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Exercícios de Sistemas Lineares

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Lista de Exerc´ıcios no4
1. Encontre a soluc¸a˜o do sistema
5 −1 0
−1 5 −1
0 −1 5


x1
x2
x3
 =

9
4
−6

a) pelo me´todo de Jacobi;
b) pelo me´todo de Gauss-Seidel.
Tome x(0) = (0, 0, 0) e fac¸a as iterac¸o˜es ate´ que o erro relativo seja menor que 0.02.
Compare o nu´mero de iterac¸o˜es necessa´rio para cada me´todo atingir a precisa˜o dese-
jada.
2. Resolva o exerc´ıcio anterior, pelo me´todo de Gauss-Seidel, tomando-se x(0) = (2, 2,−1).
O que pode ser observado com relac¸a˜o ao exerc´ıcio anterior?
3. Considere os sistemas lineares:
a)

5x1 + 2x2 + x3 = 0
2x1 + 4x2 + x3 = 2
2x1 + 2x2 + 4x3 = 1
b)

5x1 + 4x2 + x3 = 2
3x1 + 4x2 + x3 = 2
3x1 + 3x2 + 6x3 = −9
Aplicando os crite´rios que voce conhece, qual dos me´todos iterativos sera´ seguramente
convergente? Justifique.
4. a) Coloque o sistema 
x1 + x4 = 2
x1 + 4x2 − x4 = 2
2x1 + x3 = 3
2x3 + x4 = 3
de forma que sempre convirja o me´todo de Gauss-Seidel;
b) Fac¸a duas iterac¸o˜es do me´todo, tomando x(0) = (0, 0, 0, 0)t.
5. a) Usando o crite´rio de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se tem
garantia de que o me´todo de Gauss-Seidel vai gerar uma sequeˆncia convergente
para a soluc¸a˜o do sistema: 
k x1 + 3x2 + x3 = 1
k x1 + 6x2 + x3 = 2
x1 + 6x2 + 7x3 = 3
1
b) Escolha o menor valor inteiro, positivo, de k e fac¸a 2 iterac¸o˜es do me´todo de Gauss-
Seidel para o sistema obtido.
6. Dado o sistema linear: 
α 2 −2
1 α 1
2 2 α


x1
x2
x3
 =

1
2
3
 ,
(a) para que valores de α havera´ convergeˆncia se desejarmos utilizar o me´todo de
Jacobi?
(b) Tomando α = 1 e x(0) = (1, 2, 3)t, a aplicac¸a˜o do me´todo de Jacobi fornece a
tabela:
k 0 1 2 3
x1 1 3 −1 −1
x2 2 −2 2 2
x3 3 −3 1 1
O que voce observa? Existe alguma contradic¸a˜o com o item (a)?
7. (a) Aplique anal´ıtica e graficamente os me´todos de Jacobi e Gauss-Seidel no sistema: 2x1 + 5x2 = −33x1 + x2 = 2
(b) Repita o item (a) para o sistema obtido permutando as equac¸o˜es.
(c) Analise seus resultados.
2

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