sisel exerc cap 4

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Instituto Superior de Engenharia do Porto 
Departamento de Engenharia Electrotécnica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 
 
 
 
 
 
 
SISEL - Sistemas Electromecânicos 
 
 
Exercícios de 
 
Sistemas robóticos 
 
 
 
 
 
2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos 
1 
 
 
1. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma 
junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: 
 
A) PPP B) RPR C) RRP D) RRR 
 
 
 
 
 
2. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta 
Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: 
 
A) PPP B) RPR C) RRP D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
 
3. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta 
Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: 
 
A) PPP B) RPR C) RRP D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
4. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma 
junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: 
 
A) PPP B) RPR C) RRP D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
 
 
5. Considere o espaço de trabalho no espaço operacional Oxy, gerado por um 
manipulador com dois eixos. Então, designando por R e P, respectivamente os 
eixos rotacional e prismático (ou linear) verifica-se que se trata de um: 
 
A) Robô com eixo 1 = R e eixo 2 = R (robô RR) 
B) Robô com eixo 1 = P e eixo 2 = R (robô PR) 
C) Robô com eixo 1 = R e eixo 2 = P (robô (RP) 
D) Robô com eixo 1 = P e eixo 2 = P (robô PP) 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos 
2 
6. Considere o robô RR, com dois graus de 
liberdade rotacionais (onde l1 e l2 representam, 
respectivamente, os comprimentos dos elos 1 e 2) 
e –180º<θ1<+180º –180º<θ2<+180º. Na segunda 
figura está esboçado o correspondente espaço de 
trabalho no espaço operacional {Oxy}. Então, 
pode concluir-se que: 
 
A) l1 = 1,2 m e l2 = 0,8 m 
B) l1 = 0,6 m e l2 = 0,6 m 
C) l1 = 1 m e l2 = 0,2 m 
D) l1 = 0,8 m e l2 = 0,4 m 
 
 
7. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, e o seu 
espaço de trabalho representado na figura. Suponha que os 
comprimentos dos elos do robô são representados por li (i = 1,2) e que 
os ângulos nos eixos tomam valores tais que θiMin < θi < θiMax, onde θiMin 
e θiMax representam, respectivamente, os limites mínimo e máximo de 
variação (i = 1,2). 
Se os pontos A e B tiverem coordenadas A ≡ (2.7, 0) e B ≡ (0, −0.3) 
então pode dizer-se que: 
 
A) l1 = l2 = 1.35 
B) l1 = 1.7 e l2 = 1 
C) l1 = 1,5 e l2 = 1,2 
D) Outro resultado 
 
 
8. Considere o seguinte manipulador robótico com dois graus de liberdade rotacionais (robô RR). 
x
y (x,y)
L2
θ1
o
L1
θ2
 
L1 - comprimento do elo 1 
L2 - comprimento do elo 2 
θ1 - ângulo em que se encontra o eixo 1 
θ2 - ângulo em que se encontra o eixo 2 
 
As características físicas do robô são as 
seguintes: 
A) L1 = 1 m; 
 L2 = 0,5 m; 
 −135º < θ1 < +135º; 
 45 º < θ2 < +180º; 
 
B) L1 = 1 m; 
 L2 = 0,5 m; 
 −135º < θ1 < +135º; 
 0 º < θ2 < +180º; 
 
C) L1 = 1 m; 
 L2 = 1 m; 
 −135º < θ1 < +135º; 
 0 º < θ2 < +180º; 
D) L1 = 1 m; 
 L2 = 0,5 m; 
 −135º < θ1 < +135º; 
 0 º < θ2 < +135º; 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
x 
y 
1,2 m 
0,8 m 
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9. Considere o robô RR, com dois graus de 
liberdade rotacionais, onde l1 = 1 m e l2 = 1 m, e 
correspondente espaço de trabalho no espaço 
operacional {Oxy}, representados nas figuras. 
Então, pode concluir-se que: 
 
A) 0º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < +180º 
B) –180º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < +90º 
C) –180º < θ1 <+180º e –180º < θ2 < +180º 
D) –90º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < 0º 
 
 
10. Considere o robô RR, com dois graus de 
liberdade rotacionais, onde l1 = 1 m e l2 = 1 m, e 
correspondente espaço de trabalho no espaço 
operacional {Oxy}, representados nas figuras. 
Além disso, sabe-se que o robô apresenta as 
seguintes limitações de accionamento nas juntas: –
90º ≤ θ1 ≤ +90º e –180º ≤ θ2 ≤ 0º, Neste caso, para 
θ1 = +90º e θ2 = –90º a mão robô atinge: 
 
