geometria plana AULA

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PROF . RONALDO BRITO 
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA 
 
 
1. PONTO, RETA E PLANO: 

 Você já tem uma idéia intuitiva sobre ponto, reta e plano. 

 Assim: 
 
♣ Um furo de agulha num papel dá idéia de ponto. 
♣ Uma corda bem esticada dá idéia de reta. 
♣ O quadro negro da sala de aula dá idéia de plano. 
 

 O ponto, a reta e o plano são Conceitos primitivos no estudo da Geometria, isto é, não 
possuem definição. 
 
2. REPRESENTAÇÃO: 
 
♣ PONTO 

 Letras maiúsculas do nosso alfabeto 
 ,......,, CBA
. 
♣ RETA 

 Letras minúsculas do nosso alfabeto 
 ,......,, cba
. 
♣ PLANO 

 Letras gregas minúsculas 
 ,.....,,  
 
 
3. CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: 
 
)A
 Numa reta há infinitos pontos. 
 
 r r 
)B
 Num plano há infinitos pontos. 
 
 
 
 

 

 
 
 
)C
 Num plano existem infinitas retas. 
 
 
 
 
 
)D
 Por dois pontos distintos passa uma única reta. Num plano há infinitos pontos. 
 
 

 Indicaremos por 
AB
 uma reta que passa pelos pontos A e B. 
 
 
4. PONTOS COLINEARES: 

 Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados Colineares. 
 A B C 
 
 
 
 S 
 R T 
 
 
 
 
5. FIGURA GEOMÉTRICA: 

 Toda figura geométrica é um conjunto de pontos. 

 Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano. 
 
6. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO: 
 
)A
 Retas concorrentes: quando têm um único ponto comum. 
 
 r 
 A 
 
 Asr 
 
 s 
 
)B
 Retas paralelas: quando não têm ponto comum. 
 
 r 
 s 
 
 sr
 
 
 
 
7. SEMI – RETA: 

 Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas partes denominadas semi-retas 
de origem P. 
 semi-reta semi-reta 
 
 
 P r 
 

 Para distinguir as semi–retas, vamos marcar os pontos A e B pertencentes a cada semi-reta. 
 
 B P A r 
 
 
Na figura você tem: 
 
PA
 Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A. 
PB
 Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B. 
Os pontos A, B e C 
 são colineares 
Os pontos R, S e T 
não são colineares 
 
8. SEGMENTO: 

 Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos pontos que estão entre elas, 
incluindo as extremidades. 
 A B 
 
Indica-se o segmento 
AB
 por 
AB
. 
 
NOTA: Entre as extremidades de um segmento há infinitos pontos. 
 
 
9. SEGMENTOS CONSECUTIVOS: 

 Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são chamados consecutivos. 
Exemplo: 
 B 
 
 
 
 
 A C 
 
 
10. SEGMENTOS COLINEARES: 

 Dois segmentos de reta são colineares se estão numa reta. 
Exemplos: 
 A B C D 
 
 
AB
 e 
CD
 são colineares 
 
 
 P Q R 
 
 
PQ
 e 
QR
 são colineares e (consecutivos) 
 
11. SEGMENTOS CONGRUENTES: 

 Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas iguais. 
 
Indicação: 
CDAB 
 
Significa: 
AB
 é congruente a 
CD
. 
 
 A 4 cm B C 4 cm D 
 
 
12. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO: 

 Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento 
AB
 se M está entre A e B e 
MBAM 
 
 
 A M B 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB e BC 
São consecutivos 
Postulados 
 
A geometria em Euclides o seu construtor inicial, ou melhor, foi ele o primeiro a organizar a geometria de forma 
axiomática. 
Axiomas, ou postulados, são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para 
o desenvolvimento de uma teoria. 
 
