GEOMETRIA_ANALÍTICA

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MATEMÁTICA III 1 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA .............................................................. 2 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA ........................................................ 8 
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA .............................................. 14 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA............................................................... 15 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO ................... 18 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO ........................................................ 26 
CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ......................................... 29 
ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS ........................................ 34 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ............................................... 35 
ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR ..................................................... 40 
RESPOSTAS ..................................................................................... 44 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 46 
 
 
 
 
 
 
 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro 
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo 
FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto 
durante o triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 3. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 
 A toda reta r do plano está 
associada uma equação na forma 
ax + by + c = 0 onde a, b e c são números 
reais e a e b não são simultaneamente 
nulos. Qualquer par ordenado (x, y) que 
satisfaz a equação citada representa um 
ponto de r. 
 
 
 
 
 
 Dados os pontos A(x1, y1) e 
B(x2, y2), consideremos um ponto 
genérico G(x, y) pertencente à reta 
determinada por A e B, então podem os 
escrever que: 
 
0
1
1
1
22
11

yx
yx
yx
 
 
e, desenvolvendo o determinante, temos 
 
012122121  yxyxxyyxxyyx
 
 
    012211221  yxyxxxyyyx
 
 
e, por fim, fazendo 
ayy  21
, 
bxx  12
 e 
cyxyx  1221
, temos: 
 
    012211221  
cba
yxyxxxyyyx
 
 
 
0 cbyax
 
 
 
 
 
que é chamada de EQUAÇÃO GERAL da 
reta. 
 
 
 
 É importante destacar, que, a 
partir do que vimos, qualquer reta possui 
uma equação geral e esta pode ser 
encontrada a partir de dois de seus 
pontos. 
 
 Vale ressaltar também que uma 
mesma reta pode assumir equações 
diferentes visto que a equação 
encontrada depende dos pontos 
A(x1, y1) e B(x2, y2) considerados. 
Entretanto, independente dos pontos 
escolhidos, as diferentes equações de 
uma mesma reta são equivalentes, daí 
concluímos que uma reta r do plano está 
associada à um conjunto de equações 
equivalentes e que um conjunto de 
equações equivalentes está associado à 
uma reta. 
 
 O coeficientes a e b não serão 
simultaneamente nulos se os pontos 
A(x1, y1) e B(x2, y2), forem distintos, 
observe: 
 
BA
xxxxb
yyyya






2112
2121
00
00 
 
 A seguir, veremos alguns 
exemplos. 
 
 
MATEMÁTICA III 3 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
 
Ex.1: Escrever a equação da reta que 
passa pelos pontos A(5, -1) e B(2, 3). 
 
Resolução: 
0
1
132
115


yx
 
0253215  yxyx
 
01734  yx
 
 
Logo, a equação procurada é 
01734  yx
. 
 
Observações: 
 
1. Note que não é necessário fazer o 
esboço da reta em questão para 
encontrar sua equação. 
 
2. É possível verificar se a resposta 
está correta substituindo as 
coordenadas dos dois pontos A e B 
dados na equação encontrada, veja: 
 
Para A(5, -1): 
 
00
017320
0171354
01734



 yx
 
 
Para B(2, 3) 
00
01798
0173324
01734



 yx
 
 
Como, em ambos os casos, 
encontramos igualdades verdadeiras, 
podemos afirmar que a resposta está 
correta. 
 O que acabamos de fazer é, na 
verdade, uma forma de verificar se um 
ponto A pertence a uma reta r. 
 
 Vale ainda ressaltar que podemos 
multiplicar ambos os termos da equação 
encontrada por um número real qualquer 
diferente de zero. Isto apenas nos 
entregará uma outra equação da mesma 
reta. Assim, multiplicando os dois termos 
por -1, encontramos: 
 
 
01734
101734


yx
yx
 
 
Ex.2: Encontre a equação da reta da 
figura abaixo: 
 
 
Resolução: 
 
Para escrever a equação devemos 
escolher dois pontos da reta, vamos 
tomar, neste exemplo, os pontos B(-2, 1) 
e E(6, 5). 
 
0
1
156
112


yx
 
 
0625610  yxyx
 
01684  yx
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Vamos, agora, escolher outro par 
de pontos: faremos com os pontos 
A(-6, -1) e D(4, 4). 
 
0
1
144
116


yx
 
 
0464424  yxyx
 
020105  yx
 
 
Note que a equação encontrada foi 
diferente mas as duas são equivalentes, 
veja: 
 
 
042
5020105
401684






yx
yx
yx
 
 Logo, a equação da reta da figura 
e 
042  yx
. 
___________________________ 
Nesta vídeo-aula, podemos ver uma 
forma diferente de se encontrar a 
equação geral de uma reta a partr de dois 
pontos conhecidos. 
 
 
01) Determinar as equações das retas 
suporte dos lados do triângulo ABC 
determinado pelos pontos A(0, 0), 
B(1, 3) e C(4, 0). 
 
 
MATEMÁTICA III 5 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
02) Determinar a equação da reta 
definida pelos pontos 






2
5
,
2
7
A
 e 







2
7
,
2
5
B
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) A reta determinada por A(a, 0) e B(0, 
b) passa por C(3, 4). Qual a relação entre 
a e b? 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
04) A reta determinada por A(p, q) e 
B(3, -2) passa pela origem. Qual a 
relação entre p e q? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) Prove que os pontos A(a; b+c), 
B(b; a+c) e C(c; a+b) são colineares e 
determine a equação de reta que os 
contém. 
 
