CURSO ANAL CIRC RESOL EXERCICIOS

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CURSO ENGENHARIA ELETRÔNICA
NOTAS DE AULAS
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS
ANÁLISE DE CIRCUITOS
22/04/2018
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EXERCÍCIO:
Determine a defasagem entre os pares de senóides e verifique qual está adiantada.
𝑣 𝑡 = −4 𝑠𝑖𝑛 30𝑡 + 50°
𝑖 𝑡 = 6 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 − 40°
Como: −sin𝜶 = sin 𝛼 + 180° , 𝒗 𝒕 = 𝟒 sin 30𝑡 + 50° + 180°
𝒗 𝒕 = 𝟒 sin 30𝑡 + 230°
E como: sin𝜶 = cos 𝛼 − 90° , 𝒗 𝒕 =𝟒 cos 30𝑡 + 230° − 90° =𝟒 cos 30𝑡 + 140°
𝒗 𝒕 = 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎𝒕 + 𝟏𝟒𝟎° 𝑽
𝑖 𝑡 = 6 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 − 40° 𝐴
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𝝋𝒗 = 𝟏𝟒𝟎°
𝝋𝒊 = −𝟒𝟎°
𝝋 = 𝝋𝒗 - 𝝋𝒊
Concluimos que a tensão 𝝋𝒗 está adiantada da corrente 𝝋𝒊 em 𝟏𝟒𝟎 − −𝟒𝟎 = 𝟏𝟖𝟎°.
-40°
140°
180° i
v
𝝎
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Um fasor pode ser visto como um vetor de rotação
sobre a origem em um plano complexo.
A função cosseno é a projeção do vetor no eixo real.
Sua amplitude é o módulo do vetor e seu argumento é
a fase de total 𝜔𝑡 + 𝜃.
A constante de fase 𝜃 representa o ângulo que o vetor
forma com o eixo real em t = 0.
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Exercícios Propostos
1. Transforme as seguintes senóides em fasores:
a. (1,5p) 𝑖 = − sen(120𝜋𝑡 + 80°) [𝐴]
Resposta: 𝑰 = 1∠170° [A]
b. (1p) 𝑣 = 4 cos(1000𝑡 − 30°) [𝑉]
Resposta: 𝑽 = 4∠−30° [V]
c. (1p) 𝑣 = −20 sen(120𝜋𝑡) [𝑉]
Resposta: 𝑽 = 20∠90° [V]
d. 𝑖 = − cos(120𝜋𝑡 − 50°) [𝐴]
Resposta: 𝑰 = 1∠130° [𝐴]
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Exercícios Propostos
1. Transforme as seguintes senóides em fasores:
e. 𝑣 = −4 sen(120𝜋𝑡 + 50° ) [𝑉]
Resposta: 𝑽 = 4∠140° [𝑉]
f. 𝑣 = 10 sen(120𝜋𝑡 + 150° ) [𝑉] 
Resposta: 𝑽 = 10∠60° [𝑉] 
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Resolução dos Exercícios Propostos
1. Transforme as seguintes senoides em fasores:
a. 𝑖 = − sen(120𝜋𝑡 + 80°) [𝐴]
Solução: 
Como: −sin𝜶 = sin 𝛼 + 180°
𝒊 = sin 120𝜋𝑡 + 80° + 180°
𝒊 = sin 120𝜋𝑡 + 260°
Como: sin𝜶 = cos 𝛼 − 90°
𝒊 = cos 120𝜋𝑡 + 260° − 90° = 𝟏. 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟐𝟎𝝅𝒕 + 𝟏𝟕𝟎°
𝐈 = 𝟏∠𝟏𝟕𝟎° = −𝟎, 𝟗𝟖 + 𝒋𝟎, 𝟏𝟕 𝑨
Resposta: 𝑰 = 1∠170° [A] ok
