apostila fisica geral 1º semestre

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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ 
 
2016 
Apostila de física 
Geral 
1º semestre 
PROF. Thomaz Barone 
 
 
 
Unitau - Universidade de Taubaté – Instituto Básico de Ciências Exatas 
Apostila de Física Geral I – professor Thomaz Barone 
 
 
 1 
 
Orientações Pedagógicas para disciplina Física Geral Prof. 
Thomaz Barone 
I. A disciplina de Física Geral é apostilada cabendo ao aluno possuir sua própria apostila; 
II. Ao termino de cada aula ministrada, a apostila apresenta uma série de exercícios relacionados ao conteúdo da aula 
que devem ser realizados periodicamente evitando acumulo dos mesmos e possibilitando esclarecimento de duvidas ao 
longo do semestre; 
III. Os exercícios propostos da apostila não serão resolvidos em sala, sendo as duvidas tratadas anteriormente ao inicio de 
cada uma das aulas ou posteriormente ao termino das mesmas; 
IV. Cabe ao aluno a responsabilidade de resolver os exercícios propostos ao termino de cada aula esclarecendo as dúvidas 
nas aulas seguintes; 
V. A avaliação será continua compreendendo três instrumentos: 
a. Atividades deixadas de uma aula para outra, que podem ser pequenas pesquisas ou exercícios – somando 2,0 
pontos; 
b. Uma avaliação intermediária com consulta a material manuscrito de aula, onde não será permitido xerox ou 
impressão de qualquer espécie – somando 2,0 pontos; 
c. Avaliação semestral, sem consulta – somando 6,0 pontos. 
VI. As avaliações dos itens A e B não admitem segunda chamada, no caso do item A não ser entregue na data prevista 
classificará 0,0 como nota e no item B só será permitida execução em outro dia num prazo máximo de 7 dias após a 
data a ser tratado com o professor em horário alternativo à aula e mediante apresentação de justificativa, a qual o 
professor terá direito de recusa; 
Justificativas aceitáveis: doença ou acidente do aluno ou parente de 1º grau comprovadas, convocação oficial de órgão 
público ou militar. 
VII. As vistas de prova ocorrerão no mesmo dia no caso dos exercícios dos itens A e B, e no prazo de exata uma semana do 
ítem C, o não comparecimento da vista será entendido como ausência de interesse do aluno na mesma; 
VIII. Em todas as avaliações, é proibido o uso de qualquer aparelho eletrônico que não seja uma calculadora científica 
simples; 
IX. É expressamente proibido o empréstimo de qualquer material durante a execução de qualquer atividade avaliativa; 
X. A confirmação de presença é diária sendo realizada em qualquer momento da aula através de chamada nominal; 
XI. O tempo de duração da aula é definido pela instituição cabendo ao aluno a responsabilidade por sua entrada 
posterior ao inicio da aula ou saída anterior ao fim da aula; 
XII. Os exercícios das avaliações contemplarão o conteúdo e o nível de dificuldade dos exercícios da apostila, porém não 
necessariamente serão idênticos aos mesmos; 
XIII. Qualquer pré-requisito ou conteúdo ministrado em disciplina paralela no curso poderá ser utilizado em exercícios de 
sala ou avaliações desde que o conteúdo contemple séries do ensino básico ou semestres anteriores ou igualitários ao 
que o aluno cursa. 
Um ótimo semestre a todos! 
Prof. Thomaz Barone 
thomaz.barone@unitau.com.br 
 
 
 
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Apostila de Física Geral I – professor Thomaz Barone 
 
 
 2 
 
I. introdução ao estudo da física 
I.1. Histórico e campo de estudo 
 A física como ciência é o resultado de séculos de descobertas e da produção intelectual de vários homens. Antigamente 
englobada na chamada filosofia natural foi no século VII a.C. que começou a se desvencilhar da filosofia e da mitologia dando 
início ao processo de busca racional de explicações para o universo que rodeava o homem, tal busca, iniciada na região chamada 
Jônia, hoje Turquia, na colônia grega de Mileto, cidade próspera e comercial. O primeiro pensador dessa época chamava-se Tales, e 
buscando uma explicação racional para a existência da Terra concluiu que tudo havia vindo da água. 
 
 Muitos séculos nos separam dos gregos antigos e nossos modelos hoje são baseados em novas concepções de mundo, porém 
devemos a eles as perguntas como: de onde viemos, de que é feito o universo ou mesmo o que é a vida e a matéria. A ciência tal 
qual é concebida atualmente iniciou-se no século XVI quando o pensamento renascentista rasgou a idade média, conhecida como 
idade das trevas. Através dos estudos da mecânica e astronomia o entendimento do universo e o movimento dos astros na esfera 
celeste, objetivo principal dessa ciência que nascia como também através da busca experimental e baseada em considerações 
matemáticas deu-se o início da revolução intelectual do homem. Os grandes nomes dessa época, além de pioneiros nos estudos 
também podem ser lembrados como desbravadores que iniciaram uma revolução que faria não apenas tremer os alicerces do 
pensamento como iniciar um novo modo de vida que veio a desembocar no século XX com a revolução tecnológica característica 
desse novo mundo. 
 Hoje a ciência baseia-se no chamado método experimental, ou seja, uma teoria só pode ser considerada correta se estiver de 
acordo com resultados experimentais exaustivamente repetidos e determinados dentro de um rigor 
previamente estabelecido. Tal conceito nasceu na verdade durante a Idade Média com Roger Bacon, mas, 
devido ao fato de ir contra alguns princípios aristotélicos, que ditavam a ciência de sua época, acabou 
sendo desprezado vindo a ser retomado apenas no século XVI quando Galileu estruturou o método como o 
concebemos hoje. Baseado nisso pode-se determinar Galileu Galilei como sendo o precursor de nossa 
ciência. Todavia, como disse Einstein e Infeld em seu livro “A evolução da Física”, na página 21: “(...) a 
ciência tem de criar sua própria linguagem, seus próprios conceitos, para o seu próprio uso. Os conceitos 
científicos frequentemente começam com os da linguagem usual para os assuntos da vida cotidiana, mas 
se desenvolvem de maneira bem diferente (...).”. Tal linguagem será o modelo. “Um modelo é um 
substituto para o problema real que permite a você resolver o problema de uma maneira relativamente 
simples.” (SERWAY, Raymond A., JEWETT, John W.; Cengage Learning 2012, pag.25) Para a 
construção desse modelo é necessário seguir a um método, tal método a ser seguido pelos cientistas 
modernos teve seu inicio efetivamente com Galileu, quando propôs que “a construção de toda teoria 
científica parte de um conjunto de hipóteses sugeridas pelas observações dos fenômenos naturais.” 
(WATARI, Kazunori; Livraria da Física, 2004, pag. 13). 
4) Galileu Galilei, pai do 
método científico. 
 
 
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 O Gênio de Galileu só pode ser comparável à sua coragem em enfrentar os modelos de mundo e de ciência vigentes em sua 
época, lançando luz à produção científica séria. Antes de Galileu a experiência, bem como a observação do mundo a nosso redor não 
eram levadas em conta na produção filosófica de nossos modelos, baseados exclusivamente na razão filosófica idealizada, todavia 
“a experiência idealizada jamais pode ser realmente levada a efeito, embora conduza a uma profunda compreensão das 
experiências reais” (EINSTEIN & INFELD, 2008). O gênio inigualável de Galileu lançou as bases e os alicerces necessários a uma 
nova concepção de ciência, baseada na experimentação e não mais na idealização, o mundo deixou de ser uma cópia imperfeita da 
realidade para ser ele próprio o repouso dessa realidade, que ao se confrontar com o intelecto e não mais com a filosofia humano 
pode ser entendido e descrito. “Opensamento humano cria um quadro sempre mutável do Universo. A contribuição de Galileu 
consistiu em destruir o ponto de vista intuitivo, substituindo-o por outro novo.” (EINSTEIN & INFELD, 2008). Com esse olhar 
diferenciado Galileu abre o caminho a ser trilhado uma geração depois com Isaac Newton, em sua obra, “Princípios Matemáticos de 
Filosofia Natural”. A transição da linha de pensamento de Aristóteles para a de Galileu formou a mais importante pedra angular do 
fundamento da ciência (EINSTEIN & INFELD, 2008). 
frontispício do principia 
 Fundamental na formação de nosso pensamento científico, nesta obra, Newton não só lança as bases da ciência moderna como 
enuncia as três leis do movimento, base da ciência mecânica, e a lei da gravitação universal, que definirá o estudo da astronomia 
pelos próximos quatro séculos, sendo reformulada apenas no século XX por Albert Einstein. 
 Dos postulados fundamentais de Newton destacam-se: 
Regra 1: Não devemos atribuir mais causas naturais que as que são verdadeiras e suficientes para explicar suas aparências; 
Regra 2: Portanto aos mesmos efeitos naturais devemos atribuir as mesmas causas, tanto quanto possível; 
 A regra 1, na verdade, foi proposta pela primeira vez por um monge medieval chamado Ockham, cujo princípio chamado 
“Navalha de Ockham” é descrito no trecho abaixo: 
“Não há cientista moderno que não saiba citar a „Navalha de Ockham‟, que, nas palavras de seu criador, diz que: „é vão 
fazer com mais o que pode ser feito com menos‟. De acordo com esse princípio, qualquer premissa supérflua para se 
explicar um fenômeno deve ser descartada. O frade acreditava que a natureza optava sempre pelo caminho mais simples, e 
defendeu que não era necessária uma causa para que os movimentos ocorressem.” 
Por que as coisas caem? Uma história da gravidade”, Alexandre Cherman e Bruno Rainho Mendonça, Ed Zahar, pag. 62 
 
