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Flexão 6.2 - PROBLEMAS 6.43. Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno M = 2 kN.m. Determine a tensão máxima no elemento se o momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em tomo do eixo y. Trace um rascunho da distribuição de tensão para cada caso. v IiTt1 4$ Figura 6.43 (a) Em tomo do eixo z 0.060 x 0,2202 Mc 2 x 102 x 0,060 - = =8,64x104m4 6m$x 8,64x106 -13,89MPa 12 •2 (b) Em tomo do eixo y 0,120 x 0,060 - Mc - 2 x io x 0,030 = 27,18 MPa = 12 2,16x 104m4 - 1.,, - z.ixio'' 6.44. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um momento interno M = 300 N.m. Determine a tensão criada nos pontos A e 8. Além disso, trace um rascunho de uma visão tridimensional da distribuição de tensão que age na seção transversal. • 0' = 300N-m Iounm Figura 6.44 = = !(0,010) 4 = 7,854 x 10'9 m4 = c = 10 mm y13 = csen(e) = 10sen(45 0) = 7,0711 mm ; M = 300 N.m - MYA - 300x0.010 6* - - = 381,97 MPa 1 = = 7,854X10 9 0x0.0070711 = 30 270,09 MPa 296 Resolução: Steven Róger Duarte Flexão 6.47. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, tem peso especifico de 24 kN/m 3 e espessura de 20 mm. Calcule a tensão de flexão máxima na peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em suas bordas. Se a tensão de ruptura for a,,,, = 1.5 MPa. explique as consequências de apoiar a peça em cada uma das posições. ft5 m 1.5 r ai (b) Figura 6.47 iSCA' - 1 (a) Em seu lado W=pV(24x10')(0.5x 1.5x0.02)360 N a 1-EM = O M+O,375x 180— 180x0,75 = O M~ = 67,5 N.m - 0.020 X 0,52 12 =2,0833x104m' Mmaxc - 67.5 x 0,25 0máx = - = 0,081 MPa 2.0833x ir4 (b) Em suas bordas 05x0,0203 12 =3,333x107m4 MmC - 67.Sx0,010 - 0mâx - - 2.0833 = 2,025 MPa (quebra) = 2,025 MPa' iy w =1,5 MPa; logo, a peça quebra nessa posição 298 Resolução: Steven Róger Duarte {r_YA e-,n,—. Flexão 6.49. A viga tem seção transversal mostrada na figura. Se for feita de aço com tensão admissivel a s,,, = 170 MPa, determine o maior momento interno ao qual pode resistir se o momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em tomo do eixo y. Figura 6.49 (a) Em tomo do eixo z tx = 2 ¡0.120x .6os3 + 0,120 x 0,005 x 0,0625 2 ] + o.00s;Z. I2o' = 5,41 x 104 m` oadm = M~~ M. = 14,15 kN. m l (b) Em torno do eixo y t = 2x0,005x0.1203 + 0,120x0,o053 =1 44125x10+ m` a M' c M =4,08kN.m y 12 12 adm = ~y y 6.50. Foram apresentadas duas alternativas para o projeto de uma viga. Determine qual delas suportará um momento de M = 150 kN.m com a menor quantidade de tensão de flexão. Qual é essa tensão? Com que porcentagem ela é mais efetiva? f___2 t) mn___ I j DAmw )J mmJ 15. {a1 Figura 6.50 2¡02x0.015 ' +0,2x0,015 x0,15752 + 0.03x0,31 =21645x104 m` a _ Mc _ 150x101x0,165 =114 M, MPa (a) = l 12 12 ta) 2,1645 x 10-4 =2¡o.2xo.033 +0,2x0,03x0,1652]+ o.olsxo,3' =3,6135x10~ m` o __Mc 150xlo'x0.1e0 =7472MPa (b) l 12 12 t6) 1(p) 3,6135 x 10' ~ Efetividade = 100%( — 1 = 100°k ~ ~4 ~Z` — 1) = 53% b) A seção (b) terá a menor quantidade de tensão de flexão. Porcentagem de maior eficácia = 53,0% 300 Resolução: Steven Róger Duarte Flexão *6.80. Se a viga tiver seção transversal quadrada de 225 mm em cada lado, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga. h kN l5kN.m WW 4 - ______ —15m 2im Figura 6.80 +E MA = O M×1,25x37,5-6x5 =0 MA = 76,875 kN.m Seção 1 (0 :5 x 1 :5 2,5 m) M(x 1 ) = —7,5x 1 2 + 43,5x 1 - 76,875 kN.m T + F, = O FA-37.5.6=0 FA = 43,5 RN Seção (2,5m 5x 2 5 Srn) M(x 2 ) = 6x 2 - 30 kN.m rei i'i; 149fl,v. vn lM mãx l = 76,8750.m lMlc - 76,875 x 10 x 0.1125 0máx = 1 x0.22S 40,49MPa 4 322 Resolução: Steven Rõger Duarte Flexão 6.90. A viga tem a seção transversal retangular mostrada na figura. Determine a maior carga P que pode ser suportada em suas extremidades em balanço de modo que a tensão de flexão na viga não ultrapasse = 10 MPa. L iO.smij 50 min Figura 6.90 DMF lM in áx l = O.SP - lMn,sxlC .