Postulado 1 : : Dois pontos distintos determinam uma única reta. 
Exemplo 
 : 
 
)( QPQPr 
 
 
 
Postulado 2 : Existem infinitos pontos numa reta e fora dela também. 
Exemplo: 





sFsEsD
sCsBsA
;;
;; 
 
Postulados 3 : : Três pontos não-alinhados determinam um único plano. 
Exemplo: 
 
 
Postulado 4 : Existem infinitos pontos num plano e fora dele também. 
Exemplo: 







GFE
CBA
;;
;; 
 
Postulado 5 : Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida 
nesse plano. 
Exemplo: 











r
BA
rBrA
BA
;
; 
 
 
Postulado 6 : Por um ponto, fora de uma reta dada, passa uma única paralela à reta dada (Postulado de 
Euclides). 
Exemplo: 
 
 
Postulado 7 : Se dois planos distintos possuem um ponto em comum, então, a intersecção desses planos é 
uma reta que passa por esse ponto. 
Exemplo: 
 
 
Posições relativas de duas retas no espaço 
 
Considerando duas retas distintas s e t, podemos classificá-las como coplanares, se estiverem contidas no 
mesmo plano, e não-coplanares ou reversas, caso não exista um plano que as contenha. 
As retas coplanares podem ser concorrentes, paralelas não-coincidentes, paralelas coincidentes, 
perpendiculares ou ortogonais. 
 
Concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um único ponto. 
 
Exemplo: As retas s e r são concorrentes, pois se interceptam num único ponto P. 
Psr 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelas não-coincidentes: duas retas são paralelas não-coincidentes quando são coplanares e de 
intersecção vazia. 
Exemplo: 
 


rs
r
s


 
 
s e r são paralelas 
 
 
Paralelas coincidentes: duas retas são paralelas coincidentes quando possuem todos os pontos em comum. 
Exemplo: As retas r e s são paralelas coincidentes, pois apresentam todos os pontos em comum. 
 
 
Retas perpendiculares: se duas retas são coplanares e formam um ângulo reto, então são chamadas de 
perpendiculares. 
 
Exemplo: As retas s e r estão no plano 

, se interceptam em P e formam um ângulo de 90°. Portanto, são 
perpendiculares (s

r) . 







s
Prs
r
s
}{ 
 (s e r são perpendiculares). 
 
Não-coplanares ou reversas: duas retas são reversas quando não há plano algum que as contenha. 
 
Exemplo: As retas s e r são reversas, pois não existe um plano que as contenha. 
rs
rs
r
s




0


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retas ortogonais: se duas retas são reversas e se existem uma terceira reta perpendicular a uma delas e 
paralela à outra, dizemos que as duas primeiras retas formam um ângulo reto. Retas reversas que formam 
um ângulo reto são chamadas de retas ortogonais. 
 
Exemplo: As retas r e t da figura são ortogonais (t

r), pois traçando por um ponto P de t , reta s paralela a 
t, observamos que t e r são perpendiculares. 
tr
rrt
Prt
tss
t














,
}{
//,
 
 
 
 
 
 
 Posições relativas de uma reta e um plano 
 
Uma reta e um plano podem ocupar no espaço as seguintes posições relativas. 
 
A reta está contida no plano: uma reta está contida num plano se ela tem dois pontos distintos nesse 
plano, conforme o postulado 5. 
Exemplo: 
sss
BsB
AsA






,
,
 
 
 
 
A reta é paralela ao plano: uma reta é paralela a um plano se ela não tem nenhum ponto em comum com 
esse plano. 
Exemplo: Se uma reta r e um plano 

 não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t 
contida no plano 

; portanto r // α 
 
 
 
 
 
 
 
 
, ou seja 
 r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta é concorrente com o plano: uma reta é concorrente com um plano se a sua intersecção com o plano 
determinar um único ponto. 
 
Exemplo: Dizemos que a reta r “fura” o plano 

 ou que r e 

 são 
concorrentes em P quando 
Pr 
. 
 
 
 
 
Pr  
 
 
 
 
Reta e plano perpendiculares: uma reta s é perpendicular a um plano 

 se é concorrentes com o plano e 
perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto de intersecção. 
 
Exemplo: Uma reta r é perpendicular a um plano 

 se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de 

 que passam pelo ponto de intersecção de r e 

. 
 