 É importante salientar também que a ciência na verdade busca uma descrição da natureza, modelos que representem e não 
expliquem, nossa ciência é descritiva e não explicativa, tal como Einstein coloca em seu livro: “Os conceitos físicos são criações 
livres da mente humana, não sendo, por mais que possa parecer, singularmente determinados pelo mundo exterior” (A evolução da 
física, Einstein e Infeld, Ed Zahar, 2008, pág. 36) 
 Claramente para Einstein, como para todos os físicos atuais, a física é uma ciência inicialmente experimentativa, suas teorias só 
apresentam legitimidade se conferidas com a experiência, e devido a isso ela se torna descritiva, isso é apenas descreve, 
matematicamente os fenômenos que ocorrem ao nosso redor. Uma teoria física, mais que uma idéia é uma explicação de fenômenos 
naturais pautada em observação e princípios fundamentais aceitos. Como disse Einstein em dada circunstância: “mil experimentos 
não comprovam uma teoria, mas apenas um é necessário para repudiá-la”, claro, Einstein estava sendo extremista, porém 
realmente, uma teoria necessita, antes de ser aceita, de um conjunto de experimentos que a confirmem e ela deve ser capaz de fazer 
previsões possíveis de serem testados; no caso de algum fenômeno escapar a essa previsão ou descrição a teoria é revista, ampliada 
ou no caso de impossibilidade refutada por outra mais completa que consiga expressar uma gama maior de fenômenos, é nesse 
 
 
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momento que entra em ação a determinação matemática: “A matemática é necessária como instrumento de raciocínio se 
queremos tirar conclusões que podem ser comparadas com a experiência.” (A evolução da física, Einstein e Infeld, Ed Zahar, 
2008, pág. 33). 
 A descrição, ou criação do conceito, como Einstein coloca, deve ser regulamentada pelo método científico e passar pela 
matemática, mais especificamente, no caso da física pelo Cálculo, a principal ferramenta matemática para a ciência física. 
 Também coube a Newton o desenvolvimento do Cálculo. Foi através do calculo diferencial que Newton e mais tarde outros 
grandes matemáticos e cientistas desenvolveram o conhecimento científico atual. 
 Historicamente a física pode ser dividida em dois grandes momentos: 
 Fisica Clássica (ou Newtoniana): inicia-se com a publicação do “principia” no século XVII e vai até 1900; 
 Fisica moderna: iniciada em 1900 com um artigo de Max Planck sobre a radiação de corpo negro até nossos dias. 
 Independentes do momento histórico podem dividir a ciência física em grandes áreas: 
 Mecânica: estudo do movimento, suas causas, leis e conseqüências; 
 Ondulatória: estudo da propagação da energia na forma de ondas; 
 Termodinâmica: estudo do calor, sua propagação, utilização e natureza; 
 Óptica: estudo da luz; 
 Eletromagnetismo: estudo das interações elétricas e magnéticas. 
 Hoje se sabe que o eletromagnetismo abrange não apenas a eletricidade e o magnetismo como também a óptica e a 
termodinâmica, tal descrição, considerada de primeira unificação, ocorreu no fim do século XIX através dos trabalhos de James 
Clerk Maxwell que, com apenas quatro equações conseguiu descrever os fenômenos eletromagnéticos. 
I.2. O processo científico 
 Como visto a física é uma ciência descritiva, ou seja, descreve o universo ao nosso redor, utilizando-se para tanto da matemática, 
“os conceitos na ciência exata devem ser desenvolvidos de forma que dêem significados numéricos precisos”(Watari, Kazunori, 
2004, pág.13), ela mensura, quantifica situações a partir de propriedades mensuráveis e comparadas a valores pré-definidos. Tais 
propriedades são denominadas grandezas físicas. 
Uma grandeza física é uma propriedade do corpo estudado que pode ser mensurada 
segundo critérios pré estabelecidos. 
 Assim, o perfeito entendimento da descrição física só é possível desde que acompanhado de um conhecimento teórico do que 
seria a grandeza física em questão, o que dá ao seu valor um significado maior que efetivamente um número, sendo uma expressão 
da realidade que permite tanto uma descrição quanto a previsão de situações passadas ou futuras. Tal determinismo está no âmago 
da física clássica: conhecidos os valores de algumas grandezas físicas é possível prever o comportamento anterior e posterior 
do corpo estudado. Parte-se daqui a definições interessantes: 
 Corpo: todo elemento material que seja móvel de estudo, ao qual são definidas algumas 
propriedades; 
 Sistema físico: conjunto de todos os corpos que estejam sendo estudados segundo suas 
propriedades. 
 O estudo, portanto pode se relacionar com um único corpo ou mesmo partícula ou com vários que, em conjunto, se comportam 
como se fossem um único. 
 O ato de quantificar em si está intimamente ligado a comparar a grandeza com algo previamente determinado, ou convencionado. 
O valor de uma grandeza física representa quantas vezes essa grandeza é maior ou menor que uma medida padrão convencionada 
para tal grandeza, valor este denominado unidade de medida. 
 
 
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 A unidade de medida de uma grandeza física é o valor convencionado para essa 
grandeza a partir do qual comparamos as medidas subseqüentes indicando quantas vezes 
tais medidas são maiores ou menores que essa medida padrão, ou seja, a unidade é meu 
padrão de referência. 
 O conjunto de unidades é chamado sistema de unidades, ou sistema métrico e a ciência que se ocupa desta área é a metrologia. 
 Atualmente no mundo vigoram principalmente dois sistemas de unidades: o CGS, muito utilizado nos países de língua inglesa, 
que se baseia no centímetro,no grama e no segundo e o MKS, baseado no metro, quilograma e segundo. 
 
I.3. O sistema internacional de unidades 
 Um sistema de unidades apresenta-se basicamente dividido em duas classes de unidades: as unidades fundamentais, aquelas que 
podem ser definidas apenas pela convenção, e as unidades derivadas, ou aquelas que são formadas a partir de combinações lineares 
(multiplicação ou divisão) das fundamentais. 
 Dado o caráter “universal” do conhecimento científico em determinado momento histórico sentiu-se a necessidade de que as 
medidas em trabalhos científicos apresentassem-se no mesmo conjunto de unidades, independente da época, língua ou nacionalidade 
em que sejam produzidas, então em 1971, na 14ª Conferencia Geral de Pesos e Medidas, foi criado o Sistema Internacional de 
Unidades (S.I.), partindo-se do antigo sistema métrico decimal Frances que fora pensado durante a Revolução Francesa do século 
XIX. Segundo esse sistema de unidades existem sete unidades denominadas fundamentais e inúmeras derivadas. As fundamentais 
são: 
Grandeza Unidade Símbolo 
comprimento Metro m 
tempo Segundo s 
massa Quilograma kg 
temperatura Kelvin K 
Corrente 
elétrica 
Ampere A 
Intensidade 
luminosa 
Candela cd 
Quantidade de 
matéria 
Mol mol 
 
Curiosidades: 
 A unidade oficial de tempo não é a hora, mas sim o segundo; 
 A unidade oficial de massa não é o grama, mas o quilograma; 
 A unidade oficial de temperatura não é o grau Celsius, mas o kelvin, que não leva grau; 
 Massa e quantidade de matéria são grandezas diferentes, como será visto adiante. 
De todas as grandezas, a única que apresenta um sistema de unidades não decimal é o tempo, que apresenta um sistema sexagesimal, 
ou seja, baseado no numero 60. Assim: 
 
 
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1h = 60min = 3600s 
1 min = 60s 
 Todas as outras unidades apresentam-se de forma decimal, o que permite a utilização de múltiplos e submúltiplos, ou seja, 
representações para os expoentes das potências de dez a partir da unidade base, tais representações são representadas pelos prefixos, 
letras colocadas antes das unidades de medida que representarão o expoente da potência, devido a isso geralmente os valores são 
escritos em notação científica, para facilitar uma representação em ternos dos múltiplos. 
 Segue-se a tabela de múltiplos e submúltiplos utilizados no sistema internacional de unidades 
Fator Prefixo Símbolo 
10
24
 Iota Y 
10
21
 Zeta Z 
10
18
 Exa E 
10
15
 Peta P 
10
12 
Tera T 
10
9 
Giga G 
10
6
 Mega M 
10
3 
Quilo k 
10
2 
Hecto h 
10 Deca da 
10
-1 
Deci d 
10
-2 
Centi c 
10
-3 
Mili m 
10
-6 
Micro µ 
10
-9 
Nano n 
10
-12 
Pico p 
10
-15 
Femto f 
10
-18 
Atto a 
10
-21 
Zepto z 
10
-24 
Iocto y 
 
 Segundo a potência de dez aferida quando se escreve o resultado em notação científica utiliza-se este ou aquele prefixo no lugar 
da potência, por exemplo: 
 
 
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 7 
 
a) 2.437.568m ≈ 2,4.106 m = 2,4 Mm 
b) 0,00005 g = 5.10-5g = 50.10-6g = 50µg 
Observe que o prefixo substitui a potencia de dez, facilitando a escrita, bem como atente para o fato de que os prefixo que 
representam múltiplos com potências maiores que 3 apresentam-se em letras maiúsculas e os que representam submúltiplos com 
potências menores que -3 apresentam-se com letras minúsculas. O expoente da potência de dez na notação científica é também 
chamado de ordem de grandeza da grandeza medida. 
 Outras três considerações interessantes a se fazer dizem respeito à métrica e à gramática do sistema: 
 As unidades oficiais são masculinas, isto é, são acompanhadas de pronomes masculinos; 
 O plural de uma unidade oficial é feito acrescentando-se apenas um s ao seu nome; 
 Apenas as unidades derivadas de nomes de personalidades são representadas por letras maiúsculas, as demais todas são 
representadas por letras minúsculas. 
 Por razões históricas os países de língua inglesa não adotaram o SI, embasando-se ainda no sistema CGS e em unidades usuais 
como a polegada, a jarda, o pé, etc... 
 As unidades derivadas são aquelas formadas a partir das unidades fundamentais utilizando-se das formulações físicas. Por 
exemplo, sabemos que velocidade média é a razão (divisão) entre o deslocamento de um móvel e o tempo gasto durante esse 
deslocamento, assim a unidade de medida da velocidade será a razão entre as unidades de medida das grandezas mencionadas: 
deslocamento e tempo. 
Velocidade = 
 
 
 
Então, sua unidade de medida será: 
Velocidade = 
 
 
 
Ou seja: a velocidade é dada em metros por segundo (m/s). 
 Algumas vezes a combinação entre unidades fundamentais recebe um nome especial, por exemplo, sabemos pela segunda lei de 
Newton que a força resultante sofrida por um corpo é igual ao produto da massa desse corpo pela aceleração por ele sofrida. 
F = m . a 
Utilizando as unidades correspondentes: 
F = kg . 
 