= 10x106x0,05x0,1' = 1,67 kN amax - .. 12x0.5x0.05 6.91. A viga tem a seção transversal retangular mostrada na figura. Se P = 1,5 kN, determine a tensão de flexão máxima na viga. Faça um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal. 1.5 J 1.5 kN 1 5w' 1.5kM 1.5KM 1' 1' 0.m o SOmai .)m—_j -1h r[Ioo mm Figura 6.91 OMF 750 Njn 0,5.,, lM2 = 750 N.m - lMmxlc - 750x00$ - 0máx - 1 - - 9 MP *2 329 Resolução Steven Rõger Duarte ti Cisalhamento transversal 7.1 - PROLEMAS 7.1. Se a viga for submetida a um cisalhamento de V = 15 kN, determine a tensão de cisalhamento na alma em A e B. Indique as componentes da tensão de cisalhamento sobre um elemento de volume localizado nesses pontos. Considere w = 125 mm. Mostre que o eixo neutro está localizado em y' = 0,1747 m em relação à parte inferior e 'NA = 0,2182(10-a) m4 . 2f) mm 30 mm 25 nun 250 M1TJ .,Omm' Figura 7.1 N1 1 A 414 ,4 Ycc - - EAYCG - (125 X 30(15) + (200 X 30)(295)+ (250 x 25)(155) = 174,7 mm (Centroide da seção transversal) E - (125x30)+(200x30)+(250x25) 0.03' [ 'NA = 1 n + 0,125 x 0,03 x (0.1597)2] + fo.02Sx0.2S' + 0.025 x 0,25 ,c (0,0197)2] + 1 02 X ~ + 0.2 x 0,03 x (0.1203) 2] t 12 1=2,1818x 10 4 m1 QA = A'YCG = (0.2 x 0.03)(0.31 - 0.1747 - 0,015) = 7.218 x 10' m3 QB = A'y'.= (0,1747 - 0,015)(0,03 x 0.125) = 5.9888 x 104 m3 TA - - VQA - (lsx 10)(7,218x 10') VQ8 - (1sx1o(5,9$$8xIo') = 199 MPa = = 1,65 MPa - - RA (2,1818x 10-4)(0,025) lts - (2j818x 10 4 )(0,025) i,qqMPa 394 Resolução: Steven Róger Duarte Cisalhamento transversal DEC p 3 kIhJ —P Vmsj= P - - EAYcc 2(40 x 60)(30) + (160 X 40)(80) = 58,57 mm (Centroide da seção transversal) YCG - - (40x60)+(160x40) Qrnax = Y, A'ycG = 2(0,05857 x 0,04)(0.0292857) = 1,3722 x 10 4 m3 = 2 (0.04x0.06' + 0,04 x 0,06 x 0,02857 2 ) + (0.16t0.04' + 0,16 x 0,04 x 0,02143 2 ) = 9,15048 x io m' ' \ 12 12 TMáx i,3722 x p = 373,43 kN = IVrnxIQrnáx . 70x 106 = P( a (9.15048x10")(O.OS) 7.18. Se a força P = 4 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima na seção crítica da viga. Os apoios em A e B exercem somente reações verticais sobre a viga. 1' P 3 kN /ffi .1 IJtIIJJILL A a Im i 2in 1 a -. I(E mm mm Figura 7.18 4kN 6XN 4 'EMA = O 4 —6 x 1 + 2V9 - 3 x 4 = O V5 = 7 kN .2" 7kN 7kN t+EF=O VA + 7- 6 - 4 - 4 = O Và = 7 kN 405 Resolução: Steven Róger Duarte Cisalhamento transversal DEC 4 kN 3 kAI - 3kW & -4 fl jV,I= 4kW EAycc — 2(40 x 60)(30) + (160 x 40)(80) = 58,57 mm (Centroide da seção transversal) YCG = — (40x60)+(160x40) = EA'Y ' CG = 2(0,05857 x 0,04)(0,0292857) = 1,3722 x 104 m3 = 2(0.04 0,063 + 0,04 x 0,06 x 0,02857 2 ) + (016x 0.04 + 0,16 x 0.04 x 0,02143 2 ) = 9,15048 x iO4 mm ' 12 ' 12 — lV,c lQtnáx (4 x 10)(1,3722 x 10 4 ) tmãx =nt. —= 0,750 MPa II (9,15048 x 1C')(0,080) 7.19. Faça uma representação gráfica da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal de uma haste com raio c. Quantas vezes a tensão de cisalhamento máxima é maior que a tensão de cisalhamento média que age na seção transversal? Figura 1.19'1 C a wt 2 , /4 \/itc2\ 2 Qrnáx = A'ycc = = ic 3 = 4 — 1 4V - \ tmâx - - lt V V tméd À= = ± tm*d 3 406 Resolução: Steven Róger Duarte Cisalhamento transversal 7.27. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos 8 e C localizados na alma da viga de fibra de vidro. 23 LNt 1r_4m_I_im 34W lmm-%—R O m LJ tt)m AftJ Figura 7.27 'C' +EMA =0 t + E F = O -5x1-3x3,2667+4,6V0=O VA-5-3+3,2174=O V0 = 3,2174 RN VÁ = 4,783 kN T +F = O 08 = A'y'cc = (0,1 x 0,018)(0,084) = 1,512 x 104 m3 4,783 - V - 2,5 = O 1 = 2(0.1 xO,0i83 + 0,1 x 0,018 x 0,084 2 ) + (0.0122&153 = 2,88738 x 10'5 m' V = 2.2826 kN VQ te = tc = 8 = (2,2826x 10)(1,512x ir4) (2,88738 x 10)(0,0I2) = 0,996 MPa 1.28. Determine a tensão de cisalhamento máxima que age na seção crítica da viga de fibra de vidro. 3 LN/m 'Ç MIM I.—irn—L24rL_—:rn 141)nim lsmm c 1 5) rrun lZmm a li mm Lsmni Figura 7.28 ^ +EMA = O t + E Fy = O Sxl —3x3.2667+4,6V0=O VA-5-3+3,2174=0 V0 = 3,2174 kN = 4,783 kN 412 Resolução: Steven Róger Duarte Cisalhamento transversal IIA(PQ Q(y) = X A'YCG' = 0.05 + 0.17: ) (0.175 - y) = (7,65625 - 250y 2 ) x 10' m3 VQ(Y) - (130 x 1o 3 )(7.6s625-.25oy 2)(1c4 ) - (1,8177 x lr')(o.os) (10,9513 - 357,6y9 MPa = 'A tdA = f(10.9513 - 357.6y 2)(106)(0.05)dy = 50,3 kN 7.13. O raio da haste de aço é 30 mm. Se ela for submetida a um cisalhamento V = 25 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima. - 54)LN Figura 7.13 e Qmâx = = (-' (: z) = 3x J2 / 3 i —!L4 4 VQ,,, 4V 4x25x103 TMàX - li _ - 31TC2 = 3X1TX0.0302 = 11,79 MPa 401 Resolução: Steven Róger Duarte Cargas Combinadas 8.2 - PROBLEMAS 8.15. O suporte de aço é usado para ligar as extremidades de dois cabos. Se a tensão normal admissível para o aço for as,, = 168 MPa, determine a maior força de tração Pque pode ser aplicada aos cabos. O suporte tem espessura de 12 mm e largura de 18 mm. - Mw Figura 8.15 +ZM=O M-O,059P=O :. M0,059P P (0,059M0,009)Mc ______ 0adm - + :. 168x 106 = o,Olzxo.ols + 0.012 X 0.018 3 12 P = 1,756 kN *8.16. O suporte de aço é usado para ligar as extremidades de dois cabos. Se a força P = 2,5 kN for aplicada, determine a tensão normal máxima no suporte. O suporte tem espessura de 12 mm e largura de 18 mm. 1$ mm 50 mm Figura 8.16 r+EM0 M-O.059x2.5x103 =O :. M147,SN.m - N Mc - 2.5x10 3 147 •5x0,009 0mãx - A + 1 - 0,012 x 0.018 + 0012 = 239,2 MPa 458 Resolução: Steven Róger Duarte Cargas Combinadas 8.22. A força vertical P age na parte inferior da chapa cujo peso é desprezível. Determine a distância máxima d até a borda na qual aquela força pode ser aplicada de modo a não produzir nenhuma tensão de compressão na seção a-a da chapa. A chapa tem espessura de 10 mm, e P age ao longo da linha central dessa espessura. Figura 8.22 N-P0 N=P M-(d-0,075)P=O M=(d-O,075)P CFC= N Myc - - P - [(d - 0,075)P](0,075) = 666,67P - 26.668,67P(d - 0,075) o.o1xo1s o.olxojs3 12 Para que a tensão de compressão seja nula. a c = 0. logo: 666,67P - 26.666,67(d - 0,075)P = O resolvendo a equação obtemos: d = 0.100 m = 100 mm 463 Resolução: Steven Róger Duarte Cargas Combinadas *8.36. O cilindro e peso desprezível repousa sobre um piso liso. Dtermine a distânia excêntrica e na qual a carga pode ser posicionada de modo que a tensão normal no ponto A seja nula. Figura 8.36 N=P M = Pey - N MYA_ 1' Pe,r A -- rn - ---i;E? -0 Resolvendo a equação, obtem-se: e,. = 8.37. A viga suporta a carga mostrada na figura. Determine o estado de tensão nos pontos E e F na seção a-a e represente os resultados em um elemento de volume diferencial localizado em cada um desses pontos. £umn e I®otn £ lw -2- 3nm T lo n Figura 8.37 P o -1 473 Resolução: Steven Rõger Duarte Cargas Combinadas sen(A) = 