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27 Cálculo II: Integração por Partes Técnicas de Integração. As técnicas de integração estudadas anteriormente permitem o cálculo de alguns tipos de integrais, mas não de todos. Veja dois exemplos bem parecidos. 1º Exemplo: integre dxxx sen 2 Temos conhecimento da integral imediata: Cudu cos usen Fazendo a mudança de variável 2xu , teremos dxxxddu 22 . Assim, pelas técnicas estudadas anteriormente, du 2 u 2222 sen 2 1 2sen 2 1 sen sen xdxdxxxdxxxdxxx CxCx 22 cos 2 1 cos 2 1 . 2º Exemplo: integre dxxx sen Neste caso, a estratégia utilizada anteriormente não surtirá efeito, e nenhuma da outras estratégias já discutidas é capaz de resolvê-la. Precisamos então de novas técnicas de integração, como Integração por Partes, Integração de Funções Racionais Fracionárias e Integração através de Substituição de Variáveis por Variáveis Trigonométricas. Iniciaremos discutindo a técnica de Integração por Partes. Integração por Partes. A técnica de integração por partes está fundamentada na regra da derivada do produto: dvuduvvud , onde podemos prepará-la duvvuddvu Conhecendo a integral de duv e não conhecemos a integral de dvu , podemos integrá-la membro a membro a fim de determinarmos dvu , como segue. duvvuddvu E como vuvud (a integral é a operação oposta da diferencial), a fórmula da Integração por Partes fica assim definida. duvvudvu 28 Cálculo II: Integração por Partes No segundo exemplo, dxxx sen Fazendo cos sen sen xvdxxdvdxxdv dxxdduxu Utilizando a técnica de integração por partes, temos: duvvudvu duvvudvu dxxxxdxxx coscos sen dxxxxdxxx coscos sen Cxxxdxxx sen cos sen É importante observar que as integrais resolvíveis pela técnica de integração por partes admitem pelo menos duas escolhas diferentes para u e dv. Em alguns casos, ambas as escolhas permitem o cálculo da integral desejada (sendo uma delas de forma menos trabalhosa), já em outros, apenas uma das escolhas permite a resolução. No exemplo 2, fazendo uma má escolha para u e dv, chegamos em uma identidade do tipo dvudvu , que não determina o resultado da integral desejada. Veja. Fazendo, 2 cossen sen 2x vdxxdvdxxdv dxxxdduxu temos duvvudvu du vv udvu dxx xx xdxxx cos 22 sen sen 22 dxxxx x dxxx cos 2 1 sen 2 sen 2 2 (I) Mas a integral dxxx cos2 deve ser resolvida também aplicando a técnica de integração por partes. Fazendo 1 22 sen cos cos 2 Cxvdxxdvdxxdv dxxxdduxu duvudvu dxxxxxdxxx 2 sen sen cos v 22 dxxxxxdxxx sen 2sen cos 22 (II) 29 Cálculo II: Integração por Partes Substituindo (II) em (I), temos, dxxx dxxxxxx x dxxx cos 2 2 2 sen 2sen 2 1 sen 2 sen dxxxx x x x dxxx sen sen 2 sen 2 sen 22 dxxxdxxx sen sen Vamos discutir mais alguns exemplos. Exemplo 3: integre dxex x Vamos utilizar a técnica de integração por partes Fazendo xxx evdxdvdxdv dxxdduxu e e temos, duvvudvu duv x v x udv x u dxeexdxex Ceexdxex xxx Cxedxex xx 1 Exemplo 4: integre dxx 1ln 2 Vamos utilizar a técnica de integração por partes. Fazendo xvdxdvdxdv dx x x xdduxu 1 2 1ln 1ln 2 22 temos, duvvudvu du vvudvu dx x x xxxdxx 1 2 1ln 1ln 2 22 dx x x xxdxx 1 21ln 1ln 2 2 22 30 Cálculo II: Integração por Partes E Cxx x dx dxdx x dx x x tgarc 11 1 1 1 222 2 Assim, Cxxxxdxx tgarc221ln 1ln 22 Exemplo 5: integre dxxxxx sen cos 2332 )( 23 )( 322332 sen cos sen cos III dxxxdxxxdxxxxx dxxxI cos)( 32 Fazendo 3xt , temos dxxxddt 3 23 . Assim 13332332 sen 3 1 cos 3 1 3 cos 3 1 cos Cxxdxdxxxdxxx dtt dxxxII sen )( 23 (integração por partes) Fazendo 2 222 222 22 cos 2 1 sen 2 1 2 sen 2 1 sen sen 2 Cxvxdxv dxxxvdxxxdvdxxxdv dxxxdduxu duu dwwdu vv udvu xdxxxdxxxxxdxxx 222222223 cos 2 1 cos 2 1 2 cos 2 1 cos 2 1 sen 3 222 sen 2 1 cos 2 1 Cxxx Logo, CxxxxIIIdxxxxx 22232332 sen 2 1 cos 2 1 sen 3 1 )()( sen cos 31 Cálculo II: Integração por Partes 4ª Lista de Exercícios Integre: 1. dxex x Resp: Cxex 1 2. dxxx cos Resp: Cxxx cossen 3. dxxx sen 23 Resp: C xxx 2 sen 2 cos 222 4. dxx ln Resp: Cxxx ln 5. dxx 2sen arc Resp: Cxxx 241 2 1 2sen arc 6. dxx tan arc Resp: Cxxx 21ln 2 1 tan arc 7. dxxxx sen cos 2 Resp: Cxxxx 2cos 2 1 cossen 8. dxxx ln Resp: Cx x 2 1 ln 2 2 9. dxxx ln 3 Resp: Cx x 4 1 ln 4 4 10. dxxxx 2sen 3sen ln Resp: Cxxxx 10 5sen 2 sen 1ln 11. dxxxex x ln 32 3 Resp: Cx xex 4 1 ln 43 43 12. dxx seccos 3 Resp: Cxxxx cotseccosln 2 1 cot seccos 2 1 13. dxxxn ln 14. dxx sen arc 15. dxxx ln 3 16. dxxx tan arc 3 17. dxxx sen 23 18. dxxx cos 2 32 Cálculo II: Integração por Partes 19. dxex x 20. dxxex x sen 2 21. dxexx x ln 22. dxxx cotarc 2 23. dxx sec3 24. dxx 5sec3 25. dxx 23cos arc 26. dxex x 123 27. dxxx 1ln 28. dxxx cos 3 29. dxx ln 30. dxxx 1cos 43
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