Aula 7

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Métodos Quantitativos
 Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo
Probabilidades e Distribuição de 
Probabilidades
2 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Probabilidades e Distribuição de Probabilidades
Probabilidade
 !"#$%&'()*&
A teoria das probabilidades é uma ferramenta importante da Estatística para tomada de 
decisão em situações de incerteza. O conhecimento da probabilidade é fundamental, por 
exemplo, no estudo da Inferência Estatística. 
Historicamente a teoria das probabilidades teve inicio como teoria dos jogos de azar no século 
XVI, com Pascal e Fermat, que estudaram diversos problemas relativos a esses jogos. Mais 
adiante, em 1713, J. Bernoulli demonstrou que em experimentos aleatórios isto é, ao acaso, 
a frequência relativa se aproxima da probabilidade. 
Um marco no desenvolvimento da probabilidade ocorreu em 1812, quando Laplace publica 
o seu livro “Theorie Analytique des Probabilités”. Atualmente é aplicada na área de seguros, 
engenharia de segurança, aeronáutica, eletrônica, economia, administração industrial e 
patrimonial e numa infinidade de outras aplicações.
 !Definições 
Experimentos aleatórios (E): São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições 
semelhantes apresentam resultados imprevisíveis, sendo impossível prever, com absoluta 
certeza, qual resultado que será obtido.
Exemplos:
 !"#$%&!'(%!(#)*%!+,!-).)/!)!#0/)&-%&!#!12()&#!*)!3#&#%/!#045*%/6
 !"#$%&!'(!*%*#!)!#0/)&-%&!#!12()&#!#045*#!1%!7%3)!/'8)&5#&
 !9)45&%&!'(%!0#:%!*)!'(%!'&1%!)!#0/)&-%&!/'%!3#&
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Espaço Amostral (S): 
Para cada experimento aleatório E, define-se Espaço Amostral S como sendo o conjunto de 
todos os resultados possíveis deste experimento.
Exemplo
Se o experimento aleatório considerado for E = Jogar um dado e observar o resultado. O 
espaço amostral deste experimento aleatório E, será dado pelo conjunto: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, uma vez que apenas esses são os resultados possíveis daquele 
experimento.
Cada um dos elementos de S que correspondem a um resultado possível recebe o nome de 
Ponto Amostral. 
Dessa forma, por exemplo, o 5 é um ponto amostral, do espaço amostral, do experimento 
aleatório jogar um dado e observar o resultado.
Evento: É um conjunto de resultados de um experimento; ou seja, é um subconjunto do 
espaço amostral S. Sejam, como exemplo, os seguintes eventos quando do lançamento de 1 
dado:
 !"#$%&'(&)*$"+&#,-"+%&./+&#/&0/1"&23."+4%+&5"&3-&5/5%6
 Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos:
 A= {2, 4, 6} à A é um evento de S.
 !"#$%&7(&)*$"+&%&#,-"+%&8&#/&0/1"&23."+4%+&5"&3-&5/5%6
 Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos:
 B = {1} àB é um evento elementar de S.
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Podem-se definir os seguintes eventos:
 !"#$%&'! ()*+,$-!'.! ",$*$%&/01! 2! '! $#$%&'! 3'0*/4'!/+$%/-!+'0! .*!$,$*$%&'!4'! $-+/5'! 
 amostral. 
 Exemplo: A = {5}B = {cara} 
 !"#$%&'!6$0&'1!2!/7.$,$!7.$!'8'00$!$*!7./,7.$0!.*/!4/-!0$/,)9/5:$-!4'!$;+$0)*$%&'<!
! ! ";$*+,'1!=>&$0!.*!%?*$0'!$%&0$!@!$!A!%'!,/%5/*$%&'!4$!@!4/4'<
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! ! ";$*+,'1!=>&$0!E!%'!,/%5/*$%&'!4$!@!4/4'<
 !"#$%&'!6'*+,$*$%&/01!F*!$#$%&'!8'*+,$*$%&/0!4$!G!H!'!$#$%&'!G83'0*/4'!+'0!&'4'-!'-! 
 elementos do espaço amostral que não pertencem a A. 
 Exemplo: No lançamento de um dado seja o evento A obter um numero impar. 
 Portanto A = { 1, 3, 5 }. O complementar de A será: Ac = { 2, 4, 6 }. 
Para eventos complementares são válidasas relações: 
 !"#$%&'-!I.&./*$%&$!";8,.-)#'-1!J')-!$#$%&'-!G!$!K!-D'!4)&'-!*.&./*$%&$!$;8,.-)#'-!7./%4'! 
 não possuírem elementos em comum, ou seja, quando 
 !"#$%&'-!B%4$+$%4$%&$-1!J')-!$#$%&'-!G!$!K!-D'!4)&'-!)%4$+$%4$%&$-!7./%4'!'!0$-.,&/4'!4$! 
 um deles não interferir no resultado do outro. 
 Exemplo: O lançamento simultâneo de dois dados
 ! "#$%&'-!6'%4)8)'%/)-1! J')-! $#$%&'-! -D'! 4)&'-! 8'%4)8)'%/)-! 7./%4'! /! '8'00L%8)/! 4$! .*! 
 interferir na ocorrência do outro. 
