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Lista de Exerc´ıcios no4 1. Encontre a soluc¸a˜o do sistema 5 −1 0 −1 5 −1 0 −1 5 x1 x2 x3 = 9 4 −6 a) pelo me´todo de Jacobi; b) pelo me´todo de Gauss-Seidel. Tome x(0) = (0, 0, 0) e fac¸a as iterac¸o˜es ate´ que o erro relativo seja menor que 0.02. Compare o nu´mero de iterac¸o˜es necessa´rio para cada me´todo atingir a precisa˜o dese- jada. 2. Resolva o exerc´ıcio anterior, pelo me´todo de Gauss-Seidel, tomando-se x(0) = (2, 2,−1). O que pode ser observado com relac¸a˜o ao exerc´ıcio anterior? 3. Considere os sistemas lineares: a) 5x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + 4x2 + x3 = 2 2x1 + 2x2 + 4x3 = 1 b) 5x1 + 4x2 + x3 = 2 3x1 + 4x2 + x3 = 2 3x1 + 3x2 + 6x3 = −9 Aplicando os crite´rios que voce conhece, qual dos me´todos iterativos sera´ seguramente convergente? Justifique. 4. a) Coloque o sistema x1 + x4 = 2 x1 + 4x2 − x4 = 2 2x1 + x3 = 3 2x3 + x4 = 3 de forma que sempre convirja o me´todo de Gauss-Seidel; b) Fac¸a duas iterac¸o˜es do me´todo, tomando x(0) = (0, 0, 0, 0)t. 5. a) Usando o crite´rio de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se tem garantia de que o me´todo de Gauss-Seidel vai gerar uma sequeˆncia convergente para a soluc¸a˜o do sistema: k x1 + 3x2 + x3 = 1 k x1 + 6x2 + x3 = 2 x1 + 6x2 + 7x3 = 3 1 b) Escolha o menor valor inteiro, positivo, de k e fac¸a 2 iterac¸o˜es do me´todo de Gauss- Seidel para o sistema obtido. 6. Dado o sistema linear: α 2 −2 1 α 1 2 2 α x1 x2 x3 = 1 2 3 , (a) para que valores de α havera´ convergeˆncia se desejarmos utilizar o me´todo de Jacobi? (b) Tomando α = 1 e x(0) = (1, 2, 3)t, a aplicac¸a˜o do me´todo de Jacobi fornece a tabela: k 0 1 2 3 x1 1 3 −1 −1 x2 2 −2 2 2 x3 3 −3 1 1 O que voce observa? Existe alguma contradic¸a˜o com o item (a)? 7. (a) Aplique anal´ıtica e graficamente os me´todos de Jacobi e Gauss-Seidel no sistema: 2x1 + 5x2 = −33x1 + x2 = 2 (b) Repita o item (a) para o sistema obtido permutando as equac¸o˜es. (c) Analise seus resultados. 2
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