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b. 𝑣 = 4 cos(1000𝑡 − 30°) [𝑉]
𝒗 = 𝟒. cos 1000𝑡 − 𝟑𝟎° 𝑽
𝑽 = 𝟒∠ − 𝟑𝟎° = 𝟒 𝒄𝒐𝒔 −𝟑𝟎° + 𝒋𝟒 𝒔𝒊𝒏 −𝟑𝟎° = 𝟑, 𝟒𝟔 − 𝒋𝟐, 𝟎𝟎 𝑽
Resposta: 𝑽 = 4∠−30° [V] ok
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c. 𝑣 = −20 sen(120𝜋𝑡) [𝑉]
Solução: 
Como: −sin𝜶 = sin 𝛼 + 180°
𝒗 = −20. sin 120𝜋𝑡 + 0° + 180° = −20. sin 120𝜋 + 180°
Como: sin𝜶 = cos 𝛼 − 90°
𝒗 = 𝟐𝟎. cos 120𝜋𝑡 + 𝟏𝟖𝟎° − 𝟗𝟎° = 𝟐𝟎 cos 120𝜋𝑡 + 𝟗𝟎° 𝑽
𝑽 = 𝟐𝟎∠𝟗𝟎° = 𝟐𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° + 𝒋𝟐𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝟗𝟎° = 𝒋𝟐𝟎, 𝟎𝟎 𝑽
Resposta: 𝑽 = 20∠90° [V] ok
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d. 𝑖 = − cos(120𝜋𝑡 − 50°) [𝐴]
Solução: 
Como: −cos𝜶 = cos 𝛼 ± 180°
𝒊 = 1. cos 120𝜋𝑡 − 50° + 180° = 𝟏. co𝑠 120𝜋𝑡 + 𝟏𝟑𝟎°
𝝋 = 𝟏𝟑𝟎° = 𝟑𝟔𝟎 − 𝟏𝟑𝟎 = −𝟐𝟑𝟎°
𝑰 = 𝟏∠𝟏𝟑𝟎° = 𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟎° + 𝒋𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟑𝟎° = −𝟎, 𝟔𝟒 + 𝒋𝟎, 𝟕𝟔 𝑨
Resposta: 𝑰 = 1∠130° [𝐴] ok
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e. 𝑣 = −4 sen(120𝜋𝑡 + 50° ) [𝑉]
Solução: 
Como: −sin𝜶 = sin 𝛼 + 180°
𝒗 = −4. s𝑖𝑛 120𝜋𝑡 + 50° = 𝟒. sin 120𝜋𝑡 + 𝟓𝟎 + 𝟏𝟖𝟎°
𝒗 = 𝟒. sin 120𝜋𝑡 + 𝟐𝟑𝟎°
Como: sin𝜶 = cos 𝛼 − 90°
𝒗 = 𝟒. sin 120𝜋𝑡 + 𝟐𝟑𝟎° = 𝟒 cos 120𝜋𝑡 + 230° − 90°
𝒗 = 𝟒 cos 120𝜋𝑡 + 𝟏𝟒𝟎° 𝑽
𝑽 = 𝟒∠𝟏𝟒𝟎° = 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟒𝟎° + 𝒋𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟒𝟎° = −𝟑, 𝟎𝟔𝟒 + 𝒋𝟐, 𝟓𝟕𝟏 𝑽
Resposta: 𝑽 = 4∠140° [𝑉] ok
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f. 𝑣 = 10 sen(120𝜋𝑡 + 150°) [𝑉] 
Solução: 
Como: sin𝜶 = cos 𝛼 − 90°
𝒗 = 10. s𝑖𝑛 120𝜋𝑡 + 150° = 𝟏𝟎. cos 120𝜋𝑡 + 𝟏𝟓𝟎° − 𝟗𝟎°
𝒗 = 𝟏𝟎. cos 120𝜋𝑡 + 𝟔𝟎° 𝑽
𝑽 = 𝟏𝟎∠𝟔𝟎° = 𝟏𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° + 𝒋𝟏𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎° = 𝟓, 𝟎𝟎 + 𝒋𝟖, 𝟔𝟔 𝑽
Resposta: 𝑽 = 10∠60° [𝑉] ok
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Exercícios Propostos
2. Para a tensão 𝑣 = 10 sen(1000𝑡 + 30°) [𝑉], determine:
a. Qual é a frequência f? 
Resposta: 𝑓 ≅ 160𝐻𝑧
b. Qual é o valor da tensão em t=4ms? (Dica: transformar ωt em graus. 𝜋 ≡ 180𝑜 ). 
Resposta: 𝑣 = −9,8[𝑉] 
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Exercícios Propostos
2. Para a tensão 𝑣 = 10 sen(1000𝑡 + 30°) [𝑉], determine:
a. Qual é a frequência f? 
