calculo 1 aula 25

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A Diferencial
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por Partes
Te´cnicas de Integrac¸a˜o – 1
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Te´cnicas de Integrac¸a˜o – 1
A Diferencial
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por Partes
Conteu´do
A Diferencial
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por Partes
Te´cnicas de Integrac¸a˜o – 1
A Diferencial
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por Partes
Noc¸a˜o geome´trica
I O diferencial da varia´vel
independente x e´ qualquer
variac¸a˜o arbitra´ria de x ;
I Dessa forma, definiremos
dx = ∆x ;
I A diferencial dy e´ a distaˆncia
percorrida na direc¸a˜o y pela
reta tangente a` f (x);
I Em outras palavras, dy = SR;
I dy 6= ∆y = f (x + ∆x)− f (x)
P
Q
R
S


∆y
dx=∆x
dy
x x+∆x
y
x
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Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
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Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
Seja uma func¸a˜o f definida por y = f (x). A diferencial de y ,
denotada por dy , sera´ definida por
dy = f ′(x) dx ,
em que x esta´ no dom´ınio de f ′ e dx e´ um incremento arbitra´rio de
x .
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A Diferencial
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
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Notas sobre a diferencial
I Pela definic¸a˜o de diferencial temos que f ′(x) =
dy
dx
;
I A diferencial da´ significado de frac¸a˜o a` notac¸a˜o de Leibnitz,
que pode ser agora interpretada como a raza˜o o entre dois
diferenciais;
I Na notac¸a˜o de integral, o dx tambe´m ganhou novo
significado;
I A diferencial herda as propriedades da derivada, desde que
d(y) = d(f (x)) = f ′(x)dx , portanto
• d(c) = 0; • d(x r ) = r x r−1dx ;
• d(ex) = ex dx ; • d(u + v) = du + dv ;
• d(uv) = v du + u dv ; • d(ur ) = r ur−1du;
• . . .
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A Diferencial
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por Partes
Conteu´do
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Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por Partes
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A Diferencial
Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por Partes
Notas iniciais
I As te´cnicas de integrac¸a˜o sa˜o dispositivos matema´ticos
baseados em fatos alge´bricos e do ca´lculo que podem facilitar
a identificac¸a˜o primitivas de func¸o˜es;
I Por ora, na˜o estaremos interessados na integral definida. No
entanto, uma vez determinada a integral indefinida sempre
podemos utilizar o teorema fundamental do ca´lculo;
I Muitas vezes teremos que empregar mais de uma te´cnica para
chegar a uma integral;
I Nem sempre e´ poss´ıvel determinarmos a primitiva de uma
func¸a˜o em termos das func¸o˜es elementares;
I Quando conseguir determinar a primitiva, na˜o se esquec¸a da
constante!
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Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o direta
Integrais do tipo∫
f (g(x)) g ′(x)dx = F (g(x)) + C ,
em que F ′(x) = f (x)
I Essa propriedade e´ consequeˆncia direta da regra da cadeia;
I Exemplo: ∫
2xex
2
dx = ex
2
+ C
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Mudanc¸a de varia´veis – uso do diferencial
A substituic¸a˜o direta pode ser aplicada mais claramente fazendo
uma mudanc¸a de varia´veis e usando diferenciais. No caso do
exemplo anterior far´ıamos:
I u = x2 de forma que du = 2xdx ;
I
∫
2xex
2
dx =
∫
eudu = eu
I Por fim, retornamos para a varia´vel original e somamos a
constante: ∫
2xex
2
dx = ex
2
+ C
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Mudanc¸a de varia´veis – uso do diferencial
A substituic¸a˜o direta pode ser aplicada mais claramente fazendo
uma mudanc¸a de varia´veis e usando diferenciais. No caso do
exemplo anterior far´ıamos:
I u = x2 de forma que du = 2xdx ;
I
∫
2xex
2
dx =
∫
eudu = eu
I Por fim, retornamos para a varia´vel original e somamos a
constante: ∫
2xex
2
dx = ex
2
+ C
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Mudanc¸a de varia´veis – uso do diferencial
A substituic¸a˜o direta pode ser aplicada mais claramente fazendo
uma mudanc¸a de varia´veis e usando diferenciais. No caso do
exemplo anterior far´ıamos:
I u = x2 de forma que du = 2xdx ;
I
∫
2xex
2
dx =
∫
eudu = eu
I Por fim, retornamos para a varia´vel original e somamos a
constante: ∫
2xex
2
dx = ex
2
+ C
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Exemplos
Determine as seguintes integrais:
1.
∫
x2sen(x3)dx ;
2.
∫
cos(2x + pi/3)dx ;
3.
∫
dx√
9− x ;
4.
∫
cos
√
x√
x
dx ;
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Notas sobre integrais que resultam no logaritmo
A integral indefinida da hipe´rbole leva a∫
1
x
dx = ln|x |+ C
I
d
dx
ln|x | = 1
x
, ∀ x 6= 0;
I Observe que uma integral definida para x < 0 e´ calculada
corretamente pela regra acima. Por exemplo:∫ −1
−2
1
x
dx = ln(| − 1|)− ln(| − 2|) = ln(1)− ln(2) < 0
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Exemplos
Determine as seguintes integrais:
1.
∫
cos(x)
3− sen(x)dx ; 2.
∫ 0
−pi/4
tg(x)dx ;
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A Regra do Produto e a Integral
Lembrando da regra para a derivac¸a˜o do produto de func¸o˜es,
temos que
d
dx
[f (x)g(x)] = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x).
Integrando a expressa˜o acima, aplicando o teorema fundamental do
ca´lculo e reorganizando os termos obtemos:∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−
∫
g(x)f ′(x)dx
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Empregando diferenciais
Podemos fazer u = f (x) e v = g(x), de forma que du = f ′(x)dx e
dv = g ′(x)dx . Nesse caso, a fo´rmula de integrac¸a˜o por partes fica:∫
u dv = u v −
∫
v du
Notas sobre a integrac¸a˜o por partes:
I Essa te´cnica pode sempre ser aplicada, mas seu sucesso
depende da boa escolha de u e v ;
I Na˜o e´ raro empregarmos seguidas vezes a integrac¸a˜o por
partes para determinar primitivas de func¸o˜es;
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Exemplos
Determine as seguintes integrais:
1.
∫
x exdx ; 2.
∫
x cos(x)dx ;
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Exerc´ıcios
Determine as seguintes integrais:
1.
∫
x
√
x + 2dx ;
2.
∫
cos2(x)dx ;
3.
∫
x ln(x)dx ;
4.
∫
ln(x)dx ;
5.
∫
arcsen(x)dx ;
6.
∫
sen3(x)dx ;
7.
∫
exsen(x)dx ;
8.
∫
tg2(x)dx
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Refereˆncias
I Livro texto, sec¸o˜es 5.5, 8.1 e 8.2;
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸o˜es 8.3 e 8.4;
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	Integração por Substituição
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