 
 
 
 
 
















r
ursrtr
rPuPsPtP
Pr
,,
,,, 
Do perpendicularismo entre reta e plano decorrem propriedades como: 
 
1ª propriedade: se uma reta e um plano são perpendiculares então essa reta forma um ângulo reto com 
qualquer reta do plano. 
 
Exemplo: Seja a reta t e u (quaisquer) pertencente ao plano 

 e uma reta r perpendicular a reta t. 
tr
r
u
t

















 e 
ur  
 
 
 
 
 
 
 
2ª propriedade: uma reta e um plano são perpendiculares quando essa reta é perpendicular a duas retas 
concorrentes em seu traço e contidas no plano. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 Posições relativas de dois planos no espaço 
 
Dois planos distintos podem ocupar no espaço as seguintes posições relativas: 
 
Paralelos coincidentes: dois planos são paralelos coincidentes quando têm todos os pontos em comum. 
 
Exemplo: Dados dois planos paralelos coincidentes 

 e 

. 
 
 
 
Paralelos distintos: dois planos são paralelos distintos quando não têm pontos em comum. 
 
Exemplo: Dois planos são paralelos quando sua intersecção é vazia. 
  
Secantes ou concorrentes: dois planos são secantes ou concorrentes quando têm apenas uma reta em 
comum. 
 
Exemplo: Dois planos, 

 e 

, são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta. 
r 
 
Perpendiculares: dois planos concorrentes são perpendiculares quando um deles contém uma reta 
perpendicular ao outro. 
 
Exemplo: Dois planos, 

 e 

, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é 
perpendicular ao outro: 
Seja uma reta s contida no plano 

 e s é perpendicular ao plano 

. No plano 

 está contido a reta r que 
é perpendicular ao plano 

. Portando temos que o plano 

 perpendicular a 

. 
  rtrt ,,, e tr  
 
Do perpendicularismo entre planos decorrem propriedades como: 
Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passam infinitos planos, também perpendiculares ao plano 
inicial. 
 
Exemplo: Dado o plano 

 e a reta 
r
 . 




sr ,
, portanto, 
 
 
 



s
s , portanto   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T E S T E S 
 
1. Os conceitos primitivos da geometria são: 
a) ponto, segmento e reta 
b) ponto, segmento e plano 
c) ponto, reta e semi-reta. 
d) ponto, reta e plano. 
 
2. Sendo r e s retas concorrentes, podemos afirmar que o conjunto 
sr
 é: 
a) unitário b) vazio c) infinito d) n. d. a 
 
3. Sejam as afirmações: 
 
I) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. 
II) Duas retas distintas paralelas não têm ponto comum. 
 
Associando V ou F a cada afirmação, temos: 
 
a) V,V b) V, F c) F, V d) F, F 
 
 
4. Um segmento 
MN
 é um conjunto formado: 
a) apenas pelo ponto M. 
b) apenas pelos pontos M e N. 
c) pelos pontos que estão entre M e N. 
d) por infinitos pontos. 
 
5. Os pontos A,B e C são colineares quando: 
 
a) cada um pertencer a uma reta. 
b) dois pertencerem a uma reta. 
c) os três pertencerem à mesma reta. 
d) n. d. a 
 
6. Os pontos R, S e T da figura ao lado determinam: 
 
a) 2 segmentos de reta 
b) 3 segemtnos de reta 
c) 4 segmentos de reta 
d) 5 segmentos de reta 
 
7. Dois segmentos que têm a mesma medida são chamados: 
 
a) colineares b) consecutivos 
c) equivalentes d) congruentes 
 
8. Se dois segmentos não pertencem a uma mesma reta e têm uma extremidade comum, eles 
são: 
 
a) colineares b) consecutivos c) congruentes d) adjacentes 
 
9. Na figura abaixo, são consecutivos e colineares os segmentos: 
a) 
AB
 e 
ED
 
b) 
AE
 e 
ED
 
c) 
AB
 e 
BC
 
d) 
BC
 e 
CD
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Classifique em verdadeiro ou falso cada uma das sentenças a seguir: 
 
a) Por um ponto passam infinitas retas. 
b) Por dois pontos distintos passa uma reta. 
c) Uma reta contem dois pontos distintos. 
d) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. 
e) Por três pontos dados passa uma só reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retas paralelas interceptadas por uma transversal: Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma 
transversal, determinam oito ângulos, assim denominados: 
 
 
 
Congruência de triângulos: Dois triângulos são denominados congruentes se têm ordenadamente 
congruentes os três lados e os três 
ângulos. 
 