MATEMÁTICA III 7 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
06) Dados A(-5, -5), B(1, 5), C(19, 0) e 
r:5x – 3y = 0, verificar se r passa pelo 
baricentro do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 60 – Exercício 06 
______________________ 
07) Desenhar no plano cartesiano as 
retas cujas equações são dadas a seguir: 
 
r: y = 2x 
s: x + y = 5 
t: x – y + 5 = 0 
u: x + y + 3 = 0 
v: 2y + x = 0 
w: x – y – 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 
 Dada a equação geral de uma reta 
não vertical r: ax + by + c = 0 como a 
apresentada na página 2 desta mesma 
apostila, vamos isolar y: 
 
b
c
x
b
a
y
caxby
cbyax


 0
 
 
Fazendo 
b
a
m 
 e 
b
c
n 
, temos 
 
 
nmxyr :
 
 
denominada equação reduzida da reta. 
 
 Os dois coeficientes que 
apareceram na equação reduzida 
merecem um estudo especial. 
Acompanhe: 
 
 Sejam A(x1; y1) e B(x2; y2) dois 
pontos de uma reta r: ax + by + c = 0 e  
o ângulo formadoentre r e o eixo das 
abscissas no sentido positivo. 
 
 
temos que: 
 
12
12
xx
yy
AC
BC
tg



 
 
pelo que foi definido na página 2, temos 
que 
12 yya 
 e 
12 xxb 
. Assim, 
podemos reescrever a expressão acima 
substituindo, em seguida, a e b: 
 
 
 
1 22 1
2 1 2 1
y yy y a
x x x x b
 
  
 
 
 
como está definido na coluna anterior, 
b
a
m 
, assim, concluímos que: 
 
tgm 
 
 
 
daí m ser chamado de coeficiente 
angular da reta ou simplesmente de 
declividade. 
 
 Para r vertical, temos x = 0 logo 
não há como representar esta reta por 
meio de uma equação reduzida visto que, 
inclusive, m não é definido para este tipo 
de reta. 
 
 Falando ainda da equação 
y = mx + n, fazendo x = 0, temos y = n, 
assim podemos concluir que a reta cruza 
o eixo das ordenadas no ponto 
(0, n) daí n ser chamado de coeficiente 
linear da reta. 
 
 A interpretação correta destes dois 
coeficientes é de suma importância para 
a perfeita localização de uma reta no 
plano. 
 
 
 
Ex.1: Reescrever na forma reduzida a 
equação da reta r dada por 
0623:  yxr
. 
 
Resolução: 
 
 
MATEMÁTICA III 9 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
3
2
3
632
0623



xy
xy
yx
 
 
Logo, 
3
2
3
:  xyr
 
 
 
Ex.2: Escrever a equação reduzida da 
reta que passa por A(0, 3) e B(-1, 0). 
 
Resolução: 
 
 
 
 Como a reta passa pelo ponto 
(0, 3) já sabemos que n = 3. Falta 
determinar o valor de m que pode ser 
encontrado fazendo-se 
x
y


: 
 
 
3
10
03










ba
ba
xx
yy
x
y
m
 
 
Assim, a equação procurada é 
 
y = 3x+3 
 
 
Ex.3: Obter a equação reduzida da reta 
que passa pelo ponto K(3, -1) e forma 45º 
com o eixo OX. 
 
Resolução: 
 
 
 
1
º45



m
tgm
tgm 
 
 
 
Já sabemos que m = 1, agora, tomando 
um ponto genérico (x, y) podemos 
escrever: 
 
 
4
31
1
3
1





xy
yx
x
y
 
 
Assim, a equação procurada é y = x + 4. 
 
 
Ex.4: Escrever a equação reduzida da 
reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e 
B(5, -4). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Podemos substituir as 
coordenadas dos pontos em y = mx + n e 
resolver um sistema, veja: 
 
Para A(-3, 2), temos 2 = -3m + n. 
Para B(5, -4) temos -4 = 5m + n. 
 
4
3
68
45
23
45
23












mm
nm
nm
nm
nm
 
4
1
2
4
3
323 





 nnnm
Logo, 
4
1
4
3
 xy
 
 
Observação: Os 4 exemplos acima 
podem ser resolvidos de várias outras 
formas mas o objetivo foi mostrar apenas 
algumas soluções. 
 
Nesta vídeo-aula, podemos ver uma 
forma diferente de se encontrar a 
equação reduzida de uma reta a partir de 
dois pontos conhecidos. 
 
 
08) Determine o coeficiente angular da 
reta que passa por (0, 2) e (5, 1) e a 
seguir escreva sua equação reduzida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Obtenha a equação reduzida da reta 
que possui coeficiente linear -2 e 
coeficiente angular -3. 
 
MATEMÁTICA III 11 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
10) Dentre os pontos A(5; -1), B(1; -5), C






 3;
3
1
 e D






 2;
2
1
 quais pertencem à 
reta da questão anterior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Escreva a equação reduzida da reta 
que passa pelo ponto 
 3;5
 e forma, 
com o eixo das abscissas um ângulo de 
60º no sentido positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Determine as equações reduzida e 
geral de uma reta que passa pela origem 
e pelo ponto 






1;
2
7
. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
13) Determine os coeficientes angular e 
linear da reta de equação 
3x + 4y – 12 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Encontre a tangente do ângulo  
indicado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Qual a equação da reta mostrada na 
figura abaixo? 
 