 
 
 A força deveria ser dada em quilogramas vezes metro por segundo ao quadrado, mas essa unidade de medida recebe o nome 
especial de Newton, ou seja: 
1N = 1 kg.
 
 
 
 Uma das considerações feitas sobre a veracidade de uma equação é justamente sua coerência com relação às unidades de medida 
nela expressas. Ao buscar uma equação para medir energia de algum sistema, por exemplo, a combinação das unidades de medida 
das grandezas relacionadas obrigatoriamente tem que resultar em uma unidade de medida de energia, usando uma linguagem mais 
técnica: a equação deve ter dimensão de energia. A esse estudo dá-se o nome de Analise Dimensional de uma Equação. Se uma 
equação não for dimensionalmente coerente ou consistente então já se parte da premissa que esta equação não é válida. 
 
 
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6) 
Exercício resolvido 1: 
Os engenheiros hidráulicos nos EUA usam frequentemente, como uma unidade de volume de água, o acre-pé, definido como o 
volume de água que cobriria 1 acre de terra até uma profundidade de 1 pé. Uma forte tempestade despejou uma faixa de 2 polegadas 
de chuva em 30 min sobre uma cidade de área 26km². Que volume de água, em acre-pé, caiu sobre a cidade? R.:1,1.10
2
 acre-pé 
Exercício resolvido 2: 
Em 1cm³ de uma nuvem cúmulo típica existem de 50 a 500 gotas d‟água, sendo 10 µm o raio típico de uma gota. Para esta 
distribuição, determine o valor mínimo e máximo, respectivamente, para o seguinte: 
a) Quantos metros cúbicos de água existem em uma nuvem cúmulo cilíndrica de 3km de altura e 1 km de raio? 
 R.: 1973,49m³ a 19734,9m³ 
 
b) Quantas garrafas de 1L poderiam ser enchidas com essa quantidade de água? 
 R.: 1,97.10
6
 garrafas a 1,94.10
7
 garrafas 
 
c) A água tem uma densidade de 1000 kg/m³. qual a massa de água dessa nuvem? 
 R.: 1,97.10
6
kg a 1,97.10
7
kg 
Exercício resolvido 3: 
A densidade do chumbo é 11,3 g/cm³. Qual é este valor em kg/m³? R.: 11,3.10³ kg/m³ 
Exercício resolvido 4: 
No outono de 2002, um grupo de cientistas do Los Alamos National Laboratory determinou que a massa crítica do Neptúnio-237 é 
de aproximadamente 60kg. A massa crítica de um material passível de desintegração nuclear é a quantidade mínimaque deve ser 
acumulada para se iniciar uma reação em cadeia. Esse elemento possui densidade de 19,5 g/cm³. Qual seria o raio da esfera desse 
material que possui massa crítica? R.: 0,09m 
 Exercício resolvido 5: 
Quando Feidípides correu de Maratona para Atenas em 490 a.C. para levar a noticia da vitória grega sobre os persas, ele 
provavelmente correu a uma velocidade de cerca de 23 rides por hora. O ride é uma antiga unidade grega para comprimento como 
são o stadium e o plethron: 1 ride foi definido como 4 stadia, 1 stadium foi definido como 6 plethra, e em termos de unidades 
modernas, 1 plethron é 30,8m. A que velocidade Feidípides correu em quilômetros por segundo? R.: 4,72.10
-3
km/s 
Pesquisa 1: Encontre as definições oficiais atuais para quilograma, metro e segundo. 
 
TECNICA PARA AUXILIAR EXERCÍCIOS 
 Observe as unidades semelhantes 
 Construa os fatores de transformação 
 Utilize-se, quando necessário, de regra de três. 
1ª Lista exercícios propostos: 
1) Em um certo prado inglês, os cavalos devem correr por uma distancia de 4 furlongs. Qual a distância da corrida em varas e 
cadeias? Dados: 1 furlong = 201,168m 
 1 vara = 5,0292m 
 1 cadeia = 20,117m R.: 160 varas e 40 cadeias 
 
 
 
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 9 
 
2) Um gry é uma antiga medida inglesa para comprimento definida como 1/10 de uma linha onde linha é uma outra medida inglesa 
para comprimento, definida como 1/12 da polegada. Uma medida comum no ramo 
de publicação é um ponto definido como 1/72 da polegada. Qual é a área de 0,5 gry² 
em ponto²? R.: 0,18 ponto² 
 
3) O maior diamante do mundo é o First Star of Africa (primeira estrela da 
África) montado no cetro real inglês e guardado na Torre de Londres. Seu volume é 
igual a 1,84pol³. Qual seu volume em cm³ e em m³? Dado: 1polegada = 2,54cm 
 R.: 30,16cm³ e 3,016.10
-5
m³ 
 
4) A milha é uma unidade de comprimento muito usada nos EUA e na Europa. Sabendo que 1mi = 1,61km calcule o numero de 
metros quadrados existentes em uma milha quadrada e o numero de decímetros cúbicos existentes em uma milha cúbica. 
 R.: 2,59.10
6
m
2
 e 4,17.10
12
dm
3 
 
5) O ferro possui propriedade tal que um volume de 1m³ possui massa de 7,86.103kg. Você deseja fabricar cubos e esferas de 
ferro. Determine: 
a) O comprimento da face de um cubo sólido de ferro que possui massa de 200g. R.: 0,03m 
b) O raio de uma esfera sólida de ferro com massa de 200g. R.: 0,02m 
 
6) Estima-se que o planeta Terra tenha se formado há cerca de 4,5 bilhões de anos. Qual é a ordem de grandeza da idade da Terra 
em horas? R.10
13
h 
 
8) Um estudante de Física aceita o desafio de determinar a ordem de grandeza do número de feijões em 5 kg de feijão, sem utilizar 
qualquer instrumento de medição. Ele simplesmente despeja os feijões em um recipiente com um 
formato de paralelepípedo e conta quantos feijões há na aresta de menor comprimento c, como 
mostrado na figura. Ele verifica que a aresta c comporta 10 feijões. Calcule a potência da ordem de 
grandeza do número de feijões no recipiente, sabendo-se que a relação entre os comprimentos das 
arestas é: . R. 4 
 
 
 
 
TEXTO PARA A QUESTÃO 9: 
 
Espaço percorrido 
(m) 
Tempo De 
Prova 
Atletismo 
Corrida 
100 9,69 s 
Nado livre 50 21,30 s 
Atletismo 
 Corrida 
1500 4 min 01,63 s 
Nado livre 1500 14 min 41,54 s 
 Volta de 
Classificação 
 de um carro 
 de Fórmula-1 
 1 min 9,619s 
9) De acordo com os dados da tabela e os conhecimentos sobre unidades e escalas de tempo, responda. 
a) A diferença de tempo entre as provas de 1500 m do nado livre e de 1500 m do atletismo em min. R.10,66min 
b) A diferença de tempo entre as provas de 100 m do atletismo e a de 50 metros do nado livre em min. R.0,19min 
e) A volta de classificação da Fórmula-1 em min R.:1,16min 
 
10) O Solenoide de Muon Compacto (do inglês CMS – Compact Muon Solenoid) e um dos detectores de partículas construídos no 
Grande Colisor de Hadrons, que irá colidir feixes de prótons no CERN, na Suíça. O CMS é um detector de uso geral, capaz de 
a b c
4 3 1
 
 
 
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 10 
 
estudar múltiplos aspectos das colisões de prótons a 14 TeV, a energia media do LHC. Contem sistemas para medir a energia e a 
quantidade de movimento de fótons, elétrons, múons e outras partículas resultantes das colisões. A camada detectora interior é um 
semicondutor de silicio. Ao seu redor, um calorímetro eletromagnético de cristais centelhadores e rodeado por um calorímetro de 
amosragem de hadrons. O rastreador e o calorímetro são suficientemente compactados para que possam ficar entre o ímã solenoidal 
do CMS, que gera um campo magnético de 4 teslas. No exterior do ímã situam-se os detectores de muons. Considerando que o 
campo magnético terrestre sobre a maior parte da America do Sul e da ordem de 30 micro - teslas (0,3 gauss).Determine quantas 
vezes aproximadamente o campo magnético gerado pelo CMS é maior que o dessa região da terra R.1,33.10
5
vezes 
 
11) Sobre grandezas físicas, unidades de medida e suas conversões, considere as igualdades abaixo representadas: 
 