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ 
são congruentes. 
 
OBS: A congruência entre triângulos 
é reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
 
 
 
Casos de congruência: A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser 
satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes. Essas condições (seis congruências: três entre 
lados e três entre ângulos) são totais. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam 
congruentes. São os chamados casos ou critérios de congruência. 
 
1º Caso (LAL): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido 
entre esses dois lados, então eles são 
congruentes. Este caso é normalmente dado 
como postulado e indica que se dois triângulos 
têm ordenadamente congruentes dois lados e o 
ângulo compreendido entre estes dois lados, 
então o lado restante e os dois ângulos também 
são ordenadamente congruentes. 
 
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura 
são congruentes pelo caso LAL. 
 
 
 
 
2º Caso (ALA): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos e o lado adjacente a 
esses ângulos, então eles são 
congruentes. 
 
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da 
figura são congruentes pelocaso ALA. 
 
 
 
 
 
 
3º Caso (LLL): Se dois triângulos têm 
ordenadamente congruentes os três lados, então 
eles são congruentes. 
 
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são 
congruentes pelo caso LLL. 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS: Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito que é porção do plano 
limitada por uma poligonal fechada, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadriláteros Notáveis: São os paralelogramos (os retângulos, os losangos e os quadrados) e os 
trapézios. 
 
 
Paralelogramo: Chama-se paralelogramo o quadrilátero convexo que possui lados paralelos dois a dois 
(lados opostos paralelos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Paralelogramos: 
• Seus lados e seus ângulos opostos são congruentes. 
• Suas diagonais se cortam no ponto médio 
 
Classificação dos Paralelogramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trapézio: Chama-se trapézio o quadrilátero convexo que possui somente dois lados opostos paralelos e 
estes recebem a denominação de bases do trapézio. 
 
 
 
 
Lei dos Senos 
 
Considere a figura abaixo, onde vemos um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R. Observe 
que também podemos dizer que a circunferência está circunscrita ao triângulo ABC. 
Na figura, temos: 
AH = diâmetro da circunferência = 2R (R = raio) 
AO = OH = raio da circunferência = R 
Medidas dos lados do triângulo ABC: 
AB = c, BC = a e AC = b. 
 
Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ângulos H 
e B são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida, pois ambos estão 
inscritos no mesmo arco CA. Além disso, podemos afirmar que o ângulo ACH é 
reto (90º), pois AH é um diâmetro. Portanto o triângulo ACH é um triângulo 
retângulo. 
Podemos então escrever: 
hipotenusa
oposto.cat
senBsenH 
 = 
AH
AC
= 
R
b
2
. 
 
Logo, fica: 
R
b
senB
2

e, portanto, 
R
senB
b
2
. Analogamente temos: 
R
senC
c
2
 e 
R
senA
a
2
. 
Como estas três expressões são todas iguais a 2R, poderemos escrever: 
R
senC
c
senB
b
senA
a
2
. 
 
Esta expressão mostra que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são proporcionais aos senos 
dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O teorema dos senos visto acima permite a dedução de uma importante fórmula para o cálculo da área de 
um triângulo qualquer. Seja o triângulo ABC da figura abaixo, de altura h. 
 Sabemos que a área de um triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura: S = 
2
alturabase
. Logo, 
S = 
2
.ha
. 
 
 
Mas, no triângulo retângulo CAH, podemos escrever: 
senCbh
b
h
hipotenusa
opostocat
senC .
.

