Fase 2

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introdução
Introdução
Caro(a) aluno(a), na presente unidade, vamos estudar as medidas de posição que nos dão uma
ideia do centro em torno do qual os dados estão distribuídos. Veremos que existem medidas que
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
PARA GESTORESPARA GESTORES
Me. Rebecca Manesco Paixão
I N I C I A R
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podem resumir algumas características importantes de um conjunto de dados.
De modo geral, as medidas de posição podem ser subdivididas em medidas de tendência central e
medidas separatrizes. Dentre as medidas de tendência central, cita-se média, mediana e moda, as
quais são as mais utilizadas para resumir o conjunto de valores representativos do fenômeno em
estudo. Já quanto às medidas separatrizes, cita-se quartis, decis e percentis.
Ao longo da leitura, teremos a oportunidade de conceituar e de exempli�car cada uma dessas
medidas de posição.
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A média aritmética ou simplesmente média de uma variável é uma medida de centro, calculada a
partir do quociente do somatório dos valores observados pelo número de observações.
É denotada de formas diferentes para a população ou para a amostra. Se os dados são de uma
população, a média aritmética é denotada pela letra grega ; por sua vez, se os dados são de uma
amostra, a média aritmética é denotada por .
Assim, para a população, a média aritmética é dada por:
Já para a amostra, a média aritmética é dada por:
Em que é o número de observações da população, é o número de observações da amostra e 
 é o conjunto de dados.
Exemplo 2.1: em um petshop contabilizou-se com quantos meses os �lhotes de Pug são vendidos:
MédiaMédia
μ
x̄
μ =
∑
i=1
N
xi
N
=x̄
∑
i=1
n
xi
n
N n
, , , … ,x1 x2 x3 xn
2 4 3 2 4 6 5
2 2 3 4 7 2 3
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A partir dos dados, podemos calcular a média aritmética:
Logo, podemos concluir que a média aritmética da idade com a qual os �lhotes de Pug são
vendidos no petshop é de 3,5 meses.
Trabalhamos com a média aritmética ponderada quando os valores do conjunto de dados
possuem pesos diferentes. Assim, a mesma é calculada a partir do quociente entre a somatória do
produto dos valores da variável ( ) com os respectivos pesos    ( ), pela somatória dos pesos.
Para a população, a média aritmética ponderada é dada por:
Já para a amostra, a média aritmética é dada por:
Exemplo 2.2: a nota �nal para a disciplina de Ciências da 1ª s érie do Ensino Médio será obtida por
meio da atribuição de pesos, de acordo com a Tabela 2.1:
Tabela 2.1: Pesos adotados para as notas na disciplina de Ciências – Exemplo 2.2
Fonte: Elaborada pela autora.
=x̄̄̄
2 + 4 + 3 + 2 + 4 + 6 + 52 + 2 + 3 + 4 + 7 + 2 + 3
14
=
49
14
= 3, 5
xi wi
μ =
( ⋅ )∑
i=1
n
xi wi
∑
i=1
n
wi
=x̄
( ⋅ )∑
i=1
n
xi wi
∑
i=1
n
wi
Prova Pesos relativos
1
2
3
4
= 0, 1110
= 0, 2210
= 0, 3310
= 0, 4410
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Por meio da Tabela 2.1, podemos inferir que a primeira prova terá peso 1, a segunda prova peso 2,
a terceira prova peso 3 e a quarta prova peso 4.
Considerando que João tenha tirado as seguintes notas: 7, 7, 8 e 6, respectivamente, nas 4 provas, a
sua nota �nal será a média aritmética ponderada dada por:
Além disso, caro(a) aluno(a), também podemos calcular a média quando tivermos uma distribuição
de frequências. Nesse caso, a média é dada pela somatória dos produtos dos valores da variável
pelas respectivas frequências, dividida pela soma das frequências:
Em que é o ponto médio da classe e a frequência absoluta.
Exemplo 2.3: a Tabela 2.2 ilustra a distribuição de frequências para a idade dos professores de
uma universidade.
Tabela 2.2: Distribuição de frequências para a idade dos professores de uma universidade – Exemplo 2.3
Fonte: Elaborada pela autora.
A partir dos dados apresentados na Tabela 2.2, podemos calcular a média da idade dos
professores:
=x̄
(7 ⋅ 1) + (7 ⋅ 2) + (8 ⋅ 3) + (6 ⋅ 4)
1 + 2 + 3 + 4
  =
69
10
  = 6, 9
=x̄
( ⋅ )∑
j=1
n
xj fj
∑
j=1
n
fj
xj fj
Idade dos médicos (anos) Ponto médio Frequência absoluta
24|- 30 27 3
30|- 36 33 7
36|- 42 39 5
42|- 48 45 4
48|- 54 51 1
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Logo, os professores da universidade possuem idade média de 36,9 anos.