1. 6 m
2
 = 60.000 cm
2
. 
2. 216 km/h = 60 m/s. 
3. 3000 m
3
 = 30 litros. 
4. 7200 s = 2 h. 
5. 2,5 x 10
5
 g = 250 kg. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as igualdades representadas em 1, 2 e 4 são verdadeiras. 
b) Somente as igualdades representadas em 1, 2, 4 e 5 são verdadeiras. 
c) Somente as igualdades representadas em 1, 2, 3 e 5 são verdadeiras. 
d) Somente as igualdades representadas em 4 e 5 são verdadeiras. 
e) Somente as igualdades representadas em 3 e 4 são verdadeiras. R.b 
 
12) A constante universal dos gases, R, cujo valor depende das unidades de pressão, volume e temperatura, pode ser medida, em 
unidades oficiais, por qual unidade? R.:J/mol.K 
 
13)O Sistema Internacional de unidades (SI) adota sete unidades fundamentais para grandezas físicas. Por exemplo, a unidade da 
intensidade de corrente elétrica é o ampère, cujo símbolo é A. Para o estudo da Mecânica usam-se três unidades fundamentais 
associadas às grandezas físicas: comprimento, massa e tempo. Nesse sistema, a unidade determine a unidade de potência 
mecânica. R.: W = kg.m²/s³ 
 
14)Um fumante compulsivo, aquele que consome em média cerca de 20 cigarros por dia, terá sérios problemas cardiovasculares. 
Qual a ordem de grandeza do número de cigarros consumidos por este fumante durante 20 anos? R.10
5 
 
15)Um projetista de máquinas de lavar roupas estava interessado em determinar o volume de água utilizado por uma dada lavadora 
de roupas durante o seu funcionamento, de modo a otimizar a economia de água por parte do aparelho. Ele percebeu que o 
volume V de água necessário para uma lavagem depende da massa m das roupas a serem lavadas, do intervalo de tempo ∆t que 
esta máquina leva para encher de água e da pressão P da água na tubulação que alimenta esta máquina de lavar. Assim, ele 
expressou o volume de água através da função V = k m
a
 (∆t)b Pn, onde k é uma constante adimensional e a, b e n são coeficientes 
a serem determinados. Calcule os valores de a, b e n para que a equação seja dimensionalmente correta. R.: a = 3; b = -6; n = -3 
16) Uma caixa mede 1,5 cm x 40,00 m x 22 mm. Determine seu volume em litros. R.: 13,2L 
 
17) No painel de um carro,está indicado no velocímetro que ele já "rodou" 120000 km. Determine a ordem de grandeza do número 
de voltas efetuadas pela roda desse carro, sabendo que o diâmetro da mesma vale 50 cm. Adote π = 3. Despreze possíveis 
derrapagens e frenagens. R.: 7 
 
18) Uma determinada marca de automóvel possui um tanque de gasolina com volume igual a 54 litros. O manual de apresentação do 
veículo informa que ele pode percorrer 12 km com 1 litro. Supondo-se que as informações do fabricante sejam verdadeiras, 
determine a ordem de grandeza da distância, medida em metros, que o automóvel pode percorrer, após ter o tanque 
completamente cheio, sem precisar reabastecer. R.: 5 
 
 
 
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 11 
 
I.4.O estudo da mecânica 
 De todos os conhecimentos humanos com certeza a mecânica é o mais anterior e primitivo por tratar do movimento, desde o 
movimento de um pequeno grão de areia até o movimento dos astros celestes. Foi também um dos primeiros conhecimentos a serem 
esquematizados. 
Mecânica é o estudo de como as coisas se movem: como os planetas se movem ao redor do Sol, como um esquiador se 
move encosta abaixo, ou como um elétron se move em torno do núcleo de um átomo. Pelo que sabemos, os gregos foram os 
primeiros a pensar seriamente sobre a mecânica, há mais de dois mil anos, e a mecânica grega representa um tremendo 
passo na evolução da ciência moderna. 
TAYLOR, John R., 2013 
 Tudo no universo está em constante movimento, assim a mecânica tem uma aplicação praticamente universal. Seus postulados, 
axiomas e conceitos são aplicados e utilizados praticamente em todos os ramos da física. Em termos históricos a mecânica pode ser 
dividida em duas: Clássica e Moderna, com campos de atuação bem especificados e importantes. 
 
 
 Em termos de dia-a-dia utilizamos as chamadas leis clássicas, ou seja, a mecânica clássica, que determina fenômenos comuns de 
movimento cotidiano. 
Uma das teorias científicas mais antigas e conhecidas, nos moldes das chamadas ciências exatas, é a mecânica 
clássica, as leis da alavanca e dos fluidos em equilíbrio estático já eram conhecidos pelos cientistas da antiga Grécia. 
Depois das descobertas das leis da mecânica por Galileu e por Newton a Física teve um desenvolvimento enorme nos 
últimos três a quatro séculos. Após o surgimento da chamada Física Moderna no início do século XX, muitas das leis da 
mecânica sofreram modificações. Entretanto, a Mecânica Clássica continua sendo uma ótima teoria na maioria das 
aplicações que surgem no cotidiano terrestre. Ela leva a previsões corretas das grandezas que descrevem os fenômenos 
físicos, desde que não envolvam velocidades próximas À da luz, massas enormes distâncias cosmológicas e dimensões 
atômicas. 
 WATARI, Kazunori, 2004, pág. 14 
 
 Dentro da mecânica por uma questão didática ainda podem ser definidos três campos, dependendo dos conceitos fundamentais 
utilizados no estudo da ciência mecânica. São eles: referencial, posição, tempo, massa e força. 
mecânica 
moderna 
Relativistica: 
velocidades iguais a 1/3 
da velocidade da luz 
Quântica: 
corpos menores que um 
átomo 
clássica 
corpos macroscopicos 
com velocidades 
menores que 1/3 da 
velocidade da luz 
 
 
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 12 
 
 
 
I.5. Referencial e Vetores 
 Uma vez determinada a grandeza física através de sua unidade de medida, podemos observar que, quando se trata de 
movimentos não é suficiente quantificar a grandeza, mas também localizá-la, a própria noção de repouso e de movimento irá 
depender desta localização, um exemplo é a posição de um corpo. L. Landau bem coloca isso: “quando falamos da posição de um 
corpo no espaço, nos referimos sempre, implicitamente, `sua posição em relação a outros corpos.” (Landau & Rumer, 2004) 
precisamos também de um direcionamento o que nos coloca em frente a dois desafios, primeiramente como proceder a localização e 
subseqüentemente como representar matematicamente o direcionamento. Tais problemas foram resolvidos com a adoção de um 
sistema de referencias. 
 No dia a dia pode-se utilizar de qualquer elemento visível como sistema de referencia, uma placa, um arbusto, um marco, todavia 
no desenvolvimento da teoria mecânica houve a necessidade de se estipular um referencial matemático que representasse facilmente 
o universo real. Tal conquista foi obtida aderindo o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, ou seja, composto por três 
eixos coordenados e ortogonais entre si, assim, cada eixo representa uma direção no espaço e o “lado” em relação à origem o 
sentido. Um ponto qualquer no espaço pode ser definido por três valores que serão chamados dimensões, e que representarão a 
relação entre o valor, a direção e o sentido da grandeza. 
 As dimensões serão os valores coordenados desse ponto no espaço. Dependendo do numero de dimensões teremos a 
dimensionalidade do problema em questão. 
 
mecânica 
cinemática: 
estudo dos movimentos 
relacionando apenas a 
posição e o tempo 
dinâmica: 
estudo da relação entre 
massa e força que causa o 
movimento 
estática: 
estudo dos corpos sob a 
ausência de forças em 
referenciais ditos inerciais 
 
 
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 13 
 
8) 
 
“(...) na prática uma „dimensão‟ pode ser entendida como uma „coordenada‟: um valor numérico que nos ajuda a localizar algo.” 
“Por que as coisas caem? Uma história da gravidade”, 
Alexandre Cherman e Bruno Rainho Mendonça, Ed Zahar, pag 154 
 
 Com isso pode-se diferenciar as grandezas físicas como aquelas que podem ser representadas em um sistema coordenado ou 
não. “As quantidades que são invariáveis sob uma transformação de coordenadas – que obedecem a uma equação desse tipo – são 
denominadas grandezas escalares” (THONTON, Stephen T., MARION, Jerry B., Cengage Learning, 2011). 
 Grandezas vetoriais: são aquelas que podem ser representadas no sistema de referencias, geralmente relacionadas a 
movimento, como por exemplo o deslocamento de um móvel; 
 Grandezas escalares: são aquelas que não podem ser representadas em um sistema de coordenadas como, por exemplo, o 
valor da massa de um objeto. 
 Uma grandeza vetorial é representada no sistema coordenado através de um segmento de reta orientado denominado vetor. 
 Vetor é um agente matemático composto por um módulo (valor), uma direção e um sentido. 
 Cada direção (eixo coordenado) num sistema retangular cartesiano é determinada por um vetor unitário denominado versor. O 
versor é representado pela letra com um circunflexo, assim, por definição: o eixo x é representado pelo ̂, o eixo y pelo ̂e o z pelo 
 ̂. 
 
 Assim, um vetor pode ser determinado de forma analítica através das coordenadas do seu ponto extremo multiplicadas pelos 
versores. 
 