 
 
MATEMÁTICA III 13 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
16) Determine a equação da reta que 
passa por P(2, 3) e pelo ponto Q 
simétrico de P em relação à origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Dados B(-3, -9) e C(-4, 2), determine 
a equação da reta que passa pelo ponto 
médio de BC e tem declividade 
2
3
. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
18) Na figura, OABC é um quadrado. 
Determine as equações das retas AB e 
BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Qual a área do quadrado OABC da 
questão anterior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA 
RETA 
 
Consideremos uma reta que 
intercepta os eixos cartesianos nos 
pontos P(p, 0) e Q(0, q) distintos, como 
na figura: 
 
 
 A equação da reta é: 
 
 
0
10
10
1

p
q
yx
 
 
0 pqpyqx
 
 
pqpyqx 
 
 
pq
pq
pq
pyqx


 
 
 
1
q
y
p
x
 
 
 
Esta equação é denominada 
equação segmentaria. 
 
 
Ex.1: Obter a equação geral da reta que 
intercepta o eixo Ox no ponto P(2, 0) e o 
eixo Oy no ponto Q(0, -3). 
 
Resolução: 
Como temos os pontos de interseção da 
reta com os eixos, podemos partir da 
ideia de equação segmentária. 
 
MATEMÁTICA III 15 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
1
2 3
3 2 6
6 6
3 2 6
3 2 6 0
x y
x y
x y
x y
 



 
  
 
Assim, a equação procurada é 
3x – 2y – 6 = 0. 
 
Ex.2: Sendo P(p, 0) e Q(0, q) os pontos 
de intersecção da reta 
0ax by c  
 
onde 
0a b c  
 com cada um dos eixos 
coordenados, escreva p e q em função e 
a, b e c. 
Resolução: 
Se P e Q pertencem à reta, então: 
0 0 ...
c
a p b c p
a
        
 
0 0 ...
c
a b q c p
b
        
 
Ex.3: Qual a equação segmentaria da 
reta de equação geral 4x – 9y + 5 = 0? 
Resolução: 
 
4 9 5 0
4 9 5
4 9 5
5 5 5
1
5 5
4 9
x y
x y
x y
x y
  
  
 
 
  
 

 
 
Esta é a equação que estamos 
procurando e concluímos que a reta 
intercepta os eixos nos pontos 
5
,0
4
P
 
 
 
 
e 
5
0,
9
Q
 
 
 
 . 
 
 
 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA 
 
As equações geral, reduzida e 
segmentária relacionam diretamente 
entre si as coordenadas (x, y) de um 
ponto genérico da reta. As equações 
paramétricas dão as coordenadas (x, y) 
de um ponto qualquer da reta em função 
[geralmente linear] de uma terceira 
variável t chamada de parâmetro. 
 
 Assim, temos que: 
 
   1 2x f t e y f t 
 
 
 A partir destas equações 
paramétricas, encontramos a equação 
geral isolando e eliminando o parâmetro 
t. 
 
Ex.1: Qual a equação geral da reta onde 
2
5
t
x


 e 
3 1y t 
? 
Resolução: 
Isolando o parâmetro t em ambas as 
equações, temos: 
2
2 5 5 2
5
1
3 1 3 1
3
t
x t x t x
y
y t t y t

      

      
 
Comparando as equações, obtemos: 
1
5 2
3
15 6 1
15 5 0
y
x
x y
y

 
  
  
 
Assim, a equação procurada é 
15 5 0y  
. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUSOURO PRETO 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 Como forma geral, no caso em que 
é dada a equação de uma reta numa 
determinada forma e pedida em outra, tal 
mudança deve ser feita passando pela 
forma geral. Veja este exemplo: 
 
 
Ex. Determine a equação reduzida da 
reta 
1
2
:
2
4
t
x
r
t
y



 

. 
Resolução: 
Vamos em princípio escrever a equação 
geral de r: 
1
1 2 1 2
2
2
4 2 4 2
4
4 2 1 2
2 4 3 0
t
x t x t x
t
y y t t y
y x
x y

      

      
  
  
 
Agora vamos passar para a forma 
segmentária: 
2 4 3 0
2 4 3
2 4 3
3 3 3
1
3 3
2 4
x y
x y
x y
x y
  
 
 
 
 
Aí está, então, a equação segmentária 
de r. 
 
DICA: Compare a forma paramétrica e a 
segmentária de reta r e tira algumas 
conclusões. 
 
 
 
 
 
 
 
20) Determinar a equação reduzida da 
reta AB quando A = (-1, 1) e B = (7, 25). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determinar 
a equação segmentária da reta AB. 
 
 
MATEMÁTICA III 17 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
22) Determinar a equação geral das retas 
abaixo: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) Quais as coordenadas do ponto de 
intersecção com o eixo horizontal da reta 
do item c) acima? 
 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
24) Dadas as equações paramétricas de 
uma reta 
5 3
:
2 4
 

 
x t
r
y t
 , determinar a 
equação segmentária de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) Achar as coordenadas do ponto de 
intersecção entre as retas r e s onde: 
` 3 ` 3
: :
2 2
x t x u
r t e s u
y t y u
   
  
   
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE 
DUAS RETAS NO PLANO 
 Dadas duas retas r e s cujas 
equações são: 
1 1 1
2 2 2
:
:
 

 
r a x by c
s a x b y c
 
elas podem ocupar três posições 
relativas no plano cartesiano. Essas 
posições podem ser definidas com base 
na quantidade de pontos em comum 
entre as retas, isto é: 
 
r e s concorrentes 
↕ 
 um ponto em comum 
 
r s
 
 
r e s paralelas distintas 
↕ 
nenhum ponto em comum 
 
r s  
 
 
r e s coincidentes 
↕ 
Infinitos pontos em comum 
 
r s
 
 
Obs: Com o símbolo 
r s
 
indicaremos que as retas r e s são 
concorrentes, com o símbolo 
r s  
 
indicaremos que r e s são paralelas e 
distintas e com 
r s
, indicaremos que r 
e s são coincidentes. É importante 
destacar ainda que r // s indica 
r s  
 
ou 
r s
. 
 