A) Ponto A B) Ponto B 
C) Ponto C D) Outro resultado 
 
 
11. Considere o robô RP, com um grau de liberdade rotacional (R) e um grau de liberdade 
linear (P), conforme representado na figura. Considere que as juntas têm as limitações de 
deslocamento tais que –π/2 < q1 < 5π/6 rad e 2,0 < q2 < 3,0 m. Então, a área de trabalho A 
no espaço operacional xy vem aproximadamente: 
 
A) A ≈ 15,7 m2 B) A ≈ 31,4 m2 
C) A ≈ 10,5 m2 D) Outro resultado 
 
 
12. Considere o robô PP, com dois graus de liberdade lineares 
(P), conforme representado na figura. As juntas são actuadas 
por motores acoplados a engrenagens com um reduções ni 
onde θi é o deslocamento (rotacional) do motor e qi é o 
deslocamento (linear) do elo i do robô (i = 1,2). Considere que 
as juntas têm as limitações de deslocamento tais que 
–π/2 < θ1 < π rad, –π/3 < θ2 < 2π/3 rad, que n1 = 0,8 m rad−1, 
n2 = 0,5 m rad−1. Então, a área de trabalho A no espaço 
operacional xy vem aproximadamente: 
 
A) A ≈ 37,01 m2 B) A ≈ 14,80 m2 
C) A ≈ 5,92 m2 D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
x 
y 
q2 
q1 
θ1 
n1 n2 
θ2 
motor 2 
motor 1 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
x 
y 
q2 
q1 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 A B 
C 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos 
4 
13. Considere o robô PP, com dois graus de liberdade 
lineares (P), conforme representado na figura. As juntas são 
actuadas por motores acoplados a engrenagens com um 
reduções ni onde θi é o deslocamento (rotacional) do motor e 
qi é o deslocamento (linear) do elo i do robô (i = 1,2). 
Considere que as juntas têm as limitações de deslocamento 
tais que –π/2 < θ1 < π rad, –π/3 < θ2 < 2π/3 rad, que n1 = 0,8 
m rad−1, n2 = 0,5 m rad−1. Então, a área de trabalho A no espaço operacional xy vem aproximadamente: 
 
A) A ≈ 17,3 m2 B) A ≈ 5,9 m2 C) A ≈ 4,1 m2 D) Outro resultado 
 
 
14. Considere o manipulador robótico representado na figura, com 
estrutura RPP (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam θi (i = 
1,2,3) as variáveis das juntas. Se as variáveis nas juntas têm amplitude 
de variação tais que 0 ≤ θ1 < 2π rad (eixo R), 0 ≤ θ2 < L (eixo P) e L ≤ θ3 
< 2L (eixo P), então o volume de trabalho V vem: 
 
A) V ≈ 4L3 B) V ≈ 9L3 
C) V ≈ 12L3 D) Outro resultado 
 
 
 
 
15. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática RRP representado na 
figura (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ1, θ2, θ3} as variáveis das 
juntas. Supondo que −π ≤ θ1 ≤ π , −π ≤ θ2 ≤ π, 0 ≤ θ3 ≤ L então o volume de trabalho V 
vem: 
 
A) V = πL3/3 B) V = 2πL3/3 C) V = 4πL3/3 D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
16. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática PRP representado na figura 
(R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ1, θ2, θ3} as variáveis das juntas. 
Supondo que 0 ≤θ1 ≤ L , −π ≤ θ2 ≤ π, 0 ≤ θ3 ≤ L então o volume de trabalho V vem: 
 
A) V = πL3 B) V = 2πL3 C) V = 3πL3 D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
17. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemáticaRRP representado na figura 
(R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ1, θ2, θ3} as variáveis das juntas. 
Supondo que −π ≤ θ1 ≤ π [rad], 0 ≤ θ2 ≤ π [rad],  L ≤ θ3 ≤ 2L [m] então o volume de 
trabalho V vem: 
 
A) V = (7/3)πL3/3 [m3] 
B) V = (14/3)πL3/3 [m3] 
C) V = (28/3)πL3 [m3] 
D) V = (4/3)πL3/3 [m3] 
 
 
 
θ1 
θ2 
θ3 
θ2 
θ1 
θ3 
θ1 
θ2 
θ3 
x 
y 
q2 
q1 
motor 
qi 
θI, ni 
elo i 
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18. Considere o manipulador robótico com 3 juntas da figura, que apresenta as 
seguintes dimensões e restrições das juntas: 
La=0,5 m 
Lb=0,1 m −135º < q2 < 135º 
Lc=0,1 m 0 m < q3 < 0,4 m 
 
18.a) Indique qual a estrutura do manipulador, o seu índice de mobilidade (M) e o 
número de graus de liberdade (n). 
18.b) Calcule o espaço de trabalho do manipulador para q1 = 0º. 
18.c) Calcule o espaço de trabalho do manipulador para 0º < q1 < 180º. 
 
