Limites e Continuidade IF 2017.2

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Prof. Msc. Isaias Lima Página 1 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA. 
SERTÃO PERNAMBUCANO – IFPE 
CAMPUS SERRA TALHADA 
 
Aluno(a): ______________________________________________________________ Data:_______/_______/2017. 
Professor Isaías Lima Disciplina: Cálculo 1 Curso: Licenciatura em Física 
 
EXERCÍCIOS – LIMITES E CONTINUIDADE 
 
1 – Considere o gráfico de y = f(x) esboçado abaixo. Determine os limites de cada item. Caso algum não exista, 
determine os limites laterais. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 
 
 
 
2 – Considere a função f dada por f(x) = {
5; 𝑥 ≤ 1
7; 1 < 𝑥 ≤ 2
9; 𝑥 > 2
 . Esboce o gráfico de f e determine 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑘
𝑓(𝑥) ou, caso 
não exista, determine os limites laterais para: 
 
a) k = 1 b) k = 0,9999 c) k = 1,0001 d) k = 2 e) k = 1,9999 f) k = 2,0001 
 
3 – Calcule os limites. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 (3𝑥² − 2𝑥 + 7) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
 (√𝑥³ − 9𝑥 + 4) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
5𝑥 − 2
𝑥² − 8
) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
𝑥² − 1
𝑥 − 1
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚 
𝑡→2
(
𝑡² − 5𝑡 + 6
𝑡 − 2
) 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚 
𝑎→−1
(
𝑎³ + 4𝑎² − 3
𝑎² − 1
) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
𝑥² + 𝑥 − 2
𝑥² − 𝑥
) 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚 
𝑣→2
(
𝑣³ − 8
𝑣4 − 16
) 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→−2
(
−2𝑥 − 4
𝑥³ + 2𝑥²
) 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→0
(
√𝑥² + 100 − 10
𝑥²
) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→0
(
√9 + 𝑥 − 3
𝑥
) 
 
𝑙) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→0
(
1 
𝑥√1 + 𝑥
−
1 
𝑥
 ) 
 
𝑚) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→4
(
3 − √5 + 𝑥
1 − √5 − 𝑥
) 
 
𝑛) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→2
(
√6 − 𝑥 − 2
√3 − 𝑥 − 1
) 
 
𝑜) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→1
(
√𝑥
3 − 1
√𝑥 − 1
) 
 
 
𝑝) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥²
ℎ
) 
 
𝑝) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥³
ℎ
) 
 
𝑞) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(2 + ℎ)3 − 8
ℎ
) 
 
 
𝑟) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(3 + ℎ)−1 − 3−1
ℎ
) 
 
 
𝑠) 𝑙𝑖𝑚 
ℎ→0
(
(𝑥 + ℎ)−2 − 𝑥−2
ℎ
) 
Prof. Msc. Isaias Lima Página 2 
 
4 – Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz 
 
𝑳 = 𝑳𝟎 . √𝟏 − 
𝒗²
𝒄²
𝟐
 
 
Expressa o comprimento L de um objeto como uma função de sua velocidade v com relação a um observador, 
onde L0 é o comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre 𝑙𝑖𝑚𝑣→𝑐− 𝐿 e interprete o 
resultado. Porque é necessário o limite à esquerda? 
 
5 – Seja 𝑓(𝑥) = {√𝑥 − 4 , 𝑠𝑒 𝑥 > 4
8 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 4
 , Esboce o gráfico de f e determine, se existir, o 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 𝑓(𝑥). 
 
6 – Utilizando a função deslocamento s(t) = -16t2+1000, que fornece a altura (em pés) de um objeto que caiu 
por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante t = a segundos é dada por 
 
𝒗(𝒂) = 𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝒂
𝒔(𝒂) − 𝒔(𝒕)
𝒂 − 𝒕
 
 
Se um trabalhador de construção derruba uma chave inglesa de uma altura de 1000 pés, com que velocidade a 
chave cairá após 5 segundos? 
 
7 – Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑥4. 𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
) = 0. 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 (√𝑥 . 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝜋/𝑥)) = 0. 
 
8 – Dada a função f(x) = 1 + √𝑥 − 3 , determine, se existir: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
𝑓(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥) 
 
9 – Dada a função f(x) = 
|𝑥|
𝑥
 para todo x ∈ ℝ∗, existe 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑜 𝑓(𝑥)? Justifique sua resposta. 
 
