Aula Estudo das Parabolas

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ESTUDO DAS PARÁBOLAS
Por definição, uma parábola é o conjunto dos pontos P=(x, y) do plano eqüidistantes de uma reta “r”, denominada reta diretriz, e de um ponto “F”, dito foco, não pertencente a reta diretriz “r”. 
Em outras palavras:
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PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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Chama-se equação reduzida da parábola a equação que o ponto P(x, y), ponto genérico da curva, vai satisfazer.
A dedução da parábola horizontal com vértice na origem é imediata:
P  parábola  PF = PQ
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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Equação de uma parábola horizontal com vértice na origem V = (0, 0), foco F = (p, 0) e reta diretriz r: x = -p.
OBSERVAÇÃO:
 Se p > 0  a parábola abre para a direita
 Se p < 0  a parábola abre para a esquerda
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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Uma parábola horizontal com vértice na origem V = (0, 0), foco no eixo dos X F = (p, 0) e parâmetro p = 2, tem equação:
y2 = 8x
Exemplo:
y2 = - 8x 
Se “F” à 
 direita de “V”
Se “F” à esquerda de “V”
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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EXERCÍCIOS:
1) Identificar e esboçar a geometria da seguinte equação abaixo mostrando os parâmetros importantes (elementos principais):
y2 = 4x
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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Solução:
Comparando-se a equação dada (y2 = 4x) com a equação de uma parábola horizontal com vértice na origem V = (0, 0), foco F = (p, 0) e reta diretriz r: x = -p,
 (y2 = 4px), tem-se: 
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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2) Identificar e esboçar a geometria da seguinte equação abaixo mostrando os parâmetros importantes (elementos principais):
y2 = -2x
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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PARÁBOLA VERTICAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
Para o caso da reta diretriz estar paralela ao eixo das abscissas, as coordenadas x e y "invertem os papéis".
V(0,0)
4p = -2	F(p,0) 	 diretriz: x = -p
p = -1/2
F(-1/2, 0) x = 1/2
Elementos principais:
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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PARÁBOLA VERTICAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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P  parábola  PF = PQ
Equação de uma parábola vertical com vértice na origem V = (0, 0), foco F = (0, p) e reta diretriz r: y = -p.
 Se p > 0  a parábola abre para cima
 Se p < 0  a parábola abre para baixo
PARÁBOLA VERTICAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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Uma parábola vertical com vértice na origem V = (0, 0), foco no eixo dos Y F = (0, p) e parâmetro p = 2, tem equação:
x2 = 8y
Exemplo:
x2 = - 8y 
Se “F” à 
 cima de “V”
Se “F” à baixo de “V”
PARÁBOLA VERTICAL COM VÉRTICE NA ORIGEM
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NOTA:
Observando-se as equações e o eixo das parábolas pode-se verificar que a variável de 1º grau na equação, indica o eixo da parábola.
EXERCÍCIOS:
3) Identificar e esboçar a geometria da seguinte equação abaixo mostrando os parâmetros importantes (elementos principais):
x2 = -12y
Geometria Analítica e Vetores
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Solução:
Comparando-se a equação dada (x2 = -12y) com a equação de uma parábola vertical com vértice na origem V = (0, 0), foco F = (0, p) e reta diretriz r: y = -p,
 (x2 = 4py), tem-se: 
Elementos principais:
Geometria Analítica e Vetores
X
 Y
F(0,-3)
diretriz: y = 3
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EXERCÍCIOS:
4) Encontre a equação da parábola que tem o foco em (2,0) e diretriz com equação x = -2. Faça um esboço da geometria da parábola.
5) Encontre a equação da parábola que tem o vértice na origem, é simétrica em relação ao eixo y e passa por (2,-3).
6) Encontre a equação da parábola que tem o vértice na origem, é simétrica em relação ao eixo x e passa por (-2, 4).