 Exemplo: Extração de cartas de um baralho
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 !"#$%&'!(')*!+,%-.'/0!1!'!$#$%&'!2'%3&-&,45'!6'7!&'5'3!'3!$8$)$%&'3!5'3$#$%&'3!!9,$!!!3$7.'!! 
 reunidos. 
 Exemplo: A = { 2, 3, 4 } B = { 3, 5. 7 } Soma = { 2, 3, 4, 5, 7 }
 !"#$%&'!:7'5,&'!+-%&$73$2;.'/0!1!'!$#$%&'!<'7)*5'!6$8'3!$8$)$%&'3!2'),%3!*!*)='3>!
 Exemplo: A = { 2, 3, 4 } e B = { 3, 5. 7 } Produto = { 3 }
Definição de Probabilidade: 
?@*)*A3$!:7'=*=-8-5*5$!5$!,)!$#$%&'!BC!6$7&$%2$%&$!*'!$36*;'!*)'3&7*8!(C!'!%D)$7'!:+B/!
tal que: 
Ou simplesmente:
Exemplos: 
! "#$%&'!B0!E=&$7!%D)$7'!6*7!%*!<*2$!3,6$7-'7!5$!,)!5*5'F
 Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temosA= {2, 4, 6} 
 Probabilidade de A P(A) = 3/6 = 1/2
! "#$%&'!G0!E=&$7!'!%D)$7'!H!%*!<*2$!3,6$7-'7!5$!,)!5*5'F
 Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temosB = {1} 
 
 Probabilidade de B P(B) = 1/6. 
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O valor da probabilidade tem obrigatoriamente que estar contido no intervalo 
de 0 a 1 (ou de 0% a 100%). Não tem sentido falar em probabilidade maior 
do que 1 ou menor do que zero.
Axiomas de Probabilidade 
Sendo P(A) a probabilidade de ocorrência de um determinado evento A, sendo que A está 
contido num espaço amostral S, então:
 !"#"$%&' '()(* *+"*+"&,&%%-.,( "*+"/0"+1+.2&"3/ )3/+%"4"/0".50+%&"%+ )"2 )"3/+6789:#!8;
b) A probabilidade do evento certo (sucesso total) é igual à unidade: P(S)=1
c) Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos, então é valida a relação: 
 
Exemplo: No lançamento de um dado, a probabilidade de se obter o ponto 3 ou o ponto 5 
será: 
Note que os pontos de um dado são mutuamente exclusivos.
Teoremas de Probabilidade
a) A Probabilidade do evento impossível 
Exemplo: Numa urna há 5 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de retirarmos uma 
bola branca? Como não há bolas brancas na urna, este evento é impossível e, portanto 
a probabilidade é 
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b) Se Ac é um evento complementar de 
Exemplo: Sabemos que a probabilidade de tirar o 2 no lançamento de um dado é P(A) = 
1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 2 será P(Ac) = 1 – 1/6 = 5/6.
c) Se o evento A estiver contido no evento B, 
Exemplo: Seja o evento B sair ponto impar quando do lançamento de um dado : B = { 1, 
3, 5 } e o evento A sair o ponto 1:
d) Se A e B são dois eventos quaisquer
Exemplo: Qual a probabilidade de se retirar de um baralho de 52 cartas uma carta 
vermelha ou um rei? Neste caso os eventos não são mutuamente exclusivos, pois existem 
duas cartas vermelhas do rei. Então P(vermelha ou rei) = P(vermelha) + P(rei) – P(vermelha 
e rei). Se não pensarmos assim, contaríamos duas cartas por duas vezes Dessa forma 
teremos: P(vermelha ou rei) = 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52= 7/13 ou 52%.
Probabilidade de eventos independentes
Se A e B são eventos independentes .
Exemplo:No lançando dois dados, qual a probabilidade de se obter 1 no primeiro e 5 no 
segundo? A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado será: P(A)=1/6. 
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado será: P(B)=1/6. 
Logo a probabilidade de obtermos simultaneamente1noprimeiro e 5 no segundo será:
P(1 e 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36 (2,8%).
es.
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Probabilidade condicional
Sejam dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S. Denominamos P(A/B) à 
probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que o evento B já ocorreu. (lê-se: 
probabilidade condicional de A dado B) P(A/B) = P(A !B) / P(B). .
 !"#$%&'()&*+,-"."#&+(/01( 23*4,&*5.,&+( -"( 3#6(7.6*-"( "#$."+6(-&+(836,+(911( +:&(
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Qual a probabilidade de que seja diretor, dado que é mulher? 
Observamos que P(D ( ?>( I( F1J/01"K<?>( I( 901J/01@( ( L$%,46*-&( 6( -"2,*,M:&( -"(
Probabilidade Condicional: P(A/B) = P(A B) / P(B) que no exemplo corresponde a: 
P(D/M) = P(D M) / P(M) (K<DJ?>(I(K<F1J/01>(J(K<901J/01>(I(F1J901@
A probabilidade condicional, via de regra, pode ser determinada pela observação de um 
quadro resumo das ocorrência. No exemplo acima, poderíamos montar a seguinte tabela:
N,46(254,%($".4"O".(83"(K<DJ?>(I(F1J901E($&,+(+"($&-"(P,+36%,Q6.(83"(-6-&(#3%;".(."+3#"(&(
"+$6M&(6#&+A.6%(-"(/01($6.6(901E("(83"(-,."A&."+(#3%;"."+(+:&(F1@(R"+A6(%,*;6(-"(.64,&4S*,&E(
4&#&( 2,46.,6( K<BJ=>T( =&#"*+( +&#6#( 911( "( 7"."*A"+( ;&#"*+( +:&( C1@( *A:&( K<BJ=>(I(
C1J911@( (+"(2&++"($"-,-&(&(,*P".+&E(K<=JB>T(B"."*A"+(+:&(991("(7"."*A"+(;&#"*+(+:&(C1@(
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)3,-6-&U(V"(2&++"($"-,-6(6($.&O6O,%,-6-"(-"(3#(;&#"#(+".(7"."*A"(+".,6(6$"*6+(C1J/01E(
pois não foi dito a prior que só seriam considerados os homens!
