Lista 02 Sólidos 3

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Universidade Federal da Paraíba 
Discente: Sofia Braga Costa Santos 
Matrícula: 20160152671 
 
Tarefa 1 – Unidade 2 
Questão 1) 
 
Dados 
fornecidos: 
d = 1 in; 
R = 75 lbf; 
P = 25 lbf; 
F = 40000 lbf. 
 
 
a) Considerações sobre o ponto B: 
I. F provoca tensão normal axial de compressão; 
II. P + R, causam tensão cisalhante, devido ao esforço cortante; 
III. Os momentos gerados por P e R causam tensão cisalhante de 
torção (em relação ao eixo x); 
IV. Os momentos gerados por P e R não causam tensão normal de 
flexão, pois estão sobre a linha neutra gerada. 
Para encontrar as tensões principais, calcularemos: 
• Área da seção transversal: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋 ∗ 0,52 = 785,4 × 10−3 𝑖𝑛² 
• Momento de inércia: 
𝐼 =
𝜋𝑟4
4
=
𝜋 ∗ 0,54
4
= 49,09 × 10−3 𝑖𝑛4 
• Momento polar de inércia: 
𝐽 =
𝜋𝑟4
2
=
𝜋 ∗ 0,54
2
= 98,17 × 10−3 𝑖𝑛4 
• Distância o centroide da área acima da linha de ação de B e o eixo neutro: 
�̅� =
4𝑟
3𝜋
=
4 ∗ 0,5
3𝜋
= 212,2 × 10−3 𝑖𝑛 
 
 
• Área acima da linha de ação de B: 
𝐴∗ =
𝜋𝑟2
4
=
𝜋 ∗ 0,52
2
= 392,7 × 10−3 𝑖𝑛² 
• Momento de inércia de primeira ordem: 
𝑄 = 𝐴∗ ∗ �̅� = 392,7 × 10−3 𝑖𝑛2 ∗ 212,2 × 10−3 𝑖𝑛 = 83,33 × 10−3 𝑖𝑛³ 
 
Calculando o torque: 
+↺ 𝑇 = ∑ 𝑑 ∗ 𝐹 = 200 ∗ 𝑅 − 100 ∗ 𝑃 = 200 ∗ 75 − 100 ∗ 25 = 12500 𝑙𝑏𝑓 
Calculando a tensão cisalhante provocada pelo torque: 
𝜏𝑇 =
𝑇𝑟
𝐽
=
12500 ∗ 0,5
98,17 × 10−3
= 63,66 𝑘𝑠𝑖 
Calculando a tensão cisalhante provocada pelos esforços cortantes: 
𝜏𝑉 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
=
(𝑅 + 𝑃)𝑄
𝐼𝑡
=
100 ∗ 83,33 × 10−3
49,09 × 10−3 ∗ 1
= 0,170 𝑘𝑠𝑖 
onde t é a “largura” da seção. 
Somando as tensões cisalhantes: (em B, as tensões cisalhantes terão sinais 
opostos) 
𝜏𝐵 = 𝜏𝑇 − 𝜏𝑉 = 63,33 − 0,170 = 63,49 𝑘𝑠𝑖 
Calculando a tensão normal axial: 
𝜎𝐵 =
𝐹
𝐴
= −
40000
785,4 × 10−3
= −50,93 𝑘𝑠𝑖 
 
Portanto, as tensões principais são dadas por: 
𝜎𝐵12 =
𝜎𝐵
2
± √(
𝜎𝐵
2
)
2
+ 𝜏𝐵
2 = −
50,93
2
± √(
50,93
2
)
2
+ 63,492 
𝜎𝐵1 = 42,94 𝑘𝑠𝑖 
𝜎𝐵2 = −93,87 𝑘𝑠𝑖 
 
b) Calculando o fator de segurança: 
𝐹𝑆 =
𝜎𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝜎𝑚á𝑥
=
135
93,87
= 1,44 
 
c) O estado de tensão que tem maior impacto no ponto B é o causado pela 
torção. 
 
d) Considerações sobre o ponto D: 
I. F provoca tensão normal axial de compressão; 
II. P + R, não causam tensão cisalhante devido ao esforço cortante, pois 
seu momento estático de área é nulo; 
III. Os momentos gerados por P e R causam tensão cisalhante de torção 
(em relação ao eixo x); 
IV. Os momentos gerados por P e R causam tensão normal de flexão. 
 