Geometria Analítica e Vetores
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Para estudar uma parábola cujo vértice “V” não está na origem dos eixos (X e Y), faz-se uma translação dos eixos para posições denominadas de (X’ e Y’) paralelas às posições originais.
PARÁBOLA COM VÉRTICE DESLOCADO
X = h + X’  X’ = X - h
Y = k + y’  Y’ = Y - k
Coordenadas do ponto “P” nos planos XY e X’Y’:
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Se uma parábola horizontal tem vértice “V” no ponto (h, k) e se o vértice “V” e o foco “F” são paralelos ao eixo X, sua equação em relação ao sistema auxiliar X’ V Y’ é:
PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE DESLOCADO
(Y’)2 = 4p(X’)
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PARÁBOLA HORIZONTAL COM VÉRTICE DESLOCADO
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PARÁBOLA VERTICAL COM VÉRTICE DESLOCADO
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Se uma parábola vertical tem vértice “V” no ponto (h, k) e se o vértice “V” e o foco “F” são paralelos ao eixo Y, sua equação em relação ao sistema auxiliar X’ V Y’ é:
PARÁBOLA VERTICAL COM VÉRTICE DESLOCADO
(X’)2 = 4p(Y’)
Portanto, sua equação relativamente ao sistema cartesiano ortogonal X0Y é:
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Equação geral de uma parábola vertical com vértice deslocado.
Esta equação pode ser escrita na forma:
Y = aX2 + bX + c
Onde: 
a = 1/4p ; b = - 2h/4p; e c = (h2 + 4pk)/4p
PARÁBOLA VERTICAL COM VÉRTICE DESLOCADO
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Geometria Analítica e Vetores
EXERCÍCIOS:
1) Identificar e esboçar a geometria das seguintes equações abaixo mostrando os parâmetros importantes:
a) y2 = - 8x
b) x2 + y = 0
c) 2y2 – 9x = 0
g) 4(x – 1)2 = – 3y + 6 
h) 2(y – 1)2 – 3x + 2
i) (y + 5)2 = - 6x + 6
j) 3(x – ½)2 = y – 9/4
k) (x – 3)2 = 4 (y + 1)
l) (x – 2)2 = ½(y – 3)
d) y2 - 6x + 9 = 0
e) (x + 3)2 = -4y + 1
f) 3(y- 2)2 = 8x + 16
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EXERCÍCIOS:
2) Determine a equação da parábola que verifica as condições dadas:
a) Vértice em (1,-3); diretriz y = -1
b) Foco em (0,-3), diretriz y = 3
c) Foco em (1,4); diretriz y = 0
d) Vértice em (3,0), diretriz x = 1
e) Vértice na origem, eixo dos y como eixo de simetria, contém o ponto (3,18).
Geometria Analítica e Vetores
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RESPOSTAS DO PRIMEIRO EXERCÍCIO:
a) V(0,0), F(-2,0), diretriz: x = 2
b) V(0,0), F(0,-1/4), diretriz: y = 1/4
c) V(0,0), F(9/8,0), diretriz: x = -9/8
d) V(3/2,0), F(3,0) diretriz: x = 0
e) V(-3, 1/4), F(-3, -3/4), diretriz: y = 5/4
f) V (-2,2), F(-4/3, 2) , diretriz: x = -8/3
g) V (1,2), F(1, 29/16), diretriz: y = 35/16
h) V(2/3,1), F(7/24,1) diretriz: x = 25/24
i) V(1,-5) F(-1/2,-5), diretriz: x = 5/2
j) V(1/2,9/4), F(1/2,7/3), diretriz: y = 13/6
k) V(3,-1), F(3,0) diretriz: y = -2
l) V(2,3), F(2,25/8), diretriz: y = 23/8
Geometria Analítica e Vetores
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RESPOSTAS DO SEGUNDO EXERCÍCIO:
a) (x - 1)2 = - 8(y + 3)
b) x2 = -12y
c) (x – 1)2 = 8(y – 2)
d) y2 = 8(x – 3)
e) x2 = y/2
Geometria Analítica e Vetores