9 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Saiba Mais
 !"!#$%&'()*&*+!)%,&*()-*.)'/0'+)-*!*&1",.&'()*!#*1%)$&$,",(&(!-
União (u) significa “ou” e então se somam as probabilidades 
P(A u B) = P(A) + P(B) !caso de mutuamente exclusivos
P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A " B) caso geral
“OU” significa alternância (tanto faz)
Intersecção (") significa “e” e então se multiplicam as probabilidades 
P(A "!B) = P(A) x P(B)
“E” significa simultaneidade (obrigatoriedade)
Exemplo:
UNIÃO:No lançamento de um dado, a probabilidade de se obter 2 ou 6? 
(mutuamente exclusivos).
P(A u B) = P(A ou B) = P(3u 5) = P(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 =1/3. 
INTERSECÇÃO: No lançando dois dados, qual a probabilidade de se obter 1 no 
primeiro e 5 no segundo? 
P(A " B) = P(A e B) =P(1" 5) =P(1 e 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
10 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Discreta de Probabilidades
 !"#$%&'($
A distribuição de probabilidade é um modelo estatístico que descreve o que provavelmente 
ocorrerá em vez do que realmente aconteceu. Por exemplo, jogando-se repetidamente um 
dado, usando o conceito de estatística descritiva, coletar-se-ia os dados amostrais. Usando o 
conceito de probabilidades, calcula-se a probabilidade de cada resultado possível. Pode-se 
construir uma distribuição de probabilidade apresentando os resultados possíveis junto com 
as frequências esperadas.
Variáveis Aleatórias
O resultado de um experimento probabilístico, frequentemente uma contagem ou uma medida, 
 !"#$%$&'!&(!)$*+,)(-!$-($./*+$0!1%$!)$*+,)(-!$-($./*+$!2(*,!&+2"*(.$!2(!#'3)(*!3%!45%(*'!
finito ou contável de resultados possíveis que possam ser enumerados.
Seja S o espaço amostral associado a um determinado experimento aleatório. Uma função X 
63(!$22'"+(!$!"$&$!(-(%(4.'!&(!78!3%!45%(*'!*($-!9! !&(4'%+4$&$!)$*+,)(-!$-($./*+$0
Exemplo: 
7(:$!9!'!45%(*'!&(!"'*'$2!';.+&'!4'!-$4<$%(4.'!&(!&3$2!%'(&$20!=9! !)$*+,)(-!$-($./*+$>0!!
Para este experimento o espaço amostral será S={cc, ck, kc, kk} onde c = cara e k = coroa. 
?!)$*+,)(-!9!@'&(*,!$223%+*!'2!)$-'*(2A!B8!C!(!DA
9!E!B! corresponde ao resultado do evento cc nenhuma coroa
X = 1 !corresponde ao resultado do evento ck ou kc uma coroa
X = 2 !corresponde ao resultado do evento kk !duas coroas
11 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Distribuição de probabilidades
Seja “X” uma variável aleatória que pode assumir os valores X1, X2, X3,..., Xn. A cada valor Xi 
correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor Xi a probabilidade 
P(Xi) de ocorrência de tais pontos no espaço amostral. Assim, temos: 
Os valores X1, X2, X3,..., Xn e seus correspondentes P(X1), P(X2), P(X3),..., P(Xn) definem uma 
distribuição de probabilidade. 
Para o exemplo acima: 
Lançamento de duas moedas 
S = {cc, ck, kc, kk}. ! !"!#$%&'(!)&!*('(+,!"!-.!/.!01
 /!"!-! cc P(x1) = 1/4
X2 = 1 ck, kc P(x2) = 2/4
X3 = 2 kk P(x3) = 1/4
A distribuição de probabilidades será:
12 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Binomial
É uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de amostragem 
considerar “n” tentativas independentes de um experimento aleatório. Cada tentativa admite 
apenas dois resultados: Fracasso com probabilidade “q” e sucesso com probabilidade “p”, 
 !"#$#%#&#'#()#*+,-#.#'#/0"+1!#2+#34 +33!3#+"#5/6#7+/7-789-3#+/7:!;#
Exemplo 1
<!# -/!# 2+# =>(>?# @>A# 2!3# 28-3# -$1+3+/7-1-"# 4"-# 9-B!18C-D:!# 2!# EFGHI*JK)# *!17+8-L3+#
quatro dias ao acaso. 
a) determine a probabilidade de que em nenhum deles tenha havido valorização; 
b) determine a probabilidade de que em todos eles tenha havido valorização; 
c) determine a probabilidade de que em ao menos a metade deles tenha havido valorização. 
