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LIMITES
Noc¸a˜o intuitiva e geome´trica de limite e limites laterais
O limite pode ser usado para descrever o comportamento de uma func¸a˜o quando a varia´vel indepen-
dente move-se em direc¸a˜o a um certo valor.
Exemplo 1 Seja f(x) =
sen(x)
x
, onde x e´ medido em radianos. Na Figura 1-(a) esta´ plotado o
gra´fico de f(x).
a) Gra´fico de f
-20 -10 10 20
x
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
b) Ampliac¸a˜o do gra´fico de f perto da origem
-x x
1
f HxL
x
y
Figura 1: Gra´fico de f(x) =
sen(x)
x
Apesar de f(x) na˜o estar definida em x = 0, faz sentido questionar o que acontece com os valores
de f(x), quando x move-se ao longo do eixo x na direc¸a˜o do ponto zero, mesmo na˜o assumindo o
valor x = 0. Consideramos dois casos:
i) quando x aproxima-se de zero pela direita (por valores maiores que zero)
ii) quando x aproxima-se de zero pela esquerda (por valores menores que zero)
Vejamos o pode estar ocorrendo observando a Tabela 1 e a Figura 1-(b). Ela sugere que os valores
de f(x) aproximam-se de um quando x aproxima-se de zero, tanto no caso i) quanto no caso ii).
Tabela 1: Complete a linha correspondente a f(x)
x 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.01
f(x)
x -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.01
Ou seja, o limite a` direita de f(x) quando x aproxima-se de zero (por valores positivos) e´ 1. Deno-
tamos
lim
x→0+
sen(x)
x︸ ︷︷ ︸
limite lateral de f(x) em zero
= 1. (1)
Linites - CA´LCULO I - A – Profa. Magda 2
O limite a` esquerda de f(x) quando x aproxima-se de zero (por valores negativos) e´ 1. Denotamos
lim
x→0−
sen(x)
x︸ ︷︷ ︸
limite lateral de f(x) em zero
= 1. (2)
Como vale (1) e (2), dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de zero e´ 1 e, denotamos
por:
lim
x→0
sen(x)
x︸ ︷︷ ︸
limite de f(x) em zero
= 1. (3)
Exemplo 2 Os limites calculados no exemplo anterior foram baseados em evideˆncias nume´ricas a
partir de valores selecionados de x.
Pode ocorrer que diferentes escolhas de x produzam diferentes concluso˜es para os valores do limite.
Seja f(x) = sen
(pi
x
)
cujo gra´fico esta´ plotado na Figura 2.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
Figura 2:
Tabela 2: Complete a linha correspondente a f(x) = sen
(
pi
x
)
x 1.0 0.1 0.01 0.001 0.0001 -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001
f(x) 0
Os valores calculados na Tabela 2 podem nos conduzir a concluir que
lim
x→0+
sen
(pi
x
)
= lim
x→0−
sen
(pi
x
)
= 0.
Mas isso na˜o e´ correto pois os valores de f(x) oscilam entre 1 e −1 conforme x aproxima-se de zero.
Veja na Figura 2.
Um outro modo de ver isso, por exemplo, e´ considerar valores positivos de x.
Para cada n par, vamos considerar o valor de x correspondente a esse n como sendo xn =
2
2n+ 1
,
temos os valores mostrados na Tabela 3
Linites - CA´LCULO I - A – Profa. Magda 3
Tabela 3: Complete a linha correspondente a f(x) = sen
(
pi
x
)
x 2/5 2/9 2/13 · · ·
f(x) 1
E considerando para cada n ı´mpar, o valor correspondente de x dado por xn =
2
2n + 1
, temos os
valores mostrados na Tabela 4
Tabela 4: Complete a linha correspondente a f(x) = sen
(
pi
x
)
x 2/3 2/7 2/11 · · ·
f(x) −1
Enta˜o, quando x aproxima-se de zero pela direita, os valores de f(x) na˜o se aproximam de valor
algum. Ou seja, o limite lateral a` direita na˜o existe, o mesmo ocorre com o limite lateral a` esquerda.
Consequentemente, tambe´m na˜o existe o limite, quando x tende a zero.
Apesar de evideˆncias nume´ricas poderem nos conduzir a concluso˜es erroˆneas sobre limites, os ca´lculos
nume´ricos podem ser ute´is como um ponto de partida para o estudo de limites.
Exemplo 3 Observe a Figura 3 e responda:
1.5
y = fHxL
-1 1 2 3 4
x
1
2
3
f HxL
Figura 3:
• f(2) =
• lim
x→2+
f(x) =
• lim
x→2−
f(x) =
• lim
x→2
f(x) =
Linites - CA´LCULO I - A – Profa. Magda 4
Exemplo 4 Observe a Figura 4 e responda:
y = fHxL
-1 1 2 3 4
x
1
2
3
f HxL
Figura 4:
• f(2) =
• lim
x→2+
f(x) =
• lim
x→2−
f(x) =
• lim
x→2
f(x) =
Exemplo 5 Observe a Figura 5 e responda:
y = fHxL
-1 1 2 3 4
x
1
2
3
f HxL
Figura 5:
• f(2) =
• lim
x→2+
f(x) =
• lim
x→2−
f(x) =
• lim
x→2
f(x) =
Linites - CA´LCULO I - A – Profa. Magda 5
Dos exemplos 3, 4 e 5, conclui-se que quando x aproxima-se de um certo ponto (nos exemplos que
consideramos, e´ o ponto 2 representado no eixo x), o valor do limite na˜o depende do valor da func¸a˜o
nesse ponto.
Existeˆncia do Limite: Seja f(x) uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo a, exceto
possivelmente em a. Dizemos que:
lim
x→a
f(x) = L, se e somente se lim
x→a+
f(x) = L e lim
x→a−
f(x) = L.
Em cada um dos exemplos 3, 4 e 5, como os limites laterais a` direita e a` esquerda sa˜o diferentes,
segue que o limite de f(x), quando x → 2 na˜o existe.
Exemplo 6 Observe a Figura 6 e responda:
y = fHxL
-3 -2 -1 1 2 3 4
x
-5
5
10
y
Figura 6:
• f(3) =
• lim
x→3+
f(x) =
• lim
x→3−
f(x) =
• lim
x→3
f(x) =
Linites - CA´LCULO I - A – Profa. Magda 6
Exemplo 7 Observe a Figura 7 e responda:
y = fHxL
-3 -2 -1 1 2 3 4
x
-5
5
10
y
Figura 7:
• f(3) =
• lim
x→3+
f(x) =
• lim
x→3−
f(x) =
• lim
x→3
f(x) =