ESTUDO DA RETA E DO PLANO

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Universidade Federal de Pelotas – UFPEL 
Centro de Desenvolvimento Tecnológico – CDTec 
Curso de Engenharia de Petróleo 
Curso de Engenharia Geológica 
Vetores e Álgebra Linear (1410003) 
 
 
RETA NO ESPAÇO 
Dado um ponto 𝑃 no espaço, podemos escrever o 
ponto da seguinte forma: 
 
 
 
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
ES
TU
D
O
 D
A
 R
ET
A
 E
 D
O
 P
LA
N
O
 
2 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
Considerando a reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝐴 e é 
paralela ao vetor 𝑣 ≠ 0. 
Se um ponto 𝑋 ∈ 𝑟, então 𝐴𝑋//𝑣, isto é: 
𝑋 − 𝐴 = λ𝑣 
𝑋 = 𝐴 + λ𝑣 
OBSERVAÇÃO: 
O vetor 𝑣 é chamado de vetor diretor da reta 𝑟. 
 
 
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3 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
no espaço tivermos: 
 
𝑋 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝐴 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
 
𝑋 = 𝐴 + λ𝑣 → 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + λ 𝑎, 𝑏, 𝑐 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0 + λ𝑎, 𝑦0 + λ𝑏, 𝑧0 + λ𝑐 
Logo, as equações paramétricas da reta serão: 
 
𝑥 = 𝑥0 + λ𝑎
𝑦 = 𝑦0 + λ𝑏
𝑧 = 𝑧0 + λ𝑐
 
 
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
EXEMPLO: Sendo 𝐴 = 1,3, −1 e 𝑣 = 1,1,5 , 
escreva as equações paramétricas da reta que passa por 
𝐴 e tem como 𝑣 o vetor diretor: 
 
𝑥 = 𝑥0 + λ𝑎
𝑦 = 𝑦0 + λ𝑏
𝑧 = 𝑧0 + λ𝑐
 → 
𝑥 = 1 + λ × 1
𝑦 = 3 + λ × 1
𝑧 = −1 + λ × 5
→ 
𝑥 = 1 + λ
𝑦 = 3 + λ
𝑧 = −1 + 5λ
 
 
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EQUAÇÕES DA RETA NA FORMA SIMÉTRICA 
Considerando uma reta dada pelas equações 
paramétricas: 
 
𝑥 = 𝑥0 + λ𝑎
𝑦 = 𝑦0 + λ𝑏
𝑧 = 𝑧0 + λ𝑐
 
Sendo 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 não nulos. 
Temos: 
λ =
 𝑥 − 𝑥0
𝑎
∴ λ =
 𝑦 − 𝑦0
𝑏
∴ λ =
 𝑧 − 𝑧0
𝑐
 
Logo, as equações da reta na forma simétrica: 
 𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
 𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
 𝑧 − 𝑧0
𝑐
 
 
 
 
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
a) Uma das componentes do vetor diretor 𝑣 é nula: 
O vetor diretor 𝑣 é ortogonal a um dos eixos 
coordenados, e portanto, a reta 𝑟 é paralela ao 
plano dos outros eixos. 
i. 𝑎 = 0, 𝑣 = (0, 𝑏, 𝑐) 𝑂𝑥 e 𝑟//𝑦𝑂𝑧. 
ii. 𝑏 = 0, 𝑣 = (𝑎, 0, 𝑐) 𝑂𝑦 e 𝑟//𝑥𝑂𝑧. 
iii. 𝑐 = 0, 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 0) 𝑂𝑧 e 𝑟//𝑥𝑂𝑦. 
 
 
 
 
 
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i. 𝑎 = 0, 𝑣 = (0, 𝑏, 𝑐) 𝑂𝑥 e 𝑟//𝑦𝑂𝑧. 
 
𝑥 = 𝑥1
 𝑦 − 𝑦1
𝑏
=
 𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
 
 
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
ii. 𝑏 = 0, 𝑣 = (𝑎, 0, 𝑐) 𝑂𝑦 e 𝑟//𝑥𝑂𝑧. 
 
𝑦 = 𝑦1
 𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
 𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
 
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
iii. 𝑐 = 0, 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 0) 𝑂𝑧 e 𝑟//𝑥𝑂𝑦. 
 
𝑧 = 𝑧1
 𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
 𝑦 − 𝑦1
𝑏
 
 
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
b) Duas das componentes do vetor diretor 𝑣 são nulas: 
O vetor diretor 𝑣 é ortogonal a um dos planos 
coordenados, e portanto, a reta 𝑟 é paralela a um dos 
eixos. 
i. 𝑎 = 𝑏 = 0, 𝑣 = (0,0, 𝑐) 𝑥𝑂𝑦 e 𝑟//𝑂𝑧. 
ii. 𝑎 = 𝑐 = 0, 𝑣 = (0, 𝑏, 0) 𝑥𝑂𝑧 e 𝑟//𝑂𝑦. 
iii. 𝑏 = 𝑐 = 0, 𝑣 = (𝑎, 0,0) 𝑦𝑂𝑧 e 𝑟//𝑂𝑥. 
 
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
i. 𝑎 = 𝑏 = 0, 𝑣 = (0,0, 𝑐) 𝑥𝑂𝑦 e 𝑟//𝑂𝑧. 
 
