Resolução - Método da bisseção, Newton e ponto_fixo

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01283 CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL Prof. Igor Oliveira Monteiro.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
Av. Itália km 8. Campus Carreiros, CEP: 96203-900, Rio Grande, RS, Brasil.
IMEF - INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA
CURSO DE FÍSICA BACHARELADO
RESOLUÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS
7 de Abril de 2018
85720 - FERNANDA VANUCCI SICA PISMEL
fervanucci@gmail.com
1 MÉTODO DA BISSECÇÃO
Questão 1.
1. Verificação da existência de uma raiz no intervalo [a, b] = [0, 1].
f(x) =
√
x− cos(x)
f(a) = f(0) =
√
0− cos(0) = 0− 1 = −1
f(b) = f(1) =
√
1− cos(1) = 1− 0.9998476952 = 1.523048436.10−4
f(a) ∗ f(b) = f(0) ∗ f(1) = −1 ∗ 1.523048436.10−4 = −1.523048436.10−4
Como f(0) ∗ f(1) < 0, no intervalo pode existir um numero ímpar de raízes reais.
Figura 1: Fonte: Autora/WolframAlpha.
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2. Calculo da raiz.
Como pode-se concluir a partir da satisfação da condição f(0) ∗ f(1) < 0, existe uma raiz
no intervalo [0, 1]. Pode ser visualizada com o auxílio do gráfico acima (Figura 1). Seu
valor numérico é calculado a seguir.
valor da raiz
Figura 2: Fonte: Autora/iPython.
Obs: A quarta coluna (xmid) carrega os valores da raiz a cada interação indicada pela
coluna (n). A precisão com que a raiz foi obtida é especificada pela última coluna (e).
Os script dos códigos utilizados se encontrarão no apêndice desta lista.
Ou seja, a leitura da imagem diz que depois de 15 interações do método da bissecção, o
valor aproximado para a raiz é de x ≈ 0.641708374023 com precisão de 3 ∗ 10−5.
Para esse exemplo os valores foram calculado em radianos.
Questão 2.
1. Verificação da existência de uma raiz para f(x) = x4−2x3−4x2+4x+4 = 0 nos seguintes
intervalos.
(a) [a, b] = [−2,−1]
f(−2) = (−2)4 − 2(−2)3 − 4(−2)2 + 4(−2) + 4 = 12
f(−1) = (−1)4 − 2(−1)3 − 4(−1)2 + 4(−1) + 4 = −1
f(a) ∗ f(b) = f(−2) ∗ f(−1) = 12 ∗ (−1) = −12
f(a) ∗ f(b) < 0
Portanto no intervalo pode existir um número ímpar de raízes reais.
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(b) [a, b] = [0, 2]
f(0) = (0)4 − 2(0)3 − 4(0)2 + 4(0) + 4 = 4
f(2) = (2)4 − 2(2)3 − 4(2)2 + 4(2) + 4 = −4
f(a) ∗ f(b) = f(0) ∗ f(2) = 4 ∗ (−4) = −16
f(a) ∗ f(b) < 0
Portanto no intervalo pode existir um número ímpar de raízes reais.
(c) [a, b] = [2, 3]
f(2) = (2)4 − 2(2)3 − 4(2)2 + 4(2) + 4 = −4
f(3) = (3)4 − 2(3)3 − 4(3)2 + 4(3) + 4 = 8
f(a) ∗ f(b) = f(2) ∗ f(3) = (−4) ∗ 8 = −32
f(a) ∗ f(b) < 0
Portanto no intervalo pode existir um número ímpar de raízes reais.
(d) [a, b] = [−1, 0]
f(−1) = (−1)4 − 2(−1)3 − 4(−1)2 + 4(−1) + 4 = −1
f(0) = (0)4 − 2(0)3 − 4(0)2 + 4(0) + 4 = 4
f(a) ∗ f(b) = f(−1) ∗ f(0) = (−1) ∗ 4 = −4
f(a) ∗ f(b) < 0
Portanto no intervalo pode existir um número ímpar de raízes reais.
Figura 3: Fonte: Autora/WolframAlpha.
Como pode-se concluir a partir da satisfação da condição f(0)∗f(1) < 0, existem raízes nos
intervalos especificados. As raízes podem ser visualizadas com o auxílio do gráfico acima
(Figura 3) onde a função está representada pela curva azul. Seus valores numéricos em
cada intervalo respectivo •seguem a seguir.
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2. Cálculo da raiz.
(a) [a, b] = [−2,−1]. Corta o eixo descendo.
Figura 4: Fonte: Autora/iPython.
(b) [a, b] = [0, 2]. Corta o eixo descendo.
Figura 5: Fonte: Autora/iPython.
