Vetores_texto_1 (1)

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Direção e Sentido
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes:
Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. 
Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 
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 Figura 2.1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor 
Na Figura 2.1 temos 4 segmentos orientados, 
com origem em pontos diferentes, 
que representam o mesmo vetor.
São considerados como vetores iguais, pois possuem a 
mesma direção
mesmo sentido 
mesmo comprimento 
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Vetor Oposto
Dado um vetor = , o vetor é o oposto de e se indica por - ou por - .
Vetor Unitário
Um vetor é unitário se | | = 1.
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Vetores Colineares
Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: são colineares se tiverem representantes pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Vetores Coplanares
Se vetores não nulos (não importa o número de vetores) possuem representantes pertencentes a um mesmo plano p, diz-se que eles são coplanares.
Soma de Vetores e 
Multiplicação por Escalar
Operações com vetores
A soma, V + W, de dois vetores V e W é determinada da seguinte forma:
 tome um segmento orientado que representa V; 
tome um segmento orientado que representa W, com origem na extremidade de V; 
o vetor V + W é representado pelo segmento orientado que vai da origem de V até a extremidade de W. 
Figura: V + W = W + V
 Deduzimos que a soma de vetores é comutativa, para quaisquer vetores V e W, ou seja:
		V + W = W + V.
 
 
 
 Observamos também que a soma V + W está na diagonal do paralelogramo determinado por V e W, quando estão representados com a mesma origem. 
 
Figura: V + (W + U) = (V + W) + U
Deduzimos que a soma de vetores é associativa, para quaisquer vetores V, W e U, ou seja,
V + (W + U) = (V + W) + U.
 
 
 
Vetor Nulo: vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade, denotado por 0 . 
Segue então, que 
V + 0 = 0 + V = V, 
para todo vetor V.   
Vetor Simétrico: é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário. Denotamos o simétrico de V, -V.
Segue então, que 
  V + (- V) = 0.
A diferença V menos W, por V - W = V+ (- W). 
Figura: A diferença V - W
 
Daí temos:
	W + (V - W) = (V - W) + W = V + (- W + W) = V + 0 = V. 
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 tem comprimento |  | vezes o comprimento de V; 
 a direção é a mesma de V, portanto são paralelos; 
 tem o mesmo sentido de V, se  > 0 e 
 tem o sentido contrário ao de V, se  < 0; 
 é o vetor nulo, se  = 0 ou V = 0. 
 
Figura: Multiplicaçãode vetor por escalar
Se W =  V, dizemos que W é um múltiplo escalar de V. 
Dois vetores não nulos são paralelos (ou colineares) se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro. 
A multiplicação de um vetor V por um escalar ,  V, é determinada pelo vetor caracterizado por: 
Sistema de Coordenadas Retangulares:Definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (v1, v2) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem (0,0). 
Figura: As componentes do vetor V no plano
Figura: As coordenadas de P são iguais as componentes de 
Vetores no Plano
A soma de dois vetores V = (v1, v2) e W = (w1, w2) é dada por: 
Figura: A soma de dois vetores no plano
 
A multiplicação de um vetor V = (v1, v2) por um escalar  é dada por 
Figura: A multiplicação de vetor por escalar no plano
Vetores no Espaço
Escolhemos um ponto como origem O. 
Como eixos coordenados, três retas orientadas, passando pela origem, perpendiculares entre si. 
Estes serão os eixos x, y e z. 
O eixo z é o eixo vertical. Os eixos x e y são horizontais. 
Cada par de eixos determina um plano chamado de plano coordenado.
Os três planos coordenados são: xy, yz e xz. 
Figura: As coordenadas de um ponto no espaço
Definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (v1, v2, v3) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem.
Figura: As componentes de um vetor no espaço
 
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Vetores
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Vetores 
no Plano e no Espaço 
Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do sentido. 
Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. 
  
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Representação Geométrica 
dos Vetores
Os vetores são representados por segmentos de retas orientados no plano ou no espaço. 
A direção e o sentido do segmento orientado identifica a direção e o sentido do vetor. 
O comprimento do segmento orientado representa a magnitude do vetor.