lista de exercícios - método do ponto fixo e método da bissecção

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Nume´rico
Lista de Exerc´ıcios no2
1. Explique porque a equac¸a˜o e−x = x admite uma soluc¸a˜o no intervalo [0, 1].
(a) Use o me´todo da bissecc¸a˜o para encontrar a raiz com 3 d´ıgitos significativos. E´ poss´ıvel
mostrar que na˜o ha´ outra raiz?
(b) Tomando ϕ(x) = e−x como func¸a˜o de iterac¸a˜o e x0 = 0 como chute inicial o Me´todo do
Ponto Fixo converge?
(c) Qual o nu´mero mı´nimo de iterac¸o˜es k que sera´ realizado pelo algoritmo do me´todo da
bissecc¸a˜o para que o erro seja menor que 10−8 iniciando as iterac¸o˜es no intervalo [0, 1]?
2. Encontre uma aproximac¸a˜o de 31/6 com 3 d´ıgitos significativos, reformulando o problema
atrave´s de uma equac¸a˜o apropriada e resolvendo-o via o me´todo da bissecc¸a˜o.
3. Use o me´todo da bissecc¸a˜o para encontrar todas as ra´ızes reais do polinoˆmio p(x) = x5−3x2+1
com 2 d´ıgitos significativos.
4. Localize graficamente os zeros das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x) = 4cos(x)− e(2x)
(b) f(x) = x/2− tan(x)
(c) f(x) = 1− xln(x)
(d) f(x) = 2x − 3x
(e) f(x) = x3 + x− 1000
5. Considere o problema de resolver f(x) = 0 via me´todo do ponto fixo, onde f(x) = e−x+x−2.
(a) Mostre graficamente que exitem 2, e somente 2, zeros de f e localize-os.
(b) Mostre que ϕ(x) =?e?x + 2 e´ func¸a˜o de iterac¸a˜o de f .
(c) Calcule ϕ
′
e analise
∣∣ϕ′(x)∣∣.
(d) Mostre que a sequeˆncia xk+1 = ϕ(xk) converge para a soluc¸a˜o negativa se x ∈ (−2,−1);
(e) Mostre que a sequeˆncia xk+1 = ϕ(xk) diverge se x ∈ (1, 2).