A partir desse estudo, caro(a) aluno(a), podemos inferir alguns pontos importantes sobre a média:
Em um conjunto de dados a média é única;
A média é afetada pelos valores extremamente pequenos ou grandes do conjunto de
dados;
A média depende de todos os valores observados, de modo que qualquer modi�cação
nos valores resulta em uma modi�cação da média �nal.
praticar
Vamos Praticar
Uma loja de sapatos fez um levantamento da numeração dos calçados femininos mais vendidos em
determinado dia, cujos dados obtidos apresentam-se abaixo:
Sabendo disso, assinale a alternativa que contenha a média da numeração mais vendida:
a) 34.
b) 35.
c) 36.
d) 37.
e) 38.
=x̄
(3 ⋅ 27) + (7 ⋅ 33) + (5 ⋅ 39) + (4 ⋅ 45) + (1 ⋅ 51)
3 + 7 + 5 + 4 + 1
  =
738
20
  = 36, 9
34 37 35 36 35 36 37 36 35 36
34 35 36 37 38 35 36 39 36 37
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A mediana de um conjunto de dados corresponde ao valor central, quando os mesmos estão
ordenados. Dessa forma, a mesma mede o centro do conjunto de dados ordenado em rol,
dividindo-o em duas partes iguais.
Para encontrarmos a mediana de um conjunto de dados, primeiramente, ordenamos os valores.
Na sequência, devemos veri�car se a contagem de dados resulta em um valor par ou ímpar:
Se o número de valores for par, a mediana será encontrada por meio do cálculo da média
dos dois números centrais, ou seja, ;
Se o número de valores for ímpar, a mediana será o número localizado exatamente no
centro da lista, ou seja, .
Em que a mediana encontra-se denotada por , e , estes representam o número de observações
da amostra.
Exemplo 2.4: seja a medida da circunferência abdominal de 8 homens que se apresentaram na
aula de cross �t:
Temos que o número de medições é 8 (um número par) e que os dois números centrais
encontram-se nas posições 4 e 5. Para obtermos a mediana, calculamos a média entre ambos,
logo:
MedianaMediana
= [( ) + ( + 1)] ⋅x~ n
2
n
2
1
2
=x~
n+1
2
x
~
n
70 76 78 79 80 81 81 82
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Logo, a mediana é de 79,5 cm de circunferência abdominal.
Exemplo 2.5: considere o seguinte conjunto de dados sobre as temperaturas diárias (º C)
registradas ao longo de uma semana, dispostas em ordem crescente:
Logo, considerando que o número de observações é 7 (um número ímpar), temos que a mediana
encontra-se na 4ª posição, ou seja, é igual a 27.
Assim, a mediana será o valor central de 27º C.
Para dados de distribuição de frequências em classes, podemos determinar a mediana por meio da
seguinte fórmula:
Em que:
 é o limite inferior da classe Md;
=x̃
79 + 80
2
  =
159
2
  = 79, 5
22,5 24 25 27 27,5 28 32
reflitaRe�ita
“Quando ocorrem dados discrepantes (valores muito maiores ou menores do que os demais), o mais correto é
usar a mediana para descrever a tendência central dos dados”.
Fonte: Vieira (2012, p. 42).
= +x~ lMd
( − ) ⋅ hn
2
fACMd−1
fMd
lMd
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 é o tamanho da amostra;
 é a amplitude da classe;
 é a frequência absoluta daclasse Md.
 é a frequência acumulada da classe anterior à Md;
Exemplo 2.6: considere a distribuição de frequências sobre a idade das pessoas que foram ao
cinema assistir determinado �lme.
Tabela 2.3: Distribuição de frequência da idade das pessoas que foram ao cinema – Exemplo 2.6
Fonte: Elaborada pela autora.
Para o cálculo da mediana, temos que , logo .Assim, temos que a classe Md é a
segunda. Aplicando os dados na fórmula, teremos que a mediana será:
Logo, a mediana é de 32,78 anos.
i
n
h
fMd
fACMd−1
Idade das pessoas Frequência absoluta Frequência acumulada
15|- 25 20 20
25|- 35 18 38
35|- 45 12 50
45|- 55 14 64
55|- 65 4 68
n = 68 = 34n
2
= 25 +x~
( − 20) ⋅ 1068
2
18
  = 25 +
(34 − 20) ⋅ 10
18
  = 25 +
140
18
  = 32, 78
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praticar
Vamos Praticar
Os preços em reais para uma amostra de tablets são listados a seguir. Sabendo disso, assinale a alternativa
que contenha a mediana dos preços:
a) 200.
b) 220.
c) 280.
d) 295.
e) 310.