O vetor acima seria escrito como sendo: 
 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ 
 
 
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 14 
 
10) 
12) 
14) 
 
 Os valores A, B e C (cujos valores são exatamente os valores das coordenadas, ou dimensões) são denominados componentes do 
vetor ⃗ , observe que os componentes não são vetores, mas sim números que representam justamente as coordenadas do extremo do 
vetor, mas apenas se este partir da origem do sistema, caso contrário elepode ser trasladado para a origem desde que conserve todas 
as suas propriedades. 
 Seu módulo (valor total) será: 
 
| ⃗ | √ 
 
 É interessante observar que por definição o módulo de um vetor é um escalar positivo (Young & Freedman, pag.12, 2008) , 
uma vez que independe da direção e resulta de uma soma de quadrados. 
 Já a direção de um vetor pode ser dada a partir dos ângulos que esse vetor faz com os eixos coordenados. È necessário nesse 
caso um ângulo a menos que o numero de componentes do vetor, ou seja, para um vetor com três componentes dois ângulos e para 
um vetor com duas componentes apenas um. Tais ângulos são medidos em sentidoanti-horário a partir do eixo x ou do plano xy 
assim pode-se definir: 
 
Θ = ângulo a partir da abcissa (eixo x) 
Φ = ângulo a partir da cota (eixo z) 
 Geometricamente fica fácil definir os valores dos ângulos como sendo: 
 (
 
 
) 
e 
 (
√ 
 
) 
 
 Lembrando que A, B e C são os componentes de ⃗ nos eixos coordenados. 
 
 
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 15 
 
16) 
I.6. Vetor posição 
 A mecânica, como já foi visto, é o estudo do movimento. Mas, antes de discutir as propriedades de um movimento há a 
necessidade de conceituá-lo, para tanto, inicialmente devemos ser capazes de determinar a posição de um corpo material, seja ele 
extenso ou pontual, dentro de um referencial tridimensional. 
 Já foi visto que, num sistema coordenado cartesiano utilizado como referencial e, portanto, com sua origem situada exatamente 
no ponto tomado como referência, um ponto qualquer no espaço será definido através de três coordenadas ordenadas P = P(x,y,z). 
 Pode-se definir nesse referencial a posição de um corpo como sendo a distância a que esse corpo se encontra da origem do 
sistema coordenado. O que leva à sua orientação P, isso é, uma posição no espaço pode ser representada matematicamente como 
um ponto sobre um sistema cartesiano tridimensional onde as coordenadas desse ponto indicam a posição da partícula. Assim sendo, 
posso traçar um vetor, iniciado na origem e terminando no ponto em questão ao qual se denomina vetor posição. Ou seja: 
 
O vetor posição de uma partícula em dado instante é um vetor que vai da origem do sistema 
coordenado utilizado como referencial até o ponto P. 
 
 
 Observando atentamente, fica claro que, as componentes do vetor posição em termos dos versores nada mais são que as 
coordenadas do vetor. Isso significa que, tratando-se o vetor posição de uma partícula por vetor ⃗ teremos, para o ponto P = 
P(x,y,z): 
 
 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ 
 
 
 Assim, em um determinado instante de tempo o vetor ⃗ caracteriza a posição de um corpo dentro de um referencial. Se, em um 
dado instante posterior, o vetor posição dessa partícula mudar, afirmamos que houve movimento da partícula, em outras palavras, 
quando dizemos que o corpo se deslocou no espaço, devemos simplesmente entender que se alterou sua posição em relação a 
outros corpos.(Landau & Rumer, pag.26, 2004) Ou seja: 
 
Caracteriza-se movimento à mudança de um vetor posição com o passar do tempo dentro de 
um referencial. 
 
 Dessa definição fica clara a dependência do conceito de movimento com o de referencial, o que leva à conclusão que só faz 
sentido falar em movimento se antes definir-se o referencial adotado, 
 
 “é assim que o mundo se comporta e é o que a matemática das leis de Newton reflete (...) o conceito de movimento só faz sentido 
quando se relaciona com outros objetos.” (Hawkins, S., Mlodnow, L.; pag. 32, 2005) 
 
 
 
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 16 
 
 não existe movimento sem referencial, a dependência é ainda mais profunda: a alteração de referencial pode causar alteração de 
movimento ou até mesmo anulá-lo. Ou seja, não existe movimento absoluto no universo. 
 O grande problema quando se trata do vetor posição, entretanto é o fato de que: ao se alterar o referencial, altera-se o valor 
desse vetor, isto é, posição é uma grandeza relativa. 
 Mas o que seria uma grandeza relativa? Em síntese seria aquela cujo valor dependa do referencial adotado. É necessário então 
antes de determinar o vetor posição determinar o que seria um referencial. Já foi visto que, matematicamente o referencial pode ser 
representado como sendo o sistema de referências cartesianas no qual identificamos o vetor posição, mas, na prática, o referencial 
pode ser qualquer objeto ou posição que queiramos considerar, é interessante acima de tudo observar que, embora o valor de 
algumas grandezas se altere num referencial a realidade física é sempre a mesma. 
 Isso leva ao fato de que, independente da descrição o resultado tem que levar às mesmas conclusões, à mesma realidade física. 
Segundo Einstein: 
 
 “É essencial, para uma descrição de acontecimentos, saber como passar de um sistema de coordenadas 
para outro, porquanto ambos são equivalentes e igualmente apropriados para a descrição dos 
acontecimentos da natureza.” 
A evolução da física, Einstein e Infeld, Ed Zahar, 2008, pág. 136 
 Dessa forma, localizo o referencial, o ponto de vista a partir do qual pretendo descrever o fenômeno, identifico a ele um sistema 
de coordenadas e enfim, traço o vetor posição para uma análise do repouso ou movimento. O problema é que, ao mudarmos o 
referencial, embora a realidade física seja a mesma, o valor modifica: 
 
 Observe a posição no espaço, determinada em cada referencial, por ⃗ no referencial XOY e por ⃗⃗⃗ , no referencial X‟OY‟. 
 Partindo dessa premissa busca-se uma grandeza física que se mantenha constante independente do referencial, para tanto se 
define a variação da posição, já que, uma vez que a realidade é a mesma, a variação deve ser a mesma, ou seja, se um corpo está em 
movimento, isto é, se seu vetor posição está mudando no tempo, então posso definir uma variação no vetor posição: 
 
 
 
Essa variação ocorre em um determinado tempo. Posso então definir essa variação como sendo a diferença entre os vetores posição: 
 
 
 
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 17 
 
18) 
 
 
 Todavia, a diferença entre dois vetores é, também um vetor, isso é, não necessariamente representa o movimento real, uma vez 
que, necessariamente a variação deve ser retilínea. Nesse caso então torna-se necessário diferenciar algumas características do 
movimento: 
 Trajetória: o desenho que o movimento realiza no referencial; 
 Espaço percorrido: o tamanho real da trajetória; 
 Deslocamento: o vetor resultante da variação do vetor posição. 
 
 Com isso, pode-se então definir: se ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são os vetores posição de uma partícula respectivamente nos instantes t1 e t2, define-
se o deslocamento como sendo: 
 
 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
Onde: 
Δr = deslocamento => [Δr] = m 
r2 = vetor posição final => [r2] = m 
r1 = vetor posição inicial => [r1] = m 
 
 Observe que, uma vez sendo resultado de uma subtração vetorial o deslocamento tem que obrigatoriamente ser vetorial, isto é, 
obrigatoriamente deve ser uma reta e apresentar direção e sentido. Todavia embora cada vetore posição seja dependente do 
referencial assumido, o deslocamento não é. 
 Outra característica interessante a respeito do deslocamento é que ele só se iguala ao espaço percorrido no caso de o movimento 
ocorrer em trajetória retilínea.TECNICA PARA AUXILIAR EXERCÍCIO 
 Desenhe o referencial e localize os vetores 
 Escreva os vetores na forma analítica 
 Opere versores iguais e então determine modulo e ângulo diretor 
 
Exercício resolvido 6: 
Uma esquiadora percorre 1 km do sul para o norte e depois 2km de oeste para leste em um campo horizontal coberto de neve. A que 
distância ela estará do ponto de partida e em que direção? R.: 2,24km e 26,56º 
Exercício resolvido 7: 
Por duas décadas, equipes especializadas de exploradores de cavernas nos EUA procuraram uma conexão entre o sistema de 
cavernas Flint Ridge e a Caverna do Mamute, ambos no estado americano de Kentucky. Quando a conexão foi finalmente 
descoberta, o sistema combinado foi declarado como o mais longo do mundo (mais de 200km de extensão). A equipe que encontrou 
a conexão teve que rastejar, escalar e se contorcer em inúmeras passagens, em um deslocamento liquido de 2,6km para oeste, 3,9km 
para o sul e 25m para cima. Qual foi o seu deslocamento desde o inicio até o fim? R.: 4,69km ,326,31º e 89,69º 
 
 
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 18 
 
Exercício resolvido 8: 
Dois pontos no plano xy têm coordenadas cartesianas (2;-4)m e (-3;3)m. Determine o vetor que dá as características da distância 
entre esses pontos, indo do primeiro para o segundo. R.: 8,6m ; 125,54º 
Exercício resolvido 9: 
Determine a forma analítica de um vetor de 5m que faz 30º ao norte do leste R.: (4,33i + 2,5j)m 
2ª lista de exercícios propostos 
1) O componente x de um vetor é -25m e o componente y é 40m. Determine o módulo e o ângulo diretor deste vetor. 
 R.: 47,17m e 122º 
2) Escreva os vetores abaixo na forma analítica: 
 B 
 
 A 53º 70º 
 
 75º 
C 
 
A = 10m B = 12m C = 15m 
R.: ⃗⃗ ̂ ̂ 
 ⃗⃗ ̂ ̂ 
 ⃗⃗ ̂ ̂ 
3) A componente x de um vetor é -25m e a componente y é 40m. Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor. 
 R.:47,17m ; 122º 
 