 
 
19. As características de precisão e de repetibilidade de dois 
robôs são testadas através de uma mesma experiência. Assim, 
solicita-se que repitam várias vezes uma trajectória até ao 
centro de um alvo. Os pontos atingidos estão representados nas 
figuras seguintes. Então, pode dizer-se que: 
 
A) O robô 1 tem maior precisão que o robô 2 
B) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2 
C) O robô 1 tem menor repetibilidade que o robô 2 
D) Outro caso 
 
 
20. As características de precisão e de repetibilidade de dois manipuladores robóticos 
são testadas através de uma mesma experiência. Assim, solicita-se que repitam várias 
vezes uma trajectória, com início num mesmo ponto até um ponto final situado no 
centro de um alvo. Os grupos de pontos atingidos estão representados na figura e 
designam-se por A e B, respectivamente para os robôs 1 e 2. Então, pode dizer-se que: 
 
A) O robô 1 tem menor precisão e maior repetibilidade do que o robô 2 
B) Os robôs 1 e 2 têm precisão e repetibilidade idênticas 
C) O robô 1 tem maior precisão e menor repetibilidade do que o robô 2 
D) Outro resultado 
 
 
21. As características de precisão e de 
repetibilidade de dois manipuladores robóticos são 
testadas através de uma mesma experiência. Assim, 
solicita-se que repitam várias vezes uma trajectória, 
com início no ponto A até um ponto final B no 
centro de um alvo. Os pontos atingidos estão 
representados na figura seguinte. Então, pode dizer-
se que: 
21.a) 
A) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2 
B) O robô 1 tem precisão igual à do robô 2 
C) O robô 1 tem maior precisão que o robô 2 
D) Outro caso 
 
21.b) 
A) O robô 1 tem menor repetibilidade que o robô 2 
B) O robô 1 tem repetibilidade igual à do robô 2 
C) O robô 1 tem maior repetibilidade que o robô 2 
D) Outro caso 
 
 
robot 1 robot 2 
alvo pontos atingidos 
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22. Considere o robô RRR representado na figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A cinemática directa deste robô é dada por: 
 
A) 
 
( ) ( )
( ) ( )321321211
321321211
coscoscos
sensensen
θθθLθθLθLy
θθθLθθLθLx
+++++=
+++++=
 
B) 
332211
332211
sensensen
coscoscos
θLθLθLy
θLθLθLx
++=
++=
 
 
C) 
 
( ) ( )
( ) ( )321321211
321321211
sensensen
coscoscos
θθθLθθLθLy
θθθLθθLθLx
+++++=
+++++=
 
 
D) 
Outro resultado 
 
 
 
23. Considere o seguinte manipulador robótico com três graus de liberdade rotacionais. 
Z
X
θ1
θ2
θ3
Vista Lateral do Manipulador
L1
L2
h
 
X
Y
θ1
Vista de Topo do Manipulador
 
 
23.a) Determine a cinemática directa deste manipulador, sendo: 
L1 - comprimento do elo 1; 
L2 - comprimento do elo 2; 
h - altura desde a base do manipulador até ao eixo 1; 
θ1 - ângulo em que se encontra o eixo 1; 
θ2 - ângulo em que se encontra o eixo 2; 
θ3 - ângulo em que se encontra o eixo 3. 
 
23.b) Esboce o volume de trabalho (vista lateral e vista de topo) deste manipulador, sendo: 
L1 = 1 m; L2 = 0,5 m; h = 1,5 m; 
−145º < θ1 < +145º; −45 º < θ2 < +180º; 0º < θ3 < 135º. 
 
x
y
(x,y)
L2
θ1
o
L1
θ2
θ3L3
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7 
Z
X
Vista Lateral do Manipulador
 
 
 
X
Y
Vista de Topo do Manipulador
 
 
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8 
 
24. Considere o seguinte manipulador robótico com estrutura RRP (três graus de liberdade, dois rotacionais θ1 e 
θ2 e um prismático l2). 
Z
X
θ1
θ2
Vista Lateral do Manipulador
L1
l2
h
 