(c) [a, b] = [2, 3]. Corta o eixo subindo.
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Figura 6: Fonte: Autora/iPython.
(d) [a, b] = [−1, 0]. Corta o eixo subindo.
Figura 7: Fonte: Autora/iPython.
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Questão 3.
(a) y = x (b) y = 2 sinx
Figura 8: Fonte: Autora/GeoGebra
Figura 9: Fonte: Autora/iPython.
Questão 4.
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Figura 10: Fonte: Autora/GeoGebra
Valor da raiz Precisão
Figura 11: Fonte: Autora/iPython
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2 MÉTODO DO PONTO FIXO
Questão 5.
Figura 12: Fonte: Autora/WolframAlpha
a)
g1(x) = (3 + x− 2x2)1/4 = x
3 + x− 2x2 = x4
x4 + 2x2 − x− 3 = 0
g′1(x) =
1− 4x
4 ∗ (3 + x− 2x2)3/4
b)
g2(x) = (
x+ 3− x4
2
)1/2 = x
x+ 3− x4
2
= x2
x+ 3− x2 = 2x2
x4 + 2x2 − x− 3 = 0
g′2(x) =
√
2 ∗ (1− 4x3)
2 ∗ (x+ 3− 4x4)1/2
c)
g3(x) = (
x+ 3
x2 + 2
)1/2 = x
x+ 3
x2 + 2
= x2
x+ 3 = x2 ∗ (x2 + 2)
x+ 3 = x4 + 2x2
x4 + 2x2 − x− 3 = 0
g′3(x) =
(x+ 3)1/2 ∗ x
(x2 + 2)1/2
+
(x2 + 2)1/2)
2 ∗ (x+ 3)1/2
d)
g4(x) =
3x4 + 2x2 + 3
4x3 + 4x− 1 = x
3x4 + 2x2 + 3 = x ∗ (4x3 + 4x− 1)
3x4 + 2x2 + 3 = 4x4 + 4x2 − x
x4 + 2x2 − x− 3 = 0
g′4(x) =
√
2 ∗ (1− 4x3)
2 ∗ (x+ 3− 4x4)1/2
Questão 6.
A função que fornece a melhor aproximação é a g4(x) como pode ser vista nas simulações numé-
ricas a seguir.
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a) g1(x) = (3 + x− 2x2)1/4
Figura 13: Fonte: g1(x) Autora/iPython
b) g2(x) = (
x+3−x4
2 )
1/2
Figura 14: Fonte: g2(x) Autora/iPython
c) g3(x) = (
x+3
x2+2
)1/2
Figura 15: Fonte: g3(x) Autora/iPython
d) g4(x) =
3x4+2x2+3
4x3+4x−1
Figura 16: Fonte: g4(x) Autora/iPython
Questão 7.
Figura 17: Fonte: Autora/WolframAlpha
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x4 − 3x2 − 3 = 0
x4 = 3x2 + 3
g(x) = (3x2 + 3)(1/4)
g′(x) =
3x
2 ∗ (3x2 + 3)(3/4)
Figura 18: Fonte: Autora/iPython
Questão 8.
Figura 19: Fonte: Autora/WolframAlpha
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3 MÉTODO DE NEWTON
Questão 9.
1. Verificar se a função é duas vezes diferenciável.
g(x) = x2 − 6
g′(x) = 2x
g′′(x) = 2
(a) (b)
Figura 20: (a) plot da função, (b) resolução numérica. Fonte: Autora
Questão 10.
1. Verificar se a função é duas vezes diferenciável.
a)
g(x) = x3 − 2x2 − 5
g′(x) = 3x2 − 4x
g′′(x) = 6x− 4
b)
g(x) = x3 + 3x2 − 1
g′(x) = 3x2 + 6x
g′′(x) = 6x+ 6
c)
g(x) = x− cos(x)
g′(x) = 1 + sin(x)
g′′(x) = − cos(x)
d)
g(x) = x− 0, 8− 0, 2 sin(x)
g′(x) = 1− 0, 2 cos(x)
g′′(x) = sin(x)
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(a) (b)
(c) (d)
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(e) (f)
(g) (h)
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Questão 11.
1. Verificar se a função é duas vezes diferenciável.
g(x) = x2 − 10 cos(x)
g′(x) = 2x+ 10 sin(x)
g′′(x) = 2 + cos(x)
Figura 21: Fonte: Autora/GeoGebra
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(a) (b)
(c) (d)
Figura 22: Fonte: Autora
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Questão 12.
1. Verificar se a função é duas vezes diferenciável.
g(x) = x2
g′(x) = 2x
g′′(x) = 2
(a) (b)
Figura 23: (a) plot da função, (b) resolução numérica. Fonte: Autora
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