Solução:
J+B!#+/4/ 8-2!?#8"+28-7-"+/7+#3+#!M7N";#/#'#OP#$#'#>?@#+#&#'#>?Q)
-R#/#'#O#+#S#'#># !C
O?#>
#'#OTU>TVO#L#>RT# !WO?#>#'#OXQX=X(#U#V(RXVOXQX=X(R#'#(
# JV.#'#>R#'#(#X#V>?@R#>#X#V>?QR#4 !#JV.#'#>R#'#>?>>Y
b) n = 4 e k = 4 !C4, 4 = 4!/ 4! (4 - 4)! !C4, 4 = 4x3x2x1 / (4x3x2x1)x(1) = 1
# JV.#'#OR#'#(#X#V>?@R#4#X#V>?QR#> !JV.#'#OR#'#>?=O>
c) n = 4 e k = 2 !C4, 2 = 4! /2! (4 - 2)! !C4, 2 = 4x3x2x1 / (2x1)x(2x1) = 6
# JV.#'#=R#'#Z#X#V>?@R#2#X#V>?QR#2 !JV.#'#=R#'#>?=Z[
13 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Exemplo 2
 !"#!$%&"#'#($)"&"#*+#,%-%./#0"1231%#".#.%)3456%.#78$9"9414&"&%.:#
 a) de ocorrer 6 caras;
 b) de ocorrer pelo menos duas caras;
 c) de não ocorrer nenhuma coroa;
 d) de ocorrer pelo menos uma coroa.
Solução: 
;%.6%#2".$#68"6"<.%#&%#3!"#&4.684934=>$#945$!4"1#$5&%:#5#?#*+@#7#?#A#?#*BC/
Condição: (X= k) = sucesso = obter cara
a) k = 6 !"C
*+D#E
#?#*+F#B#EF#G*+#<#EHF# "C
*+D#E
#?#G*+IJIKILIEFH#B#GEFH#I#GMINICI*H#?#C*+
#####OGP#?#EH#?#C*+#I#G*BCH6 x (1/2)4#?#C*+#I#*BEM#I#*B*E#?#C*+B*+CM#?#*+QBQ*C#?#+DC+Q*######
####?#C+DQ*R
9H#O"8"#$2$88%8#7%1$#!%5$.#&3".#2"8".D#5>$#7$&%!#$2$88%8#+#2"8".#%#5%!#*#2"8"/#O$86"56$#
basta calcular estas probabilidades e subtrair do total:
# S#?#+#$3#T#?#*# "C
*+D#+
 = 1; C
*+D#*
#?#*+#
# OGP#?#+H#?#*#I#G*BCH+ x (1/2)*+#?#*B*+CM
# OGP#?#*H#?#*+#I#G*BCH1 x (1/2)J#?#*+B*+CM
# OGP#U#CH#?#*#V#**B*+CM#?#*+*NB*+CM#?#+DJKJN#?#JKDJNR
2H#T#?#*+# "C
*+D#*+
 = 1
# OGP#?#*+H#?#*#I#G*BCH*+ x (1/2)+#?#*B*+CM#?#+D+++JK#?#+D+JKR
&H# O"8"# $2$88%8# 7%1$#!%5$.# 3!"# 2$8$"D# 5>$# 7$&%# $2$88%8# +# 2$8$"D# $3# .%("D# 5>$# 7$&%!#
$2$88%8#*+#2"8"./#W".6"#2"1231"8#%.6".#78$9"9414&"&%.#%#.3968"48#&$#6$6"1/#
X$#46%!#"56%84$8D#OGP#?#*+H#?#*B*+CMD##O$86"56$:
OGP#Y#JH#?#*#V#*B*+CM#?#*+CNB*+CM#?#+DJJJ+#?#JJDJ+R
Saiba Mais
Números Binomiais
X"&$.#&$4.#5Z!%8$.#5"638"4.#5#%#7#2$!#5#
[7D#2\"!"<.%#5Z!%8$#945$!4"1#5#.$98%#
7#45&42"&$#7$8"$#5Z!%8$#&%]454&$#7%1"#
relação: 
Ao numero n chamamos numerador do 
binomial, e ao numero p, denominador 
do binomial. Este operador matemático 
também é utilizado em Análise 
0$!945"6^84":_%78%.%56"5&$#7$8#05D#T#$#5Z!%8$#6$6"1#&%#2$!945"=`%.#&%#5#
elementos tomados kak (taxa k), temos 
a seguinte fórmula para combinações 
simples:
a3%#5"&"#!"4.#'#&$#A3%#$#5Z!%8$#
binomial n sobre k, citado acima na 
fórmula da distribuição binomial e que 
deve ser utilizada para os cálculos.
