Lista Introdução Variavel Complexa.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Curso: Introduc¸a˜o a`s Varia´veis Complexas (CB0642)
Professor: Yuri Lima Semestre: 2018.1
Lista para 1a AP
Exercı´cio 1. Calcular a parte real, parte imagina´ria,
conjugado e mo´dulo de cada nu´mero complexo a
seguir:
(a) i2011 (b)
(
1−i
1+i
)3 (c) ( 1+i1−i)3
(d)
(
2+i9
1+i25
)3 (e) ( 2−i91−i25 )3 (f) (1 + i√3)−10
(g) e2018pii (h)
(− 1 + i)7 (i) 2−11(− 1 + i√3)
Exercı´cio 2. Se z ∈ C e´ na˜o-nulo, mostre que os
vetores que representam z e iz sa˜o ortogonais.
Exercı´cio 3. Calcule a soma i+ i2 + · · ·+ i2018.
Exercı´cio 4. Se 1 + |z| = |1 + z|, determine Re(z) e
Im(z).
Exercı´cio 5. Resolva as equac¸o˜es abaixo:
(a) z3 = i (b) z5 = 32 (c) z100 = 1 (d) z2 = z + 1
Exercı´cio 6. Determine as raı´zes dos polinoˆmios a
seguir:
(a) z4 + 1 (b) z8 + 1
Exercı´cio 7. Seja p(z) = anzn + an−1zn−1 + . . . +
a1z + a0 um polinoˆmio complexo cujos coeficientes
sa˜o todos reais. Mostre que se z0 e´ uma raiz de p,
enta˜o z0 tambe´m e´ raiz de p.
Exercı´cio 8. Considere o polinoˆmio complexo
p(z) = z8 + 1. Mostre que se w e´ raiz de p, enta˜o
|w| = 1 e w,−w, iw,−iw,−w, iw,−iw tambe´m sa˜o
raı´zes de p.
Exercı´cio 9. Qual das func¸o˜es abaixo e´ holomorfa?
(a) f(x+ iy) = x2 − y2 + 2xyi.
(b) f(x+ iy) = (x4 − 6x2y2 + y4) + i(4x3y − 4xy3).
(c) f(z) = z2018.
(d) f(x+ iy) = ex cos(y) + iexsen(y).
(e) f(x+ iy) = x−iyx2+y2 , (x, y) 6= (0, 0).
(f) f(x+ iy) = ex
2−y2 cos(2xy)− iex2−y2sen(2xy).
Exercı´cio 10. Ache uma func¸a˜o holomorfa f : C→
C tal que Re(f) = ex(x cos y − yseny), f(0) = 0.
Exercı´cio 11. Seja f : C → C uma func¸a˜o holo-
morfa tal que |f | = ex(x2 + y2). Determine f .
Exercı´cio 12. Ache f : C → C holomorfa e na˜o
identicamente nula, sabendo que f(z + w) = f(z) +
f(w) e f(zw) = f(z)f(w), ∀z, w ∈ C.
Exercı´cio 13. Ache f : C → C holomorfa, sabendo
que f(z + w) = f(z)f(w), ∀z, w ∈ C e f ′(0) = 1.
Exercı´cio 14. Seja u : Ω → R, u(x, y) =
sen2x
cos 2x+cosh 2y , onde Ω = {z ∈ C : Im(z) > 0}. Mostre
que u e´ a parte real de uma func¸a˜o holomorfa.
Exercı´cio 15. Seja u : Ω → R, u(x, y) =
cos 2x
cos 2x+cosh 2y , onde Ω = {z ∈ C : Im(z) > 0}. Po-
demos afirmar que u e´ a parte real de uma func¸a˜o
holomorfa? Se sim, exiba um exemplo de f .
Exercı´cio 16. Descreve as seguintes regio˜es do
plano complexo:
(a) {ez = i} (b) {ez = −1} {cos(z) = 0}
Exercı´cio 17. Mostre que lim
z→0
ez−1
z = 1.
Exercı´cio 18. Calcular a parte real e a parte ima-
gina´ria de cada nu´mero complexo a seguir:
(a)
(
1 + i)
3
2 (b)
(
1 + i)
2
3 (c)
(
1− i) 52
Exercı´cio 19. Dados z ∈ C, z 6= 0 e w ∈ C, defina
zw := ewLog(z). Calcular:
(a) ii (b) 2i (c) (−1)i
Exercı´cio 20. Se f(z) = log(z) e´ um ramo do loga-
ritmo, mostre que f e´ holomorfa e que f ′(z) = 1z .
Exercı´cio 21. Calcule as expresso˜es a seguir:
(a) sen
(
pi
3 − i
)
(b) cos
(
pi+i
6
)
(c) Log(
√
i)
Exercı´cio 22. Mostre as seguintes identidades:
(a) cos(iz) = cos(iz).
(b) cosh(iz) = cos(z) e senh(iz) = isen(z).
(c) cosh2 z − senh2z = 1.
Exercı´cio 23. Resolva as equac¸o˜es a seguir:
(a) cos(z) = i (b) cos(z) = 2 (c) sen(z) = 2i
Exercı´cio 24. Dado m ∈ R, mostre que a equac¸a˜o
cos(z) = m possui soluc¸a˜o z ∈ C.
Exercı´cio 25. Mostre que a equac¸a˜o tg2(z) = −1
na˜o possui soluc¸a˜o.
Exercı´cio 26. Dado n ∈ N, determine uma fo´rmula
para as somas:
(a) 1 + cos(θ) + cos(2θ) + . . .+ cos(nθ).
(b) sen(θ) + sen(2θ) + . . .+ sen(nθ).
Exercı´cio 27. Mostre que lim
z→0
senz
z = 1.
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