Apostila 02

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Instituto de Ciências Exatas e Geociências – Área de Estatística 
Probabilidade e Estatística – Faculdade de Engenharia e Arquitetura (FEAR) 
Professora Luciane Daroit 
 
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( ) ( ) ( )
( ) ( )    ∑ ∑−⋅⋅∑ ∑−⋅
∑ ∑⋅∑−⋅⋅
=
2222
iyiynixixn
iyixiyixnr
Correlação Linear Simples 
Muitas vezes temos interesse em estudar o relacionamento entre duas variáveis quantitativas. A intensidade da 
associação existente entre duas variáveis pode ser avaliado através do Coeficiente de Correlação Linear de 
Pearson (r). 
 
 
Coeficiente de Correlação Linear de Pearson (r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: n = quantidade de pares ordenados. 
 
Indicações: chama-se a variável dependente (ou variável resposta) de Y e a variável independente (fator, 
variável explicativa ou variável preditiva) de X. 
 
Sentido do relacionamento: sinal positivo (relação diretamente proporcional – mesmo sentido) 
 sinal negativo (relação inversamente proporcional – sentidos contrários) 
 
 
 
Diagramas de Dispersão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliação Qualitativa do Grau de Correlação 
 
Como o Coeficiente de Correlação de Pearson (r) pode assumir tanto valores positivos (+) como valores 
negativos (-), é semelhante ao coeficiente de regressão de uma reta ajustada num diagrama de dispersão. A 
magnitude de r indica quão próximos da "reta" estão os pontos individuais. 
• quando o r se aproxima de +1 indica pouca dispersão, e uma correlação muito forte e positiva; 
• quando o r se aproxima de "zero" indica muita dispersão, e uma ausência de relacionamento; 
• quando o r se aproxima de -1 indica pouca dispersão, e uma correlação muito forte e negativa. 
 
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( ) ( ) ( )
( ) 




 ∑
⋅−
∑
=
∑−∑ 




⋅
∑ ∑⋅∑−⋅⋅
=
⋅+=
n
ixb
n
iya
ixixn
iyixiyixnb
xbay
 
 
 
 
22
Esquematicamente: 
 
 
 
 
 
Análise da Regressão Linear Simples 
O estudo da regressão aplica-se àquelas situações em que há razões para supor uma relação de causa-
efeito entre duas variáveis quantitativas e se deseja expressar matematicamente essa relação, ou seja, a 
regressão pode ser usada quando desejamos fazer uma previsão (ou estimativa) de algum valor associado 
às variáveis em estudo. 
 
 
Equação ajustada da Reta da Regressão Linear Simples 
 
 
 Onde: a = coeficiente linear da reta 
 b = coeficiente angular da reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro Padrão da Estimativa 
Quanto maior for o erro padrão da estimativa, pior será o ajuste da reta aos pontos. 
Geometricamente, o erro padrão da estimativa é a distância vertical entre o ponto e a reta. 
 
 
 
 
( )
2
2
−
∑ −
=
n
estyysxy Onde: esperadoou estimadoy de valor =esty 
 
 
 
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Exemplo: Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina (y) em função da adição de 
um novo aditivo (x). Para isso, foram realizados ensaios com os percentuais 1, 2, 3, 4, 5 e 6% de aditivo. Os 
resultados estão representados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. O que este coeficiente indica? 
b) Determinar a equação de regressão linear simples. 
c) Qual é o significado do coeficiente angular b? 
d) Com a adição de 5,5% de aditivo, qual será a octanagem da gasolina? 
e) Para que a octanagem da gasolina seja igual a 90, qual deve ser o percentual de aditivo adicionado? 
f) Calcule o erro padrão da estimativa. 
 
 
Exercícios de fixação: 
 
01. Em um processo de manufatura, avaliou-se que a velocidade da linha de montagem (metros por minuto) 
afeta o número de peças defeituosas encontradas durante o processo de inspeção. Para testar essa teoria, os 
gerentes idealizaram uma situação na qual o mesmo lote de peças era inspecionado visualmente em diversas 
velocidades da linha de montagem. Coletaram os seguintes dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a equação da regressão linear simples. (y = 23,5 – 0,6.x) 
b) Qual será a velocidade da linha de montagem se forem encontradas 19 peças defeituosas? (7,5 m/min) 
c) Faça uma previsão para quantidade de peças defeituosas se for verificada uma velocidade na linha de 
montagem igual a 12 metros/minuto. (16,3 = 16 peças defeituosas) 
d) Determine o grau de correlação entre a velocidade da linha de montagem e a quantidade de peças 
defeituosas encontradas, analisando o resultado encontrado. (–0,9890) 
e) Qual o significado do coeficiente angular b? 
Aditivo (%) octanagem 
1 80,5 
2 81,6 
3 82,1 
4 83,7 
5 83,9 
6 85,0 
Velocidade 
(metros/minuto) 
Peças 
defeituosas 
5 21 
10 17 
15 14 
20 12 
 
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02. O gerente de vendas de uma empresa está sempre insistindo com os vendedores que a venda dos seus 
produtos tem forte relação com as visitas realizadas por estes a seus clientes. Para confirmar a crença do 
gerente de vendas foi preparada a tabela seguinte com as visitas realizadas e as vendas (mil R$) de cada 
vendedor durante o último mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
a) a equação da reta da regressão linear simples; (y = – 63,53 + 4,04.x) 
b) o significado do coeficiente angular b; 
c) a previsão de vendas para 100 visitas; (340,47 mil R$) 
d) a quantidade de visitas para que as vendas atinjam o valor de 250 mil R$; (77,61 = 78 visitas) 
e) o grau de correlação entre as variáveis, analisando o valor encontrado; (0,9294) 
f) o erro padrão da estimativa. (43,24) 
 
