Lista 4 Gabarito

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 1.◦/2018
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Os alelos A, B e O determinam os tipos sangu¨ineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O
(OO) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z sa˜o as proporc¸o˜es dos alelos A, B
e O em uma determinada populac¸a˜o, enta˜o a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos da populac¸a˜o que
possuem dois alelos distintos e´ dada por
P = 2(xy + xz + yz).
Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como func¸o˜es
z = z(x, y) e P = P (x, y) das varia´veis x e y. A figura ilustra o domı´nio D da func¸a˜o P e os
segmentos L1, L2 e L3 de modo que ∂D = L1 ∪ L2 ∪ L3.
C E a) O domı´nio D intercepta a regia˜o x+ y > 1.
C E b) O valor ma´ximo de P sobre o segmento L3 e´ 1/2.
C E c) O valor ma´ximo de P sobre o bordo ∂D e´ 3/2.
C E d) A func¸a˜o P possui dois pontos cr´ıticos interiores ao
domı´nio D.
L1
L2
L3
D
C E e) As proporc¸o˜es dos alelos A, B e O que maximizam a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos
com dois alelos distintos sa˜o x = 1/3, y = 1/3 e z = 1/3.
2) A produc¸a˜o do hormoˆnio vegetal auxina em uma folhagem e´ uma func¸a˜o P (t, x) do
tempo t e da intensidade luminosa x a` qual a folhagem esta´ exposta. Suponha que, em
unidades apropriadas, a produc¸a˜o pode ser modelada pela func¸a˜o P : D −→ R dada por
P (t, x) = t(10− x)e−2t/x, onde D = {(t, x) ∈ R2; 0 ≤ t ≤ 15 e 1 ≤ x ≤ 7}.
15
1
7
L1
L3
L2 L4D
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que P (t, x) possui pontos de
ma´ximo e de mı´nimo absolutos em D.
Resposta: D e´ fechado e limitado e P e´ cont´ınua
b) Determine as derivadas parciais Pt(t, x) e Px(t, x).
Resposta:
Pt(t, x) = (10− x) e
−2t/x(1− 2t/x) e
Px(t, x) = t e
−2t/x[2t(10− x)/x2 − 1]
c) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o P no interior de D.
Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico interior e´ (5/2, 5)
d) Determine o ponto de ma´ximo de P na fronteira ∂D, que e´ assumido sobre o lado L3.
Resposta: e´ o ponto t = 7/2
e) Usando os itens anteriores, determine o ponto de ma´ximo absoluto de P em D.
Resposta: o ponto de ma´ximo absoluto e´ (5/2, 5) com P (5/2, 5) = 25 e−1 /2
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 1.◦/2018 – 1/2
3) Considere a situac¸a˜o em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de
metal de largura igual a L m. A figura abaixo ilustra uma sec¸a˜o transversal da calha, que
e´ sime´trica e com treˆs lados retos. Observe que a a´rea A da sec¸a˜o transversal e´ uma func¸a˜o
A = A(s, θ) das medidas s e θ indicadas na figura, e o domı´nio dessa func¸a˜o e´ o conjunto
D = [0, L/2]× [0, pi/2]. Como a vaza˜o e´ proporcional a` a´rea da sec¸a˜o transversal, o problema
consiste em escolher os valores de s e θ que maximizam esta a´rea.
a) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o A(s, θ).
Resposta: A(s, θ) = s sen(θ)(s cos(θ) + L− 2s).
b) Esboce o bordo ∂D do domı´nio D.
Resposta: ver figura abaixo. L− 2s
ss
θθ
L/2
pi/2
c) Determine o valor ma´ximo de A(s, θ) sobre o bordo ∂D.
Resposta: A(s, θ) ≤ A(L/2, pi/4) = L2/8.
d) Calcule os pontos cr´ıticos de A(s, θ) que sa˜o interiores a D.
Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ (L/3, pi/3).
e) Determine agora os valores de s e θ que maximizam a a´rea da sec¸a˜o transversal.
Resposta: s = L/3 e θ = pi/3.
4) A figura ilustra um raio de luz por P = (0, a) e R = (l,−b) sendo refratado em Q, onde
a velocidade da luz e´ va na parte superior e vb na inferior. Os pontos P e R esta˜o fixos, mas
tanto Q como os aˆngulos x e y pode variar com as velocidades da luz. De fato, a lei emp´ırica
de Snell afirma que sen(x)/va = sen(y)/vb. Em uma descoberta que mudou a forma de
olharmos a natureza, Fermat deduziu a lei de Snell a partir de seu princ´ıpio: a luz percorre
o caminho de tempo mı´nimo. Veja como essa deduc¸a˜o pode ser feita nos itens a seguir.
a) O tempo Ta em que a luz se desloca de P a Q
e´ tal que Ta va = PQ. Use essa informac¸a˜o para
expressar Ta em termos de a, va e cos(x).
Resposta: Ta = a/(va cos(x))
b) Analogamente, expresse o tempo Tb entre Q e R
em termos de b, vb e cos(y). A seguir, expresse o
tempo total como uma func¸a˜o T (x, y).
a
b
x
y
P
Q
l
R
O R0
Resposta: Tb = b/(vb cos(y)) e T (x, y) = a/(va cos(x)) + b/(vb cos(y))
c) Expresse a distaˆncia OQ em termos de a e de tan(x), e QR0 em termos de b e tan(y).
Somando essas distaˆncias, expresse a distaˆncia total como uma func¸a˜o D(x, y).
Resposta: D(x, y) = OQ +QR0 = a tan(x) + b tan(y).
d) Indique por C a curva de n´ıvel no n´ıvel l de D(x, y). Com essa notac¸a˜o, o caminho de
tempo mı´nimo entre P e R e´ aquele que minimiza a restric¸a˜o T
∣
∣
C
. Obtenha enta˜o o
sistema que fornece os pontos cr´ıticos de T
∣
∣
C
.
Resposta: Tx(x, y) = λDx(x, y), Ty(x, y) = λDy(x, y) e D(x, y) = l
e) Use os itens anteriores para mostrar que os pontos cr´ıticos da restric¸a˜o T
∣
∣
C
sa˜o exata-
mente aqueles que satisfazem a` lei de Snell.
Resposta: Tx(x, y) = λDx(x, y) e Ty(x, y) = λDy(x, y) =⇒ sen(x)/va = λ = sen(y)/vb
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