14 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Esperança e Variância
Se a variável”X”tem distribuição Binomial, com parâmetros”n”e “p”, então temos que o valor 
esperado de X ou esperança matemática de X ou ainda a média de X é definida pela relação: 
 E(X) = n.p
A variância de uma variável aleatória X é o grau de espalhamento da variável. É a medida que 
dá a dispersão (ou concentração) dos valores da variável em torno da média, Se a variável 
“X” tem distribuição Binomial, com parâmetros “n” e “p”, então temos que:
 Var(X) = n.p.q
Exemplo: 
Qual a média diária esperada de cheques sem fundo emitidos por clientes de uma determinada 
 !"#$% &' #$()% *&$+#,%-.) #-+&/0.& &1)+' '%2%- -.&-.&03&$4./0.&#5+&6.)&70#-+,&8&9*9:&.&
/0.&+,&$2%.#6.,&- /0.2 & !"#$% &.3%6 3&;99&$4./0.,&1+)&-% <&=0 2& &> )%?#$% <&
& 1&@&9*9:&&&&&/&@&9*A:&&&&&&&#&@&;99&
& BCD&E&@&#&F&1&@&;99F9*9:& !BC&D&E&@&G9&
& H )CDE&@&#F&1&F&/&@&;99F9*9:F9*A:& !H )CD&E&@&A*:
Distribuição Contínua de Probabilidades
 !"#$%&'($
Existem diversos tipos de distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias contínuas, tais 
como: a distribuição uniforme, a exponencial, a normal, a distribuição gama, a qui-quadrado, 
a distribuição t de Student e a F de Snedecor. Devido à sua maior importância e uso, será 
abordada apenas a distribuição normal. 
15 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Normal
É a mais importante distribuição de probabilidades. É conhecida como curva normal, curva 
 !" #$%&&'" (%)*$" +&" !))+&" $(, !-.$,&" +%" ,&.),/%,01+" !" #$%&&'" &!- +" 2%!" !&.!" ! %3,%"
matematicamente a distribuição normal como distribuição de probabilidade dos erros de 
observação, denominando-a então “lei normal dos erros”.
De um modo geral, a maior parte dos fenômenos probabilísticos de natureza contínua, 
e mesmo alguns de natureza discreta, tendem a seguir uma lei de distribuição designada 
4+)" 5%-01+" !" ,&.),/%,01+"-+)6$7'"+%" !"#$%&&89&.$" 7!," !" ,&.),/%,01+"!&.$/!7!(!"2%!"+&"
valores mais frequentes (isto é, os valores a que correspondem às maiores probabilidades) se 
encontram em torno da média da variável aleatória; quanto mais afastados os valores estão 
da média (este afastamento é quantificado em termos de variância), quer acima quer abaixo 
desta, menos frequentes serão. 
Definição e conceito de probabilidade
:";!5,-,01+<"=!>$"?"%6$"*$),@*!7"$7!$.A),$"(+-.B-%$8""?".!)@"%6$" ,&.),/%,01+"-+)6$7"&!<
:"C+-(!,.+"5%- $6!-.$7<"D"4)+/$/,7, $ !" !"%6$"*$),@*!7"$7!$.A),$".+6$)"%6"*$7+)"!-.)!" +,&"
pontos quaisquer é igual à área sob acurva normal entre aqueles pontos.
16 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Características da Distribuição Normal
a) A curva normal tem a forma de um sino.
b) Como a curva é simétrica em torno de x, a probabilidade de ocorrer valor maior do que 
a média é igual a probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as 
 !"#$#%&%'$'()*)+"*%,-$%)*$*./01
c) A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se 
indefinidamente do eixo sem, contudo, alcançá-lo. Prolonga-se de 
d) Cada distribuição normal fica completamente caracterizada por sua média µ e seu desvio 
padrão e há uma distribuição normal distinta para cada combinação de média e desvio 
padrão. 
e) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é aproximadamente igual a 1 
23..451
65*7"8"*9:*-8*;<8(!"*%&%8%=$'"*'(*>$&"!()*;"*%;=(!>$&"*'(*************************$* !"#$#%&%'$'(*
de uma variável aleatória normal tomar exatamente determinado valor é aproximadamente 
zero. As probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.
Cálculo das probabilidades
Como fica praticamente impossível o calculo das áreas sob a curva normal para infinitas 
combinações de média e desvio padrão, a fim de se determinar a probabilidade de uma 
>$!%:>(&*$&($=?!%$*@";=A;-$/*-=%&%B$C)(*$*D%)=!%#-%E+"*F"!8$&*G$'!";%B$'$*"-*H('-B%'$/*$=!$>I)*
de uma transformação de variáveis.
************************************************************************************************************************************
********** ************************ ********************
17 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Então, se X é uma variável aleatória com distribuição normal, a transformação linear de X para 
Z será:
 !"#$%$&$'()$*)+,-*#.$).#)/0+,)$12($",3/+,4',562$!2+().$7)"+2!,8)")$"#$(&",)$9$#$"#3*,2$
padrão 1. Existe uma tabela das áreas sob a curva normal padronizada, para calculo (fácil) de 
probabilidades. Esta tabela pode ser encontrada no anexo.
Uso da tabela 
A tabela padronizada de áreas sob a curva normal em função de Z é uma tabela de dupla 
entrada, onde com o valor calculado de Z se determina a respectiva área sob a curva. Exemplo: 
Determinar a área sob a curva normal padronizada para Z = 2,65.
:!/+)!"2$!)$ /)4#.)$ 12($;<=$ #$9<9><$ !2$ 1+'8)(#!/2$"#3/#3$ *).2+#3$ #!12!/+)+?3#?-$2$ *).2+$
9<@A=9<$B'#$3#+-$)$-+#)$324$)$1'+*)$!2+().$7)+)$8$C$;<=>D$EF:GHI JK$ $:3/)$-+#)$#3/-$
12!/,")$!2$,!/#+*).2$9$L$%$L$;<=>D
A tabela só é valida para valores de Z à 
partir da origem!
