Prova Heloisa Bauzer UFF

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1o VE de Ca´lculo II-B
2o semestre de 2008
Prof: Heloisa Bauzer Medeiros
Quest~ao 1. Para cada uma das func¸o˜es descritas abaixo fac¸a:
• a) Descreva o gra´fico de f e, se poss´ıvel, fac¸a um esboc¸o do mesmo;
• b) Descreva a imagem de f e, se poss´ıvel, fac¸a um esboc¸o da mesma;
• b) Descreva, quando fizer sentido, os conjuntos de n´ıvel 0 e 1 de f .
a) F (x, y) = 2x2 − y b) f(t) = (t, sen(t))
c) F (x, y, z) = x− 2y + z d) F (x, y) = (x, 2x, y)
Quest~ao 2. Se F (x, y) = ln(x2y), calcule Fxy.
Quest~ao 3. Considere g(x, y) = (x2y, xy2), h(u, v) = (α, β) e w(α, β) =
α2ln(β). Seja f(x, y) = w ◦h◦ g(x, y). Sabe–se que h(2, 4) = (3, 5), h(1, 2) =
(−1, 1) e
Dh(1, 2) =
(
2 −1
3 2
)
Dh(2, 4) =
(
0 1
pi 2
)
Dh(3, 5) =
(
2
√
5
−3 2
)
Dh(−1, 1) =
( √
2 1
0 2
)
Calcule Df(1, 2).
Quest~ao 4. Uma curva γ e´ imagem de t 7→ (x(t), y(t)). Sabe–se que x(1) =
3, y(1) = 2, x′(1) = 4, y′(1) = −10 Esta mesma curva e´ gra´fico de uma
func¸a˜o diferencia´vel f(x). Calcule f ′(3).
Quest~ao 5. Seja γ ⊂ R2 a curva y = x3 − x. Encontre func¸o˜es f , g e h tais
que γ e´ gra´fico de f , conjunto de n´ıvel de g e imagem de h.
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