X
Y
θ1
Vista de Topo do Manipulador
 
 
24.a) Escreva as equações da cinemática directa (de posição) para este robô, sendo: 
L1 – comprimento do elo 1; 
l2 – deslocamento linear da junta 3; 
h – altura desde a base do manipulador até à junta 1; 
θ1 – deslocamento angular da junta 1; 
θ2 – deslocamento angular da junta 2; 
 
24.b) Represente no espaço operacional a trajectória do robô entre os pontos A e B, representados no espaço das 
juntas (θ1 é o eixo vertical, θ2 é o eixo das abcissas e l2 o eixo das ordenadas). Suponha uma interpolação linear 
entre estes dois pontos, no espaço das juntas. Considere θ1 constante com o valor θ1 =0º. 
 
θ2 (º)
l2 (m)
Espaço das juntas
A B
-45º 135º 180º0º
0,5
1
0,75
θ1 - eixo vertical
Limite do
volume de
trabalho
 
 
24.c) Esboçe o volume de trabalho (vista lateral e vista de topo) deste manipulador, sendo: 
h = 1,5 m; L1 = 1 m; 
0,5 m < l2 < 1 m; 
−180º < θ1 < +135º; 
−45 º < θ2 < +180º; 
 
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9 
Z
X
X
Y
Vista Lateral do Manipulador
Vista de Topo do Manipulador
 
 
 
 
 
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25. Considere o robô do tipo RPRP representado na figura, onde: 
−180º < q1 < 180º, 0,25 m < q2 < 1,0 m, 0º < q3 < 90º, 0,25 m < q4 < 1,5 m 
25.a) Calcule as equações da cinemática directa. 
25.b) Determine os valores das juntas de forma a que a posição do robô seja 
x = 1,0 m, m25,1=y , z = 0,5 m 
25.c) Em geral, para uma dada posição (x,y,z) no interior do espaço de trabalho 
quantas soluções (q1,q2,q3,q4) existem para as equações da cinemática inversa? 
 
 
 
 
 
26. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na 
figura tal que l1 = 0,9 m, l2 = 0,4 m, −90º <θ1 <+180º e 0º <θ2 <+180º. Esboce o 
espaço de trabalho do robot no espaço operacional {Oxy} e indique os pontos onde 
ocorrem singularidades cinemáticas. 
 
 
 
 
 
27. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na 
figura tal que l1 e l2 representam os comprimentos dos elos 1 e 2. Então, existem 
singularidades cinemáticas nos lugares geométricos: 
 
A) x2 + y2 = (l1 + l2)2 e x2 + y2 = (l1 − l2)2 B) x2 + y2 = l12 + l22 e x2 + y2 = l12 − l22 
C) x + y = l1 + l2 e x − y = l1 − l2 D) x + y = (l1 + l2)2 e x − y = (l1 − l2)2 
 
 
 
28. Considere o robô RR, com dois graus de 
liberdade rotacionais, onde l1 = 1 m e l2 = 1 
m, e correspondente espaço de trabalho no 
espaço operacional {Oxy}, representados nas 
figuras. Além disso, sabe-se que o robô 
apresenta as seguintes limitações de 
accionamento nasjuntas: –90º ≤ θ1 ≤ +90º e 
–180º ≤ θ2 ≤ 0º. Neste caso, é ponto com 
singularidade cinemática: 
 
A) Ponto A 
B) Ponto B 
C) Ponto C 
D) Ponto D 
 
 
 
29. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na 
figura tal que: l1 = 0.6 m, l2 = 0.4 m, −90º ≤ θ1 ≤ +90º e −135º ≤ θ2 ≤ +120º. Esboce 
o volume de trabalho do robô no espaço operacional {x, y} e no espaço das juntas 
{θ1, θ2}. Indique os pontos onde ocorrem singularidades cinemáticas caso existam. 
 