18 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Existirão três possibilidades para as áreas sob a curva normal padronizada Z: 
CASO A: A área sob a curva inicia na origem. É o caso acima, onde se lê diretamente na 
 !"#$!%!%&'#!%(#)#*!(!%+,%-+ #'.!$,/%0%1%0%11.
CASO B: A área sob a curva transpassa a origem. Neste caso deve-se efetuar uma leitura 
entre Z10%1%0%/2%,3 '!%#+ '#%/%0%1%0%%12 e somar as áreas obtidas. 
% 45#67$,8%9!$:3$!'%!%&'#!%),"%!%:3'.!%+,'6!$%7!(',+-;!(!%+,%-+ #'.!$,8<=2>?%0%1%0%%%
% @2=>A%9,+B,'6#%!%B-C3'!2%!%&'#!%)#'&8%/2D?E/%F%/2DGD@%H%/2I@=@A
 Utiliza-se duas vezes a tabela, sempre determinando as áreas a partir da origem de Z.
CASO C: A área sob curva está afastada da origem. Neste caso deve-se calcular a área sob 
!%:3'.!%+,'6!$%7!(',+-;!(!%+,%-+ #'.!$,%/%0%1%0%11%#%)3" '!-'%(#%/2>%J3#%:,''#)7,+(#%K%
área da metade da curva, conforme ilustrado na figura. Exemplo: Calcular a área sob a curva 
+,'6!$%7!(',+-;!(!%7!'!%1%L%/2EDA%M%&'#!%(#)#*!(!%N%," -(!%7#$!%)3" '!OP,%(#%/2>///%Q&'#!%
J3#%:,''#)7,+(#%K%6# !(#%(!%:3'.!R%(!%&'#!%(# #'6-+!(!%7#$!% !"#$!%#+ '#%/%#%/2EDA
19 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Saiba Mais
Dois casos são consequência dos anteriores: 
1) Cálculo da área sob a curva normal padronizada quando Z
1
 !"! !"
2
 e ambos 
estiverem do mesmo lado da curva. Exemplo: Calcular a área sob a curva normal 
#$%&'()*$%$!+,$(%'!-./0! !"! !-.123!45675!8$6'.!%595:65!8$;8,;$&!$!<&5$!5(7&5!
=!5!-./0.!$!<&5$!5(7&5!=!5!-.12!5!6,>7&$?:;$63
2) Cálculo da área sob a curva normal padronizada quando Z > Z
1
 e estiver à 
56+,5&%$!%$!'&)@5A!',!+,$(%'!"! !"-!5!567)95&!B!%)&5)7$!%$!'&)@5A3!CD5A#;'E!
F$;8,;$&!$!<&5$!6'>!$!8,&9$!('&A$;!#$%&'()*$%$!+,$(%'!"! !/./G3!45675!8$6'.!
%595:65!8$;8,;$&!$!<&5$!5(7&5!=!5!/./G!5!6'A$&!=.G.!#')6!(H'!65!%5I)(),!'!;)A)75!
inferior. O mesmo raciocínio é válido para o caso em que Z > Z
1
e estiver à 
esquerda da origem.
20 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Exemplos de Aplicação 
1. A duração de certo tipo de pneu, em km rodados é uma variável aleatória normal com 
 !"#$%"&%'()(((%* %&%"&+,#-%.$"/0-%"&%1()(((%*)%23$4%$%./-5$5#4#"$"&%"&%3 %.6&3%
escolhido ao acaso durar:
% $7% $#+%"&%89)(((%* :
% 57%&6;/&%'<)9((%&%8()(((%* :
% =7%&6;/&%9()(((%&%8()(((%* :
 d) exatamente 65.555 km?
Solução: 
$7% >% ./-5$5#4#"$"&% ./-=3/$"$?@AB89)(((7C% !% #D3$4% E% F/&$% +- 5/&$"$% "$% G#D3/$% $5$#H-)%
Utilizando a transformação Z, podemos utilizar as áreas tabeladas da curva normal padronizada. 
Então:
 
>%./-5$5#4#"$"&%"&+&I$"$%?@AB89)(((7C%;$ 5! %+&/F%#D3$4%E%F/&$%+- 5/&$"$%"$%G#D3/$)
21 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
 !"#$!%&'(&)'*'+',-.'!$'"$/01$'%$'!&#)$1'#0%234%$-'0!(&!"#$560'&'7$1&#'8-9::;'<20'='$'
>#&/$/414%$%0'?@8A*A,-.BC'D&)&'60'"#$"$'%&'($6&'D-'%070560'62/"#$4#'&'7$1&#'0!(&!"#$%&'!$'
"$/01$'%0'8-.'@<20'(&##06>&!%0'E'F#0$'%$')0"$%0'%$'(2#7$'!&#)$1BC
' ?@G'H'I.C888B'+'?@*'H',-.B'+'8-.'J'?@8A*A,-.B'+'8-.'J'8-9::;'+'8-8KKL
/B'?@K:C.88'A'GAI8C888B'+'?@*
1
A*A*
2
)
Portanto:
22 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
d) Como em qualquer tipo de variável aleatória contínua, a probabilidade de a variável ser 
 !"#"$ %# &'(")*"*($*+%&,-*.")-/*0*1 /-2*3-/#"%#-4*3567892999:*7*;*
2. O gerente de Marketing desta fabrica de pneus deseja fixar uma garantia de km rodados, 
de tal forma que, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu será trocado. 