Utilizaremos os mesmos dados de área, momento de inércia, momento 
polar de inércia, torque, tensão cisalhante causada pelo torque e da força F, pois 
os mesmos também são válidos para o ponto D. 
• Momento fletor: 
𝑀 = ∑ 𝑑 ∗ 𝐹 = 800 ∗ 𝑅 + 800 ∗ 𝑃 = 800(75 + 25) = 80000 𝑙𝑏𝑓 
Calculando a tensão cisalhante: 
𝜏𝐷 = 𝜏𝑇 = 63,66 𝑘𝑠𝑖 
 
Calculando a tensão normal axial: 
𝜎𝐷𝐴 = 𝜎𝐵 = −50,93 𝑘𝑠𝑖 
Calculando a tensão normal devido a flexão: 
𝜎𝐷𝐹 =
𝑀𝑟
𝐼
=
80000 ∗ 0,5
49,09 × 10−3
= 814,87 𝑘𝑠𝑖 
Somando as tensões normais, temos: 
𝜎𝐷 = 𝜎𝐷𝐹 + 𝜎𝐷𝐴 = 814,87 − 50,93 = 763,94 𝑘𝑠𝑖 
 
Calculando as tensões principais: 
𝜎𝐷12 =
𝜎𝐷
2
± √(
𝜎𝐷
2
)
2
+ 𝜏𝐷
2 =
763,94
2
± √(
763,94
2
)
2
+ 63,66² 
𝜎𝐷1 = 769,2 𝑘𝑠𝑖 
𝜎𝐷2 = −5,269 𝑘𝑠𝑖 
e) Calculando o fator de segurança: 
𝐹𝑆 =
𝜎𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝜎𝑚á𝑥
=
135
769,2
= 0,18 
f) O estado de tensão que tem maior impacto no ponto D é o causado pela 
tensão normal de flexão. 
 
Questão 2) 
 
Dados 
fornecidos: 
d = 40 mm; 
P = 500 N; 
F = 1000 N. 
 
a) Considerações sobre o ponto O: 
I. F provoca tensão normal axial de compressão; 
II. O momento gerado por P causa tensão normal de flexão (em relação 
ao eixo x); 
III. O momento gerado por P causam tensão cisalhante de torção (em 
relação ao eixo z); 
IV. P não causa tensão cisalhante devido ao esforço cortante, pois seu 
momento estático de área é nulo; 
 
Para encontrar o cisalhamento, calcularemos: 
• Área da seção transversal: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋 ∗ 0,022 = 1,257 × 10−3 𝑚² 
• Momento de inércia: 
𝐼 =
𝜋𝑟4
4
=
𝜋 ∗ 0,024
4
= 125,7 × 10−9 𝑚4 
• Momento polar de inércia: 
𝐽 =
𝜋𝑟4
2
=
𝜋 ∗ 0,024
2
= 251,3 × 10−3 𝑚4 
 
Calculando o torque: 
𝑇 = 𝑧 ∗ 𝑃 = 0,1 ∗ 500 = 50 𝑁𝑚 
Cálculo do momento fletor: 
𝑀 = 𝑥 ∗ 𝑃 = 0,5 ∗ 500 = 250 𝑁𝑚 
Cálculo da tensão cisalhante em O: 
𝜏𝑇 =
𝑇𝑟
𝐽
=
250 ∗ 0,02
125,7 × 10−9
= 39,79 𝑀𝑃𝑎 
b) Calculando a tensão normal em O: 
Tensão normal axial: 
𝜎𝑂𝐴 =
𝐹
𝐴
= −
1000
1,257 × 10−3
= −795,8 𝑘𝑃𝑎 
 Tensão normal causada pela flexão: 
𝜎𝐷𝐹 =
𝑀𝑟
𝐼
=
250 ∗ 0,02
125,7 × 10−9
= 39,79 𝑀𝑃𝑎 
 
Somando as duas tensões, temos: 
𝜎𝑂 = 𝜎𝑂𝐹 + 𝜎𝑂𝐴 = 39,79 × 10
6 − 795,8 × 103 = 38,99 𝑀𝑃𝑎 
c) Calculando as tensões principais: 
𝜎𝑂12 =
𝜎𝑂
2
± √(
𝜎𝑂
2
)
2
+ 𝜏𝑂
2 =
38,99
2
± √(
38,99
2
)
2
+ 3,979² 
𝜎𝑂1 = 39,39 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑂2 = −401,9 𝑘𝑃𝑎 
 O estado de tensão que tem maior impacto no ponto D é o causado pela 
tensão normal de flexão.