Lista7 (2b)

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Matema´tica Aplicada - GMA
Ca´lculo II-B 2017.1 Profa Fernanda
Lista 7
1. Sendo f(x, y, z) = x2 − y2 + z2, calcule a derivada direcional ∂f
∂~u
no ponto (1, 2, 1) na direc¸a˜o do vetor
~v = 4~i− 2~j + 4~k = (4,−2, 4).
2. A temperatura do ar em pontos do espac¸o e´ dada pela func¸a˜o T (x, y, z) = x2 − y2 + z2. Um mosquito
localizado em (1, 2, 1) deseja esfriar-se o mais ra´pido poss´ıvel. Em que direc¸a˜o ele deve voar?
3. Considere ~u = (a, b) um vetor unita´rio e a func¸a˜o f(x, y) =

xy
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Calcule
∂f
∂~u
(0, 0).
4. Uma func¸a˜o de classe C1 f tem, no ponto (1, 1), derivada direcional igual a 3 na direc¸a˜o do vetor 3~i+ 4~j e
igual a −1 na direc¸a˜o do vetor 4~i− 3~j. Calcule:
(a) ∇f(1, 1);
(b)
∂f
∂~u
(1, 1), onde ~u tem a direc¸a˜o do vetor ~i+~j.
[ Resposta: ∂f
∂~u
(1, 1) = 2
√
2 ]
5. A temperatura de uma chapa e´ dada por T (x, y) = x2 + y2 (x, y em cm e T em ◦C). Calcule de quanto
ela varia aproximadamente, se caminharmos 1 cm a partir do ponto (3, 4) na direc¸a˜o do vetor que faz um aˆngulo
θ = 30◦ com o semi-eixo x positivo. [ Resposta: ≈ 4 + 3√3◦C ]
6. Seja f(x, y, z) = z − ex sin y e P = (ln 3, 3pi/2, 2). Obtenha:
(a) ∇f(P );
(b) A equac¸a˜o de S, a superf´ıcie de n´ıvel de f que conte´m P ;
(c) A equac¸a˜o da reta normal a S em P ;
(d) A equac¸a˜o do plano tangente a S em P .
7. Determine a equac¸a˜o do plano tangente e da reta normal a superf´ıcie x2 + xy2 + y3 + z + 1 = 0, contendo
o ponto P = (2,−3, 4).
8. Descreva parametricamente a reta tangente a` curva de intersec¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 + z2 = 49 e
x2 + y2 = 13, no ponto P = (3, 2,−6).
( Sugesta˜o: Lembre-se de que, se um vetor ~u e´ perpendicular aos vetores ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3),
enta˜o ~u e´ paralelo ao produto vetorial ~v ∧ ~w =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ )