N, área da seção transversal A 
e módulo de elasticidade E constantes é igual a 2
,
2
N L
Ui
EA

precisamos aplicar a regra da cadeia à derivada 
parcial do método de Castigliano para obter a derivada de Ui em relação a P, isto é, 
i i
i i
Ui Ui N
P N P
     
  
 
 
 
Aplicando então a regra da cadeia à expressão da energia de deformação, obtém-se: 
2
2
i i
i i
N L
EA N NL N
N P EA P
 
 
 
    
  
 
Finalmente, calculam-se os deslocamentos nos pontos A e B, nas direções desejadas. 
 
 Deslocamento vertical do nó A 
Barra 
N 
(kN) 
N(P) 
N
P


 
L 
(m) 
EA 
(kN) 
i
NL N
EA P


 
AB 8,33 1,67P 1,67 2,5 120.000 2,894 .10-4 
AD -6,67 -1,33P -1,33 4,0 120.000 2,963 .10-4 
BC 13,33 2,67P 2,67 2,0 120.000 5,926 .10-4 
BD -8,33 -1,67P -1,67 2,5 120.000 2,893 .10-4 
 
O deslocamento vertical do ponto A é então obtido somando-se as contribuições de cada uma das barras. Seu 
valor final é igual a: 
ΔA = 2,894.10-4 + 2,963.10-4 + 5,926.10-4 + 2,893.10-4 = 1,4676.10-3 m ou 1,4676 mm 
 
 Deslocamento horizontal do nó B 
Barra 
N 
(kN) 
N(P) 
N
P


 
L 
(m) 
EA 
(kN) 
i
NL N
EA P


 
BC 13,33 P 1 2,0 120.000 2,222 .10-4 
 
O deslocamento horizontal do nó B resulta: 
ΔB = 2,222.10-4 m ou 0,2222 mm 
11