 
03. Com o objetivo de determinar a durabilidade de um produto que comercializa, certa empresa realizou cinco 
experimentos para analisar a relação entre o tempo de exposição à luz do sol e o tempo de vida útil desse 
material. Os dados obtidos estão na tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a equação da reta que melhor se ajusta aos dados obtidos. (y = 29,2 – 0,82.x) 
b) Qual o tempo de vida útil quando o tempo de exposição à luz do sol for igual a 30 horas. (4,6 dias) 
c) Faça uma previsão para o tempo de exposição ao sol para um produto que apresentou tempo de 
vida útil igual a 8,7 dias. (25 horas) 
d) Determine o quanto as variáveis estão relacionadas, analisando o valor encontrado. (–0,9943) 
e) Calcule o erro padrão da estimativa. (0,80) 
 
Visitas Vendas (mil R$) 
42 140 
105 330 
66 190 
87 350 
50 110 
55 135 
Exposição ao 
sol (horas) 
Vida útil 
(dias) 
0 30 
5 24 
10 21 
15 17 
20 13 
 
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04. A motobomba de uma banheira de hidromassagem é refrigerada a água. Se a banheira permanecer por 
muito tempo sem uso, a água parada dentro do equipamento emperra o mecanismo e a mesma deixa de 
funcionar. Com o objetivo deestimar o tempo em que a banheira pode ficar sem uso, algumas unidades foram 
submetidas a um teste. Os resultados encontrados estão na tabela abaixo: ( y = 4,96 + 1,83.x ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é o significado do coeficiente angular b? 
b) Estime a durabilidade quando a banheira for utilizada 10 vezes por mês. (23,26 meses) 
c) Faça uma previsão para o uso da banheira para que a durabilidade seja a 30 meses. (13,68 = 14 vezes) 
d) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. O que este coeficiente indica? (0,8464) 
e) Calcule o erro padrão da estimativa. (8,74) 
 
 
05. O novo gerente de uma loja recebeu a informação de que o seu lucro (mil R$) dependerá diretamente da 
quantidade de produtos distintos que a loja possui. Para analisar esta informação, coletou os seguintes dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a equação da regressão linear simples. (y = 3,3 + 0,74.x) 
b) Faça uma previsão para o lucro da loja se for aumentada para 35 (trinta e cinco) a quantidade de produtos 
distintos. (29,2 mil R$) 
c) Se o objetivo do novo gerente é atingir um lucro de 30 mil R$, qual deve ser a quantidade de produtos 
distintos que a loja deve possuir? (36,08 = 36 produtos distintos) 
d) Determine o quanto as variáveis (quantidade de produtos distintos e lucro) estão relacionadas, analisando a 
sua resposta. (0,9978) 
e) Calcule o erro padrão da estimativa. (0,39) 
Uso (vezes 
por mês) 
Durabilidade 
(meses) 
3 6 
5 17 
8 27 
13 20 
16 45 
17 28 
20 34 
22 53 
Quantidade de 
produtos distintos Lucro (mil R$) 
10 11 
15 14 
20 18 
25 22 
 
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06. Observou-se o volume mensal de lixo gerado em uma cidade (em m³) em função do número de dormitórios 
que as residências possuem. Os dados coletados na pesquisa encontram-se na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a equação da regressão linear simples. (y = 0,05 + 0,14.x) 
b) Qual o significado do coeficiente angular b? 
c) Faça a previsão para o volume de lixo produzido se a residência possuir 6 dormitórios. (0,89 m³) 
d) Determine o número de dormitórios de uma residência se o volume de lixo produzido for igual a 1,1 m³. 
 (7,5 = 8 dormitórios) 
e) Determine o grau de relação entre o número de dormitórios de uma residência e o volume de lixo produzido. 
Analise o resultado encontrado. (0,9899) 
f) Calcule o erro padrão da estimativa. (0,03) 
 
 
 
07. No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno (x) sobre a 
resistência mecânica da massa queimada (y). Foram realizados seis ensaios com níveis de temperaturas 
equidistantes. Os resultados estão na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
a) a equação de regressão linear simples; (y = 36,6 + 3,83.x) 
b) a resistência encontrada no ensaio 8; (67,24 MPa) 
c) o grau de relação entre as variáveis, analisando o resultado encontrado. (0,9747) 
d) o erro padrão da estimativa. (1,84) 
 
 
 
Número de 
dormitórios 
Volume de lixo 
(m³) 
1 0,2 
2 0,3 
3 0,5 
4 0,6 
Níveis de 
temperatura 
Massa 
queimada 
1 41 
2 42 
3 50 
4 53 
5 54 
6 60 
 
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08. Para verificar a viabilidade de incluir resíduos da queima de carvão mineral na composição do cimento, 
foram feitos ensaios com cimento contendo de 0 a 90% de cinza de carvão e medida a resistência à 
compressão (em MPa), após 28 dias. Os resultados foram os seguintes: ( y = 40,24 – 0,35.x ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Faça uma previsão para a resistência à compressão se o percentual de cinza de carvão na composição do 
cimento for igual a 12%. (36,04 MPa) 
b) Determine o grau de relação entre as variáveis, analisando o resultado encontrado. (–0,5194) 
c) Determine o erro padrão da estimativa. (1,84) 
 
 
09. Um estudo foi desenvolvido para verificar o quanto o comprimento de um cabo (metros) de porta serial 
influencia na qualidade da transmissão de dados, medida através do número de falhas em 100.000 lotes de 
dados transmitidos (taxa de falha). Os resultados foram: (y = – 21,2 + 2,5.x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual o significado do coeficiente angular b? 
b) Qual será a taxa de falha se o comprimento do cabo for igual 13 metros? (11,3) 
c) Se o objetivo for estabelecer (em determinado processo de transmissão de dados) uma taxa de falha igual a 
10,5, qual deve ser o comprimento do cabo? (12,68 metros) 
d) Determine o grau de relação entre as variáveis, analisando o resultado encontrado. (0,9810) 
Cinza de 
carvão (%) 
Resistência à 
compressão (Mpa) 
0 38.5 
1 40,2 
2 42,1 
3 37,5 
4 41,1 
5 36,9 
6 38,2 
7 36,7 
8 39,5 
9 35,9 
Comprimento 
do cabo (m) 
Taxa de 
falha 
10 4,2 
12 8,6 
14 12,4 
15 17,5 
 