 
 
 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 A B 
C 
D 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
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30. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na 
figura tal que l1 = 1,0 m l2 = 0,5 m. Então, ocorre uma singularidade cinemática nos 
lugares geométricos: 
 
A) x2 + y2 = 2,52 e x2 + y2 = 0 B) x2 + y2 = 22 e x2 + y2 = 1,52 
C) x2 + y2 = 22 e x2 + y2 = 0 D) Outro resultado 
 
 
 
31. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na 
figura tal que l1 = 1 m l2 = 0,5 m. Então, existe uma singularidade cinemática no 
lugar geométrico: 
 
A) θ1 = 0 rad, θ2 = π/2 rad B) θ1 = ±π rad, θ2 = π/2 rad 
C) θ1 = π/2 rad, θ2 = π/2 rad D) Outro resultado 
 
 
 
 
32. Considere um robô com uma estrutura RR, tal como representado na 
figura seguinte, em que os elos apresentam comprimentos Li = 1m (i=1,2). A 
gama de variação do movimento de cada uma das juntas deste robô é: –180º 
< θi < +180º (i=1,2). Indique se é possível a este robô efectuar uma trajectória 
em linha recta no espaço operacional entre os pontos com coordenadas 
A ≡ (−1 ; 1.5) e B ≡ (−1 ; −1.5). Justifique a sua resposta através da 
representação da trajectória resultante seja no espaço operacional {oxy} seja 
no espaço das juntas {oθ1θ2}. 
 
 
33. Um manipulador RR está inserido no processo de produção fabril representado na figura. 
 
33.a) Configure os limites das juntas de modo a 
evitar que (por exemplo, devido a um erro de 
programação) o manipulador choque com a 
Máquina 1. 
 
33.b) A função do manipulador consiste em 
transportar peças do tapete 1 (ponto A) para o 
tapete 2 (ponto B). Calcule as coordenadas (q1,q2) 
de quatro pontos (inicial, intermédio1, 
intermédio2 e final) de uma trajectória a ser 
seguida pelas juntas que permita que o 
manipulador cumpra essa função sem colidir com 
nenhuma das máquinas. Esboce a evolução da 
posição dos elos ao longo da trajectória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l1 = 0.75m l2 = 0.5m 
A ≡ (1, 0) B ≡ (0, -1) 
C ≡ (0, 0.5) D ≡ (0.6, -0.6)
x (m)
y (m)
q1
q2
l2
l1
Tapete 1
X
Tapete 2
B
A
Máquina 1
Máquina 2
X
D
X
X
C
 
(0,0) 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
x
y (x,y)
L2
θ1
o
L1
θ2
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12 
34. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado 
na figura tal que l1 = 0,5 m, l2 = 0,4 m, −90º <θ1 < +90º e −120º < θ2 < +150º. 
34.a) Esboce o espaço de trabalho do robô no espaço operacional {xy} e no 
espaço das juntas {θ1θ2}. Indique os pontos onde ocorrem singularidades 
cinemáticas caso existam. 
34.b) A mão do robô executa uma trajectória no espaço operacional entre os 
pontos A = (x,y) ≡ (0,5; −0,1) e B = (x,y) ≡ (0,2; 0,3). Determine as 
correspondentes coordenadas no espaço das juntas {θ1θ2}. Comente as diferentes 
possibilidades caso elas existam. 
 
 
35. Um robô RR com l1 = 1 m e l2 = 1,5 m, está inserido no processo de produção fabril representado na figura. A 
função do manipulador consiste em transportar peças do tapete 1 (ponto A) para o tapete 2 (ponto B). 
 
35.a) Calcule, no espaço das juntas, as coordenadas 
{q1, q2} de quatro pontos (inicial, intermédio1, 
intermédio2 e final) de uma trajectória a ser seguida 
pelas juntas que permita que o manipulador cumpra 
essa função sem colidir com nenhuma das máquinas. 
Esboce a evolução da posição dos elos ao longo da 
trajectória. 
 
35.b) Seria possível usar outro tipo de manipulador 
com um número de juntas igual ou inferior ao do robô 
RR para desempenhar a função descrita? Em caso 
afirmativo diga qual e esboce a sua trajectória, no 
espaço das juntas, para o percurso A-B. 
 
 
 
 
 
 
 
36. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais e l1 = l2 = 1 m, e as trajectórias A→B e C→D 
no espaço operacional {Oxy}, ambas com duração de 2 seg, representadas nas duas figuras para várias 
configurações sucessivas do robô. Então, pode dizer-se que: 
A) A trajectória A→B impõe maiores velocidades nos eixos do robô. 
B) A trajectória C→D impõe maiores velocidades nos eixos do robô. 
C) As trajectórias A→B e C→D impõem velocidades idênticas nos eixos do robô. 
D) Outro resultado. 
A ≡ (2, 0) B ≡ (0, -2) 
C ≡ (0, 1) D ≡ (0.8, -0.8)
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
Tapete 2
x (m)
y (m)
q1
q2
l2
l1 Tapete 1
X
B
A
Máquina 1
Máquina 2
X
D
X
X
C
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos 
13 
37. Considere o planeamento de trajectórias de um robô. Então, em geral pode dizer-se que: 
 
