equações da reta

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2 EQUAÇÕES DA RETA 
Uma reta pode ser representada por uma equação escrita de diversas formas, são 
elas: equação geral, equação reduzida, equação vetorial, equação paramétrica e 
equação simétrica. Um plano pode ser representado nas formas: vetorial, paramétrica e 
geral. 
Equação Geral da Reta 
Na Geometria Analítica, é possível descrever uma reta r através de uma 
equação. Assim, toda reta r do plano cartesiano expressa por 
𝒓: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 
é denominada equação geral da reta, onde a, b e c são números reais e a e b não são 
simultaneamente nulos. 
Dados dois pontos 𝐴(𝑥1,𝑦1) e 𝐵(𝑥2,𝑦2) não coincidentes de r podemos obter a 
equação geral desta reta. Basta usar a condição de alinhamento de A e B com um ponto 
genérico do tipo P (x,y) de r. 
Para verificarmos se três pontos estão alinhados, podemos montar a seguinte 
matriz dos coeficientes [
𝑥 𝑦 1
𝑥1, 𝑦1 1
𝑥2, 𝑦2 1
] e calcular seu determinante. Se obtivermos 
igualdade igual a zero os pontos estão alinhados, isto é: 
 |
𝑥 𝑦 1
𝑥1, 𝑦1 1
𝑥2, 𝑦2 1
| = 0 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
 
 
 
 
Esta é a 
Equação Geral 
da Reta. 
 
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Pontos alinhados 
 
Exemplo: Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos A (1,4) e B (3,2). 
Solução: Temos que, 
|
𝑥 𝑦 1
1 4 1
3 2 1
| = 0 ⇒ 4𝑥 + 3𝑦 + 2 − 12 − 2𝑥 − 𝑦 = 0 ⇒ 2𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0. 
Portanto, 𝑟: 2𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0 é a equação geral da reta que passa pelos pontos 
A (1,4) e B (3,2). 
 
 Equação Reduzida da Reta 
Seja r uma reta não paralela ao eixo Oy: 
 
 
 
Reta não paralela ao eixo Oy 
Se isolarmos y na equação geral da reta ax + by + c = 0, temos: 
3 
 
 
 
𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 ⇒ 𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 −
𝑐
𝑏
 
Fazendo, 𝑚 = −
𝑎
𝑏
 e 𝑛 = −
𝑐
𝑏
, obtemos: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
 
Esta equação é denominada equação reduzida da reta, em que 𝑚 = −
𝑎
𝑏
 é o 
coeficiente angular da reta e n é o seu coeficiente linear. 
 
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida. 
 
Exemplo: Escreva a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (3,1) e B(1,2) e 
determine o seu coeficiente angular. 
Solução: Temos que, 
|
𝑥 𝑦 1
3 1 1
1 2 1
| = 0 ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 6 − 1 − 2𝑥 − 3𝑦 = 0 ⇒ −𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0. 
Assim, 𝑟: 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 é a equação geral da reta. Isolando y nesta equação 
obtemos: 
𝑦 = −
𝑥
2
+
5
2
 
que é a equação reduzida que passa pelos pontos A (3,1) e B(1,2) e seu coeficiente 
angular será 𝑚 = −
1
2
. 
 Equação Vetorial da Reta 
�⃗� de uma reta r e um ponto A Consideremos um vetor diretor 
de r. 
Um ponto P pertence a r se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo a �⃗�, ou seja, 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡. �⃗� com 𝑡 ∈ ℝ. 
O coeficiente angular nos dá a 
inclinação da reta em relação ao eixo Ox 
e o coeficiente linear é o ponto onde a 
reta intercepta o eixo dos y. 
Qualquer vetor não nulo paralelo a 
uma reta é chamado vetor diretor. 
4 
 
 
 
Vetor AP paralelo a �⃗⃗⃗� 
Fazendo, 𝑃 − 𝐴 = 𝑡. �⃗� e isolando P, temos 
𝑃 = 𝐴 + 𝑡. �⃗� 
 