MATEMÁTICA III 19 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
 Todo ponto comum a r e s é 
solução de um sistema linear formado 
pelas equações das retas r e s: 
 
1 1 1
2 2 2
:
:
 

 
r a x b y c
s a x b y c
 
 
 Se o sistema é possível e 
determinado, a única solução será o 
ponto de intersecção das retas r e s. 
Caso o sistema não apresente solução, 
podemos concluir que as retas são 
paralelas e distintas e, por fim, se o 
sistema for indeterminado, as retas r e s 
são coincidentes. 
 
 Vamos “resolver” o sistema acima 
a fim de entender a caracterização da 
posição relativa entre duas retas a partir 
dos coeficientes a, b e c de suas 
equações gerais: 
 
1 1 1
2 2 2
: 1
: 2
  

 
r a x b y c
s a x b y c
 
 
fazendo 
21 b
 e 
 12  b
, temos: 
 
1 2 1 2 2 1
2 1 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2 3
  

    
  
a b x bb y b c
a b x bb y b c
x a b a b b c b c
 
 
agora, fazendo 
 21  a
 e 
12 a
, 
obtemos: 
 
 
1 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 4
    

  
  
a a x a b y a c
a a x a b y a c
y a b a b a c a c
 
 
e, assim, temos que: 
2 1 1 2
1 2 2 1
3 :



b c b c
de x
a b a b
 
e 
1 2 2 1
1 2 2 1
4 :



a c a c
de y
a b a b
 
 
Assim, se 
1 2 2 1 0 a b a b
 podemos 
afirmar que x e y são únicos, logo r e s 
são concorrentes: 
 
1 1
1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
0     
a b
a b a b a b a b
a b
 
 
Por outro lado, se 
1 2 2 1 0 a b a b
 o 
sistema será indeterminado ou 
impossível: se 
2 1 1 2 0 b c b c
 e 
1 2 2 1 0 a c a c
 o sistema será 
indeterminado e r e s serão coincidentes; 
se 
2 1 1 2 0 b c b c
 ou 
1 2 2 1 0 a c a c
 então o 
sistema é impossível e as retas r e s são 
paralelas distintas: 
 
1 1 1
2 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2
0 0      
a b c
b c b c e a c a c
a b c
1 1 1
2 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2
0 0      
a b c
b c b c ou a c a c
a b c
 
e, desta forma, podemos resumir: 
 
r s
 

 
1 1
2 2

a b
a b
 
 r s
 

 
1 1 1
2 2 2
 
a b c
a b c
 
r s
 

 
1 1 1
2 2 2
 
a b c
a b c
 
 
 
Ex.1: Verificar a posição relativa das 
retas r e s em cada caso: 
a) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 
Resolução: 
 
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
1 1
2 2
1 2
2 3
   
a b
a b
 r e s são concorrentes 
 
b) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 3x + 6y + 1 = 0 
Resolução: 
1 1 1
2 2 2
1 2 3
3 6 1
    
a b c
a b c
 

r e s paralelas distintas 
 
c) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 
Resolução: 
 
1 1 1
2 2 2
1 2 3
2 4 6
    
a b c
a b c
 

r e s paralelas coincidentes 
 
Ex.2: Verificar a posição relativa das 
retas r: x + y + m = 0 e s: x + y + 2 = 0. 
Resolução: 
1 1
2 2
1 1
1 1
   
a b
a b
r e s são paralelas 
Para m = 2 temos 
r s
(coincidentes) 
Para m ≠2 temos 
 r s
 (paralelas 
distintas) 
 
26) Achar a intersecção entre as retas 
: 2 3 0  r x y
 e 
: 2 3 5 0  s x y
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27) As retas suportes dos lados do 
triângulo ABC são 
:3 4 0 AB x y
, 
: 4 3 0 AC x y
 e 
: 7 0  BC x y
. 
Encontre os vértices deste triângulo. 
 
 
 
MATEMÁTICA III 21 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
28) Mostre que as retas 
: 2 3 1 0  r x y
, 
: 0 s x y
 e 
: 3 4 1 0  t x y
 concorrem 
num mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) Mostre que as retas 
: 2 0 r x y
, 
: 2 8 0  s x y
 e 
   : 1 2 1 8 0    t k x k y
 concorrem 
num mesmo ponto P, ∀ k ∈ ℝ 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
30) Determine k para que as retas de 
equações x + 2y – 2k = 0, kx – y – 3 = 0 
e 2x – 2y – k = 0 sejam concorrentes no 
mesmo ponto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31) Mostre que as retas 
: 2 3 0r x y 
, 
   : 2 1 3 2 5 0s m x m y    
 e 
: 2 5 0t x y  
 são concorrentes num 
mesmo ponto, qualquer que seja m. 
 