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Interpretação dos resultados (exercícios das páginas: 26 a 30) 
 
 
Exercício 01 
 
d) r = – 0,9890 (correlação negativa forte – aumenta velocidade / diminuem peças defeituosas) 
e) Se a velocidade aumentar 1 (um) metro/minuto a quantidade de peças defeituosas diminui em 0,6. 
 
 
Exercício 02 
 
b) A cada visita realizada (uma visita) a quantidade de vendas aumenta 4,04 mil R$. 
e) r = 0,9294 (correlação positiva forte – aumenta quantidade de visitas / aumenta quantidade de vendas) 
 
 
Exercícios 03 
 
d) r = – 0,9943 (correlação negativa forte – aumenta a exposição ao sol / diminui a vida útil) 
 
 
Exercício 04 
 
a) A cada vez (uma vez) que a banheira de hidromassagem é usada, a sua durabilidade aumenta 1,83 meses. 
d) r = 0,8464 (correlação positiva forte – aumenta o uso da banheira / aumenta a sua durabilidade) 
 
 
Exercícios 05 
 
d) r = 0,9978 (correlação positiva forte – aumenta a quantidade de produtos distintos / aumenta o lucro) 
 
 
Exercícios 06 
 
b) Se aumentar um (1) dormitório, o volume de lixo aumenta 0,14 m³. 
e) r = 0,9899 (correlação positiva forte – aumenta o número de dormitórios / aumenta o volume de lixo) 
 
 
Exercícios 07 
 
c) r = 0,9747 (correlação positiva forte – aumenta a temperatura / aumenta a massa queimada) 
 
 
Exercícios 08 
 
b) r = – 0,5194 (correlação negativa moderada – aumenta a cinza de carvão / diminui a resistência à 
compressão) 
 
 
Exercício 09 
 
a) Se o comprimento do cabo aumentar um (1) metro a taxa de falha aumenta 2,5. 
d) r = 0,9810 (correlação positiva forte – aumenta o comprimento do cabo / aumenta a taxa de falha) 
 
 
 
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Testes de Hipóteses Estatísticas 
 
Hipóteses Estatísticas 
Hipóteses estatísticas são conjecturas formuladas para a comparação de dois ou mais parâmetros (variáveis) 
quer afirmando que são iguais ou não. 
 
Hipótese nula oude nulidade (Ho): é a primeira a ser formulada. Determina a ausência de diferença entre os 
parâmetros, isto é, simplesmente afirma que não há diferença entre os grupos estudados, atribuindo a 
ocorrência do fenômeno ou resultado observado ao acaso. O objetivo dos testes estatísticos é rejeitar a 
hipótese nula. 
 
Hipótese alternativa (H1 ou HA): contraria a hipótese nula, ou seja, determina a existência de diferença entre 
os parâmetros estudados. 
 
 
Testes de Hipóteses 
O teste de hipóteses é um procedimento estatístico pelo qual se rejeita ou não uma hipótese, 
associando à conclusão um risco máximo de erro. 
 
 
Teste Bilateral Teste Unilateral à direita Teste Unilateral à esquerda 
 
 H0 : µ1 = µ2 H0 : µ1 = µ2 H0 : µ1 = µ2 
 H1 : µ1 ≠ µ2 H1 : µ1 > µ2 H1 : µ1 < µ2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns tipos de testes de hipóteses: 
 
 
VARIÁVEL QUALITATIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESTE FINALIDADE 
Teste Qui-quadrado ( )2χ 
(tabelas de 
contingência) 
 
Testa a correlação entre duas ou mais variáveis qualitativas, 
independentes entre si, ou seja, verifica se 
duas ou mais populações tem a mesma proporção de 
indivíduos com a mesma característica. 
Não existe teoria ou lei cientifica que permite prever as 
freqüências esperadas. 
 
 
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VARIÁVEL QUANTITATIVA 
 
TESTE FINALIDADE 
Teste z 
Análise das médias de uma população ( )0µ e de 
uma amostra ( )x desta população. 
Teste t de Student 
Comparação das médias de duas amostras de 
uma mesma população. 
As amostras podem ser de mesmo tamanho ou desiguais. 
ANOVA (um critério) 
Este teste compara mais de duas amostras cujos dados 
deve ser mensurados em escala intervalar ou de razões. A 
designação um critério é pelo fato de se comparar somente 
as variações entre os tratamentos (colunas). 
As amostras podem ser de mesmo tamanho ou desiguais. 
ANOVA (dois critérios) 
Este teste compara, além da variação entre os tratamentos 
(colunas), a variabilidade entre os blocos (os quais 
correspondem às linhas). 
As amostras devem ter o mesmo tamanho e os escores 
mensurados a nível intervalar ou de razões. 
 
 
 
Análise dos resultados após a realização de Testes Estatísticos em dados de pesquisa 
Como critério de análise utilizaremos o valor de p (probabilidade) bilateral encontrado para verificar se 
diferença significativa entre os dados colhidos na pesquisa: 
 
Não existe diferença significativa: as diferenças encontradas são devido ao acaso. 
Existe diferença significativa: as diferenças encontradas são podem ser atribuídas ao acaso. 
 