. Substituindo 
na fórmula da área acima, vem: 
2
.. senCba
S 
. Mas, sabemos do teorema dos senos que 
R
senC
c
2
, 
onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Logo: 
R
c
senC
2

. 
Portanto,  
R
abcRcba
S
42
2..

. 
Temos então a seguinte fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer: 
R
abc
S
4

, onde a, b e c 
são as medidas dos lados do triângulo e R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo e S a área do 
triângulo. 
 
Aplicação: Já sabemos da Geometria Plana, que a área de um triângulo ABC, cujos lados medem 
respectivamente a, b e c, é dada pela fórmula: 
))()(( cpbpappS 
onde p é o semiperímetro do 
triângulo. Esta fórmula é conhecida comumente como Fórmula de Heron. Assim, substituindo o valor de S 
da fórmula anterior, na fórmula 
R
abc
S
4

, encontraremos uma fórmula útil para o cálculo do raio da 
circunferência circunscrita a um triângulo qualquer de lados a, b e c: 
))()((4 cpbpapp
abc
R


. 
 
Demonstração - Área do Triângulo - Heron 
 
 
 
      
  
)cp).(bp).(ap.(p
a
)cp).(bp).(ap.(p.2
.
2
a
2
h.a
)ABC(Área
a
)cp).(bp).(ap.(p.2
a
)cp).(bp).(ap.(p4
h
a
)cp).(bp).(ap.(p4
a4
)cp(2).bp(2).ap(2.p2
h
cba)cp(2
bca)bp(2
acb)ap(2
cbap2
:OBS
a4
)bac)(bac)(cba)(cba(
a4
)ba(c.c)ba(
h
a4
cbaab2cbaab2
a4
cbaba4
a4
cba
b
a2
cba
bh)iii
a2
cba
xcbaax2xax2acxb
)xa(ch
xbh
)ii
2
h.a
)ABC(Área)i
222
2
22
2222
2
2
222222
2
222222
2
2222
2
2
222
22
222
22222222
222
222






















































 









 
 
 
 
 
 
 
Lei dos Cossenos 
 
Considere o triângulo ABC na figura. 
 
AH = altura do triângulo em relação à base CB. 
Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a. 
Podemos escrever no triângulo AHB: 
 AH
2
 + HB
2
 = c
2
 (Teorema de Pitágoras). 
Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo 
AHC: b
2
 = CH
2
 + AH
2 
Mas, CH = CB – HB = a – HB. 
Portanto: b
2
 = (a - HB)
2
 + AH
2
b
2
 = a
2
 – 2.a.HB + HB
2
 + AH
2 
Observe que HB
2
 + AH
2
 = AB
2
 = c
2
. Então fica: b
2
 = a
2
 + c
2
 – 2.a.HB. 
No triângulo retângulo AHB, podemos escrever: 
Bˆcos.cHB
c
HB
hipotenusa
adjacentecateto
Bcos 
. 
Substituindo, fica: 
Bˆcos.c.a.2cab 222 
 
Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a 
soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas 
desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam. 
 
Analogamente, poderemos escrever: 
Cˆcos.b.a.2bac
Aˆcos.c.b.2cba
222
222

 . 
 
Relação de Stewart 
 
Num triangulo ABC de lados medindo a, b e c, seja D um ponto sobre o lado AB tal que AD = x, DB = y e 
CD = z, conforme ilustra a figura. A relação de Stewart a fórmula que associa os lados do triângulo com a 
ceviana CD e os segmentos por ela determinados: a
2
x + b
2
 y − z
2
c = cxy. 
Demonstração. Escrevendo a lei dos cossenos para os triângulos ACD e ACB, temos: 
 
StewartdelaçãoRecxyc.zy.bx.a
)y(cxy.bx.ac.z
)cx(cx)xc.(bx.ac.z
x.cc.xx.bc.bx.ac.z
cos.cx.b.2x.cx.bx.a
cos.x.c.b.2c.xc.bc.z
)x(cos.c.b.2cba
)c(cos.x.b.2xbz
222
222
222
222222
222
222
222
222

