 
MATEMÁTICA III 23 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
32) Determine a de modo que as retas 
: 3 0r x y a  
, 
: 3 1 0s x y  
 e 
5 1 0x y  
 sejam suportes para os 
lados de um triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33) Em cada caso, determine a equação 
da reta que passa peloponto P e é 
paralela à reta r: 
a) P(1, 2) e 
:8 2 1 0  r x y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(2, 5) e 
: 1
2 3
 
x y
r
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) P(4, -4) e 
: 5 0  r x y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) P(-1, 3) e 
: 2 5 7 0  r x y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) P(-4, 2) e 
: 2 0 r y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) P(2, -5) e 
: 2r x
 
 
MATEMÁTICA III 25 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
34) Determine o perímetro do triângulo 
ABC que verifica as seguintes 
condições: 
 O vértice A pertence ao eixo OX 
 O vértice B pertence ao eixo OU 
 A reta BC tem equação 
0x y 
 
 A reta AC tem equação 
2 3 0x y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35) Dadas as retas: 
: 2 3 0
: 2 3 0
: 2 5 0
: 2 4 3 0
: 3 6 3
: 4 2 6
r x y
s x y
t x y
u x y
v x y
z x y
  
  
  
  
  
  
 
Determine a posição relativa entre: 
r e s 
r e t 
r e u 
r e v 
r e z 
s e t 
s e u 
s e v 
s e z 
t e u 
t e v 
t e z 
u e v 
u e z 
v e z 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
36) Quando nos deparamos com a 
equação 2x + 6y – 10 = 0 temos o hábito 
de dividir todos os coeficientes por 2 a fim 
de simplificar os coeficientes. Neste caso, 
obtemos a equação x + 3y – 5 = 0. 
Verifique se as duas equações 
representam ou não a mesma reta. 
 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO 
 
 Dadas duas retas r e s, não 
verticais, são paralelas se, e somente se, 
seus coeficientes angulares são iguais. 
 
 
/ / r sr s m m 
 
 
 
Demonstração: 
 
 
 
1 2
1 2
/ /
r s
r s
tg tg
m m
 
 



 
 
 
Ex.1: Verificar se as retas 
: 3 6 1 0r x y  
 e 
: 2 4 7 0s x y  
 são 
paralelas. 
Resolução: Vamos escrever as duas 
equações na forma reduzida: 
Reta r: 
3 6 1 0
6 3 1
3 1
6
1 1
2 6
x y
y x
x
y
y x
  
  
 

  
 
 
1
2
rm  
 
Reta s: 
2 4 7 0
4 2 7
2 7
4
1 7
2 4
x y
y x
x
y
y x
  
  
 

  
 
 
1
2
sm  
 
 
Como mr=ms, podemos afirmar que r//s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 27 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
Ex.2: Escrever a equação da reta s que 
passa pelo ponto (3, -1) e é paralela á 
reta 
: 2 3 6 0r x y  
. 
Resolução: 
Vamos, em princípio, encontrar a 
inclinação da reta r escrevendo sua 
equação reduzida: 
2 3 6 0
3 2 6
3 2 6
2 6
3
2
2
3
x y
y x
y x
x
y
y x
  
   
 


 
 
assim, concluímos que 
2
3
rm 
. Como 
r sm m
 pois s deve ser paralela a r, já 
conhecemos a inclinação de s e um de 
seus pontos. Usaremos agora o mesmo 
princípio visto nos exemplos 3 e 4 das 
páginas 145 e 146: 
 
 12
3 3
2 6 3 3
2 3 9 0
p
s
p
y y
m
x x
y
x
x y
x y



 


  
  
 
 
daí, a equação procurada é 
: 2 3 9 0s x y  
. 
 
Obs.: Existe uma outra forma de resolver 
esta questão e partiremos da ideia de que 
duas retas paralelas, quando escritas na 
forma geral (
0ax by c  
) possuem os 
coeficientes a e b iguais diferenciando 
apenas o coeficiente c caso não sejam 
coincidentes. Daí substituímos as 
coordenadas do ponto P em r deixando c 
como incógnita, observe: 
 
2 3 0
2 3 3 1 0
6 3 0
9 0
9
x y c
c
c
c
c
  
     
  
 
 
 
 
por fim, substituímos 
9c  
 na primeira 
linha a fim de encontrarmos a equação e 
fica 
: 2 3 9 0s x y  
. 
 
 
37) Determinar a equação da reta s que 
contém P(-5, 4) e é paralela à reta de 
equações paramétricas 
3
:
2 5
x t
r
y t


 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
38) Determinar a equação da reta que 
passa por P(-5, 2) e é paralela à reta 
definida por 
1 6
,
2 5
A
 
 
 
 e 
3 4
,
2 5
B
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39) Determinar a equação da reta que 
passa pelo ponto de intersecção das 
retas r e t e é paralela à reta s. Dados: 
: 1
2 2
x y
r  
, 
3
:
2 3
x t
s
y t


 
 e 
: 3 4 0t x y 
. 
 
 
MATEMÁTICA III 29 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
40) Dois lados de um paralelogramo 
ABCD estão contidos nas retas 
: 2r y x
 
e 
: 2s x y
. Dado o vértice 
(5, 4)A
, 
determine os vértices B, C e D. 
 
CONDIÇÃO DE 
PERPENDICULARISMO 
 
 Duas retas r e s são 
perpendiculares entre si se, e somente 
se, o produto de seus coeficientes 
angulares for igual a -1. 
 
 
1r sr s m m    
 
 
 
Demonstração: 
 
Conforme o caso, das figuras acima, 
tiramos: 
2 1
2

  
 ou 
1 2
2

  
 
Pois o ângulo externo é igual a soma dos 
ângulos externos não adjacentes, 
lembra-se? 
 