170 120 500 400 350 320 330 270 220 210
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Chamamos de moda aquele valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados. A
moda, neste estudo, será denotada pelo símbolo  .
É importante destacar que, quando no conjunto de dados, nenhum valor se repete, dizemos que
não há moda ou que o conjunto é amodal.
Ainda, quando dois valores aparecem com a mesma maior frequência, cada um é uma moda e,
assim, dizemos que o conjunto de dados é bimodal. Quando mais de dois valores ocorrem com a
mesma maior frequência, cada um deles é uma moda e o conjunto de dados é dito multimodal.
Exemplo 2.7: considere o seguinte conjunto de dados sobre o peso de canetas Bic (g):
Ordenando os dados em rol, temos:
Assim, a moda é 15 gramas, uma vez que é o valor que aparece com maior frequência.
ModaModa
12,5 14,0 15,0 15,0 12,1 13,0 14,0 15,2 13,5 12,2
15,2 13,5 15,0 16,1 13,8 14,2 15,0 14,8 15,0 13,5
12,1 12,2 12,5 13,0 13,5 13,5 13,5 13,8 14,0 14,0
14,2 14,8 15 15 15 15 15 15,2 15,2 16,1
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Atente-se, caro(a) aluno(a): dentre as medidas de centro estudadas até o momento, a moda é a
única que se aplica a valores qualitativos, cuja moda será a categoria que ocorre com maior
frequência. Observe o Exemplo 2.8.
Exemplo 2.8: uma fábrica de carros buscou identi�car a cor de veículo preferida pelas mulheres,
para isso, foram entrevistadas 30 mulheres, na faixa etária de 18 a 50 anos.
Os resultados da pesquisa foram: 18 votos para carro branco, 6 votos para carro prata, 5 votos
para carro preto e 1 voto para carro vermelho.
Assim, a partir do resultado, podemos inferir que a moda é branco, uma vez que essa cor de carro
apresentou mais votos de preferência.
Nesse caso, não seria possível calcular a média ou a mediana, uma vez que as entradas não são
numéricas.
Para identi�carmos a moda, quando os dados encontram-se agrupados em classes,
primeiramente, devemos identi�car a classe modal que apresenta a maior frequência e, na
sequência, calculamos a moda da seguinte forma:
Em que:
 é o limite inferior da classe Mo;
 é a amplitude da classe Mo;
 é a frequência absoluta da classe anterior à Mo;
 é a frequência absoluta da classe Mo;
 é a frequência absoluta da classe posterior Mo.
Exemplo 2.9: considere a distribuição de frequências ilustrada na Tabela 2.4 sobre a concentração
de oxigênio encontrada em diferentes pontos de um determinado rio:
= +x̂ lMo
( − ) ⋅ hfMo fMo−1
( − ) + ( − )fMo fMo−1 fMo fMo+1
lMo
h
fMo−1
fMo
fMo+1
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Fonte: fonteTabela 2.4: Distribuição de frequências da concentração de oxigênio encontrada em rios –
Exemplo 2.9
Fonte: Elaborada pela autora. da tabela
Por meio dos dados apresentados na Tabela 2.4, temos que a classe Mo é a terceira.
Aplicando os dados na fórmula, a moda será:
praticar
Vamos Praticar
Seja o conjunto de dados referente à nota dos alunos de administração na prova de estatística, assinale a
alternativa que contenha a moda:
Oxigênio (mg/L) Frequência absoluta
0,5|- 0,8 4
0,8|- 1,1 4
1,1|- 1,4 7
1,4|- 1,7 1
= 1, 1 +x̂
(7 − 4) ⋅ 0, 3
(7 − 4) + (7 − 1)
  = 1, 1 +
3 ⋅ 0, 3
3 + 6
  = 1, 1 +
0, 9
9
  = 1, 2
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a) Amodal.
b) Bimodal: 60 e 62.
c) Bimodal: 62 e 82.
d) Multimodal: 60, 62 e 82.
e) Multimodal: 60, 62, 70, 71 e 82.
50 60 70 80 65 62 82 60
70 82 76 82 56 59 62 59
71 89 92 94 84 67 62 71
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Caro(a) aluno(a), separatrizes são medidas de posição que dividem o conjunto de dados
ordenados em partes proporcionais. As principais medidas separatrizes são: quartis, decis e
percentis, além da mediana (já estudada anteriormente).