A) A trajectória deve incluir pontos situados muito perto dos limites de deslocamento dos eixos 
B) A trajectória deve incluir pontos situados perto das singularidades cinemáticas 
C) A trajectória deve incluir pontos situados fora do espaço de trabalho 
D) Outro resultado 
 
 
38. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, com l1 = 5 m e l2 = 5 m e as seguintes 
limitações de accionamento nas juntas: –90º ≤ θ1 ≤ +90º e 0º ≤ θ2 ≤ +180º. Pretende-se efectuar a trajectória 
A→B→C→D→E no espaço operacional Oxy representada na figura da direita. Indique a corresponde evolução 
dos sinais {x(t), y(t)} e {θ1 (t), θ2(t)}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, com l1 = 5 m e l2 = 5 m e as seguintes 
limitações de accionamento nas juntas: θ1min ≤ θ1 ≤ θ1max e θ2min ≤ θ2 ≤ θ2max (com valores mínimo e máximo tais 
que θ1min < θ1max e θ2min < θ2max). Pretende-se efectuar a trajectória A→B→C→D→E no espaço operacional Oxy 
representada na figura da direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine os valores limite de {θ1min, θ1max, θ2min, θ2max} tais que: 
39.a) A trajectória só é possível de executar com configuração do robô “cotovelo para baixo” (lower elbow). 
39.b) A trajectória só é possível de executar com configuração do robô “cotovelo para cima” (upper elbow). 
 
 
40. Considere um manipulador robótico do tipo RR com l1 = l2 = 1,5 m e −180º<q1<180º e −180º<q2<180º. 
Pretende-se que o manipulador se movimente segundo uma trajectória com pontos inicial e final respectivamente 
A≡(x0,y0) = (−1,1) e D≡(x3,y3) = (1,−1). O algoritmo de planeamento de trajectória efectua uma interpolação 
gerando dois pontos adicionais B e C de forma aos quatro pontos ficarem equidistantes. Para uma configuração 
“lower elbow”, determine os valores das coordenadas (q1,q2) e (x,y), respectivamente no espaço das juntas e no 
espaço operacional, correspondentes aos quatro pontos {A,B,C,D} quando: 
40.a) A interpolação é executada no espaço das juntas Oq1q2 
40.b) A interpolação é executada no espaço operacional Oxy 
40.c) A trajectória especificada na alínea anterior obriga o manipulador a cruzar uma singularidade. Indique qual 
a singularidade, os seus efeitos no desempenho do manipulador e uma possível formade os minimizar. 
 
 
 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
x 
l1 
y 
l2 
θ1 
θ2 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
 
1 
Soluções 
 
1. D) RRR 
 
2. D) Outro resultado (RPP) 
 
3. C) RRP 
 
4. B) RPR 
 
5. C) Robô com eixo 1 = R e eixo 2 = P (robô (RP) 
 
6. C) l1 = 1 m e l2 = 0,2 m 
 
7. C) l1 = 1,5 e l2 = 1,2 
 
8. B) 
 
9. D) –90º < θ1 <+90º e –180º < θ2 < 0º 
 
10. A) Ponto A 
 
11. ( ) 222 5,1023
2
1
6
5
2
mA ≅−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += π 
 C) A ≈ 10,5 m2 
 
12. C) A ≈ 5,92 m2 
 
13. 
πθπθπ
πθπθπ
=Δ⎯→⎯<<−
=Δ⎯→⎯<<−
22
11
3
2
3
2
3
2 
( ) 221 9,55,0.8,0.2
3. mqqAnq ii ≅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=ΔΔ=⎯→⎯Δ=Δ ππθ 
B) A ≈ 5,9 m2 
 
14. B) V ≈ 9L3 
 
15. C) V = 4πL3/3 
 
16. A) V = πL3 
 
17. B) V = (14/3)πL3/3 [m3] 
 
18. 
18.a) RRP, M=3, n=3 
 
18.b) 
área de trabalho = 222 56,0)1,05,0(
360
270 m≈−π 
 
 
 
 
0,50,1
Representação da área de trabalho no espaço 
operacional para q1=0º
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
2 
18.c) 
Volume de trabalho = [ ] 3
50
10
3
34
3
02
2
0
4
3
0
50
10
123
2
32 4403
cos2 m,
q
)(qπdqdqdq)qsen(q
,
,
ππ π ,
,
≈⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=∫ ∫ ∫ 
 