 
Se considerarmos os eixos coordenados x, y e z, sendo 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e 
�⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) podemos escrever esta equação como 
𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐) 
onde t é chamado parâmetro. 
Exemplo: Qual a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A(2,-2,8) e tem a 
direção �⃗� = (1,4,1)? Obtenha três pontos 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3 de r. 
Solução: Temos que, a equação vetorial de r é dada por 
𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, −2,8) + 𝑡(1,4,1). 
Para obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo: 
 Para t=1 temos (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, −2,8) + 1. (1,4,1) = (3,2,9) e portanto, 
𝑃1(3,2,9) ∈ 𝑟. 
 Para t=2 temos (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, −2,8) + 2. (1,4,1) = (4,6,10) e portanto, 
𝑃2(4,6,10) ∈ 𝑟. 
 Para t=3 temos (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, −2,8) + 3. (1,4,1) = (5,10,11) e portanto, 
𝑃3(5,10,11) ∈ 𝑟. 
Podemos representar os pontos obtidos no eixo de coordenadas, como mostra a 
Figura a seguir. 
Esta é a Equação 
Vetorial da Reta r. 
5 
 
 
 
Pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros 
Equações Paramétricas da Reta 
Consideremos a equação vetorial da reta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐). 
Fazendo 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦0 + 𝑏𝑡, 𝑧0 + 𝑐𝑡) e utilizando a condição de igualdade 
temos: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡 
 
Exemplo: Quais as equações paramétricas da reta r que passa por A (1,3,5) e tem 
direção �⃗� = (3, −4,6)? Obtenha dois pontos 𝑃1 e 𝑃2 de r de parâmetros t=0 e t=1, 
respectivamente. 
Solução: Temos que, as equações paramétricas de r serão dadas por 
 
 r: 
 
Para obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo: 
Para t=0 temos: 
 
 Portanto, 𝑃1 (1,3,5) ∈ 𝑟. r:
 
Estas são as Equações 
Paramétricas da reta. 
𝑥 = 1 + 3𝑡 
𝑦 = 3 − 4𝑡 
𝑧 = 5 + 6𝑡 
 
 
 
𝑥 = 1 + 3(0) = 1 
𝑦 = 3 − 4(0) = 3 
𝑧 = 5 + 6(0) = 5 
 
6 
 
 
Para t=1 temos: 
 
 Portanto, 𝑃2(4, −1,11) ∈ 𝑟. r:
 
 
Reta definida por dois Pontos 
Sejam dois pontos A e B. Dizemos que uma reta é definida por dois pontos se 
passa por A ou B e tem direção do vetor �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
Exemplo: Determinar equações paramétricas da reta r que passa por 𝐴(1, −2,2) e 
𝐵(2,3,5). 
Solução: Se escolhermos o ponto A e o vetor �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1,5,3), temos 
 
 r: 
 
 
Equações Simétricas da Reta 
Consideremos as seguintes equações paramétricas 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡, 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡. 
Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor é nula, podemos isolar t no 
primeiro membro destas equações e obter 
 
 
𝒙 − 𝒙𝟎
𝒂
=
𝒚 − 𝒚𝟎
𝒃
=
𝒛 − 𝒛𝟎
𝒄
 
 
Estas equações significam que, a reta r passa pelo ponto 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e tem direção 
�⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). 
𝑥 = 1 + 3(1) = 4 
𝑦 = 3 − 4(1) = −1 
𝑧 = 5 + 6(1) = 11 
 
𝑥 = 1 + 𝑡 
𝑦 = −2 + 5𝑡 
𝑧 = 2 + 3𝑡 
 
Estas são as Equações 
Simétricas da reta. 
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Exemplo: Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (0,1,2) e 
tem direção do vetor �⃗� = (1,1, −2). Obtenha outro ponto da reta r fazendo y=3. 
Solução: Temos que, as equações simétricas de r são: 
𝑥
1
=
𝑦 − 1
1
=
𝑧 − 2
−2
 
Para obter outros pontos de r, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. 
Como foi dado 𝑦 = 3 obtemos 
𝑥
1
=
3 − 1
1
=
𝑧 − 2
−2
 
onde 𝑥 = 2 e 𝑧 − 2 = −4 ⟹ 𝑧 = −2. Portanto, o ponto (2,3-2) pertence a r.