Significância estatística de um desvio 
 
• Fica estabelecido um intervalo ao redor da média denominado intervalo de desvios não 
significativos que corresponde a, aproximadamente, 95% dos valores da população ou amostra 
estudada – este valor é arbitrário e denomina-se área ou região de não significância (C). 
• Os valores que se encontram fora deste intervalo são considerados desvios significativos. 
• A letra α indica a região de significância ou nível de significância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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( )
∑








−
=
E
EO 22χ
Teste Qui-quadrado ( )2χ para tabelas de contingência (variáveis qualitativas) 
 
• Verifica se duas ou mais populações (ou amostras) tem a mesma proporção (probabilidade de 
ocorrência) de indivíduos com a mesma característica. 
 
 
Etapas do teste de hipóteses Qui-quadrado 
(1) Estabelecimento das hipóteses estatísticas. 
(2) Estabelecer o nível de significância ( )α . 
(3) Estabelecer os graus de liberdade ( )gl . 
(4) Determinação do valor crítico do teste (valor de qui-quadrado da tabela). 
(5) Determinação do valor calculado do teste (valor de qui-quadrado calculado). 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
gl = graus de liberdade → =gl (linhas da tabela – 1) x (colunas da tabela – 1) 
 
 
E = frequência esperada → =E (total da coluna) x (total da linha) 
 total geral 
 
(6) Tomada de decisão: 
 tabcalc 22 χχ ≥ → rejeita-se Ho 
 tabcalc 22 χχ < → não se rejeita Ho (aceita-se Ho) 
 
(7) Conclusão. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo estão os resultados de um estudo que investiga a efetividade dos capacetes de 
segurança na prevenção de lesões na cabeça. Os dados consistem de uma amostra de 793 indivíduos 
envolvidos em acidentes ciclísticos durante um período especificado de um ano. Verificar, ao nível de 
significância de 5%, se existe associação entre a ocorrência de lesão na cabeça e o uso dos capacetes pelos 
indivíduos envolvidos em acidentes. 
 
 
 
 
 
 
 Com capacete Sem capacete 
Com lesão na cabeça 17 218 
Sem lesão na cabeça 130 428 
 
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Exercícios de fixação: 
 
01. Um estudo está sendo feito sobre as falhas de um componente eletrônico. Há quatro tipos possíveis de 
falhas e duas posições de montagem do componente. Você concluiria, com um nível de significância de 5%, 
que o tipo de falha depende da posição de montagem? 
 
 Falha A Falha B Falha C Falha D 
Posição de montagem 1 22 46 18 9 
Posição de montagem 2 4 17 6 12 
 
 
 
 
02. Foi realizada uma pesquisa em três rios que possuem diferentes índices (níveis) de poluição para verificar 
a incidência de peixes portadores de anomalias congênitas. Em cada um destes rios, foi analisada uma 
amostra de 100 peixes. Você concluiria, com um nível de significância de 5%, que a incidência de anomalia 
congênita nos peixes depende do índice de poluição do rio em estudo. 
 
 Anomalia presente Anomalia ausente 
Baixo nível de poluição 13 87 
Médio nível de poluição 32 68 
Alto nível de poluição 61 39 
 
 
 
 
03. Para estudar a associação entre o sexo (masculino ou feminino) e tabagismo (fumante ou não-fumante) em 
uma certa população, foi observada uma amostra aleatória de 300 pessoas adultas dessa população, fazendo-
se a classificação segundo sexo e tabagismo (os dados colhidos estão apresentados na tabela abaixo). 
Verificar, ao nível de significância de 5%, se existe associação entre as variáveis sexo e tabagismo na 
população em estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Na tabela a seguir observou-se o gênero e a avaliação do desempenho profissional de 200 engenheiros. 
Verificar, ao nível de significância de 5%, se devemos considerar que o desempenho profissional (médio / 
superior) avaliado dos engenheiros está associado ao gênero (masculino / feminino) do profissional observado. 
 
 
 
 
 
 masculino feminino 
fumante 92 38 
não-fumante 108 62 
 Desempenho médio Desempenho superior 
Masculino 81 18 
Feminino 75 26 
 
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05. Num estudo realizado em 150 morros em determinada região, um pesquisador pretende verificar o nível de 
degradação entres os terços: superior, mediano e inferior. Para isso determinou parâmetros para determinaruma área degradada. Pode-se afirmar, com um nível de significância de 5%, que o nível de degradação 
depende do terço analisado (superior, mediano ou inferior)? No caso de existir dependência, qual dos terços 
possui menor degradação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. Em um estudo clínico procurou-se estabelecer a relação entre a incidência de câncer de esôfago e o 
consumo de erva-mate (tomando como referência uma média da quantidade de cuias de chimarrão 
consumidas por dia pelas pessoas entrevistadas). Verifique ao nível de significância de 5%, se esta 
dependência existe. Os dados coletados estão tabelados abaixo: 
 
Câncer de esôfago dez (cuias/dia) vinte (cuias/dia) trinta (cuias/dia) 
Sim 80 75 96 
Não 780 805 910 
 
 
 
 
07. Um inspetor de qualidade toma uma amostra de 220 artigos num centro de distribuição. Se sabe que cada 
produto pode vir de uma de três fábricas e pode ou não estar defeituoso. O inspetor avalia todos os produtos e 
obtém os resultados da tabela. Verificar, ao nível de significância de 5%, se a condição do artigo (defeituoso ou 
não defeituoso) depende da fábrica na qual ele foi produzido. 
 