De quanto deve ser essa garantia para que 
somente 1% dos pneus sejam trocados?
A garantia procurada será o valor de X1 tal que 
356<6=:*7*;>;=*,-%?-/$ *$-@#/"*"*?&'(/"2*
Deve-se procurar na tabela da normal reduzida 
qual o valor Z1 que determina uma área de 
;>9*A*;>;=*7*;>BC2
23 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
 !"#$%&!'#()!*&+,('%!-!./!0!1233!456!$6"#!#!5'#!7&6#!86!92:;9/<!
Logo, utilizando a transformação da normal reduzida, obtém-se a seguinte relação:
 !)(=#$!=6>#?("%!-!86?6&'(=#8%!*6$%!@#?%!86!! ! !2!$%>%!./!A!9<!
Continuando:
 
24 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
A
n
e
x
o
25 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Exercícios de Fixação
 
1. Qual a probabilidade de o algarismo das unidades do número da chapa de um carro 
ser zero?
2. O número de chapa de um carro é par. Qual a probabilidade de o algarismo das 
unidades ser zero? 
3. As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, 
respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, qual a probabilidade 
de todos errarem? 
4. Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual é a probabilidade de que: 
(a) Tenham pelo menos um menino? 
(b) Tenham filhos de ambos os sexos? 
(c) Tenham dois filhos de cada sexo?
5. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas 
de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes.
6. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são 
numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, 
verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes.
7. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no 
decurso de cada mês, é igual a 30% , a probabilidade de que um animal sadio venha a 
contrair a doença só no 3° mês é igual a: 
a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26%
26 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
8. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 
4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes ?
9. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas 
de 1 a 5. . Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma 
dos pontos ser maior do que 4 é: 
a) 3/5 b) 2/5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3
10. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. 
Qual a probabilidade desta bola ser verde?
11. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três 
moedas caírem com a mesma face para cima?
12. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher 
engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto 
mês de tentativas?
13. Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos 
uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?
14. Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em 
uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso 
alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual 
a probabilidade de se ter pegado um pastel?
15. Um credor está à sua procura. A probabilidade de ele encontrá-lo em casa é 0,4. Se 
ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?
27 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
16. Determine a área sob a curva normal em função do valor de Z:
 !"#$%$&'()!"*#'+,$%$#-!"*#'.+$%$('(&/!"#',&$%$&'0.1!"%$*#'+2!""%3*&'(,
17. Determine o valor de Z para que a área compreendida entre: 
4 !""#"1"%"516 "789 :" "#';<<#"""""" " 4)!"*="1"%"516 "789 :" "#',+(&""""""
(c) -1,5 e Z seja igual a 0,0217 (d) –Z e Z seja igual a 0,6680
18. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por 
certa máquina é de 1,300 cm e desvio padrão 0,002 cm. A finalidade para qual estas 
arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima de 1,298 a 1,302 cm; se isto não se 
verificar as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine o percentual de arruelas 
defeituosas que serão produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são 
distribuídos normalmente.
19. Chama-se de escore reduzido de um estudante em uma prova a medida equivalente 
ao cálculo de “Z” em função da nota do estudante, da média das notas e do desvio 
padrão encontrado. Um exame de estatística mostra uma média de 78 com desvio padrão 
de 10. (a) Determine os escores reduzidos de 2 estudantes cujas notas foram 93 e 62 
respectivamente e interprete o valor do escore “Z”. (b) Determine a nota de 2 estudantes 
cujos escores reduzidos foram, respectivamente, -0,6 e 1,2.
20. Dois estudantes, em um concurso alcançaram os seguintes escores (conforme 
definição do problema anterior) 0,8 e -0,4, respectivamente. Se suas notas foram 88 e 
64, respectivamente, determine a média e o desvio padrão das notas deste concurso.
28 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Respostas
1. Temos 10 unidades possíveis para compor a chapa de um carro: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8 e 9. Então a probabilidade da chapa ser final zero será: 1/10.
2. Para a chapa ser par, o espaço amostral do algarismo das unidades deverá ser: S = {0, 
2, 4, 6, 8}. Então a probabilidade de este algarismo ser zero será: 1/5.
3. Para que todos errem teremos as probabilidades (1-1/2) para o primeiro, (1-2/5) para 
o segundo e (1-5/6) para o terceiro. Como os eventos são independentes: P = 1/2 x 3/5 
x 1/6 = 3/60 ou 5%.
4.
(a) Pelo menos um = 1 – nenhum P = 1 – (1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2) = 1 – 1/16 = 15/16 
ou 93,75% 
(b) 93,75%
(c) S={hhhh, hhhm, hhmh, hhmm, hmhh, hmhm, hmmh, hmmm, mhhh, mhhm, mhmh, 
mhmm, mmhh, mmhm, mmmh, mmmm} dois filhos de cada sexo = 6/16 ou 
37,50%
5. Os eventos “número dois” e “número par” não são independentes, uma vez que o dois 
também é par.
6. Os eventos “bola vermelha” e “número par” são independentes porque nem todas as 
bolas vermelhas sãopares e nem todas as bolas azuis são impares.
7. Resposta (d) P = 0,7 x 0,7 x 0,3 = 0,1470 ou 14,7%
29 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
8. S={aaee, aeae, aeea, eeaa, eaea, eaae} = 6 possibilidades. Para cada uma: P = 0,2 x 
0,2 x 0,8 x 0,8 = 0,0256 para as 6 possibilidades P = 6 x 0,0256 = 0,1536 ou 15,36%
9. 