Então: 
 
2 1
2 1
2 1
2
1
2 1
2
2
cot
1
1
1r s
tg tg
tg g
tg
tg
tg tg
m m r s

 

 
 


 
 
 
  
 
 
 
  
    
 
 
 
 
Observação: 
Existem duas formas práticas de 
determinar se duas retas são 
perpendiculares: 
 
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
1. A partir de suas equações reduzidas 
: r rr y m x b 
 e 
: s ss y m x b 
, as 
retas r e s serão perpendiculares se: 
 
 
1
r
s
m
m
 
 
 
 
2. A partir de suas equações gerais 
: 0r r rr a x b y c  
 e 
: 0s s ss a x b y c  
, as retas r e s 
serão perpendiculares se: 
 
 
0r s r sa a b b 
 
 
 
 
 
 
Ex.1: Verificar se as retas 
: 3 2 1 0r x y  
 e 
: 4 6 3 0s x y  
 são 
perpendiculares. 
 
Resolução: 
 
3
2 3 2
1
2 34 2
6 3
r
r
r
s
s
s
a
m
b
a
m
b

    

    
    
 
 
 
logo, as retas r e s são perpendiculares. 
 
Ex.2: Escreva a equação da reta s que 
passa pelo ponto (6, -1) e é perpendicular 
à reta 
: 3 2 1 0r x y  
. 
 
Resolução: 
3
2
3
2
1
1 2
3
r
r
r
s
r
s
a
m
b
m
m
m

   
 
  
 
1 2
6 3
3 3 2 12
2 3 15 0
s
y
m
x
y x
x y

 

  
  
 
Assim, a equação procurada é 
: 2 3 15 0s x y  
 
 
Ex.3:Qual a equação da reta mediatriz do 
segmento AB onde A = (3, 2) e 
B = (-4, 6)? 
Resolução: 
 Primeiramente vamos encontrar o 
ponto médio do segmento AB. 
 3 4 1
2 2
Mx
 
  
 2 6
4
2
My

 
 
 
1
, 4
2
M
 
 
 
 
Agora calculamos a inclinação da 
reta que passa por A e B. 
 
2 6 4 4
3 4 7 7
AB ABm m
 
    
 
 
 
 A inclinação da reta r, 
perpendicular àquela determinada por A 
e B pode ser encontrada a partir de 
1
r
AB
m
m
 
, assim: 
4
7
1 7
4
rm 
  
 
 
Por fim, vamos escrever a 
equação da reta r que passa por 
1
, 4
2
M
 
 
 
 e tem inclinação 
7
4
rm 
: 
7 4
14
2
7
7 4 16
2
49
7 4 0
2
yx
x y
x y


 
  
 
  
  
 
 
14 8 49 0x y  
 
 
 
MATEMÁTICA III 31 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
 
 
41) Mostre que as retas 
: 1
7 9
x y
r  
 e 
:
9 7
x y
s 
 são perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42) Determinar a equação da reta que 
passa pelo ponto P e é perpendicular à 
reta r em cada caso: 
a) P(-3, 2) e 
: 3 4 4 0r x y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(2, 6) e 
: 2 3 0r x y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) P(1, 4) e 
: 1 0r x y  
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
d) P(3, 5) e 
: 4 0r y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43) Dadas as retas 
2: 0r p x py p  
 e 
 : 3 1 7 0s x p y   
, determine p de 
forma que r e s sejam perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44) Determinar a projeção ortogonal do 
ponto P(-7, 15) sobre a reta 
2
:
3
x t
r
y t



. 
 
 
MATEMÁTICA III 33 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
45) Determinar a projeção do ponto 
P(3, 2) sobre a reta 
: 1 0r x y  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46) Determinar o ponto Q, simétrico de 
 3, 2P 
 em relação á reta 
r: x + y – 1 = 0. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
ÂNGULO FORMADO POR DUAS 
RETAS 
 
 Consideremos duas retas 
concorrentes r e s, oblíquas aos eixos 
coordenados e não perpendiculares 
entre si, de coeficientes mr e ms 
respectivamente. A tangente do ângulo  
formado entre elas pode ser encontrada 
a partir de mr e ms. 
 
 
 
1
tg tg
tg tg
tg
tg tg
  
  
  
 

 
 
 
 


 
 
 
1
r s
r s
m m
tg
m m



 
 
 
Observações: 
1. Se r e s forem paralelas, mr = ms 
e  = 0. 
2. Se r e s são perpendiculares, 
mrms = -1 e  = 90º. 
3. Se uma das retas for vertical, 
temos: 
 
 
 
90º
90º
90º
cotg
1
tg tg
tg
tg
tg
 
 
 
 


 
 
 


 
 
1
s
tg
m
 
 
 
 
Ex.: Determinar o ângulo agudo formado 
entre as retas 
 : 4 3 5r y x  
 e 
: 2 7 0s x y  
. 
Resolução 
 : 4 3 5
4 3 15
3 11
3r
r y x
y x
y x
m
  
  
 

 
: 2 7 0
2 7
2s
s x y
y x
m
  
  
 
 
 
 
3 2 5
1 3 2 5
1 45º
tg
tg

 
 
 
   
  
 
 
Observação: As retas r e s deste exemplo 
formam dois ângulos: um de 45 e outro 
de 135º. Pense nisso e justifique a 
presença do módulo na fórmula a que 
chegamos na coluna ao lado. 
 
 
47) Determinar o ângulo agudo formado 
entre as retas 
: 4 6r y x 
 e 
 
1
: 3 5
4
s y x   
. 
 
 
 
MATEMÁTICA III 35 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
48) Determinar a tangente do ângulo 
agudo formado pelas retas r: y = 7 e 
s:2x – 3y + 5 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49) Determinar a equação da reta que 
passa pelo ponto P(2, 1) e forma um 
ângulo de 45º com a reta de equação y 
= 5x + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E 
RETA 
 
Sabemos que calcular a distância 
entre um ponto P e uma reta r é, na 
verdade, encontrar a MENOR distância 
entre P e r e isto pode ser feito 
encontrando-se a distância de P até sua 
projeção ortogonal P’ em r. 
 