0.6 cos(a) = 0,8 - 10x2+Tc,sen(0)x4+Tocos(0)x0,30 ... T0=7,5758kN A-7,5758x0,60 ... A=6061kN t+ZF =0 A,+7,5758x0.8-200 .. A7 = 15,454kN Seção a-a c —+EF=0 6,061—N0 :. N6,061kN t+ZFy =O 15,454 — 10 — V = 0 :. V=5.454kN M+lOxO,5-15,454x1 =0 :. M10,454kN.m = 2 (01Sx0.013 + 0,15 x 0,01 x 0,1052) + (0015x023) = 4.31 x io4 ri? 12 QE = 0,05 xO,1 xO,015 0,105x 0,15 x 0,01 = 2.325x 10' m 3 Qf = O N - - MYE 6,061X103 10,454x103 x0 + + = - 1,01 MPa = 1,01 MPa (C) 2 x 0.15 x 0.01+0,015 x0,2 4,31 N Myr 6.061 x 10 10,454 x 10 x 0,11 = - 27.7 MPa = 27,7 MPa (C) = Ai - - - - 2x0,15x0.01+0,015x0.2 4,31x 10 VQE 5.454 x 10 3 x 2325 x 10' VQr øx io x O - - TE - - lt 4.31x1r5x0,o15 = 1,96MPa - - it - - 4,31x1rx0.015 5,9ZMPa c' a,02M& Or 2,7,MA.t ? C,5GMP 474 Resolução: Steven Róger Duarte Cargas Combinadas v 4' /0V /4 Z-6=, .j -ir N-40 :. N=4kN V-0,6670 :. V0,667kN +EM =0 M-0,667x 1=0 M=0,667kN.rn 2 (OlSxO.023 = + 0,15 x 0,02 x 0,112) + (O.O1SxO.23 = 828 x 1O m' 12 12 / QA=0,05x0,1x0,015+0,11 x0,15x0,02=4,05x10m 3 N My 4x10' O.667x103 x0 = A+i - 2x0,lSxO,02+O,2x0,015+ 8,28x105 =O,444MPa(T) - vo - (0,667 x 10)(4.05 x ic) = 0,217 MPa - li - (8.28 x 10 -5)(0,015) itc:1iii. = 4 = *8.40. Determine o estado de tensão no ponto 8 quando a viga está sujeita à força de 4 kN no cabo. Indique o resultado como um elemento de volume diferencial. At.). ZOom T MM 15nm T ISO0%m2omm Figura 8.40 -. + S F = O C-4=0 MD = O 4 x 0,625-3,75; = O 1 Kt/ — 476 Resolução: Steven Róger Duarte 4kcN II = 4 kN C = 0.667 kN Cargas Combinadas *8.48. O guindaste AB consiste em um tubo que é usado para levantar o feixe de hastes que tem massa total de 3 Mg e centro de massa em G. Se o tubo tiver diâmetro externo de 70 mm e 10 mm de espessura da parede, determine o estado de tensão que age no ponto D. Mostre os resultados em um elemento de volume diferencial localizados nesse ponto. Despreze o peso do tubo. Figura 8.48 15 W = 3 x 103X9,81 = 29,43 kN Tsen(450)_ !!ea = O :. T=20,81 kN 'cv = O ; N-2081cos(45 0 ) = O N = 14,715 kN +EM = O M.-20,81sen(45°)x 1,5 + 14,715x 1,5-20,8lcos(45°)x 0,075 = O :. M = 1.10362 kN.m = = - 14,715x10 3 1,10362x103 x0 A 1 11(0,0352_0,0252) + Tt (0035 0025') = - 7,81 MPa = 7,81 MPa (C) - VQD - OMPa tD --j---- 484 Resolução: Steven Rõger Duarte Cargas Combinadas 8.50. O painel de sinalização está sujeito a carga uniforme do vento. Determine as componentes da tensão nos pontos C e D no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Mostre os resultados em um elemento de volume localizado em cada um desses pontos. 1.4 rfi —L likPa tD 2mj Figura 8.50 P = 1,5 x 2 xl = 3 kN V3kN V=0kN N=0kN a = o My = 3 x 3.5 = 10,5 kN.m a +ZM2 = o T2 = 3 xl = 3 kN.m M XC - - = o - 10,5 x 103 x 0,05 - 107 MPa = 107 MPa (C) - A 1 y 7x0,05 - - V 3 x 10 3 x 0,05 - xQc tC 0+ =15,3MPa N 7 Mxj, - 1O,SxlO3 xO = A+I - 0+ x0,O5 OMPa - VQz + Tco - (3x10)(xO.05) 3,103, 0,05 tD - ir T' - ( xoos4)(o,1) + x0,05 =15,BMPa11 = -a-o £,PA4Pa •rc . 3 M/%*. rPRI Resolução: Steven Roger Duarte Projeto de Vigas e Eixos 11.1 -PROBLEMAS 11.1. A viga simplesmente apoiada é feita de madeira com tensão de flexão admissivel a, = 6,5 MPa e tensão de cisalhamento admissivel Tadm = 500 kPa. Determine as dimensõesda viga se ela tiver de ser retangular e apresentar relação altura/largura de 1,25. 