lista2(metodo de newton raphson)

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Lista de Exerc´ıcios 2
Jorge C. Lucero
16 de Marc¸o de 2009
1. Use o me´todo de Newton para encontrar soluc¸o˜es com precisa˜o de 10−5 para os seguintes
problemas:
(a) 2x cos 2x− (x− 2)2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4
(b) (x− 2)2 − lnx = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 e e ≤ x ≤ 4
(c) ex − 3x2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ x ≤ 5
(d) sen x− e−x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1, 3 ≤ x ≤ 4 e 6 ≤ x ≤ 7
2. Use o me´todo de Newton para encontrar todas as soluc¸o˜es de x2 + 10 cos x = 0 com
precisa˜o de 10−5.
3. Use o me´todo de Newton para encontrar as soluc¸o˜es das seguintes equac¸o˜es, nos inter-
valos dados, com precisa˜o de 10−5. Note que a convergeˆncia e´ mais lenta do normal,
pois as ra´ızes na˜o sa˜o simples.
(a) x2 − 2xe−x + e−2x = 0, em [0, 1]
(b) cos(x +
√
2) + x(x/2 +
√
2) = 0, em [−2,−1]
4. O me´todo nume´rico defindo por
xk+1 = xk − f(xk)f
′(xk)
[f ′(xk)]2 − f(xk)f ′′(xk)
pode ser usado em vez do me´todo de Newton para resolver equac¸o˜es com ra´ızes mu´lti-
plas. Repita o exerc´ıcio anterior com este me´todo.
5. Utilize o me´todo de Newton para calcular uma aproximac¸a˜o a 3
√
25 com precisa˜o 10−6.
6. Utilize o me´todo de Newton para calcular a primeira soluc¸a˜o positiva de x = tg x com
precisa˜o 10−5.
7. A func¸a˜o descrita por f(x) = ln(x2+1)− e0,4x cos πx tem um nu´mero infinito de zeros.
(a) Determine, com precisa˜o de 10−6, o u´nico zero negativo.
(b) Determine, com precisa˜o de 10−6, os quatro menores zeros positivos.
(c) Determine uma aproximac¸a˜o inicial razoa´vel para encontrar o ene´simo menor zero
positivo de f (Dica: trace um gra´fico aproximado de f)
Utilize o me´todo de Newton.
8. Problemas que envolvem a quantia necessa´ria para pagar uma hipoteca por um per´ıodo
fixo de tempo utilizam a fo´rmula
A =
P
i
[1− (1 + i)−n],
conhecida como equac¸a˜o da anuidade ordina´ria. Nessa equac¸a˜o, A e´ o total da hipoteca,
P e´ o valor de cada pagamento e i e´ a taxa de juros por per´ıodo, para n per´ıodos de
1
pagamento. Suponha que seja necessa´rio fazer uma hipoteca de uma casa por um
per´ıodo de 30 anos, no valor de R$ 135.000,00, e o tomador do empre´stimo possa dispor
de no ma´ximo R$ 1.000,00 por meˆs. Qual a ma´xima taxa de juros que o tomador do
empre´stimo pode pagar? Utilize o me´todo de Newton.
9. Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentrac¸a˜o na corrente
sangu¨´ınea dada pela func¸a˜o c(t) = A − te−t/3 miligramas por mililitro, t horas depois
de terem sido injetadas no paciente A unidades. A concentrac¸a˜o ma´xima de seguranc¸a
e´ de 1 mg/ml.
(a) Que quantidade deve ser injetada para atingir essa ma´xima concentrac¸a˜o de segu-
ranc¸a? Quando esse ma´ximo ocorre?
(b) Uma quantidade adicional desse medicamento deve ser administrada ao paciente
quando a concentrac¸a˜o cai para 0,25 mg/ml. Determine, ate´ o minuto mais pro´-
ximo, quando essa segunda injec¸a˜o deve ser aplicada.
(c) Assuma que a concentrac¸a˜o de injec¸o˜es consecutivas seja incremental, e que 75% da
quantidade original injetada seja ministrada na segunda injec¸a˜o. Em que momento
devera´ ser ministrada a terceira injec¸a˜o?
Utilize o me´todo de Newton.
10. A seguinte sequ¨eˆncia de aproximac¸o˜es converge a uma raiz simples ξ = 2,37228132326901.
A convergeˆncia e´ linear ou quadra´tica?
k xk
1 1,00000000000000
2 2,64575131106459
3 2,31392495317705
4 2,38454923346593
5 2,36969423481893
6 2,37282653499599
7 2,37216640752794
8 2,37230554365833
9 2,37227621839061
10 2,37228239921165
11 2,37228109649518
12 2,37228137106559
13 2,37228131319505
14 2,37228132539228
15 2,37228132282150
16 2,37228132336334
17 2,37228132324913
18 2,37228132327320
19 2,37228132326813
20 2,37228132326920
11. Repita o exerc´ıcio 1 usando o me´todo da Secante.
12. Repita o exerc´ıcio 2 usando o me´todo da Secante.
13. Utilize o me´todo da Secante para aproximar, com precisa˜o de 10−4, o valor de x que
2
produz o ponto mais pro´ximo de (1, 0) no gra´fico de y = x2 . [Dica: minimize [d(x)]2,
onde d(x) representa a distaˆncia de (x, x2) para (1, 0).]
14. A soma de dois nu´meros e´ 20. Se cada nu´mero e´ adicionado de sua raiz quadrada, o
produto das duas somas e´ 155,55. Use o me´todo da Secante para determine os dois
nu´meros com precisa˜o de 10−4.
Respostas
1. (a) Para x0 = 2, obtemos x4 = 2,370687; e para x0 = 4, obtemos x4 = 3,722113.
(b) Para x0 = 1, obtemos x4 = 1,412391; e para x0 = 4, obtemos x5 = 3,057104.
(c) Para x0 = 1, obtemos x4 = 0,910008; e para x0 = 3, obtemos x9 = 3,733079.
(d) Para x0 = 0, obtemos x4 = 0,588533; para x0 = 3, obtemos x3 = 3,096364; e para
x0 = 6, obtemos x3 = 6,285049.
7. (a) Para x0 = −0,5, obtemos x3 = −0,4341431.
(b) Para x0 = 0,5, obtemos x3 = 0,4506567; para x0 = 1,5, obtemos x3 = 1,7447381;
para x0 = 2,5, obtemos x5 = 2,2383198; para x0 = 3,5, obtemos x4 = 3,7090412.
(c) A aproximac¸a˜o inicial n− 0,5 e´ bastante razoa´vel.
(d) Para x0 = 24,5, obtemos x2 = 24,4998870.
8. 8,10%.
9. (a) e/3, 3 horas; (b) 11 horas e 5 minutos; (c) 21 horas e 14 minutos.
11. Utilizando os extremos dos intervalos como x0 e x1, obtemos:
(a) x6 = 2,370687, x7 = 3,722113
(b) x8 = 1,412391, x7 = 3,057104
(c) x6 = 0,910008, x10 = 3,733079
(d) x6 = 0,588533, x5 = 3,096364, x5 = 6,285049.
13. O ponto tem as coordenadas (0,589755, 0,347811).
14. Os dois nu´meros sa˜o aproximadamente 6,512849 e 13,487151.
Fonte: Richard L. Burden e J. Douglas Faires. Ana´lise Nume´rica. Cengage Learning, Sa˜o Paulo, 2008.
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