4) Um navio parte para um ponto a 120km para o norte. Uma tempestade inesperada empurra o navio diretamente para um ponto 
100km a leste do ponto de partida. Qual o módulo e o sentido do deslocamento que o navio deve ter para atingir o seu destino 
original? R.: 156,2m ; 50,19º 
5) Uma máquina foi erguida com o auxílio de uma rampa inclinada de um ângulo de 20º, onde a máquina deslizou ao longo de uma 
distância de 12,5m. 
a) De quanto a maquina foi erguida verticalmente? R.: 4,27m 
b) De quanto a maquina foi deslocada horizontalmente? R.: 11,75m 
6) Uma sala tem dimensões 3m de altura, por 3,7m de largura e 4,3m de comprimento. Partindo de um vértice inferior, uma mosca 
voa, aleatoriamente, pousando no vértice diagonalmente oposto. Determine o módulo do seu deslocamento. 
 R.:6,42m ; 40,71º ; 62,12º 
 
 
 
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 19 
 
7) Um carro é dirigido para o leste por uma distancia de 50km, depois para o norte por 30km, e em seguida em um sentido que está 
30º ao leste do norte por 25km. Esboce o diagrama vetorial e determine o módulo e o sentido do deslocamento do carro ao longo 
de todo o movimento. R.:81,08km; 39,57º 
8) Uma andarilha começa uma viagem de dois dias caminhando inicialmente 25km na direção sudeste a partir de seu carro. Ela 
para e monta sua barraca para a noite. No segundo dia ela caminha 40km em uma direção 60º ao norte do leste, ponto em que ela 
descobre uma torre do guarda florestal. Determine o deslocamento da andarilha na forma analítica. R.: (37,68i + 16,96j)km 
9) Uma formiga, enlouquecida pelo Sol em um dia quente, dispara sobre o plano xy. As componentes de quatro corridas 
consecutivas são as seguintes, todas em centímetros: (30;40), (bx ; -70), (-20;cy), (-80;-70). O deslocamento resultante das quatro 
corridas tem componentes (-140;-20). Quais são os valores de bx e cy e o modulo, direção e sentido do vetor resultante. 
R.: bx = -70 ; cy = 80 
 
10) O oásis B está 25km ao leste do oásis A. Partindo do oásis A um camelo percorre 24km no sentido 15º ao sul do leste e a seguir 
mais 8km para o norte. Qual é então a distância entre o camelo e o oásis B? R.:2,55km ; 315,48º 
11) Dois besouros correm sobre a areia plana, partindo do mesmo ponto. O besouro 1 corre 0,5m para o leste, e depois 0,8m 30º ao 
norte do leste. O besouro 2 também faz duas corridas; a primeira de 1,6m 40º ao leste do norte. Quais devem ser o modulo, a 
direção e o sentido de sua segunda corrida se ele terminar na mesma posição final do besouro 1. R.:0,84m ; 280,91º 
12) Uma pesquisadora estudando uma caverna percorre 180m em linha reta de leste para oeste, depois caminha 210m em uma 
direção formando 45º com a direção anterior e em sentido do sul para leste; a seguir percorre 280m a 30º no sentido de norte 
para oeste. Depois de um quarto deslocamento não medido ela retorna ao ponto de partida. Determine o módulo, direção e 
sentido do quarto deslocamento. R.: 195,57m ; 331,27º 
 
I.7 Conceito de Tempo 
 
 Sir Isaac Newton nasceu em Woolsthorp, um pequeno povoado ao norte de Londres na noite de natal de 1642, ano da morte de 
Galileu. Seu trabalho mais importante em física, o Principia Matematica Philosophiae Naturalis, publicado no ano de 1687, resumiu 
suas idéias sobre a ciência mecânica, utilizando a matemática para resolver problemas anteriormente discutidos pela filosofia. Seu 
formalismo tornou-se a base para a física nos séculos seguintes, sendo, ainda hoje, extremamente importante na introdução do 
conhecimento em física. 
 O universo newtoniano, profundamente influenciado pelas suas concepções religiosas, era infinito tendo como a grande variável 
mecânica o tempo, que flui igualmente desde o instante da criação e é invariável a qualquer transformação de referenciais. 
 Uma discussão interessante sobre o tempo é dada por Stephen Hawkins em seu “Uma breve história do tempo”. No capítulo 9, 
página 199 ele escreve: 
 
“Até o começo deste século (XX) acreditava-se num tempo absoluto. Ou seja, todo evento poderia ser rotulado por um 
número chamado “tempo”, de uma forma única, e todos os bons relógios concordariam com o intervalo de tempo entre 
dois eventos. (...) As leis científicas não distinguem entre passado e futuro (...). De fato, existe uma grande diferença entre 
as direções para frente e para trás do tempo real na vida comum. Imagine-se uma xícara de água caindo de uma mesa e se 
quebrando em muitos pedaços no chão. Se filmarmos esse evento pode-se facilmente dizer se o filme está sendo projetado 
para frente ou para trás. Se projetamos para trás ver-se-ão os cacos subitamente se reunindo sobre o chão e pulando para 
cima a fim de formar uma xícara inteira sobre a mesa. Pode-se dizer que o filme está sendo projetado para trás porque 
esse tipo de comportamento nunca é observado na vida cotidiana. (...) a explicação que se dá é que isto contradiz a 
segunda lei da termodinâmica, que afirma que, em qualquer sistema fechado, a desordem, ou entropia, sempre aumenta 
com o tempo. (...) O aumento da desordem, ou entropia, através do tempo é um exemplo do que se denomina seta do 
tempo, algo que distingue o passado do futuro, dando a direção do tempo. Primeiro há a seta do tempo termodinâmica, a 
direção do tempo em que a desordem ou entropia aumenta. Depois há a seta psicológica do tempo; esta é a direção em 
que sentimos o tempo passar, a direção em que nos lembramos do passado masnão do futuro. Finalmente existe a seta 
cosmológica do tempo, que é a direção do tempo em que o universo se expandem mais que se contrai.” 
 
 Ou seja, o tempo é uma grandeza física tão elementar que sua própria definição se torna difícil. 
 
 
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 20 
 
 
“O tempo é um dos conceitos mais primitivos adotados para construir a teoria da Ciência Física (Mecânica Clássica, em 
particular). Como tal, não é possível definir precisamente o que é o tempo, mas supõe-se que todos já o conhecem muito 
bem. Como se pode notar, existe uma total falta de precisão para definir o tempo. Esta situação persiste mesmo que se 
adote as definições qualitativas dadas nos dicionários. Entretanto, o que realmente importa aqui não é definir o que é 
tempo com precisão, mas como medi-lo, isto é, defini-lo operacionalmente.” 
Watari, Kazunori, 2004, pag. 17 
 
 Para Newton e sua descrição mecânica utiliza-se o tempo entrópico segundo o qual as leis se embasam. Assim a grande variável 
newtoniana será o tempo, em relação ao qual variações das grandezas mecânicas são descritas. Assim, definindo movimento como a 
variação do vetor posição, relacionamos essa variação com o tempo e define-se velocidade média. O conceito mais importante nesse 
caso refere-se ao fato de que a velocidade média se define a partir de um intervalo sensível de tempo. Mas o que ocorre ponto a 
ponto? Para tanto é necessário definir a diferença entre intervalo de tempo e instante. O instante é um momento definido, uma 
leitura pontual de um relógio, enquanto um intervalo de tempo é a diferença entre dois instantes. Assim quando se define uma 
posição, determina-se um instante, um valor relacionado a ela que pode ser denominado tempo, a passagem das várias posições, ou 
seja, o deslocamento vem acompanhado de um intervalo de tempo. 
 Usando isso Newton institui o conceito de função variação da grandeza considerada e o tempo. 
 
 
I.7 Velocidade 
 
 Independente do desenho da trajetória, uma vez que o vetor posição está mudando, significa que passa certo tempo para que essa 
mudança ocorra, com isso podemos calcular a razão com que a variação ocorre no tempo. Dá-se o nome de Velocidade a essa razão: 
 
Velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo necessário para que 
essa variação ocorra. 
 
 O estudo da velocidade remonta às origens da física, para Aristóteles a velocidade se manteria enquanto o agente causador do 
movimento se mantivesse em contato com o corpo, ou seja, enquanto houvesse força agindo sobre o corpo ele se moveria, já para 
Philoponus, um filósofo medieval, o corpo, ao ser arremessado receberia uma força, que ele chamou de ímpeto e que iria se 
dissipando ao longo do movimento. Enquanto houvesse ímpeto haveria movimento e, portanto velocidade, uma vez cessado esse 
ímpeto o movimento, e, portanto, a velocidade, cessaria: 
“Um filosofo alexandrino chamado Iohannes Philoponus (490d.C – 570d.C), também conhecido como João, o Gramático, se opôs 
às ideias aristotélicas sobre esse assunto e alguns outros. De acordo com ele ao ser arremessado, um corpo recebe uma espécie de 
força motriz, que seria transferida do lançador para o projétil, permanecendo nele mesmo após o fim do contato. Com o passar do 
tempo, tal „força‟ se dissiparia espontaneamente, fazendo com que o movimento se encerrasse. Mais tarde essa ideia ganhou o 
nome de teoria do ímpeto (impetus, em latim). Essa noção pode ser considerada o conceito primordial de inércia.” 
Porque as coisas caem, Alexandre Cherman & Bruno Rainho Mendonça, Ed Zahar 2010, pag.60 
 
 Coube a Galileu entender que todos os corpos tendem a manter sua velocidade, ou seja, ela não depende da força para ocorrer 
nem para se manter. 
 Galileu observou que, ao contrário da idéia aristotélica ou mesmo a do ímpeto, os corpos não precisam de nada para manter sua 
velocidade, ao contrário, a necessidade é justamente para alterá-la. A velocidade de um corpo é uma das grandezas que definem seu 
estado mecânico. 
 