 
 
Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 
Defeituoso 8 15 11 
Não defeituoso 62 67 57 
 
 
 
 
08. Com o objetivo de investigar a relação entre a situação do emprego no momento em que se aprovou um 
empréstimo e saber se o empréstimo está, agora, pago ou não, o gerente de uma financeira selecionou ao 
acaso 100 clientes obtendo os resultados da tabela. Testar, a um nível de significância de 5%, se existe 
relação entre a situação de emprego e a de empréstimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Com degradação Sem degradação 
Terço superior 34 16 
Terço mediano 36 14 
Terço inferior 08 42 
 Empregado Desempregado 
Empréstimo em mora 10 8 
Empréstimo em dia 60 22 
 
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37 
 
RESPOSTAS 
 
Exercício 01: 
Ho: o tipo de falha do componente eletrônico não depende da posição de montagem 
H1: depende 
Tabela = 7,815 Calculado = 10,72 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o tipo de falha do componente eletrônico 
depende da posição de montagem. 
 
Exercício 02 
Ho: a incidência de anomalia congênita nos peixes não depende do índice de poluição do rio em estudo 
H1: depende 
Tabela = 5,991 Calculado = 51,14 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que a incidência de anomalia congênita nos peixes 
depende do índice de poluição do rio em estudo. 
 
Exercício 03 
Ho: não existe associação entre o sexo (masculino ou feminino) e tabagismo na população em estudo 
H1: existe associação 
Tabela = 3,841 Calculado = 1,74 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que não existe associação entre o sexo (masculino ou 
feminino) e tabagismo na população em estudo. 
 
Exercício 04 
Ho: o desempenho não está associado ao gênero do profissional 
H1: está associado 
Tabela = 3,841 Calculado = 1,67 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o desempenho profissional (médio / superior) 
avaliado dos engenheiros não está associado ao gênero (masculino / feminino) do profissional observado. 
 
Exercício 05 
Ho: o nível de degradação da área não depende do terço do morro (superior, mediano ou inferior) analisado 
H1: depende 
Tabela = 5,991 Calculado = 39,11 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o nível de degradação da área depende do terço 
do morro (superior, mediano ou inferior) analisado. O terço que possui menor degradação é o terço inferior. 
 
Exercício 06 
Ho: a incidência de câncer de esôfago não depende do consumo de erva mate (cuias de chimarrão) 
H1: depende 
Tabela = 5,991 Calculado = 0,628 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que a incidência de câncer de esôfago não depende 
do consumo de erva mate (cuias de chimarrão). 
 
Exercício 07 
Ho: a condição do artigo (defeituoso ou não defeituoso) não depende da fábrica na qual ele foi produzido 
H1: depende 
Tabela = 5,991 Calculado = 1,402 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que a condição do artigo (defeituoso ou não 
defeituoso) não depende da fábrica na qual ele foi produzido. 
 
 
 
 
 
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38 
 
Exercício 08 
Ho: não existe relação entre a situação de emprego do devedor (empregado ou desempregado) e o 
pagamento (ou não) do empréstimo 
H1: existe relação 
Tabela = 3,841 Calculado = 2,18 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que não existe relação entre a situação de emprego 
do devedor (empregado ou desempregado) e o pagamento (ou não) do empréstimo. 
 
 
 
 
 
Distribuição de qui-quadrado ( )2χ 
 
 
 
 
 
 0.20 0.10 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 
gl 
 
 1 
 1.642 2.706 3.841 5.024 5.412 6.635 7.879 9.550 10.828 
 2 
 3.219 4.605 5.991 7.378 7.824 9.210 10.597 12.429 13.816 
 3 
 4.642 6.251 7.815 9.348 9.837 11.345 12.838 14.796 16.266 
 4 
 5.989 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.860 16.924 18.467 
 5 
 7.289 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 18.907 20.515 
 6 
 8.558 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 20.791 22.458 
 7 
 9.803 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 22.601 24.322 
 8 
 11.030 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 24.352 26.124 
 9 
 12.242 14.684 16.919 19.023 19.679 21.666 23.589 26.056 27.877 
 10 
 13.442 15.987 18.307 20.483 21.161 23.209 25.188 27.722 29.588 
 11 
 14.631 17.275 19.675 21.920 22.618 24.725 26.757 29.354 31.264 
 12 
 15.812 18.549 21.026 23.337 24.054 26.217 28.300 30.957 32.909 
 13 
 16.985 19.812 22.362 24.736 25.472 27.688 29.819 32.535 34.528 
 14 
 18.151 21.064 23.685 26.119 26.873 29.141 31.319 34.091 36.123 
 15 
 19.311 22.307 24.996 27.488 28.259 30.578 32.801 35.628 37.697 
 16 
 20.465 23.542 26.296 28.845 29.633 32.000 34.267 37.146 39.252 
 17 21.615 
 24.769 27.587 30.191 30.995 33.409 35.718 38.648 40.790 
 18 
 22.760 25.989 28.869 31.526 32.346 34.805 37.156 40.136 42.312 
 19 
 23.900 27.204 30.144 32.852 33.687 36.191 38.582 41.610 43.820 
 20 
 25.038 28.412 31.410 34.170 35.020 37.566 39.997 43.072 45.315 
 21 
 26.171 29.615 32.671 35.479 36.343 38.932 41.401 44.522 46.797 
 22 
 27.301 30.813 33.924 36.781 37.659 40.289 42.796 45.962 48.268 
 23 
 28.429 32.007 35.172 38.076 38.968 41.638 44.181 47.391 49.728 
 24 
 29.553 33.196 36.415 39.364 40.270 42.980 45.559 48.812 51.179 
 25 
 30.675 34.382 37.652 40.646 41.566 44.314 46.928 50.223 52.620 
 
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Teste Z (variáveis quantitativas) 
 
• Análise comparativa das médias de uma população ( )0µ e de uma amostra ( )x desta população. 
 
Etapas do teste de hipóteses Z 
(1) Estabelecimento das hipóteses estatísticas. 
(2) Estabelecer o nívelde significância ( )α . 
(3) Determinação do valor crítico do teste (valor de Z da tabela). 
(4) Determinação valor calculado do teste (valor de Z calculado). 
 