Solução:
Se, 𝑣 = 10 sen(1000𝑡 + 30°) [𝑉], 𝜔𝑡 = 1000𝑡.
Como: 𝜔𝑡 = 2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 = 1000𝑡, então:
𝒇 =
1000𝑡
2𝜋𝑡
=
1000
2𝜋
=
1000
6,283185
= 159,154943 ≅ 𝟏𝟔𝟎 𝑯𝒛
Resposta: 𝑓 ≅ 160𝐻𝑧 ok
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2. Para a tensão 𝑣 = 10 sen(1000𝑡 + 30°) [𝑉], determine:
b. Qual é o valor da tensão em t = 4ms (4 x 10-3s)? (Dica: transformar ωt em graus. 
𝜋 ≡ 180°). 
Solução: 𝝎𝒕 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒕
𝒓𝒂𝒅
𝒔
→ 𝝋 𝒆𝒔𝒕á 𝒆𝒎 𝝋° , 𝒆𝒎 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝒔:
𝒗 = 𝟏𝟎 sin 1000𝑡 + 30°
Como: sin𝜶 = cos 𝛼 − 90° → 𝒗 = 𝟏𝟎 cos 1000𝑡 + 30° − 90° =
𝒗 = 𝟏𝟎 cos 1000𝑡 − 60° = 𝟏𝟎𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒕 + 𝟑𝟎° 𝑽
𝜶 = 𝝎𝒕|𝟎,𝟎𝟎𝟒𝒔 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒓𝒂𝒅
𝒔
𝟎, 𝟎𝟎𝟒 𝒔 = 𝟒 𝒓𝒂𝒅
𝝅 → 𝟏𝟖𝟎°
𝟒 → 𝟐𝟐𝟗, 𝟏𝟖𝟑𝟏𝟏𝟖°
𝒗|𝟒𝒎𝒔 = 𝟏𝟎 sin 229,18° + 30°
𝒗|𝟒𝒎𝒔 = 𝟏𝟎 sin 𝟐𝟓𝟗, 𝟏𝟖° ≅ 10 . −𝟎, 𝟗𝟖 ≅ −𝟗, 𝟖 𝑽
𝒗|𝟒𝒎𝒔 = −𝟗, 𝟖 𝑽
Resposta: 𝑣 = −9,8[𝑉] ok
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Exercícios Propostos
3. Para a seguinte tensão determine: 𝑣 = −8 sen(120𝜋𝑡 − 30°) [𝑉] 
a. Qual é a amplitude da tensão? 
Resposta: 𝑉 = 8[𝑉] 
b. Qual é a frequência f? 
Resposta: 𝑓 = 60𝐻𝑧
c. Qual é o valor da tensão em t=4ms? (Dica: transformar ωt em graus. 𝜋 ≡ 180°). 
Resposta: 𝑣 = −6,66[𝑉] 
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3. Para a seguinte tensão determine: 𝑣 = −8 sen(120𝜋𝑡 − 30°) [𝑉] 
a. Qual é a amplitude da tensão? 
Solução:
Como: −𝐬𝐢𝐧𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 + 𝟏𝟖𝟎° → 𝑣 = 8 sen(120𝜋𝑡 − 30° + 𝟏𝟖𝟎°) [𝑉]
𝒗 = 𝟖 . sin 120𝜋𝑡 + 𝟏𝟓𝟎°
𝑽 = 𝟖∠150° 𝑽
Amplitude: V = 8,00 [V]
Resposta: 𝑉 = 8[𝑉] ok
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3. Para a seguinte tensão determine: 𝑣 = −8 sen(120𝜋𝑡 − 30°) [𝑉] 
b. Qual é a frequência f? 
Solução:
𝑣 = −8 sen(120𝜋𝑡 − 30°) [𝑉] 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 120 . 𝜋
𝒇 =
𝜔
2 . 𝜋
=
120𝜋
2𝜋
= 𝟔𝟎 𝑯𝒛
Resposta: 𝑓 = 60𝐻𝑧 ok
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3. Para a seguinte tensão determine: 𝑣 = −8 sen(120𝜋𝑡 − 30°) [𝑉] 
c. Qual é o valor da tensão em t = 4ms? (Dica: transformar ωt em graus. 𝜋 ≡ 180°).