19. B) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2 
 
20. C) O robô 1 tem maior precisão e menor repetibilidade do que o robô 2 
 
21. 
21.a) A) O robô 1 tem menor precisão que o robô 2 
21.b) B) O robô 1 tem repetibilidade idêntica à do robô 2 
 
22. C) 
 
23. 
23.a) Cinemática directa: ( )[ ]
( )[ ]
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
+++=
++=
++=
32221
322211
322211
sensen
coscossen
coscoscos
θθlθlhz
θθlθlθy
θθlθlθx
 
 
23.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
3 
24. 
24.a) Cinemática directa:
( )[ ]
( )[ ]
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
+=
+=
)(sen
)cos()(sen
)cos()cos(
221
2211
2211
θ
θθ
θθ
lLhz
lLy
lLx
 
24.b) 
x
z
h
l1=1m
A
l2=0,75m
B
θ 2=0º
θ 2=135º
 
24.c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
4 
25. 
25.a) 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
)sen(
))sen((cos
)(cos)(cos
342
134
134
qqq
qqq
qqq
z
y
x
 
 
25.b) 
m,yxr 5122 =+= 
 
Só é possível com °= 03q e m,q 514 = , logo: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
°=⇔=
==
⇔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
248
)(cos
)sen(
50
)sen(51
)(cos51
1
1
1
2
2
1
1
,q
q
q
x
y
m,zq
q
q,
q,
z
y
x
 
 
25.c) Infinitas. 
 
26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. A) x2 + y2 = (l1 + l2)2 e x2 + y2 = (l1 - l2)2 
 
28. C) Ponto C 
 
29. 
 
⎩⎨
⎧
°=
°=⇒
⎩⎨
⎧
=−=
=+=
180
0
5,0
3,1
2
1
212
211
θ
θ
mllR
mllR
Obtêm-se duas zonas de singularidade 
cinemática: 
Volume de trabalho no espaço das juntas
θ1
θ2
120º
-90º 90º
-135º
Lower Elbow
Upper Elbow
Volume de trabalho no espaço operacional
R2 R1
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
5 
Volume de trabalho no espaço operacional
(Lower Elbow)
R2
R1
 
Volume de trabalho no espaço operacional
(Upper Elbow)
R2
R1
 
 
30. D) Outro resultado 
Pontos singulares ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=+
222
222
5,0
5,1
yx
yx 
 
31. D) Outro resultado 
 θ2 = 0 rad , θ2 = ±π rad 
 
 
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=°−+=
m,,R
m.,.,,,R
14060
529,0)60(cos4060.24060
2
22
1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=°−+=
m,,R
m.,.,.,,R
14060
425,0)45(cos406024060
2
22
1
Verifica-se uma singularidade cinemática para: 
θ1 qualquer, θ2 = 0º 
 
Verifica-se uma singularidade cinemática para: 
θ1 qualquer, θ2 = 0º 
 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
6 
y
x
B
A
-2 2
2
-2
Trajectória pretendida no 
espaço operacional
x
A
y
B
0,36m
32. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33. 
33.a) 
 
°=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 841
750
50arcsin2 ,,
,q 
 
°−<<°−
°<<°−
8,41180
8,41180
2
1
q
q
 
 
 
 
 
 
 
33.b) Ponto inicial → Ponto A ⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
°−=
°=⇒=
=
5,75
9,28
0
1
2
1
q
q
y
x
A
A 
 
 Ponto intermédio 1 → Ponto I1 ⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
°−=
°=⇒−=
=
5,104
3,19
25,0
75,0
2
1
1
1
q
q
y
x
I
I 
 
Ponto intermédio 2 → Ponto I2 ⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
°−=
°−=⇒−=
=
5,104
8,33
75,0
25,0
2
1
2
2
q
q
y
x
I
I 
 
Ponto final → Ponto B ⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
°−=
°−=⇒−=
=
5,75
61
1
0
2
1
q
q
y
x
B
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume de trabalho no espaço das juntas
180º
-180º 180º
-180º
q2
q1
B A
A (98º;51,3º)
B (-149º;51,3º)
q1 excede o limite de 
movimento admissível
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7 
34. 
34.a) 
Volume de trabalho no espaço das juntas
θ1
θ2
150º
-90º 90º
-120º
Lower Elbow
Upper Elbow
 
Volume de trabalho no espaço operacional
(Upper Elbow)
Volume de trabalho no espaço operacional
(Lower Elbow)
R2R2
R1
R1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=°−+=
m,,,R
m,.,.,.,,R
904050
2520)30(cos405024050
2
22
1 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=°−+=
m,,R
m.,.,.,,R
9,04050
458,0)60(cos405024050
2
22
1 
 