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Heron para Quadriláteros - Área do Quadrilátero Inscritível 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
    
   
  
)dp).(cp).(bp).(ap()bp(2).ap(2).cp(2).dp(2.
16
1
)ABCD(Área
)dcba)(dcba)(dcba)(dcba(
16
1
)ba()dc(.)dc()ba(.
16
1
)ABCD(Área
dcbacd2ab2dcbacd2ab2.
16
1
)ABCD(Área
dcbacd2ab2.
16
1
)ABCD(Área
cdab4
dcba)cdab.(4
.
4
cdab
cdab2
dcba
1).cdab(
2
1
)ABCD(Área:Cálculo
cdab2
dcba
1sencos1sen)iii
cdab2
dcba
coscoscd2dccosab2ba
coscd2dcx
cosab2bax
)ii
sen).cdab(
2
1
sen.d.c
2
1
sen.b.a
2
1
)ABCD(Área
coscos
sensen
º180
sen.d.c
2
1
)ACD(Área
sen.b.a
2
1
)ABC(Área
)i
2222
22222222
222222
2
2222222
2
2222
2
2222
2
2222
2222
222
222

























































 
 
Cálculo da Mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo 
 
A hipotenusa do triângulo retângulo corresponde ao diâmetro da circunferência que o circunscreve. 
Logo, a mediana relativa à hipotenusa possui a mesma medida do raio. Como consequência, essa 
mediana vale a metade da hipotenusa. 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
244
4.4
4
4.4
4
444
42
4
).(:
)
2
4
2
4
2
:
:
)
222222222222
2
222
2
2
2
2
2
22222
2
2
2222
2
2
2
2
2
222
aaaaaacbacaba
M
cab
a
M
cax
a
M
abaxaxabxaabABC
ii
cax
a
Mxcxax
a
M
hx
a
MAHM
xcchABH
i
a
a
a
aa
a





























 
 
 
Distâncias entre pontos notáveis no triângulo retângulo 
 
- Ortocentro: Ponto de encontro das alturas. 
- Circuncentro: Ponto de encontro das mediatrizes dos lados e centro da circunferência 
circunscrita. 
- Baricentro: Ponto de encontro das medianas. 
 
 
 

















).(
6
1
2
1
.
3
1
.
3
1
),(
).(
3
1
2
1
.
3
2
.
3
2
),(
.
3
1
.
3
2
hipotenusaBCAMroCircuncentBaricentroDistância
hipotenusaBCAMBaricentroOrtocentroDistância
AMGM
AMAG
 
 
 
Área do Quadrilátero Circunscritível 
 
Considerando o quadrilátero que circunscreve o círculo de raio R, que representa as alturas dos triângulos 
AOB, BOC, COD, DOA, temos: 
 
       
       
R.pR.
2
p2
R.
2
DACDBCAB
)ABCD(Área
2
R.DA
2
R.CD
2
R.BC
2
R.AB
)ABCD(Área
)DOA(A)COD(A)BOC(A)AOB(A)ABCD(Área





. 
 
Onde p é o semiperímetro do quadrilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área do Quadrilátero Qualquer 
 
 
 
 
     
 
 
 
   
 
   
     
   
   
       
 





 































 

