 








−
=
x
S
xZ 0µ Onde: =XS erro padrão amostral de x → 
n
sS
X
= 
 
 
(5) Tomada de decisão: 
 tabZcalcZ ≥ → rejeita-se Ho 
 tabZcalcZ < → não se rejeita Ho (aceita-se Ho) 
 
(6) Conclusão. 
 
Valores de z para alguns níveis de significância 
 
Nível de confiança 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 
Valor de z 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 
 
 
 
Exemplo 1: Uma fábrica anuncia que o índice de nicotina dos cigarros da marca X apresenta-se abaixo de 26 
mg por cigarro. Um laboratório realiza 10 análises do índice obtendo média 25,3 mg. Sabe-se que o índice de 
nicotina dos cigarros da marca X se distribui normalmente com desvio padrão de 2,32 mg. Pode-se aceitar a 
afirmação do fabricante, ao nível de 5%? 
 
 
Exemplo 2: Padrões técnicos exigem que o nível de ruído em CPDs seja de, no máximo, 70 dB. Forram 
analisados 16 CPDs de várias organizações, obtendo-se os seguintes valores: 
 
78 73 68 65 72 64 77 80 
82 78 65 72 61 79 58 65 
 
Você pode concluir que a intensidade de ruído média nos CPDs nos horários críticos é superior ao 
especificado? Faça o teste adequado ao nível de significância de 5%. 
 
 
 
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40 
 
Exercícios de fixação: 
 
01. Um cliente de uma torrefação de café suspeita que os pesos dos pacotes, que deveriam ser de 500 
gramas, não estão corretos. Resolveu, então, retirar uma amostra dos pesos de 16 pacotes. Pode-se afirmar, 
com significância de 5%, que o peso médio dos pacotes analisados é, em média, inferior a 500 gramas? 
 
 510 495 498 500 501 499 503 500 
 495 492 499 499 497 495 499 501 
 
 
02. A vida média de 100 lâmpadas produzidas por uma firma foi calculada em 1570 horas, com desvio padrão 
de 120 horas. Sabe-se que a duração das lâmpadas dessa firma tem distribuição normal com média de 1600 
horas. Ao nível de significância de 1%, testar se houve alteração na duração média das lâmpadas. 
 
03. O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, 
com média 6,4 segundos. Depois de alguns problemas na rede, acredita-se em um aumento no tempo de 
transmissão de dados. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB. Existe 
evidência suficiente, a partir dos dados (tempos) coletados nos ensaios realizados, de que o tempo médio de 
transmissão tenha aumentado? Use nível de significância de 1%. 
 
Tempo (segundos): 6,8 7,1 5,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,6 6,6 6,3 
 
 
04. O salário dos empregados das indústrias siderúrgicas tem distribuição normal, com média de 4,5 salários 
mínimos e desvio padrão de 0,5. Uma indústria emprega 49 empregados, com um salário médio de 4,3 salários 
mínimos. Ao nível de 5% podemos afirmar que essa indústria paga salários inferiores à média? 
 
05. Um comprador de blocos de cimento acredita que a qualidade dos produtos da marca A esteja se 
deteriorando. Sabe-se, por experiência passada, que a força média de esmagamento desses blocos era de 400 
libras, com desvio padrão de 20 libras. Uma amostra de 100 blocos da marca A forneceu uma força média de 
esmagamento de 390 libras. Admitindo que a força de esmagamento dos blocos siga uma distribuição normal 
pode o fabricante aceitar, ao nível de significância de 5%, que a qualidade dos blocos tenha diminuído. 
 
06. A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição normal, com média de 
1800 kg e desvio padrão de 100 kg. Após uma nova técnica de produção, divulgou-se que a tensão de ruptura 
teria aumentado. Para testar essa declaração, foram analisados 50 cabos, obtendo-se como tensão média de 
ruptura 1850 kg. Pode-se aceitar, ao nível de 5%, a declaração de que a tensão de ruptura teria aumentado? 
 
07. Uma indústria afirma que a média do nível de pH (grau de acidez) na água do rio mais próximo é de 6,8 
com desvio padrão de 0,24. Você seleciona 19 amostras de água desse rio e mede os níveis de pH de cada 
uma. A média amostral é igual a 6,7. Assumindo que a pH da água segue uma distribuição normal, há 
evidência suficiente, ao nível de significância de 0,05, para rejeitar a afirmação da indústria? 
 
08. Como parte de seu trabalho com um grupo de consciência ambiental, você quer testar a afirmação de que 
a média de lixo produzida por adultos nos Estados Unidos é de 4 libras por dia com desvio padrão de 1,21 
libras por dia. Com uma amostra aleatória de 10 adultos nos Estados Unidos, você descobre que a média de 
lixo produzido por pessoa ao dia é de 4,54 libras. Assumindo que a produção de lixo por pessoa segue uma 
distribuição normal você pode dar suporte a essa afirmação, com nível de significância de 5%? 
 
09. Um fabricante de correntes sabe, por experiência, que a resistência à ruptura dessas correntes tem 
distribuição normal com média de 15,9 libras e desvio padrão de 2,4 libras. Uma alteração no processo de 
fabricação é introduzida. Levanta-se, então, uma amostra de 16 correntes fabricadas com o novo processo, 
obtendo-se resistência média de ruptura de 15 libras. Pode esse resultado significar que a resistência média à 
ruptura diminuiu ao nível de 5%? 
 
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41 
 
RESPOSTAS 
 
Exercício 01 
Tabela = 1,960 Calculado = - 1,04 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o peso médio dos pacotes analisados, em média, 
não é inferior a 500 gramas (não existe diferença significativa). 
 
Exercício 02 
Tabela = 2,576 Calculado = - 2,50 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 1%, verificamos que não existe diferença significativa entre as médias, 
ou seja, não houve alteração na duração média das lâmpadas. 
 