10 – Dada a função 𝑓(𝑥) = {
𝑥+1
2
 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
𝑥² , 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 existe o 𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑓(𝑥)? Justifique sua resposta. 
 
11 – Dado o gráfico da função real g(x), determine, se existir: 
 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑔(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑔(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑔(𝑥) 
 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→5+
𝑔(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→5−
𝑔(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→5
𝑔(𝑥) 
 
 
 
 
 
Prof. Msc. Isaias Lima Página 3 
 
12 – Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada 
dentro do tanque a uma taxa de 25 ℓ/minuto. Nestas condições, a concentração de sal após t minutos (em 
gramas por litro) é dada por: 
C(t) = 
30𝑡
200 + 𝑡
 
. 
O que acontece com a concentração de sal quando t → +∞? 
 
 
13 – Calcule os limites. 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
 
1
(𝑥 + 3)²
 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 
1
(𝑥 + 3)²
 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
 (𝑥³ − 5𝑥2 + 𝑥 − 18) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 (2 −
1
𝑥
+
1
𝑥²
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
(
𝑡 + 1
𝑡² + 1
) 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚
ℎ→−∞
(
2ℎ5 + ℎ³ − 4ℎ²
ℎ³ − 16ℎ + 8
) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
2𝑥5 + 𝑥³ − 2
−𝑥2 + 7
) 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
3𝑥5 + 𝑥² − 7
2 − 𝑥²
) 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
−5𝑥3 + 2
7𝑥³ + 3
) 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
𝑥² + 3𝑥 − 1
2 − 𝑥²
) 
 
𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
𝑥² + 3𝑥 + 1
𝑥
) 
 
𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
(
𝑡² − 1
𝑡 − 4
) 
 
𝑚) 𝑙𝑖𝑚
𝑣→+∞
(
𝑣√𝑣 − 1
3𝑣 − 1
) 
 
𝑛) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) 
 
𝑜) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) 
 
𝑝) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(√𝑥² + 1 − √𝑥² − 1) 
 
𝑞) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥√𝑥² − 1 − 𝑥) 
 
𝑟) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥√3𝑥² + 2𝑥 + 1 − √2𝑥) 
 
𝑠) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
5𝑥³ − 𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥4 + 𝑥³ − 𝑥 + 1
) 
 
𝑡) 𝑙𝑖𝑚
𝑠→+∞
(
8 − 𝑠
√𝑠² + 7
) 
 
𝑢) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
√2𝑥2 − 7
𝑥 + 3
) 
 
𝑣) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥√16𝑥4 + 15𝑥³ − 2𝑥 + 1 − 2𝑥) 
 
𝑤) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
√2𝑥² − 7
𝑥 + 3
) 
 
𝑥) 𝑙𝑖𝑚
𝑦→+∞
(
3 − 𝑦
√5 + 4𝑦²
) 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Msc. Isaias Lima Página 4 
 
14 – Calcule os limites. 
 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
(
𝑥
𝑥 − 3
) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
(
𝑥
𝑥 − 3
) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
(
𝑥
𝑥² − 4
) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
(
𝑥
𝑥² − 4
) 
 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑦→6+
(
𝑦 + 6
𝑦² − 36
) 
 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑦→6−
(
𝑦 + 6
𝑦² − 36
) 
 
𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4+
(
3 − 𝑥
𝑥² − 2𝑥 − 8
) 
 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4−
(
3 − 𝑥
𝑥² − 2𝑥 − 8
) 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
(
1
|𝑥 − 3|
) 
 
𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
(
1
|𝑥 − 3|
) 
 
15 – Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções: 
 
 
𝑎) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥 − 4
 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) =
−3
𝑥 + 2
 
 
𝑐) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥² − 3𝑥 + 2
 
 
𝑑) 𝑓(𝑥) =
−1
(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)
 
 
𝑒) 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥 + 4
 
 
𝑓) 𝑓(𝑥) = −
2
√𝑥 − 3
 
 
𝑔) 𝑓(𝑥) = −
2𝑥²
√𝑥² − 16
 
 
ℎ) 𝑓(𝑥) = −
𝑥
√𝑥² + 𝑥 − 12
 
 
O segredo da vitória não é superar os outros, mas a si mesmo. 
BONS ESTUDOS!