 Uma outra forma de encontrar tal 
distância é aplicando uma fórmula de 
demonstração não tão simples a ponto de 
não caber neste curso mas que pode ficar 
como pesquisa para interessados. 
 
 Dados um ponto P(xP, yP) e uma 
reta r: ax + by + c = 0, a distância entre P 
e r pode ser encontrada a partir de: 
 
 
Pr
2 2
P Pax by c
d
a b
 


 
 
 
 
 
Ex.1: Determinar a distância entre o 
ponto P(3, -1) e a reta 
: 2 4 0r x y  
. 
Resolução: 
 
Pr
2 2
3 2 1 4 3 3 5
551 2
d
   
  

 
 
Assim, a distância procurada é 3 5
5
u. c. 
 
 
Ex.2: Encontrar a distância ente as retas 
: 2 3 10 0r x y  
 e 
: 2 3 6 0s x y  
. 
Resolução: 
Se r e s são duas retas paralelas, 
então a distância entre elas é igual à 
distância entre um ponto e r e a reta s, 
 
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
assim, vamos encontrar um ponto 
qualquer de r e achar a distância deste 
ponto até s. 
 
Determinando um ponto de r: 
Fazendo, arbitrariamente, x = -1, temos  2 1 3 10 0
3 12 0
3 12
4
( 1, 4)
y
y
y
y
P
    
 



 
 
Agora vamos, aplicando a fórmula, 
calcular a distância de 
( 1, 4)P 
 à reta 
: 2 3 6 0s x y  
: 
 
Pr
2 2
2 1 3 4 6 4 4 13
13132 3
d
    
  

 
 
Logo, a distância procurada é 4 13
13
u. c. 
 
 
 
 
50) Nos seguintes casos, calcule a 
distância de P e r: 
a) P(0, 3) e r: 4x + 3y + 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(1, -5) e r: 3x – 4y – 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) P(3, -2) e r: 2x + y + 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) P(6, 4) e r: y – 2 = 0 
 
 
MATEMÁTICA III 37 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
51) Sendo P a intersecção a reta 
r: x + y – 4 = 0 e o eixo das abscissas e s 
a reta de equação 3x – 4y + 10 = 0, 
determine a distância entre P e s. 
52) Determine a distância entre as retas 
paralelas 
: 4 3 9 0r x y  
 e 
: 4 3 6 0s x y  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
53) Determine k sabendo que a distância 
entre o ponto P(0, k) e a reta 
: 4 3 2 0r x y  
 é 2, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54) Se a distância de P(k, 2) à reta 
: 3 4 40 0r x y  
 é 4 unidades, qual o 
valor de k? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55) Qual a distância do ponto A(8, 7) à 
reta determinada pelos pontos B(7, -2) e 
C(-2, 3)? 
 
 
MATEMÁTICA III 39 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
56) Os pontos A(1, -2), B(9, 3) e 
C(-1, 4) são vértices de um triângulo. 
Quanto mede a altura relativa ao lado 
BC? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57) As retas 
: 5 3 7 0r x y  
, 
: 4 17 0s x y  
 e 
: 3 11 23 0t x y  
 
são suportes dos lados de um triângulo. 
Determine a altura relativa ao lado 
definido pela reta t. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
58) Calcule a área do ABC definido 
pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). 
(Dica: chame o lado BC de base e a distância do ponto 
A à reta BC de altura e, a seguir, faça S = b x h) 
ÁREA DA REGIÃO 
TRIANGULAR 
 
 
 No último tópico da apostila 
anterior vimos que o determinante 
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1
x y 1
 é igual a zero se, e somente 
se, os pontos 
1 1A(x , y )
, 
2 2B(x , y )
 e 
3 3C(x , y )
 estão alinhados. Caso estes 
pontos não estejam alinhados, eles 
formarão os vértices de um triângulo e 
esse mesmo determinante ajudará a 
encontrar a área deste triângulo. 
 
 Chamando de D o determinanteacima e de S a área do triângulos de 
vértices A, B e C temos que: 
 
 
 
1 1
2 2
3 3
x y 1
D x y 1
x y 1

 e 
1
S D
2

 
 
 
 
 
Ex.: Calcule a área do ABC definido 
pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). 
Resolução: 
1 2 1
D 9 3 1 58
1 4 1

  

 
1
S 58 29
2
  
 
Assim, a área do ABC é 29 u. a. 
 
 
MATEMÁTICA III 41 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
 
59) Calcule a área do triângulo que tem 
como vértices, os pontos A(4, 0), B(-1, 1) 
e C(-3, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60) Um triângulo com vértices nos pontos 
A(5, 3), B(4, 2) e C(2, k) tem área igual a 
8. Calcule k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61) As retas suporte dos lados de um 
triângulo, tem como equações 
r : y 5 0 
, 
s : x 2y 1 0  
 e 
t : x 2y 7 0  
. Calcule a área deste 
triângulo. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
62) Sabendo que os pontos A(m, m), 
B(m, -m) e C(0, 0) são vértices de um 
triângulo, determine sua área em função 
de m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63) Calcule a área do quadrilátero 
definido pelos pontos A(-2, -1), B(2, -2) 
C(-1, 4) e D(11, 5). 
 
 
MATEMÁTICA III 43 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
Para resolver as questões a seguir, você 
deve utilizar todo o conhecimento 
adquirido nesta apostila e na anterior. 
Não fique preso a um único tópico. 
 