8kNftn Figura 11.1 t l?s b t+EF=O R 1 +R2-64=0 = R2 = 6412 = 32 kN ic c lV 1l = 16 RN lM2 = 16 kN.m - Mmáx 16 x 10 3 5req - 0adm = 6.5X106 = 0,00246154 m 3 b0,21144 m =211 mm b(125b) 12 Sreq = = O.625b = 0.0246154 h = 1,25b = 125 x 211 = 264 mm Tmáx = VmQmax -- ((16 x 10)(0.3125 X 0.21144 X 0,625 X 021144) = 429,5 kPa <t ad m = 500 kPa OKl 12 Resolução: Steven Róger Duarte 676 Projeto de Vigas e Eixos 11.2. As vigas do assoalho de um galpão de depósito devem ser selecionadas em função de vigas quadradas de madeira feitas de carvalho. Se cada viga tiver de ser projetada para suportar uma carga de 1,5 kN/m sobre um vão simplesmente apoiado de 7.5 m, determine a dimensão a de sua seção ransversal quadrada com aproximação de múltiplos de 5 mm. A tensão de flexão admissivel é a,,, = 32 MPa e a tensão de cisalhamento admissivel = 0,875 MPa. Figura 11.2 '1 ---! H ?cN t + E E,, = O + R2 - 11,25=0 j, 5C - R,=R2=11,25/2=5.625kN y'( rv1 // <1. 5 -(' e. + M = O M(x) - 5,625x + (1 ,Sx)(0,5x) = 0 .. M(x) = 5.625x - O.75x2 kN.m V = -M(x) = 5,625— 1,5x kN .. lM,,.âl = 10547 KN.m lV.1 = 5.625 kN dx 5req _____ 4 - Mmáx - 10.547x103 a ,c __ 3,2959x 104 m3 = ! = 32959x '0 :. a=0,12552m Gadm 32_X 106 4 q C O.5a - (5.625x103)(0,25x0,12552x0,5x0.125522) = 0,535 MPa < = 0,875 MPa OK! tmáx = - (O.12552xo.125s2 3)(012552) 12 Logo, a = 125.5 mm =~ 130 mm Resolução: Steven Rôger Duarte 677 Projeto de Vigas e Eixos 11.3. A viga de madeira deve ser carregada como mostra a figura. Se as extremidades suportarem somente forças verticais, determine o maior valor de P que pode ser aplicado. a,,, = 25 MPa, ;dm = 700 kPa. i 150= Tmm Figura 11.3 *1 0,5P-V=0 :. V0,5P M-0,5Px4=0 .'. M2P 60X 120 x 40 + 135 x 30 X 150 = 96,29032 mm (centroíde da seção transversal) Ycc = 120x40+30x150 /0,04 X 0,12 = . + 0,04 x 0,012 x 0,036292) + (05c003 + 0,15 x 0,03 x 0,03871 2) = 1,9162016 x 10 5 m4 12 \ 12 GMáX = - Mc - 2P x 0.09629032 = 25 x 106 .. P = 2.48753 KN = 2,49 kN 1,9162016X 10 5 VmQmãx - (2,48753X 10 3 )(0.04814516x 0,04 X 0.5 X 0.096290322) = 301 kPa <tadm = 700 kPa OKI tmáx = - ( 1,9162016x 10-5)(0,04) Resolução: Steven Róger Duarte 678 Projeto de Vigas e Eixos 11.5. A viga simplesmente apoiada é feita de madeira com tensão de flexão admissivel a, = 7 MPa e tensão de cisalhamento admissivel tadm = 0,5 MPa. Determine as dimensões da viga se ela tiver de ser retangular e apresentar relação alturaflargura de 1,25. R t.25h b Figura 11.5 5 PC# v x y37,SxkN/m y E4 p xy - - - (3705x)(x) - - = 18,75x' kN 2 2 O 5 x:g 2m ".1-EM = O : M(x)-75x+(18,75x 2)(x13)=0 :. M(x)75x-6,25x' kN.m V=-M(x)=75-18.75x' kN dX = 100 kN.m = 75 kN /s - r (flfl - /s rcq 0adm C b(1,25b)3 100x103,_ 12 . b0,38m 7x106 - 0,625b (75 x xo)(o,62s x 0,38 ,c 0,38x 0,3125 x 0.38) = 0,623 MPa > = 0,5 MPa, Portanto: tm - - - - io.ul2sxoaa)41(038) 22 0,5 x 106 = = (75 x 103 )(0,3125b x 0.625b x b) 12 ... b=0,42426m=424,3mm [ bCiaSb)3 M Resolução: Steven Róger Duarte 680 Projeto de Vigas e Eixos *11.16. A viga é feita de um material cerâmico cuja tensão de flexão admissivel é as,, = 5 MPa e tensão de cisalhamento tadm = 2,8 MPa. Determine a largura b da viga, se a altura for h = 2b. 75 kN 1.2kNhn SOkN lSOmm +iomm-I mr l b JL Figura 11.16 a,sêX/ SOt,f --'-- = O 75x0,05-0.18x0.075t0,15R2 -50x0,2 =0 R2 =41,76kN t+ZF=O R 1 +41,76-O,18-75-500 :. R,=83,42kN V('KA') Nt (KMIY?) aa on - \ r -JsI fr ' .:Jc(r)) o\ 2,S lM2 = 3,75 KN.m JVl = 75 kN Mmn — 1 3.75x 10 b(Zb)3 - 12 - Sreq b=O.104m=lO4mm - adn C 5x106 b - 15Vj1 - 1$x7Sx 103 - A 104 x (2 x 104) - - 52MPa>r 3dm = 2,8 MPa Não Ok! VmàxQm = ___________________ Logo: tmáx 2,8 x 106 = ( 75x 1Oi(bxhxú.Sh) b = 0,14174 m 141,74 mm It Resolução: Steven Róger Duarte 691 Projeto de Vigas e Eixos 11.17. A viga de aço em balanço foi montada com duas chapas como mostra a figura. Determine as cargas máximas P que podem ser suportadas com segurança pela viga, se a tensão de flexão admissivel for a,, = 170 MPa e a tensão de cisalhamento admissivel for tad m = 95 MPa. 150 mm I—'4 1 ISmrn j)i5Omm 1' 1' Figura 11.17 1/ 1 .4 c+ZM =0 M-2P-4P0 M6P V-P-P0 :. V2P lSx 150x 75+150x lSx 157.5 = Ycc = 11625 mm (centroide da seção transversal) 150 x 15+ 150 x IS (0015 x 0.15 ____ = . 