Estado físico é o conjunto de valores que definem a realidade de um corpo segundo as 
características estudadas. 
 
 Em outras palavras o corpo tende a manter sua velocidade, ainda que ela seja nula, mas sempre mantê-la, isso devido a uma 
propriedade geral que a matéria apresenta a Inércia. 
 
 Assim, o estado mecânico de um corpo, ou seja, seu estado de movimento é definido principalmente por sua velocidade. 
 
 
 
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 21 
 
20) 
 Se a velocidade é constante no tempo o movimento é dito uniforme e se a velocidade for 
variável no tempo o movimento será dito variado. 
 
 É lógico que na prática nenhum movimento ocorre com velocidade constante, ao contrário, de forma quase geral os movimentos 
apresentam variações de velocidade. Exemplos naturais de movimento uniforme seriam a luz viajando no vácuo absoluto, onde não 
houvesse sequer um campo gravitacional que alterasse essa velocidade, ou mesmo o ar em um meio completamente homogêneo, 
sem sequer variação de temperatura. Nesse caso o importante não seria a velocidade média, mas sim a velocidade ponto a ponto, o 
valor real, uma vez que esse vai se diferenciando ao longo do movimento, essa velocidade é chamada instantânea. 
 
Velocidade instantânea é a velocidade que o móvel adquire ponto a ponto, isto é, instante a 
instante. 
 
 Isso reforça ainda mais a ideia de que o tempo é algo de extrema importância na mecânica newtoniana, isso porque para Newton 
e os cientistas que o sucederem pelos próximos quatro séculos antes de Einstein, o tempo é uma sequência constante, cujo fluxo 
seria idêntico para qualquer observador, em qualquer referencial. Dois observadores em dois referenciais diferentes com certeza 
mediriam os mesmo intervalos de tempo segundo Newton, o que para nós ainda faz sentido, mas infelizmente a natureza não busca 
fazer sentido para nosso senso comum. Einstein provou que o tempo pode correr diferente para observadores diferentes em 
diferentes pontos ou diferentes velocidades, todavia para os objetivos de nosso curso, baixas velocidades e grandes dimensões, 
podemos tratar a variação de tempo como uma constante de transformação, isto é, ao se mudar de um referencial para outro, o 
intervalo de tempo, como o de posição, não se modifica. 
 
Uma constante de movimento é a grandeza que não se modifica quando alteramos o 
referencial assumido 
 
 
II. Estudo matemático do movimento: Cinemática 
 
II.1 Velocidade Média 
 
 Em um movimento, se considera o deslocamento uma variação do vetor posição. Sendo uma variação vetorial, o deslocamento 
será então um vetor, ou seja, deve ser considerado em linha reta. 
 Como geralmente o espaço percorrido, e, portanto a trajetória, em intervalos longos de tempo não necessariamente será retilínea, 
é possível diferenciar drasticamente o espaço percorrido do deslocamento do corpo, 
 
Podemos definir, nesse caso, uma velocidade aproximada, ou média, para o movimento. Assim, tem-se que: 
 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
 
 
Vm = velocidade média => [Vm] = m/s 
 
 
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 22 
 
 
25) 
23) 
Δr = deslocamento => [Δr] = m 
Δt = intervalo de tempo => [Δt] = s 
 
 É interessante notar que: 
 Como a velocidade média é a divisão de um vetor por um escalar, obrigatoriamente é um vetor; 
 Velocidademédia não é a média das velocidades, mas sim uma velocidade aproximada; 
 Para o cálculo da velocidade média interessa apenas o vetor deslocamento e o tempo necessário para esse deslocamento 
ocorrer, o que ocorre durante o movimento não importa para o cálculo; 
 Em uma única dimensão, ou seja, num movimento retilíneo, a velocidade média será medida utilizando-se o espaço 
percorrido; 
 No caso do movimento retilíneo com velocidade constante a velocidade média é igual à velocidade em qualquer ponto da 
trajetória. 
 
 Observe uma questão extremamente conceitual, referente à palavra média. Média, na linguagem física, pode ser tomada como 
aproximada, ou seja, referente a um intervalo de tempo mensurável. Com isso é importante salientar que, para um deslocamento no 
qual a trajetória muito destoa do deslocamento não é correto considerar-se a velocidade média como sendo a média das velocidades 
e sim uma relação entre o deslocamento e o tempo total necessário para que tal deslocamento ocorra, não importando o processo ao 
longo do movimento. 
 Então: 
 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
∑ ⃗ 
∑ 
 
 
 
 Outro fator importante a se considerar é o fato de a unidade usual de velocidade ser o km/h, assim é essencial o conhecimento da 
transformação: 
 
1m/s = 3,6 km/h 
 
 
II.2 O conceito de movimento retilíneo uniforme (MRU) 
 Segundo a inércia o momento linear de um sistema físico só será então alterado quando o corpo sofrer a ação de um agente 
externo a ele, caso contrário conservará seu movimento, ou seja, sua velocidade, tanto em módulo quanto em direção e sentido. 
Isso significa que na ausência total de qualquer interação com qualquer outro corpo a velocidade do sistema, ou do corpo, se 
manterá constante, como por definição velocidade é tangente à trajetória, a direção e o sentido desse corpo também serão constantes, 
fazendo com que o movimento ocorra numa linha reta. Movimentos dessa forma são denominados Movimentos Retilíneos 
Uniformes (MRU). 
 Será chamado movimento já que a posição do móvel muda com o tempo será retilíneo porque sua direção não pode ser alterada, 
pela falta de interação com outro corpo e é chamado uniforme porque o módulo de sua velocidade é constante. 
 Uma propriedade importante desse tipo de movimento é que a velocidade média é igual à velocidade instantânea do corpo, ou 
seja, uma vez que sua velocidade não é alterada em ponto nenhum do movimento ela obrigatoriamente coincide com a 
velocidade média. Partindo disso pode-se desenvolver a sua função horária da posição como sendo: 
 
r = r0 + vt 
 
 
 
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 23 
 
27) 
29) 
na qual, as unidades oficiais são: 
 
r = posição inicial => [r] = m 
r0 = posição inicial do móvel => [r0] = m 
v = velocidade do móvel => [v] = m/s 
t = instante considerado => [t] = s 
 
 Movimentos desse tipo nunca ocorrem perfeitamente na natureza já que para isso seria necessária uma ausência total de toda e 
qualquer interação, ainda que essa interação fosse eletromagnética ou gravitacional, no entanto com boa aproximação podemos dizer 
que ondas eletromagnéticas em deslocamentos pequenos ou o som em regiões onde a temperatura e a densidade do meio forem 
constantes. Considerando as devidas aproximações temos que, a luz e o som viajam no espaço em movimento retilíneo uniforme 
com velocidades respectivamente: 
 
Vsom = 340m/s 
Vluz = c = 3.10
8
m/s 
 
 Segundo a relatividade restrita de Einstein, a velocidade da luz no vácuo é uma constante da natureza, independendo do 
movimento tanto do observador quanto da fonte. 
 É importante salientar que, esse tipo de movimento sempre apresentará uma função horária dessa forma e a recíproca é 
verdadeira, toda função horária que se apresentar dessa forma representará um movimento retilíneo uniforme, ou seja, determinado 
por uma função linear (do primeiro grau). Conclusivamente sua representação gráfica então será sempre uma reta, orientada 
conforme sua velocidade. 
 
 
MRU função horária do 1º grau 
 
 
 Já que a velocidade nada mais é que a taxa de variação da posição, ou em outras palavras a derivada da posição em relação ao 
tempo, e que a derivada por sua vez determina a inclinação (tangente) à função no ponto, uma vez que sua velocidade seja positiva o 
gráfico será uma reta crescente e quando negativa uma reta decrescente. 
 
 
Nesses desenhos a posição r é chamada de S. 
 E ainda é fácil observar que a derivada dessa função determina uma constante, o que prova novamente que a velocidade é uma 
constante no tempo. 
 
 
 
 
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 24 
 
31) 
 Classifica-se o movimento em progressivo, quando sua velocidade for positiva, e retrógrado quando sua velocidade for negativa. 
 Outra propriedade importante que vem da definição de velocidade é o fato de que já que a velocidade é a derivada da função 
posição, e, portanto dá a inclinação do gráfico desta no instante considerado, a posição por sua vez será a integral da velocidade e, 
portanto a área sobre a curva no gráfico da velocidade, assim: 
 
 
Utilizando a linguagem de cálculo: 
 ⃗ ∫ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 Da mesma forma como, por definição a velocidade é a derivada da posição. 
 