64) Mostre que o segmento que une os 
pontos médios de dois lados de um 
triângulo: 
a) é paralelo ao terceiro lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) tem comprimento igual à metade do 
comprimento do terceiro lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65) Sendo A, B e C os vértices que um 
triângulo e M, N e P os pontos médios de 
cada lado, determine a razão entre as 
áreas dos triângulos ABC e MNP. 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
RESPOSTAS 
01) AB: 3x – y = 0; BC: x + y – 4 = 0; e 
AC: y = 0 
 
02) x – y – 1 = 0 
 
03) 3b + 4a – ab = 0 
 
04) 2p + 3q = 0 
 
05) x + y – (a + b + c) = 0 
 
06) G  r 
 
07) 
 
 
08) 
5
1
m
; 
2
5

x
y
 
 
09) 
23  xy
 
 
10) B e C 
 
11) 
363  xy
 
 
12) 
xy
7
2

 e 
072  yx
 
 
13) Coef. Angular 
4
3

 
 Coef. Linear: 3 
 
 
 
14) 
5
3

 
 
15) 2x + y + 2 = 0 
 
16) 
xy
2
3

 
 
17) 6x – 4y + 7 = 0 
 
18) AB: y = x + 6 
 BC: y = –x – 6 
 
19) 18 u. a. 
 
20) y=3x+4 
 
21) 
1
3 5
x y
 

 
 
22) a)3x – 3y + 6 = 0 
 b) x – 2y – 2 = 0 
 c) 3x + 2y + 4 = 0 
 
23) 4
0,
3
 
 
 
 
 
24) 
1
2613
5
x y
 

 
 
25) (3, 2) 
 
26) (1, 1) 
 
27) A(0, 0); B(4, 3); e C(3, 4) 
 
28) (demonstração) 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 45 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA 
 
 
 
29) Resolução: 
Em princípio vamos obter a 
intersecção entre r e s: 
2 0
4 2
2 8 0
 
   
  
x y
x e y
x y
 
 
Vamos agora verificar se P(4, 2) 
pertence à reta t: 
   
   
1 2 1 8 0
1 4 2 1 2 8 0
4 4 4 4 8 0
0 0,
    
      
    
  
k x k y
k k
k k
k
 
 
30) 2k  ou 3
2
k  
 
 
31) (Demonstração) 
 
32) 
7a 
 e 
a
 
 
33) a) 
4 6  y x
 
 b) 
3
8
2
  y x
 
 c) 
 y x
 
 d) 
2 17
5 5
 y x
 
 e) 
2y
 
 f) 
2x
 
 
34) Resolução: 
 
   
0
,
2 3 0
, 3,0
A
A A
A A
A A
A OX y
A x y
A AC x y
A x y A
  
 
    

 
 
   
0
,
0
, 0,0
B
B B
B B
B B
B OY x
B x y
B BC x y
B x y B
  
 
   

 
 
   
2 3 0
,
0
, 1,1
C C
C C
C C
C C
C AC x y
C x y
C BC x y
C x y C
    
 
   

 
 
 Perímetro: 
2 2 2 2 2 23 0 2 1 1 1
3 2 5
AB AC BCd d d  
      
  
 
 
35) r e s → Concorrentes 
 r e t → Paralelas distintas 
 r e u → Concorrentes 
 r e v → Concorrentes 
 r e z → Paralelas coincidentes 
 s e t → Concorrentes 
 s e u → Concorrentes 
 s e v → Paralelas distintas 
 s e z → Concorrentes 
 t e u → Concorrentes 
 t e v → Concorrentes 
 t e z → Paralelas distintas 
 u e v → Concorrentes 
 u e z → Concorrentes 
 v e z → Concorrentes 
 
36) Você deve vericar que as retas 
são coincidentes. 
 
37) s: 5x + 3y + 13 = 0 
 
38) 2x + y + 8 = 0 
 
39) x – y – 14 = 0 
 
40) 
(4, 2)B
, 
(0, 0)C
 e 
(1, 2)D
 
 
41) Demonstração 
 
42) a) 
4 3 15 0x y  
 
 b) 
2 14 0x y  
 
 c) 
5 0x y  
 
 d) 
3 0x  
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
43) 
1
4
p  
 
 
44) 62 93
' ,
13 13
P
 
 
 
 
 
45) 
 ' 2, 3P
 
 
46) 
 1, 4Q 
 
 
47) 90º 
 
48) 
2
3
 
 
49) 
3
4
2
y x  
 e 
2 1
3 3
y x 
 
 
50) 
4
3
 
 
51) a) 2 c) 
2 5
 
 b) 
21
5
 d) 2 
 
52) 
22
5
 
 
53) 4 ou 8
3

 
 
54) 
52
3
 ou 
4
 
 
55) 
43 106
53
 
 
56) 
58 89
89
 
 
57) 
23 130
65
 
 
58) 29 
 
59) 4 
 
60) -16 ou 16 
 
61) 84,5 
 
62) m2 
 
63) 48 
 
64) Demonstração 
 
65) Demostração 
 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
DANTE, Luiz Roberto; 
Matemática, Volume dois. São Paulo, 
Atica, 2005. 
IEZZI, Gelson e outros; 
Fundamentos da Matemática Elementar, 
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição, 
1977. 
 
 
Links dos vídeos sugeridos nesta 
apostila: 
 
Pág. 06 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equac
ao-geral-de-reta/ 
 
Pág. 10 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equac
ao-reduzida-da-reta/ 
 
Pág.