Exercício 03 
Tabela = 2,576 Calculado = 2,47 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 1%, verificamos que não existe evidência suficiente (a partir dos dados 
coletados nos ensaios realizados) para confirmar que o tempo médio de transmissão de dados aumentou (não 
existe diferença significativa). 
 
Exercício 04 
Tabela = 1,960 Calculado = - 2,86 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, podemos afirmar que essa indústria paga salários inferiores à 
média (existe diferença significativa). 
 
Exercício 05 
Tabela = 1,960 Calculado = - 5,00 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o fabricante pode aceitar a hipótese de que a 
qualidade dos blocos diminuiu (existe diferença significativa). 
 
Exercício 06 
Tabela = 1,960 Calculado = 3,54 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, podemos aceitar a declaração de que a tensão de ruptura dos 
blocos aumentou (existe diferença significativa). 
 
Exercício 07 
Tabela = 1,960 Calculado = - 1,67 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que não existe diferença significativa entre as médias, 
ou seja, não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria de que a média do nível de pH (grau 
de acidez) na água do rio mais próximo é de 6,8. 
 
Exercício 08 
Tabela = 1,960 Calculado = 1,42 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que não existe diferença significativaentre as médias, 
ou seja, confirmamos a afirmação de que a média de lixo produzida por adultos nos Estados Unidos é de 4 
libras por dia. 
 
Exercício 09 
Tabela = 1,960 Calculado = - 1,50 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que não existe diferença significativa entre as médias, 
ou seja, a resistência média à ruptura das correntes do fabricante não diminuiu. 
 
 
 
 
 
 
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Teste t de Student para duas médias amostrais (variáveis quantitativas) 
 
• O Teste de Hipóteses t é utilizado quando queremos verificar se existe diferença significativa entre o 
valor médio de duas amostras, ou seja, quando precisamos comparar médias (dados qualitativos) de 
duas populações (ou amostras) ou condições experimentais. 
 
Etapas do teste de hipóteses t, para duas médias amostrais 
 
(1) Estabelecimento das hipóteses estatísticas. 
 
(2) Estabelecer o nível de significância ( )α . 
 
(3) Estabelecer os graus de liberdade ( )gl . 
 
(4) Determinação do valor crítico do teste (valor de t da tabela). 
 
(5) Determinação do valor calculado do teste (valor de t calculado). 
 
 Sendo: 
 ( ) ( )
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
xx
calct
+
−
=
 gl = graus de liberdade → ( )221 −+= nngl 
 
 
(6) Tomada de decisão. 
 
tabcalc tt ≥ → rejeita-se Ho 
 tabcalc tt < → não se rejeita Ho (aceita-se Ho) 
 
(7) Conclusão. 
 
 
 
Exemplo 1: O quociente de inteligência (QI) de 16 estudantes de uma zona de certa cidade apresentou média 
de 107 com desvio padrão 10, enquanto que o QI de 14 estudantes de outra zona da mesma cidade 
apresentou a média de 112, com desvio padrão 8. Há uma diferença significativa entre o QI dos dois grupos ao 
nível de significância de 1%? 
 
 
Exemplo 2: Para avaliar o efeito de um brinde nas vendas de determinado produto, planeja-se comparar as 
vendas em lojas que vendem produto com brinde, com as lojas que não oferecem brinde. Os dados 
encontrados encontram-se abaixo relacionados: 
 
Vendas com brinde 43 39 35 36 43 46 
Vendas sem brinde 33 43 26 19 37 27 
 
Os dados mostram evidência suficiente para se afirmar que a oferta do brinde aumenta o volume de vendas? 
Use nível de significância de 5%. 
 
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Exercícios de fixação 
 
01. Amostras de água de dois rios que recebem dejetos provenientes da produção química de duas fábricas (A 
e B) são testadas para verificar o pH (grau de acidez) da água. As 6 amostras provenientes do rio que recebe 
dejetos da fábrica A indicam pH médio de 7,52 com desvio padrão 0,024. As 5 amostras do rio que recebe 
dejetos da fábrica B apresentam o pH médio de 7,49 com desvio padrão de 0,032. Ao nível de significância de 
5%, determinar se existe diferença significativa entre o pH médio das amostras retiradas dos dois rios. 
 
02. Em um posto agrícola foi realizado um teste para testar o efeito de certo fertilizante na produção do trigo. 
Foram escolhidos 24 tratos de terreno de áreas iguais, metade dos quais foi tratado com fertilizante e a outra 
metade não (grupo de controle). Todas as outras condições foram mantidas iguais. A produção média de trigo 
nos tratos sem fertilizante foi de 4,8 sacas com desvio padrão de 0,4 enquanto que a média dos canteiros 
tratados foi de 5,1 sacas com desvio padrão de 0,36. Pode-se concluir que há um aumento significativo da 
produção de trigo por causa do fertilizante, se for adotado um nível de significância de 5%? 
 
03. Um produto fabricado por injeção de plástico é analisado em dois níveis de percentual de talco. Os dados 
seguintes apresentam os resultados da dureza (HRc), segundo o percentual de talco utilizado. Estes dados 
mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto no nível baixo de talco é inferior à 
dureza média do produto no nível alto de talco? Use nível de significância de 5%. 
 
Baixo 51,7 49,4 65,9 60,0 71,1 72,9 71,9 75,1 
Alto 75,2 76,0 63,7 69,6 67,1 69,1 52,8 57,6 
 
 
04. A resistência de dois tipos de tinta (A e B) às condições meteorológicas foi testada segundo os mesmos 
critérios de avaliação. Cinco amostras do tipo A apresentaram uma média de 80 com desvio padrão 5 e, seis 
amostras do tipo B apresentaram uma média de 83 com desvio padrão de 4. Ao nível de 5%, testar a hipótese 
de que os dois tipos de tinta (A e B) apresentam a mesma resistência às condições climáticas. 
 