Quartis
Quartis correspondem aos valores que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.
Podem ser obtidos, conforme o Quadro 2.1:
Quadro 2.1: Quartis
Fonte: Elaborado pela autora.
A partir da determinação dos quartis de um conjunto de dados também é possível encontrar a
amplitude interquartil. Por de�nição, a amplitude interquartil ( ) de um conjunto de dados
diz respeito à diferença entre o terceiro quartil ( ) e o primeiro quartil ( ), ou seja:
Atente-se: o é uma medida de variação que nos dá uma ideia do quanto 50% dos dados varia.
Medidas SeparatrizesMedidas Separatrizes
1º Quartil ( )
2º Quartil ( )
3º Quartil ( )
Q1 P = 0, 25 ⋅ (n + 1)
Q2 P = 0, 50 ⋅ (n + 1)
Q3 P = 0, 75 ⋅ (n + 1)
IQR
Q3 Q1
IQR = −Q3 Q1
IQR
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Exemplo 2.10: Determine a amplitude interquartil do conjunto de dados para o peso de moedas de
50 centavos (g), organizado em ordem crescente:
Como , o primeiro quartil ( ) encontra-se na posição 4, pois:
Ou seja, .
O terceiro quartil ( ) encontra-se na posição 12, pois:
Ou seja, .
Assim, podemos calcular a amplitude interquartil, que será:
Decis
Decis correspondem aos valores que dividem um conjunto de dados em dez partes iguais. Podem
ser obtidos da seguinte forma, conforme o Quadro 2.2:
9,0 9,1 9,1 9,1 9,2 9,2 9,3 9,3 9,3 9,3 9,3 9,3 9,4 9,4 9,7
n = 15 Q1
P = 0, 25 ⋅ (15 + 1) = 0, 25 ⋅ 16 = 4
= 9, 1Q1
Q3
P = 0, 75 ⋅ (15 + 1) = 0, 75 ⋅ 16 = 12
= 9, 3Q3
IQR = 9, 3 − 9, 1
  = 0, 2
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Quadro 2.2: Decis
Fonte: Elaborado pela autora.
Percentis
Percentis correspondem aos 99 valores que dividem um conjunto de dados em 100 partes iguais.
Logo, o seu cálculo relaciona-se com percentagem e alguns dos principais percentis encontram-se
ilustrados no Quadro 2.3.
1º Decil ( )
2º Decil ( )
3º Decil ( )
4º Decil ( )
5º Decil ( )
6º Decil ( )
7º Decil ( )
8º Decil ( )
9º Decil ( )
D1 P = 0, 10 ⋅ (n + 1)
D2 P = 0, 20 ⋅ (n + 1)
D3 P = 0, 30 ⋅ (n + 1)
D4 P = 0, 40 ⋅ (n + 1)
D5 P = 0, 50 ⋅ (n + 1)
D6 P = 0, 60 ⋅ (n + 1)
D7 P = 0, 70 ⋅ (n + 1)
D8 P = 0, 80 ⋅ (n + 1)
D9 P = 0, 90 ⋅ (n + 1)
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Quadro 2.3: Percentis
Fonte: Elaborado pela autora.
É importante destacar, caro(a) aluno(a), que quando temos dados em rol o cálculo das medidas
separatrizes é dado por:
1º Percentil ( )
5º Percentil ( )
10º Percentil ( )
20º Percentil ( )
30º Percentil ( )
40º Percentil ( )
50º Percentil ( )
60º Percentil ( )
70º Percentil ( )
80º Percentil ( )
90º Percentil ( )
99º Percentil ( )
P1 P =0, 01 ⋅ (n + 1)
P5 P = 0, 05 ⋅ (n + 1)
P10 P = 0, 10 ⋅ (n + 1)
P20 P = 0, 20 ⋅ (n + 1)
P30 P = 0, 30 ⋅ (n + 1)
P40 P = 0, 40 ⋅ (n + 1)
P50 P = 0, 50 ⋅ (n + 1)
P60 P = 0, 60 ⋅ (n + 1)
P70 P = 0, 70 ⋅ (n + 1)
P80 P = 0, 80 ⋅ (n + 1)
P90 P = 0, 90 ⋅ (n + 1)
P99 P = 0, 99 ⋅ (n + 1)
reflitaRe�ita
O segundo quartil ( ) é igual ao quinto decil ( ), igual ao quinquagésimo percentil ( ) que, por sua vez, é
igual a mediana do conjunto de dados.
Q2 D5 P50
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Em que é a parte inteira de , e é a parte fracionária (ou decimal).