Solução: 𝝎𝒕 = 𝟏𝟐𝟎𝝅𝒕
𝒓𝒂𝒅
𝒔
→ 𝝋 𝒆𝒔𝒕á 𝒆𝒎 𝝋° , 𝒆𝒎 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝒔:
𝒗 = −𝟖 sin 120𝜋𝑡 − 30°
Como: −sin 𝛼 = sin 𝛼 + 180° → 𝒗 = 𝟖 sin 120𝜋𝑡 − 30° + 180° = 𝟖 sin 120𝜋𝑡 + 150°
Como: sin𝜶 = cos 𝛼 − 90° → 𝒗 = 𝟖 cos 120𝜋𝑡 + 150° − 90° =𝟖 cos 120𝜋𝑡 + 60°
𝒗 = 𝟖 cos 120𝜋𝑡 + 60° 𝑽
𝜶 = 𝝎𝒕|𝟎,𝟎𝟎𝟒𝒔 = 𝟏𝟐𝟎𝝅
𝒓𝒂𝒅
𝒔
𝟎, 𝟎𝟎𝟒 𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟖𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝝅 → 𝟏𝟖𝟎, 𝟎°
𝟎, 𝟒𝟖𝝅 → 𝟖𝟔, 𝟒°
𝒗|𝟒𝒎𝒔 = 𝟖cos 86,4° + 60°
𝒗|𝟒𝒎𝒔 = 𝟖 cos 𝟏𝟒𝟔, 𝟒𝟎° ≅ 𝟖 . −𝟎, 𝟖𝟑𝟐𝟗𝟐𝟏 ≅ −𝟔, 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟕𝟎 𝑽
𝒗|𝟒𝒎𝒔 = −𝟔, 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟕𝟎 𝑽
Resposta: 𝑣 = −6,66[𝑉] ok
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4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões:
𝑎 = −4 + 𝑗8
𝑏 = 3 − 𝑗4
𝑐 = 5∠ − 30°
𝑑 = 10∠60°
a. 𝑧 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑
Resposta: 𝑧 = 5,33 + 𝑗14,16 = 15,13∠69,37°
b. 𝑧 = 𝑏 − 𝑐 + 𝑑
Resposta: 𝑧 = 3,67 + 𝑗7.16 = 8,04∠62,86°
c. 𝑧 = 𝑐. 𝑑
Resposta: 𝑧 = 43,3 + 𝑗25 = 50∠30°
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d. 𝑧 = 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑
Resposta: 𝑧 = −1,76 − 𝑗0,180 = 1,77∠−174,16°
e. 𝑧 = 𝑏+𝑐.𝑑
Resposta: 𝑧 = −0,196 − 𝑗0,96 ≅ 1∠−101,5°
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4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões:
𝑎 = −4 + 𝑗8 𝑐 = 5∠ − 30°
𝑏 = 3 − 𝑗4 𝑑 = 10∠60°
a. 𝑧 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑
Solução: 𝑧 = −4 + 𝑗8 + 5∠ − 30° + 10∠60° =
Em operações de soma e subtração é conveniente trabalhar com coordenadas retangulares, então o número complexo
c e d vão ter que ser transformados:
5∠ − 30° → 5 cos −30° + 𝑗5 sin −30° = 𝟒, 𝟑𝟑𝟎𝟏𝟐𝟕 − 𝒋𝟐, 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
10∠60° → (10 cos 60° + 𝑗 sin 60° ) = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝐣𝟖, 𝟔𝟔𝟎𝟐𝟓𝟒
𝑧 = −4 + 𝑗8 + 5∠ − 30° + 10∠60°
𝑧 = −4 + 𝑗8 + 4,330127 − 𝑗2,5000000 + 5,000000 + 𝑗8,660254
𝒛 = 𝟓, 𝟑𝟑0127+ 𝒋𝟏𝟒, 𝟏𝟔0254 = 𝟏𝟓, 𝟏𝟑0203∠𝟔𝟗, 𝟑𝟕29°
Resposta: 𝑧 = 5,33 + 𝑗14,16 = 15,13∠69,37° ok 35
4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões:
