INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

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Notas de Aula: Prof. Kelen Cristina Crivelaro Silvestre
Aula: MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO OU 
MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA 
INTEGRAÇÃO
2018
Notas de aula do curso de:
Cálculo II
Prof. Kelen Cristina Crivelaro Silvestre
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Objetivo de aprendizagem:
Apresentar o método de integração por substituição de variável.
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Contextualização: Nem sempre é fácil descobrir a primitiva de uma função
por isso precisamos de alguns métodos que simplifiquem este problema. Por
exemplo:
 
2𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
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Para justificarmos esse procedimento temos o teorema da substituição.
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑢) e suponhamos que 𝑢 = 𝑔(𝑥) seja uma função diferenciável.
Então:
 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
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Exemplos: Calcular as integrais
1) 2𝑥
3
1 + 𝑥2 𝑑𝑥
2) (2𝑥3 + 1)7 𝑥2 𝑑𝑥
3) 𝑥
3
7 − 6𝑥2 𝑑𝑥
4) 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
5) 5𝑥 + 7 𝑑𝑥
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6) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
7) 
𝑑𝑥
(3𝑥−5)8
8) 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥
9) 𝑡2 − 2𝑡4 𝑑𝑡
10) 
𝑥2−1
𝑥3−3𝑥+1 6
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Identidades Trigonométricas
1) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
2) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1
2
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
3) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
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Exemplos:
1) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥
2) 𝑐𝑜𝑠2 3𝑥 𝑑𝑥
3) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥
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Integrais na forma 𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙
Procedimento
a) Se m é ímpar, separe o fator senx dx; aplique a identidade 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥,
e faça u = cos x.
b) Se n é ímpar, separe o fator cosx dx; aplique a identidade 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥,
e faça u = sen x.
c) Se m e n são pares, use as identidades 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1
2
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 e
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) para reduzir as potências de senx e cosx.
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Exemplos 
1) 𝑠𝑒𝑛3𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
2) 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥
3) 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
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4) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥
5) 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥
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BIBLIOGRAFIA
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Makron Books.