(a) 1/3 x 2/5 + 1/3 x 3/5 + 1/3 x 4/5 = 9/15 = 3/5
10. Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, 
portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. 
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente 
podemos representar a resolução assim:
A probabilidade de esta bola ser verde é 5/12
11. Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total 
de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois 
resultados distintos, três moedas irão produzir 2 x 2 x 2 resultados distintos, ou seja, 
poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 
possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a 
mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então 
a probabilidade será dada por: A probabilidade das três moedas caírem com a mesma 
face para cima é igual a 2/8 = 1/4 ou 0,25, ou ainda 25%.
12. Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na 
forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 
- 0,2, ou seja, é igual a 0,8. Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes 
(pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles 
ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. 
30 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses 
anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo: P = 0,8 x 0,8 
x 0,8 x 0,2 p = 0,1024 0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. 
Então:A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.
13. Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser 
calculada através da fórmula P (A u B) = P(A)+P(B)-P(A B) e no caso da intersecção dos 
eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos 
simplesmente utilizar P(A B)=P(A)+P(B). Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a 
quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral. Neste 
exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, 
pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem 
parte dos dois eventos. Não há fichas verdes que são também amarelas. Neste caso então 
podemos utilizar a fórmula: P(A !B)=P(A)+P(B). Note que esta fórmula nada mais é que a 
soma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter ficha verde possui 
7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, 
então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:
Analogamente, a probabilidade de o evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, 
é igual a 2/14:
Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 
passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas 
probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum: 7/14 + 2/14 = 
9/14. 
31 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos 
para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando 
utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo 
resolvido de outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida.
Vejamos: Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então 
a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois: O 1 que aparece na expressão 
acima se refere à probabilidade do espaço amostral. Note que utilizamos o conceito de 
evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha 
verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção. A probabilidade de ela ser verde 
ou amarela é 9/14.
14. A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2. A probabilidade 
de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a 
probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos: P(A) = 1/2 x 3/8 = 3/16. 
A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e 
como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos: P(B) = 
1/2 x 4/6 = 4/12 = 1/3. Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a: 3/16 
+ 1/3 = 9+16/48 = 25/48. A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/
48
.
15. Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada 
tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, 
além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o 
problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:
n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5.
k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1.
32 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4.
q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6.
Substituindo tais valores na fórmula temos:
O número binomial(5/1) é assim resolvido:
Então temos:
Assim: A probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.
16. 
a) Pela tabela de z quando z = 1,2 área = 0,3849 ou 38,49%.
b) Pela tabela de z quando z = -0,68 = +0,68 área = 0,2518 ou 25,18%.
c) Pela tabela de z quando z = -0,46 = +0,46 área = 0,1772 
 Pela tabela de z quando z = 2,21 área = 0,4864
 Caso B 0,1772 + 0,4864 = 0,6636 ou 66,36%.
d)P ela tabela de z quando z = 0,81 área = 0,2910
 Pela tabela de z quando z = 1,94 área = 0,4738
 Caso C especial 0,4738 - 0,2910 = 0,1828 ou 18,28%.
e) Pela tabela de z quando z = - 0,60 = +0,60 área = 0,2257
 Caso C 0,5000 - 0,2257 = 0,2743 ou 27,43%.
f) Pela tabela de z quando z = - 1,28 = +1,28 área = 0,3997
 Caso C especial 0,5000 + 0,3997 = 0,8997 ou 89,97%.
33 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
17. 
a) Pela tabela, a área de 0,3770 corresponde a Z = 1, 16.
b) Neste caso temos 50% mais uma área 0,8621 – 0,5000 = 0,3621
 Pela tabela, a área de 0,3621 corresponde a Z = 1,09.
c) Pela tabela, a área de 0,4332 corresponde a z = -1,5
 Portanto 0,4332 – AZ = 0,0217 AZ = 0,4115 Pela tabela Z = -1,35.
d) Como a curva é simétrica 0,6680/2 = 0,3340 pela tabela Z = 0,97
Portanto Z = 0,97 e –Z = - 0,97.
18. 
A soma das áreas resulta em 0,6826, que corresponde à probabilidade de se obter arruela 
boas. A diferença para 1 será a probabilidade de se obter arruelas com defeito 1,000 
– 0,6826 = 0,3174 ou 31,74%.
19. 
a) 
Como para a média z=1,este estudante está com a sua nota acima da média.
b)
Como para a média z=1,este estudante está com a sua nota abaixo da média.
34 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
20.
35 Universidade Anhembi MorumbiProbabilidades e Distribuição de Probabilidades
Bibliografia
Básica
CRESPO, Antonio Arnot.Estatística Fácil. 18ª ed. São Paulo, Saraiva, 2009.
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo, Atlas, 
2006.
TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística.10ª ed. Rio de Janeiro, LTC, 2008.
Complementar
TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística.10ª ed. Rio de Janeiro, LTC, 2008.
BUSSAB, W de O; MORETITIN, P. A. Estatística básica. 5ª ed. São Paulo, Saraiva, 2002.
SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística. 3ª ed. São Paulo, Makron Books, 2004.
COSTA NETO, P. L. O; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo, Edgard Blucher, 1974.