Exemplo 2.11: calcule o 90º percentil para a idade média de um grupo de indivíduos que tem as
seguintes idades:
Primeiramente, calculamos a posição do dado:
Na 12ª posição, temos: 33.
Na 13ª posição, temos: 38.
Portanto,
Assim, podemos concluir que 90% dos indivíduos têm idade inferior a 36 anos.
Cálculo das Separatrizes em Distribuição de
Frequências
Quando temos distribuição de frequências em classes, o cálculo das separatrizes é feito por meio
da seguinte fórmula:
Em que:
 é o limite inferior;
 é a amplitude da classe da separatriz;
 é a frequência absoluta da classe da separatriz;
 é a frequência acumulada da classe anterior à da separatriz;
, com para determinação dos quartis;
, com para determinação dos decis;
= + ( − )Sk xlp Fp x +1lp xlp
lp P Fp
18 19 20 21 21 22 24 24 25 27 30 33 38
P = 0, 90 ⋅ (13 + 1) = 0, 90 ⋅ 14 = 12, 6
= 33 + 0, 6 ⋅ (38 − 33) = 33 + 0, 6 ⋅ 5 = 36P90
= +Sk li
(p −   ) ⋅ hfACi−1
fi
li
h
fi
fACi−1
p = ⋅ kn
4
k = 1, 2, 3
p = ⋅ kn
10
k = 1, 2, … , 9
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, com para determinação dos percentis.
Exemplo 2.12: considere a distribuição de frequências para a idade de um grupo de indivíduos,
disposta na Tabela 2.5, e determine o 72º percentil.
Tabela 2.5: Distribuição de frequências para a idade de um grupo de indivíduos – Exemplo 2.12
Fonte: Elaborada pela autora.
Por de�nição, temos que:
Logo, o 72 percentil encontra-se na classe 3:
Assim, podemos concluir que 72% do grupo de indivíduos possui idade inferior a 16 anos.
praticar
Vamos Praticar
Por de�nição, a amplitude interquartil de um conjunto de dados é dada pela diferença entre o terceiro e o
primeiro quartil.
p = ⋅ kn
100
k = 1, 2, … , 99
Idade dos indivíduos
(anos)
Frequência absoluta       Frequência acumulada  
4|- 9 8 8
9|- 14 12 20
14|- 19 17 37
19|- 24 3 40
P = ⋅ 72 = 0, 4 ⋅ 72 = 28, 8
40
100
= 14 + = 14 + 2, 59 = 16, 59P72
(28, 8 − 20) ⋅ 5
17
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Sabendo disso, assinale a alternativa que contenha a amplitude interquartil para o seguinte conjunto de
dados:
a) IQR = 5.
b) IQR = 6.
c) IQR = 7.
d) IQR = 8.
e) IQR = 9.
5 7 9 20 10 11 18 13 18 17 14 14 13 16 18 12 9 8 12
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Introdução à Estatística.
Editora: LTC.
Autor: MARIO F. TRIOLA.
ISBN: 9788521615866.
Comentário: Sugere-se a leitura do Capítulo 3 “Estatísticas para
descrição, exploração e comparação de dados”, que trata das medidas
de centro, de variação e de posição relativa.
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FILME
Quebrando a Banca.
Ano: 2008.
Comentário: Bem Campbell (Jim Stugress) é um estudante do MIT que
está com di�culdades para pagar a faculdade. Para solucionar seu
problema, ele é convidado para participar de um grupo de alunos,
liderado pelo professor de matemática e gênio em estatística Micky
Rosa (Kevin Spacey), com vistas a contar cartas em jogos de cartas, e
utilizar um complexo sistema de sinais.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), assim, �nalizamos o estudo sobre as medidas de posição, em que pudemos
estudar as medidas de tendência central: média, mediana e moda; e também as separatrizes:
quartis, decis e percentis.
Vimos que a média de um conjunto de valores diz respeito à medida de centro encontrada pelo
somatório de todos os valores, dividida pelo número de valores observados.
A mediana diz respeito à medida de centro que é “o valor do meio” quando os dados estão
arranjados em rol.
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com mais frequência. E quando nenhum
valor se repete, dizemos que o conjunto é amodal.
E, por �m, quanto às medidas separatrizes, vimos que estas são capazes de dividir o conjunto de
dados em partes iguais. Quartis dividem em 4 partes iguais; decis dividem em 10 partes iguais; e
percentis dividem em 100 partes iguais.
referências
Referências Bibliográ�cas
BONAFINI, F. C. Estatística. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: Editora
da Universidade de São Paulo, 2008.
TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1985.
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
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VIEIRA, S. Estatística básica. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
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