Lista2

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Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
Disciplina: A´lgebra Linear - MAT 158 - Turma B - 2014/3
Prof.: Lae´rcio Jose´ dos Santos
Lista 2 - 05/09 - Justifique cada resposta dada
1. Explique a ideia que motiva cada um dos seguintes conceitos: espac¸o vetorial, subespac¸o
de um espac¸o vetorial e base.
2. Consideremos os subespac¸os de R3
W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − z = 0} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : y = x}.
(a) Encontre uma base e a dimensa˜o de W1, W2, W1 ∩W2 e W1 +W2.
(b) Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica para cada subespac¸o do item anterior.
3. Sejam W1 e W2 os seguintes subespac¸os de C3,
W1 = {(x, y, z) ∈ C3 : x+ y − 2z = 0} e W2 = ger ({(3,−1, 1), (1, 1, 1), (1,−1, 0)}) .
Encontre uma base e a dimensa˜o de W1, W2, W1 ∩W2 e W1 +W2.
4. Sejam W1 e W2 os seguintes subespac¸os de M(2,R):
W1 =
{(
a b
c d
)
: a+ b+ c+ d = 0
}
e W2 =
{(
a b
c d
)
: a− d = 0
}
.
Encontre uma base e a dimensa˜o de W1, W2, W1 ∩W2 e W1 +W2.
5. Sejam S = {(1, 0,−1, 2), (0, 1, 1,−2), (2, 3, 1,−2)} ⊂ C4 e W = ger(S). Encontre
(a) Uma base B1 de W tal que B1 ⊂ S.
(b) Uma base B2 de C4 tal que B1 ⊂ B2, onde B1 e´ a base encontrada no item anterior.
6. Sejam S =
{(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 −1
−1 2
)}
⊂M(2,C) e W = ger(S). Encontre
(a) Uma base B1 de W tal que B1 ⊂ S.
(b) Uma base B2 de M(2,C) tal que B1 ⊂ B2, onde B1 e´ a base encontrada no item
anterior.
7. Sejam S = {1 + x, 1 + x+ x3, 1 + x+ 2x3} ⊂ P3(R) e W = ger(S). Encontre:
(a) Uma base B1 de W tal que B1 ⊂ S.
(b) Uma base B2 de P3(R) tal que B2 ⊂ B1, onde B1 e´ a base encontrada no item
anterior.
8. Sejam V um espac¸o vetorial sobre C e {v1, . . . , vn} uma base de V . Mostre
(a) V e´ um espac¸o vetorial sobre R.
(b) {v1, . . . , vn, iv1, . . . , ivn} e´ uma base V , visto como espac¸o vetorial sobre R.
(c) Conclua que dimR V = 2dimC V .
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