12 + 0,015 x 0,15 x 0,041252 0I53 + 0 ) + (0.15 12 ,15 x 0,015 x 0,041252) = 1,1918 x io4 m4 v '4 .2) 4 lM1 =6P ; lV12P 0adm - Mm4xc 170 x 106 = (6P)(O,11625) .. P=2,90 kN - (1,1918x io- ) (2x2,9ox103)(o.116zsxo.olsxo.05812s) = 3294 MPa < = 95 MPa OK! tmáx = - - (I.1916x io')(o,oi5) Resolução: Steven Róger Duarte 692 Torção 5.5. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. 3W Mm 500 N-n, r(N fl'; - 1 - 3c0 Figura 5.5 T,,= 400 N.m - TmC - 2T,,,. - 2x400x 203 —j—r 15,5MPa 5.6. O eixo maciço de 32 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Se o eixo estiver apoiado em mancais lisos em A e B, que não resistem a torque, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no eixo nos pontos C e D. Indique a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. li : N-rn ( o )=) e 2:. Figura 5.6 Ponto C - - - 2x 185x - 28,75 MPa T=185N.m J ltc' 1Tx163 - Ponto O Toc_2TD_ZxlSxlO_ 11,66 MPa T075N.m nx163 185 Resolução: Steven Róger Duarte Torção 5.9. O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligados por uma redução em 8. O tubo menor tem diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro interno de 17 mm, enquanto que o tubo maior tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 21.5 mm. Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo da chave. 75 À. Z8 A B C2) r,r 2,25 ~Vn, (26,25X0.009375) = 62,55 MPa 2 tAB = !(00093754 - 0.0085') 75 N Figura 5.9 TAR = 75(0.15 + 0,2) = 26.25 N.m (26,25)(0,0125) = 18,89 MPa tØC = (0,0125 - 0,010754 ) 5.10. O elo funciona corno parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo de alumínio conectado tiver 25 mm de diâmetro interno e parede de 5 mm de espessura, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de 600 N for aplicada aos cabos. Além disso, trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal. N30 N 7Sinsn mm J4SMPo. 6C')4 Figura 5.10 co = r, + t = 12,5 + 5 = 17,5 mm Tc0 - 90x 103 x 17$ = 14,5 MPa T = 600 x (0,75 + 0,75) = 90 N.m tmáx = (co' - cj') - (17,5' - 12,5') Tc, - 90x102 x12$ - = 10,32 MPa - ci') - (17.5' —12,5') 187 Resolução: Steven Róger Duarte 5.25. Resolva o Problema 5.24 para a tensão de torção máxima em S. Torção ÍJ~9 <n3 E q.5,y jj sUFI Figura 5.25 = 80 x 0,9 = 72 kN w2 =80 x 0,9 = 72 kN w3 = 80 x 0.3 = 24 kN Te = 0,45 x 72 + 0,9 x 24 = 54 N.m TB - Tgc - 54 x 0.006 - - x0.006' = 159,15 MPa 5.27. O poste de madeira, o qual está enterrado no solo até a metade de seu comprimento, é submetido a um momento de torção de 50 Fim que o faz girar a uma velocidade angular constante. Esse momento enfrenta a resistência de uma distribuição linear de torque desenvolvida pelo atrito com o solo, que varia de zero no solo a t0 N.rnlm na base do poste. Determine o valor de equilíbrio para t0 e, então, calcule a tensão de cisalhamento nos pontos A e B que se encontram na superfície externa do poste. N lOOmin 50M.." M x saN Figura 5.27 Equação da reta da distribuição de torque que passa pelos pontos (0.5t0;0) e (0;0,75m): t(y) = t0( - y) , çO.71 2 \ T = 2J': 51 ' t(y)dy = LtoJo - Y) dy = 0,375t0 = O 0,375t0-50=0 :. t0 = 133,33 = 133N.mlm TAC 50X0.05 TASON.m [A =Txo.os 0,255MPa - Tgc - 27,78 x 0.05 Ta=2J:5t&)dy=27,78N.m t --i--- = 0,141 MPa X 0.054 195 Resolução: Steven Róger Duarte Deflexão em Vigas e Eixos 12.4 - PROBLEMAS 12.89. A viga em balanço com perfil W200 x 71 feita de aço A-36 é submetida à carga mostrada na figura. Determine o deslocamento em sua extremidade A. W200 x 71 (l = 76,6 x 106 mm4) 6 LN Figura 12.89 1—- 41: W200 x 71 (l= 76.6 x 105 mm4) P1 3 [M(L/2) 2 +2)2] - 6x4,83 + [3(4,8/2)2 + 3(4,812)21 = 247,104 kN.m - 3E1 ] 247,104 x 10 (zoo x 10(766 X 10 6 ) = 0,01613 m = 16,13 mmi 12.90. A viga em balanço com perfil W200 x 71 feita de aço A-36 é submetida à carga mostrada na figura. Determine o deslocamento em C e a inclinação em A. W200 x 71 (I = 76,6 x 106 mm 4) S Figura 12.90 es <AI Str. MI) 6x242 3x482 7776 ac=(3Lx)+j= 6E (3x4.8-2,4)+ E; =-- kN.m3 77,76x103 PL2 ML6x4,82 3x2,4 76,32 = 0,00508 m = 5,08 mm = 22! + EI = 2E1 + = j– kN. m2 7632 x = (zOOx 1O')(76,ex i0') = 0,00498 rad Resolução: Steven Róger Duarte 799 Deflexão em Vigas e Eixos 12.91. A viga simplesmente apoiada com perfil W360 x 64 feita de aço A-36 é submetida à carga mostrada na figura. Determine a deflexão em seu centro C. 3OtN/m 14141 1111 460 3m 3m Figura 12.91 JO*win, D kA9n, f4U tMm __________ Ç 4 -s 3m 3 W360 x 64 (l = 179 x 106 mm4) a SwL4 ±a(X2 - 3Lx + 21,2) = 5x30x6 + 60x3 (32.,,. 3x 6x 3 + 2 x62) = 388.125 kN.m3 621L 7682! 621x6 El 388,125 x 33 (200x 109)(179x 10-6) = 0,01084 m = 10,84 mm 1 *12.92. A viga simplesmente apoiada com perfil W360 x 64 feita de aço A-36 é submetida à carga mostrada na figura. Determine a inclinação em A e B. 30LN/m YM 141111111 jwN.rn 3m Figura 12.92 .4 3 4)ZM,n 4 34!! -'—ti )6OAVm + Ir-,- __________ xzjjg7 --- W380 x 64 (I = 179 x 10 mm') 7w!? +MOL. = 7x30x63 60x6 178,125 8A = 3j 621 38421 1'r= kN.m2 178.125x 103 = (zoo x 10)(179 X i) = 0.0049756 rad = 0,2850 3wL3 + M 0 1 = 3 x 30 x 6 60 x 6 271,875 271,875 x io 88 = 12821 321 12821 + 3D = EI kN. m 2 :. = (200x 109)(179x 10-6) = 0,007594 rad = 0,435° Resolução: Steven Róger Duarte 800 Deflexão em Vigas e Eixos 12.97. A estrutura é composta por uma viga em balanço GB e uma viga simplesmente apoiada AB. Se cada uma for feita de aço A-36 e tiver momento de inércia em torno de seu eixo principal l, = 46(10 6) mm4 , determine o deslocamento no centro D da viga BA. 75 kN Figura 12.97 4jr' 1flÇcn fr-- Z4.n 24rr )j PLBC 3 - (37,5)(4,8) - 1382,4 3E1 - 3E1 - EI kN.m PLAB3 + = (75)(4,83) + 1382,4 = = 864 x = 0,093913 m = 93,91 mm t 48E1 2 48E1 ZEI Ei (200x 109)(461 10') 12.98. A extremidade A da haste está presa por um pino e acoplada a uma mola de torção de rigidez k que mede o torque por radiano de rotação da mola. Se uma força P for sempre aplicada perpendicularmente à extremidade da haste, determine o deslocamento da força. E1 é constante. p E.] ¶4' Figura 12.98 + = O kB — PL=O :. PL A= A PL3 ' + A"= + = P13 úk + Resolução: Steven Róger Duarte 804 1X5 ffir~- Deflexão em Vigas e Eixos 1 dSxw W610 x 155(I = 1 . 290 x 106 mm4 , I, = 108 x 106 mm5 = (25x±) 20kN = (isx ) = 15 kN wL4 PyL3 - (so x 1o)(3) (zo x io)O) (aÂ)Y = 8Ei,Á + 3EIx - 8(200 x 10)(1.290 x jQá) + 3(200 1O)(i.290 10-6) = 0,001875 m = 1,875 mm L = = (is x 10)(3) 3Et 3(200x I09)(108x 10-6) = 0,00625 m = 6,25 mm 12.102. A estrutura é composta por duas vigas de aço A-36 em balanço CD e BA e uma viga simplesmente apoiada CB. Se cada uma for feita de aço e tiver momento de inércia em tomo de seu eixo L = 46(1 06)mm4 , determine a deflexão no centro G da viga CB. Figura 12.102 75 Ks e if - - - — - £4", P1? - (75x 101)(4,0) 'G'= - 48(200 x 10)(46 x 10-&) = 0,0187826 m = 18,7328 mm PL3 = (37.5 x 10(4.8) 3E1 3(200 10)(46 lO-e) = 0,150261 m = 150,261 mm AG= AG ' + AC= 18.7826 + 150,261 = 169,04 mm 1 Resolução: Steven Rõger Duarte 807 Transformação da Tensão 9.73. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 11 %IPj Figura 9.73 (a) As tensões principais: c=-12MPa a,=-8MPa t.=4MPa Cx+Gy 128 0rnéd = 2 = 2 = - 10 MPa (Centro do circulo) R = J(°' 0Y)2 + = ,K_ 12 ;i_al) z + (4)2 = 4.47 MPa = —10+4,47 = —5,53 MPa ; a2 = — 10-4,47 = — 14,47 MPa tang(28) = = 2 . e = 31.7° (sentido horário) Ftp0. (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média: tmâxno plano = R = 4,47 MPa Gméd = Gx : a. = —12-8 = - 10 MPa tang(205) = = 0,5 = 13,30 (sentido anti-horário) k 572 Resolução: Steven Róger Duarte Transformação da Tensão 9.85. A estrutura suporta a carga distribuída de 200 NIm. Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento no ponto D que agem nos sentidos perpendiculares e paralelos às fibras, respectivamente. Nesse ponto, as fibras formam um ângulo de 30° com a horizontal, como mostra a figura. R (roomm u mm ~ 50mm I:_ 100 mm e P som F,d Figura 9.85 ^+EMA =0 -500x1,25+2,5Fc=0 •• Fc =250N T+EFy =O 250-200x1,5+V=0 •• V=50N '+EM=O M—(200x1.5)x0,75-250x1,5=0 •. M=150N.m Myp — 150 — 25 kPa T VQD _ (S0)(0,0625 x 0.0 7 5 x 0,1) = o,1 x0.z\ 3,516 kPa 12 \ 12 / ox = 56,25 kPa ; oy = 0 kPa t,, _ —3,516 kPa 0~ - ax + ay = 56.25 + o = 28,125 kPa (Centro do círculo) 2 2 R=f(~2 \2 +t xyz=¡s6.z2 -2 +(_3,516)z=28.344kPa arctan ( zs,12s/ 3,516 \/ = g = 7126° 1 1 0 = 180° — 120° — 7.126 0 = 52,87° Q ax = 28,125 — 28,344 cos(52,87°) = 11 kPa 'rx y, = —28,344sen(52,87') = —22, 6 kPa ..—_ 3, 616 KIêt :~ fC G ~CS4j~ S6.7d .ilf 6J° d,5~6 KPq , 2:r3 C l KPC.i tt t1 ) sóa Resolução: Steven Róger Duarte Transformação da Tensão *9.24. As fibras da madeira da tábua formam um ângulo de 200 com a horizontal como mostra a figura. Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento que agem perpendicularmente às fibras, se a tábua é submetida a uma carga axial de 250 N. 300mm 1 4' - -- j6ornm ho N -* e )' b O N 2(P 25 mui Figura 9.24 P 250 Gx = 5 166,67kPa o,=QkPa rxy 6=1100 _________ ar + ay + °r ; °' cos(2O) + rsen(28) = 166,67+0+ 166,67 2 - O cos(2 x 110°) = 2 = 19,5 kPa = - 0 0y sen(28) + t,cos(2O) = 166.67 ~0 sen(2 x 110°) = - 53,6 kPa 2 9.25. Um bloco de madeira falhará, se a tensão de cisalhamento que age ao longo da fibra for 3,85 MPa. Se a tensão normal a 2,8 MPa, determine a tensão de compressão; necessária para provocar ruptura. a. = 2.8 Mia Figura 9.25 c 49; ar =2.BMP3 ø,,=a,, t,01 =OMPa — = - ' sen(26) + t,cos(28) : 2,8 a . 3,85 = - 2 >' sen(-2 x 32°) Resolvendo a equação, obtemos: a,, = —5.767 MPa 527 Resolução: Steven Róger Duarte Transfomiação da Tensão 9.59. Resolva o Problema 9.10 usando o circulo de Mohr. 3Cfl kPa -4— 954)kI'a £ Figura 9.59 = OkPa a, = —300kPa t,. =9SOkPa - 0x + 0y - 0 - 300 - 0méd - 2 - 2 - - 150 kPa (Centro do circulo) R = j(a* _ax)2 + txyz = j(o -(-2 ) 300) 2 + 9502 = 961,77 kPa 950 = arctang(g) = 81,03° a = p + 1200 180° = 81,03 0 + 120°-180° = 21,03° = —150 + 961,77cos(21,03 0) = 748 kPa = 0,748MPa = —150-961,77cos(21,03°) = —1.048 kPa = 1048 MPa = 961,77sen(21.03°) = 345 kPa = 0,345MPa - te d(,cp0 ) T(t F) 558 Resolução: Steven Rôger Duarte
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