Lista 3 de exercícios (Prof.ª Janete - UnB)

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Ca´lculo 2
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 3
Temas abordados : Testes de convergeˆncia de se´ries de termos positivos: Comparac¸a˜o, Raza˜o,
Raiz e Integral
1) Use o Teste da Raza˜o para estudar a convergeˆncia das se´ries abaixo.
(a)
∞∑
n=0
npi
4n
(b)
∞∑
n=0
5n
n5
(c)
∑
an onde a1 = 2 e an+1 =
sen(n) + 1
n
an, para todo n ∈ N
(d)
∑
an onde a1 = 1/3, an+1 =
3n− 1
2n + 5
an, para todo n ∈ N
2) Use o Teste da Comparac¸a˜o para estudar a convergeˆncia das se´ries abaixo.
(a)
∞∑
n=1
1
3n + 1
(b)
∞∑
n=1
| cos3(n)|
n3
3) Em cada um dos itens abaixo, determine se a se´rie converge ou diverge. Voceˆ vai perceber
que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
(a)
∞∑
n=1
n!e−n (b)
∞∑
n=1
n! log n
n(n + 2)!
(c)
∞∑
n=1
e−n (d)
∞∑
n=0
n3e−n
(e)
∞∑
n=0
(
n + 2
n
)n
(f)
∞∑
n=1
2
(1, 3)n
(g)
∞∑
n=1
3nn!
(n + 3)!
(h)
∞∑
n=2
n
(log n)n
(i)
∞∑
n=2
log n
n
(j)
∞∑
n=1
en
1 + e2n
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 3 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) As se´ries dos itens (a) e (c) sa˜o convergentes, enquanto que as demais sa˜o divergentes.
2) (a) Comparando com a se´rie tipo harmoˆnica
∑
1
3n
pode-se concluir que a se´rie diverge
(b) Comparando com a p-se´rie
∑
1
n3
pode-se concluir que a se´rie converge
3) (a)
∑
n!e−n diverge.
Pode-se usar o Teste da Raza˜o ou notar que o termo geral da se´rie na˜o vai para zero
(b)
∑ n! logn
n(n+2)!
converge
Pode-se comparar com a p-se´rie
∑
1
n2
(c)
∑
e−n converge
Pose-se usar o Teste da Raza˜o ou notar que e´ uma se´rie geome´trica de raza˜o 1/e < 1
(d)
∑
n3e−n converge
Pode-se usar o Teste da Raza˜o
(e)
∑(
n+2
n
)n
diverge
Pode-se notar que o termo geral na˜o vai para zero, lembrando que (1 + 1
n
)n → e
(f)
∑
2
(1,3)n
converge
Pode-se notar que e´ uma se´rie geome´trica
(g)
∑
3nn!
(n+3)!
diverge
Pode-se usar o Teste da Raza˜o
(h)
∑
n
(logn)n
converge
Pode-se usar o Teste da Raiz, lembrando que n
√
n→ 1
(i) diverge
Para calcular
∫
log x
x
dx use uma mudanc¸a de varia´veis apropriada
(j) converge
Para calcular
∫
ex
1+e2x
dx use uma mudanc¸a de varia´veis apropriada e, em seguida,
calcule a integral
∫
1
1+u2
du usando uma substituic¸a˜o trigonome´trica ou lembrando
que a func¸a˜o 1
(1+u2)
e´ a derivada de uma func¸a˜o conhecida.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 3 - Pa´gina 2 de 2