𝑎 = −4 + 𝑗8 𝑐 = 5∠ − 30° = 𝟒, 𝟑𝟑𝟎𝟏𝟐𝟕 − 𝒋𝟐, 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑏 = 3 − 𝑗4 𝑑 = 10∠60° = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝐣𝟖, 𝟔𝟔𝟎𝟐𝟓𝟒
Solução:
b. 𝑧 = 𝑏 − 𝑐 + 𝑑= 3 − 𝑗4 − 4,330127 − 𝑗2,5000000 + 5,000000 + j8,660254
𝒛 = 𝟖, 𝟎𝟒𝟓𝟗𝟒𝟑∠𝟔𝟐, 𝟖𝟔𝟑𝟑𝟐𝟏° = 𝟑, 𝟔𝟔𝟗𝟖𝟕𝟑 + 𝒋𝟕, 𝟏𝟔𝟎𝟐𝟓𝟒
Resposta: 𝑧 = 3,67 + 𝑗7.16 = 8,04∠62,86° ok
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4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões:
𝑎 = −4 + 𝑗8 = 8,944272∠ 116,565051° 𝑐 = 5∠ − 30° = 4,330127 − 𝑗2,5
𝑏 = 3 − 𝑗4 = 5∠ − 53130102° 𝑑 = 10∠60° = 5 + j8,660254
c. 𝑧 = 𝑐. 𝑑
Solução:
𝑧 = 𝑐 . 𝑑 = 5∠ − 30° 10∠60° = 𝟓𝟎∠𝟑𝟎° = 𝟒𝟑, 𝟑𝟎𝟏𝟐𝟕𝟎 + 𝒋𝟐𝟓, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
Resposta: 𝑧 = 43,3 + 𝑗25 = 50∠30° ok
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4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões:
d. 𝑧 = 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑
𝑎 = −4 + 𝑗8 = 8,944272∠ 116,565051° 𝑐 = 5∠ − 30° = 4,330127 − 𝑗2,5
𝑏 = 3 − 𝑗4 = 5∠ − 53,130102° 𝑑 = 10∠60° = 5 + j8,660254
Solução: 
𝑧 = 8,944272∠ 116,565051° 5∠ − 53,130102° + 5∠ − 30° 10∠60° =
𝒛 = 𝟒𝟒, 𝟕𝟐𝟏𝟑𝟔𝟎∠𝟔𝟑, 𝟒𝟑𝟒𝟗𝟒𝟖° + 𝟓𝟎∠𝟑𝟎° = 𝟗𝟎, 𝟕𝟑𝟎𝟔𝟓𝟎∠𝟒𝟓, 𝟕𝟓𝟖𝟓𝟔𝟏°
𝒛 = 𝟐𝟎 + 𝒋𝟒𝟎 + 𝟒𝟑, 𝟑𝟎𝟏𝟐𝟕𝟎 + 𝒋𝟐𝟓 = 𝟔𝟑, 𝟑𝟎𝟏𝟐𝟕𝟎 + 𝒋𝟔𝟓
Resposta: 𝑧 = −1,76 − 𝑗0,180 = 1,77∠−174,16° (?)
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4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões:
e. 𝑧 = 𝑏+𝑐.𝑑
𝑎 = −4 + 𝑗8 = 8,944272∠ 116,565051° 𝑐 = 5∠ − 30° = 4,330127 − 𝑗2,5
𝑏 = 3 − 𝑗4 = 5∠ − 53,130102° 𝑑 = 10∠60° = 5 + j8,660254
Solução:
𝑧 = 3 − 𝑗4 + 5∠ − 30° 10∠60° =
𝒛 = 3 − 𝑗4 + 𝟒𝟑, 𝟑𝟎𝟏𝟐𝟕𝟎 + 𝒋𝟐𝟓 = 𝟒𝟔, 𝟑𝟎𝟏𝟐𝟕𝟎 + 𝟐𝟏
𝑧 = 5∠ − 53,130102° + 50∠30° = 50,841003∠24,396728°
Resposta: 𝑧 = −0,196 − 𝑗0,96 ≅ 1∠−101,5° (?)
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Referências:
INTMATH.
Polar to Rectangular Online Calculator.
Interactive Mathematics, 31 maio 2016.
Disponivel em: http://www.intmath.com/complex-numbers/convert-polar-rectangularinteractive.php .
MATH IS FUN.
Complex Number Calculator. Math is Fun, 2015.
Disponivel em: https://www.mathsisfun.com/numbers/complex-number-calculator.html .
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