𝑥 = 𝑥1
𝑦 = 𝑦1
 
 
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 R
ET
A
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
ii. 𝑎 = 𝑐 = 0, 𝑣 = (0, 𝑏, 0) 𝑥𝑂𝑧 e 𝑟//𝑂𝑦. 
 
𝑥 = 𝑥1
𝑧 = 𝑧1
 
 
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TU
D
O
 D
A
 R
ET
A
 E
 D
O
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
iii. 𝑏 = 𝑐 = 0, 𝑣 = (𝑎, 0,0) 𝑦𝑂𝑧 e 𝑟//𝑂𝑥. 
 
𝑦 = 𝑦1
𝑧 = 𝑧1
 
 
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RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
E AOS EIXOS COORDENADOS 
PARALELISMO E ORTOGONALIDADE 
ENTRE RETAS 
Dadas as retas 𝑟 e 𝑠 , sendo 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 
e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) seus vetores diretores, 
respectivamente: 
A. 𝑟 // 𝑠: 
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝒚𝟏
𝒚𝟐
=
𝒛𝟏
𝒛𝟐
 
B. 𝑟 𝑠: 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
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ÂNGULO ENTRE RETAS 
Dadas as retas 𝑟 e 𝑠 , sendo 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ) e 
𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 seus vetores diretores, respectivamente, 
o ângulo 𝜃 formado por eles: 
 
 
Sendo: 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
. 
 
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cos 𝜽 =
𝒖 ∙ 𝒗
𝒖 𝒗
 
EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO 
Considerando o plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝐴 e é 
paralelo aos vetores 𝑢 𝑒 𝑣, não nulos e não paralelos. 
Se um ponto 𝑋 ∈ 𝜋, então: 
𝑋 − 𝐴 = λ𝑢 + 𝜇𝑣 → 𝑋 = 𝐴 + λ𝑢 + 𝜇𝑣 
OBSERVAÇÃO: Os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 são chamados de 
vetores diretores do plano 𝜋. 
 
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
no espaço tivermos: 
𝑋 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝐴 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑣 = (𝑑, 𝑒, 𝑓)
 
𝑋 = 𝐴 + λ𝑢 + 𝜇𝑣 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + λ 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝜇 𝑑, 𝑒, 𝑓 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0 + λ𝑎 + 𝜇𝑑, 𝑦0 + λ𝑏 + 𝜇𝑒, 𝑧0 + λ𝑐 + 𝜇𝑓 
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
Logo, as equações paramétricas do plano serão: 
 
𝑥 = 𝑥0 + λ𝑎 + 𝜇𝑑
𝑦 = 𝑦0 + λ𝑏 + 𝜇𝑒
𝑧 = 𝑧0 + λ𝑐 + 𝜇𝑓
 
EXEMPLO: 
Sendo 𝐴 = 2,1, −1 , 𝑢 = (3,4,5) e 𝑣 = −1,0,4 , 
escreva as equações paramétricas do plano que passa 
por 𝐴 e tem 𝑢 e 𝑣 como vetores diretores. 
 
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A
 R
ET
A
 E
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EXEMPLO: 
 
𝑥 = 𝑥0 + λ𝑎 + 𝜇𝑑
𝑦 = 𝑦0 + λ𝑏 + 𝜇𝑒
𝑧 = 𝑧0 + λ𝑐 + 𝜇𝑓
 
 
𝑥 = 2 + λ × 3 + 𝜇 × (−1)
𝑦 = 1 + λ × 4 + 𝜇 × 0
𝑧 = −1 + λ × 5 + 𝜇 × 4
 
 
Solução: 
𝑥 = 2 + 3λ − 𝜇
𝑦 = 1 + 4λ
𝑧 = −1 + 5λ + 4𝜇
 
 
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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Seja 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) normal a 𝜋 e 𝐴 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ∈ 𝜋, 
então 𝑋 ∈ 𝜋 se e só se 𝑋 − 𝐴 é ortogonal a 𝑛. Logo: 
 
 (𝑋 − 𝐴) ∙ 𝑛 = 0 
 
 
 
(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) ∙ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0 
(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) ∙ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0 
𝑥 − 𝑥0 𝑎 + 𝑦 − 𝑦0 𝑏 + 𝑧 − 𝑧0 𝑐 = 0 
 
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TU
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O
 D
A
 R
ET
A
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 D
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O
 
21 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 = 0 
Considerando: 𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
OBSERVAÇÃO: 
Os parâmetros 𝑎, 𝑏, 𝑐 não podem ser nulos 
simultaneamente, pois 𝑛 ≠ 0. 
EXEMPLO: 
Obtenha aequação geral do plano 𝜋 que passa por 
𝐴 = −3,0,1 e tem 𝑛 = (−2,1,3) como vetor normal. 
 
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EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
EXEMPLO: 
Dados: 𝐴 = −3,0,1 ; 𝑛 = (−2,1,3) 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
−2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 + 𝑑 = 0 
Como 𝐴 ∈ 𝜋: 
−2 × −3 + 0 + 3 × 1 + 𝑑 = 0 ∴ 𝑑 = −9 
Logo: −2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 9 = 0 
 
 
 
 
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EQUAÇÃO GERAL DO PLANO