2
cos.d.c.b.a)dp).(cp).(bp).(ap()ABCD(Área
cos.d.c.b.a)dp).(cp).(bp).(ap()ABCD(Área
cos.d.c.b.a
16
dcbacd2ab2
cos.d.c.b.a
16
dcba
4
)cdab(
)ABCD(Área
)4()ABCD(Área.4
4
dcba
cos.d.c.b.a.4)cdab(
)ABCD(Área.4
4
dcba
dcd.c.b.a2cos.d.c.b.a.4ba
)ABCD(Área.4
4
dcba
dc1cos.2.d.c.b.a.2ba
)ABCD(Área.4
4
dcba
dc2cos.d.c.b.a.2ba
)ABCD(Área.4
4
dcba
dccos.d.c.b.a.2ba(**)(*))iv
(**)
4
dcba
cosdccos.cos.d.c.b.a.2cosba
2
dcba
coscdcosab
2
dcba
coscdcosab
dcbacoscd.2cosab2coscd2dccosab2ba
coscd2dcx
cosab2bax
)iii
(*)sen.d.csen.dsen.c.b.a.2senb.a)ABCD(Área.4sen.d.csen.b.a)ABCD(Área.2)ii
sen.d.csen.b.a)ABCD(Área.2sen.d.c
2
1
sen.b.a
2
1
)ABCD(Área
2
2
sen.d.c
2
1
)ACD(Área
sen.b.a
2
1
)ABC(Área
)i
2
22
2
222222
2
222222
2
2
22222
22
2
22222
22222
2
22222
22222
2
22222
2222
2
22222
2222
22222
222222
2
2222
2
2222
22222222
222
222
222222222
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMAS: MENELAU – CEVA 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO DE EULER PARA QUADRILÁTEROS 
 
Num quadrilátero qualquer, a soma dos quadrados dos quatro lados é igual à soma dos quadrados 
das diagonais mais quatro vezes o quadrado da mediana de Euler do quadrilátero. 
(Mediana de Euler: segmento de reta que une os pontos médios das diagonais do quadrilátero) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração. Considere M e N os pontos médios das diagonais p e q. O segmento m é a 
Mediana de Euler para esse quadrilátero ABCD. Relembrando dos conceitos: 
 
a) Relação de Stewart: 
nmaaxncmb ..222 
. 
 
 
b) Caso x seja mediana, temos que: 
 
 
2
2
422
2
.
2
.
2
.)
2
)
2
222
2
2
22
2
222
a
xcb
a
x
cb
a
aax
a
c
a
bii
a
nmi




















. 
 
c) No quadrilátero ABCD, 
'mNB 
 é mediana do triângulo ABC: 
 
2
'2
2
222 qmba 
. (*) 
 
 
Da mesma forma 
"mND 
 é mediana do triângulo ADC: 
 
2
"2
2
222 qmdc 
. (**) 
 
 
E ainda, 
mNM 
 é mediana do triângulo NBD: 
     
2
2"'
2
222 p
mmm 
. (***) 
 
 
d) Temos: (*) + (**) => 
 
 
     2222222
2
222
2
222
"'.2
2
"2
2
'2
qmmdcba
q
mdc
q
mba









. 
 
 
e) Substituindo (***), temos:  
2222222
2
2
22222
.4
2
2.2
qpmdcba
q
p
mdcba







 . 
 
 
Resumo de áreas de Figuras Planas 
 
1) Retângulo 
 
 
 
 
2) Quadrado 
 
 
 
3) Paralelogramo 
 
 
 
4) Trapézio 
 
 
 
5) Losango 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Triângulos 
 
6 - a) Triângulo qualquer 
 
 
 
6 - b) Triângulo retângulo 
 
 
 
6 - c) Fórmula trigonométrica da área 
 
 
 
6 - d) Fórmula de Heron 
 
onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados. 
 
6 - e) Triângulo equilátero 
 
 
 
6 - f) Em função dos lados e do raio da 
circunferência circunscrita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRO RESUMO DOS PRINCIPAIS POLÍGONOS REGULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Resolvido. Na figura está representado um círculo tangente externamente, nos pontos M e N, à 
reta r e outro círculo inscrito ao triângulo equilátero de lado 
cm34L 
. Sabe-se que a altura do triângulo 
equilátero tem a mesma medida do diâmetro do círculo. Calcule a razão entre a área do círculo tangente ao 
triângulo e o círculo inscrito ao mesmo triângulo. 
 
Solução. Considere R o raio do círculo tangente e r o raio do cículo inscrito. Utilizando as relações no 
triângulo equilátero, temos: 
 
 
 
   
 
 
  4
9
4
9
CA
CA
:Razão
9)3(CA3R6R2
6h
R2h
4)2(CA2r6r3
6
2
12
2
334
2
3L
h
r3h
inscrito
TANGENTE
2
TANGENTE
2
inscrito


















.