05. Para comparar dois algoritmos de otimização, foi realizado um experimento com seis ensaios. Em cada 
ensaio foram usados separadamente os dois algoritmos e anotados os tempos de execução (em segundos). 
Verificar, ao nível de significância de 5%, se o tempo de resposta do algoritmo 1 é, em média, inferior ao tempo 
de resposta do algoritmo 2. 
 
Algoritmo 1 8,1 8,9 9,3 9,6 8,1 11,2 
Algoritmo 2 9,2 9,8 9,9 10,3 8,9 13,1 
 
 
06. Dois componentes laboratoriais estão sendo analisados em dois grupos de 21 pessoas. O componente C1 
tem média 7,68 com desvio padrão 0,016. O componente C2 tem média 7,23 com desvio padrão 0,002. Ao 
nível de significância de 5%, verificar se as características do componente 1 (C1) apresentam média superior 
às características do componente 2 (C2). 
 
07. Um engenheiro quer comparar a resistência à tensão (em newtons por mm²) de barras de aço que são 
produzidas usando um método convencional e um método experimental. Para tal, seleciona aleatoriamente 
barras de aço que são fabricadas usando cada método e registra as resistências à tensão. Para as 17 
amostras produzidas pelo método experimental foi encontrada resistência média à tensão igual a 402,76 com 
desvio padrão 11,34 enquanto que, as 14 amostras produzidas pelo método convencional tiveram resistência 
média à tensão igual a 384,00 com desvio padrão de 17,70. Ao nível de significância de 5%, o engenheiro pode 
afirmar que o método experimental produz aço com maior resistência à tensão? O engenheiro deve 
recomendar o uso do método experimental? 
 
 
 
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Probabilidade e Estatística – Faculdade de Engenharia e Arquitetura (FEAR) 
Professora Luciane Daroit 
 
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08. Periodicamente, os clientes de uma empresa são solicitados a avaliar o atendimento prestado por seus 
consultores. As notas atribuídas pelos clientes são medidas em uma escala que atribui notas de zero a dez. O 
consultor A foi avaliado por 16 clientes obtendo média 6,82 com desvio padrão igual a 0,64. O consultor B foi 
avaliado por 10 clientes obtendo média 6,25 com desvio padrão igual a 0,75. Testar, ao nível de significância 
de 5%, se o consultor A possui, em média, uma avaliação de atendimento aos clientes superior à avaliação do 
consultor B. 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
Exercício 01 
Tabela = 2,2622 Calculado = 1,73 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que não existe diferença significativa entre o pH 
médio das amostras retiradas dos rios. 
 
Exercício 02 
Tabela = 2,0739 Calculado = - 1,93 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que não existe um aumento significativo na produção 
de trigo por causa do fertilizante (não existe diferença significativa). 
 
Exercício 03 
Tabela = 2,1448 Calculado = - 0,36 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que a dureza média do produto no nívelbaixo de talco 
não é inferior à dureza média do produto no nível alto de talco (não existe diferença significativa). 
 
Exercício 04 
Tabela = 2,2622 Calculado = - 1,08 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que os dois tipos de tinta (A e B) apresentam a 
mesma resistência às condições climáticas (não existe diferença significativa). 
 
Exercício 05 
Tabela = 2,2281 Calculado = - 1,29 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o tempo de resposta do algoritmo 1, em média, 
não é inferior ao tempo de resposta do algoritmo 2 (não existe diferença significativa). 
 
Exercício 06 
Tabela = 2,0211 Calculado = 127,89 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que as características do componente 1 (C1) 
apresentam média superior às características do componente 2 (C2) (existe diferença significativa). 
 
Exercício 07 
Tabela = 2,0452 Calculado = 3,43 Tomada de decisão: rejeita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o engenheiro pode afirmar que o método 
experimental produz aço com maior resistência à tensão, logo, ele pode recomendar o uso do método 
experimental (existe diferença significativa). 
 
Exercício 08 
Tabela = 2,0639 Calculado = 1,99 Tomada de decisão: aceita-se Ho 
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, verificamos que o consultor A não possui, em média, uma 
avaliação de atendimento aos clientes superior à avaliação do consultor B (não existe diferença significativa). 
 
 
 
 
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Probabilidade e Estatística – Faculdade de Engenharia e Arquitetura (FEAR) 
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Distribuição t de Student 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
gl α
 
0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 α
 
gl 
1 
 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559 1 
2 
 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 2 
3 
 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 3 
4 
 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 4 
5 
 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 5 
6 
 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 6 
7 
 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 7 
8 
 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 8 
9 
 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 9 
10 
 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 10 
11 
 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 11 
12 
 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 12 
13 
 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 13 
14 
 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 14 
15 
 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 15 
16 
 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 16 
17 
 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 17 
18 
 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 18 
19 
 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 19 
20 
 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 20 
21 
 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 21 
22 
 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 22 
23 
 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 23 
24 
 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7970 24 
25 
 1,3163 1,7081 2,0585 2,4851 2,7874 25 
26 
 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 26 
27 
 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 27 
28 
 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 28 
29 
 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 29 
30 
 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 30 
35 
 1,3062 1,6896 2,0301 2,4377 2,7238 35 
40 
 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 40 
45 
 1,3007 1,6794 2,0141 2,4121 2,6896 45 
50 
 1,2987 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 50 
60 
 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 60 
70 
 1,2938 1,6669 1,9944 2,3808 2,6479 70 
80 
 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 80 
90 
 1,2910 1,6620 1,9867 2,3685 2,6316 90 
100 
 1,2901 1,6602 1,9840 2,3642 2,6259 100 
1000 
 1,2824 1,6464 1,9623 2,3301 2,5807 1000