Exercício resolvido 10: 
Um ônibus faz um trajeto entre duas cidades em duas etapas. Na primeira, percorre uma distância de 150km em 90min. Na Segunda 
percorre 220Km em 150min. Qual a velocidade média do ônibus durante toda viagem? R.: 92,5km/h 
 
Exercício resolvido 11: 
Um carro percorre 1 km com velocidade constante de 40 km/h e o quilômetro seguinte com velocidade também constante de 60 
km/h. Qual a sua velocidade média no percurso descrito? R.: 48km/h 
 
Exercício resolvido 12: 
Uma carreta de 30m de comprimento atravessa uma ponte de 70m de comprimento com velocidade constante de 72 km/h. 
determine: 
a) O intervalo de tempo que a carreta demora para atravessar a ponte. R.: 5s 
b) Qual seria esse intervalo de tempo se a ponte tivesse 2 km de comprimento? R. 101,5s 
 
Exercício resolvido 13: 
Dois móveis A e B percorrem a mesma trajetória e suas posições são dadas a partir de uma origem comum. Suas funções horárias, 
em unidades do SI, são: 
Xa = 10+2t e Xb= 40-4t 
Determine: 
a) O instante do encontro R.: 5s 
b) A posição do encontro R.: 20m 
 
Exercício resolvido 14: 
Duas estações A e B estão separadas por 200km, medidos ao longo da trajetória. Pela estação A passa um trem P, no sentido de A 
para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido de B para A. Os trens P e Q têm movimentos retilíneos e uniformes 
com velocidades de módulo 70km/h e 30km/h respectivamente. Determine o instante e a posição do encontro. R.: 2h e 140km 
 
Exercício resolvido 15: 
O gráfico a seguir representa o movimento de uma partícula. 
 
 
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 25 
 
 
a) Que tipo de movimento está representado? R. MRU 
b) Qual a posição inicial da partícula? R.: 0m 
c) O que indica a inclinação deste gráfico? O movimento em questão é progressivo ou retrógrado? 
 R.: Que a velocidade é positiva, movimento progressivo 
d) De acordo com o gráfico qual a posição da partícula no instante t = 10s? R.: 30m 
e) Qual a velocidade da partícula no instante t = 20s? R.: 3m/s 
 
ExercícioResolvido 16: 
O gráfico a seguir ilustra a posição s, em função do tempo t, de uma pessoa caminhando em linha reta durante 400 segundos. 
Assinale a alternativa correta. 
 
Determine: 
a) O que acontece com o móvel no intervalo de tempo de 100s a 300s R.: o móvel está em repouso 
b) Qual o deslocamento do móvel? R.: 80m 
c) A velocidade no instante 80s? Classifique o movimento. R.:1m/s progressivo 
d) Qual a velocidade no instante 350s? Classifique o movimento. R.: -0,2m/s retrógrado 
e) Determine a média das velocidades e a velocidade média do movimento. R.: 0,27m/s e 0,2m/s 
 
TECNICA PARA AUXILIAR EXERCÍCIO 
 Determine os dados numéricos e identifique as grandezas utilizando as unidades de medida; 
 Observe a coerência das unidades de medida; 
 Represente o exercício por um desenho quando necessário; 
 Monte a função de movimento quando necessário. 
 
 
3ª lista de exercícios propostos: 
1) Um móvel A percorre 20m com velocidade média de 4m/s. Qual deve ser a velocidade média de um móvel B que percorre os 
mesmos 20m, gastando um tempo duas vezes maior que o móvel A? R.: 2m/s 
 
2) Um avião vai de São Paulo a Recife em 1h40min. A distância entre essas duas cidades é aproximadamente 3000km. Determine 
a velocidade do avião? R.: 500m/s 
 
3) Um ônibus parte às 10h de uma cidade localizada no km120 de uma rodovia. Após uma parada de 30 minutos no km300, o 
ônibus chega ao ponto final de sua viagem no km470 às 14h do mesmo dia. Determine a velocidade média do ônibus. 
R.: 87,5km/h 
 
 
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4) Um ônibus sai da capital às 7h da manhã, com destino a uma cidade no interior, distante 340km, aonde chega por volta do 
meio-dia. Qual seria a velocidade média do ônibus? R.:68km/h 
 
5) Um atleta ganha uma competição correndo 2000m em 3 min e 20s. Qual seria a sua velocidade? R.: 10m/s 
 
6) Imagine que um carro faça uma viagem de 310 km da seguinte maneira: nos primeiros 120km, ele desenvolve uma velocidade 
média de 80km/h; nos 100km intermediários, devido às más condições da estrada ele desenvolve uma velocidade média de 
50km/h; nos últimos 90km ele desenvolve uma velocidade de 60km/h. Qual é a velocidade média desenvolvida pelo carro? 
R.: 62km/h 
 
7) A distância entre duas cidades é de 48km. Um carro percorre a primeira metade do percurso com velocidade média de 60km/h, e 
a Segunda metade do percurso com velocidade média de 80km/h. Qual a velocidade média ao longo de todo o percurso? 
R.: 68,57 km/h 
8) O “tira-teima” da rede Globo calculou a velocidade da bola que bateu na trave do gol como sendo de 1,1.102 km/h. Se o tempo 
necessário para a bola atingir a trave, desde quando foi chutada, é de 0,5s, e sendo a velocidade constante nesse tempo, qual a 
distância que a bola estava do gol no momento do chute? R. 15,275m 
9) Diante de uma agência de empregos, há uma fila de, aproximadamente, 100m de comprimento, ao longo da qual se distribuem, de 
maneira uniforme, duzentas pessoas. As pessoas entram, durante 30s, com uma velocidade média de 1m/s. Determine: 
a) O número de pessoas que entraram na agência R.: 60pessoas 
b) O comprimento da fila que restou do lado de fora R.: 70m 
 
10)Em uma corrida de 1km, o corredor 1, na raia 1 (com tempo de 2min e 27,95s) parece ser mais rápido que o corredor 2, na raia 2 
(com tempo de 2 min e 28,15s). Entretanto o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da 
raia 1. Qual o maior valor que L2 – L1 pode ter para ainda concluirmos que o corredor 1 é mais rápido? R.: 1,3m 
11)Dois trens, cada um com velocidade de 30km/h, trafegam em sentidos opostos sobre uma mesma linha férrea retilínea. Um 
pássaro que consegue voar a 60km/h voa a partir da frente de um dos trens, quando eles estão separados por 60km, diretamente 
em direção ao outro trem. Alcançando o outro trem, o pássaro imediatamente voa de volta ao primeiro trem e assim por diante. 
(Não temos a menor ideia por que o pássaro se comporta dessa maneira.) Qual é a distância total que o pássaro percorre até os 
trens colidirem? R.:60km 
12)Numa corrida de motos o piloto A completa 45 das 80 voltas previstas enquanto o piloto B completa 44 voltas. Qual deverá ser, 
no restante da corrida, a razão entre a velocidade média vb do piloto B e a velocidade média va do piloto A para que cheguem 
juntos ao final da corrida? R.: 
 
 
13) Uma carreta de 20m de comprimento demora 10s para atravessar uma ponte de 180m de extensão. Determine a velocidade 
escalar média da carreta durante o percurso. R.: 72km/h 
14) Um trem de carga de 240m de comprimento, que tem velocidade constante de 72km/h, gasta 0,5min para atravessar 
completamente um túnel. Determine o comprimento desse túnel. R.: 360m 
15) Uma escola de samba, ao se movimentar num sambódromo reto e muito extenso mantém um comprimento constante de 2km. Se 
ela gasta 90min para passar completamente por uma arquibancada de 1 km de comprimento determine sua velocidade média. 
R.: 2km/h 
16) Filas de trânsito são comuns nas grandes cidades, e duas de suas consequências são: o aumento no tempo da viagem e a irritação 
dos motoristas. Imagine que você está em uma pista dupla e enfrenta uma fila. Pensa em mudar para a fila da pista ao lado, pois 
percebe que, em determinado trecho, a velocidade da fila ao lado é 3 carros/min. enquanto que a velocidade da sua fila é 2 carros 
/min. Considere o comprimento de cada automóvel igual a 3 m. 
 
 
 
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Determine o tempo, em min, necessário para que um automóvel da fila ao lado que está a 15m atrás do seu possa alcançá-lo e 
para que possa ultrapassá-lo. R.: 5min e 6min 
 
17) Dois automóveis A e B encontram-se estacionados paralelamente ao marco zero de uma estrada. Em um dado instante, o 
automóvel A parte, movimentando-se com velocidade escalar constante 
AV
= 80 km/h. Depois de certo intervalo de tempo, 
tΔ
, 
o automóvel B parte no encalço de A com velocidade escalar constante 
BV
= 100 km/h. Após 2 h de viagem, determine quanto 
tempo o motorista de A, que verifica que B se encontra 10 km atrás, conclui o intervalo 
tΔ
, no qual o motorista B ainda 
permaneceu estacionado, em horas. R.: 0,5h 
 
18) Dois caminhões deslocam-se com velocidade uniforme, em sentidos contrários, numa rodovia de mão dupla. A velocidade do 
primeiro caminhão e a do segundo, em relação à rodovia, são iguais a 40 km/h e 50 km/h, respectivamente. Um caroneiro, no 
primeiro caminhão, verificou que o segundo caminhão levou apenas 1,0 s para passar por ele. Determine o comprimento do 
segundo caminhão. R.: 25m 
 
19) Dois automóveis, M e N, inicialmente a 50 km de distância um do outro, deslocam-se com velocidades constantes na mesma 
direção e em sentidos opostos. O valor da velocidade de M, em relação a um ponto fixo da estrada, é igual a 60 km/h. Após 30 
minutos, os automóveis cruzam uma mesma linha da estrada. Em relação a um ponto fixo da estrada, determine a velocidade de 
N, em quilômetros por hora. R.:40km/h 
 
20) Um foguete persegue um avião, ambos com velocidades constantes e mesma direção. Enquanto o foguete percorre 4,0 km, o 
avião percorre apenas 1,0 km. Admita que, em um instante t1, a distância entre eles é de 4,0 km e que, no instante t2, o foguete 
alcança o avião. Determine no intervalo de tempo t2 – t1, qual a distância percorrida pelo foguete, em quilômetros. 
 R.: 5,33km 
 
21) Marta e Pedro combinaram encontrar-se em certo ponto de uma autoestrada