 
 
34.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Só é possível através da configuração lower elbow, 
pois na configuração upper elbow os limites das 
juntas do robô são ultrapassados. 
 
x
A (0,5;-0,1)
y
B (0,2;0,3)
Nas duas situações existem singularidades cinemáticas para: θ1 qualquer, θ2 = 0º 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
8 
A
B
x
y
 
 Lower Elbow Upper Elbow 
trajectória x y θ1 (graus) θ2 (graus) θ1 (graus) θ2 (graus) 
A 0,5 -0,1 -58,0 112,0 35,3 -112,0 
 0,425 0 -50,4 125,0 50,4 -125,0 
 0,35 0,1 -36,4 133,9 68,3 -133,9 
 0,275 0,2 -16,8 137,4 88,8 -137,4 
B 0,2 0,3 3,9 134,4 108,7 -134,4 
 
 
35. 
35.a) Ponto inicial → Ponto A ⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
°=
°−=⇒=
=
5,75
6,46
0
2
2
1
q
q
y
x
A
A 
 
 Ponto intermédio 1 → Ponto I1 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
°=
°−=⇒
−=
=
6,138
2,142
2
2
2
2
2
1
1
1
q
q
y
x
I
I
 
 
Ponto intermédio 2 → Ponto I2 ⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
°=
°−=⇒−=
=
5,104
3,138
3
1
2
1
2
2
q
q
y
x
I
I 
 
Ponto final → Ponto B ⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎩⎨
⎧
°=
°−=⇒−=
=
5,75
6,136
2
0
2
1
q
q
y
x
B
B 
 
 
 
 
 
 
 
35.b) Sim. Uma estrutura RP. 
2
1
-π
2
-π
4
AB
q1
q2
 
 
36. B) A trajectória C→D impõe maiores velocidades nos eixos do robô. 
 
37. D) Outro resultado 
 
SISEL - Sistemas ElectromecânicosSistemas robóticos (soluções) 
9 
38. Cinemática inversa de um robô RR: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
21
2
2
2
1
22
221
22
22
2
1
2
arccos
cos
sin
ll
llyx
θll
θl
arctg
x
yarctg
θ
θ
 
 
Com l1 = l2 = 5m vem: 
 Lower Elbow Upper Elbow 
trajectória tempo x y θ1 (graus) θ2 (graus) θ1 (graus) θ2 (graus) 
A 0 9 0 -25,8 51,7 25,8 -51,7 
B 4,5 9 1,5 -14,7 48,3 33,6 -48,3 
C 7 6 3 -21,3 95,7 74,4 -95,7 
D 11 3 3 -19,9 129,8 109,9 -129,8 
E 13 0 0 -45 180 135 -180 
 
 
 
 
Evolução de x e y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12 14
tempo
x
y
 
Evolução de q1 e q2
-100
-50
0
50
100
150
200
0 2 4 6 8 10 12 14
tempo
q1 (graus)
q2 (graus)
 
 
39. (Ver resolução do exercício anterior) 
 
39.a) Lower Elbow: –90º ≤ θ1 ≤ 0º e 0º ≤ θ2 ≤ 180º 
39.b) Upper Elbow: 0º ≤ θ1 ≤ 180º e -180º ≤ θ2 ≤ 0º 
 
Solução 1, é possível 
 
Solução 2: não é possível pois 
excede os limites das juntas. 
SISEL - Sistemas Electromecânicos Sistemas robóticos (soluções) 
10 
40. 
40.a) 
 
 
 
 
 
 
 
40.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40.c) - Singularidade cinemática: l1 = l2 e x=y=0 (θ1 qualquer, θ2 = ±180º). 
- Existe um número infinito de possíveis configurações do robô. 
- Definir uma trajectória que não atravesse o ponto singular em causa. 
 
 Lower Elbow 
trajectória x y θ1 (graus) θ2 (graus) 
A -1 1 73,1 123,7 
B 0,37 1,37 13,1 123,7 
C 1,37 0,37 -46,9 123,7 
D 1 -1 -106,9 123,7 
 Lower Elbow 
trajectória x y θ1 (graus) θ2 (graus) 
A -1 1 73,1 123,7 
B -0,33 0,33 54,0 161,9 
C 0,33 -0,33 -126,0 161,9 
D 1 -1 -106,9 123,7 x
y
A (-1;1)
D (1;-1)
Interpolação no espaço operacional
3
C
B