Lista 1 - monique ufop

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM131 - Geometria Anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial
Professora: Monique Rafaella Anunciac¸a˜o de Oliveira
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Dados os pontos:
A(500, 500) B(−600,−600) C(715,−715) D(−1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0)
G(0,−517) H(−321, 0) I(0, 8198) J(pi, pi
√
3) K(
√
2,−
√
2) L(
9
2
,
18
4
)
quais sa˜o pertencentes:
(a) ao primeiro quadrante?
(b) ao segundo quadrante?
(c) ao terceiro quadrante?
(d) ao quarto quadrante?
(e) ao eixo das abscissas?
(f) ao eixo das ordenadas?
Respostas: (a) A,E, F, I, J, L; (b) D,E,H, I; (c) B,E,G,H; (d) C,E, F,G,K; (e) E,F,H; (f) E,G, I
2. Calcule a distaˆncia entre os pontos A(1, 3) e B(−1, 4).
Resposta: d =
√
5
3. Calcule a distaˆncia do ponto P (−6, 8) a` origem do sistema cartesiano.
Resposta: d = 10
4. Calcule a distaˆncia entre os pontos A(a− 3, b+ 4) e B(a+ 2, b− 8).
Resposta: d = 13
5. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo ABC, sendo dados A(2, 1), B(−1, 3) e C(4,−2).
Resposta: 2
√
13 + 5
√
2
6. Dados A(x, 5), B(2, 3) e C(4, 1), obtenha x de modo que A seja equidistante de B e C.
Resposta: x = 6
7. Dados A(8, 7) e C(−2,−3), extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos ve´rtices B e
D, sabendo que xB > xD.
Resposta: B(8,−3) e D(−2, 7)
8. Calcule a raza˜o (ABC) sendo dados os pontos A(2, 3), B(1,−2) e C(4
3
,−1
3
).
Resposta: (ABC) = 2
9. Dados A(4, 3) e B(2, 1), seja C a intersec¸a˜o da reta AB com o eixo das abscissas. Calcule a raza˜o (ABC).
Resposta: r = −3
10. Determine os pontos que dividem AB em quatro partes iguais, quando A(−1,−3) e B(23, 33).
Resposta: (5, 6), (11, 15), (17, 24)
11. Se M(2, 1), N(3, 3) e P (6, 2) sa˜o os pontos me´dios dos lados AB,BC e CA, respectivamente, de um triaˆngulo
ABC, determine as coordenadas de A,B e C.
Resposta: A(5, 0), B(−1, 2), C(7, 4)
12. Os pontos A(1, 3), B(2, 5) e C(49, 100) sa˜o colineares?
Resposta: Na˜o
13. Mostre que A(d, 2d− 1), B(d+ 1, 2d+ 1) e C(d+ 2, 2d+ 3) sa˜o colineares para todo valor real dado a d.
14. Dados A(1, 1) e B(10,−2), obtenha o ponto em que a reta ←→AB intercepta o eixo das abscissas.
Resposta: (4, 0)
15. Dados A(3, 1) e B(5, 5), obtenha o ponto em que a reta
←→
AB intercepta o eixo das ordenadas.
Resposta: (0,−5)
16. Determine P (x0, y0) colinear simultaneamente com A(−1,−2) e B(2, 1) e com C(−2, 1) e D(1,−4).
Resposta: (−1
2
,−3
2
)
17. Determine a equac¸a˜o da reta definida pelos pontos A(
7
2
,
5
2
) e B(−5
2
,−7
2
).
Resposta: x− y − 1 = 0
18. A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) passa por C(3, 4). Qual e´ a relac¸a˜o entre a e b?
Resposta: 4a+ 3b− ab = 0
19. A reta determinada por A(p, q) e B(3,−2) passa pela origem. Qual e´ a relac¸a˜o entre p e q?
Resposta: 2p+ 3q = 0
20. Desenhe no plano cartesiano as retas cujas equac¸o˜es sa˜o dadas abaixo:
(a) y = 2x.
(b) x+ y = 5.
(c) x− y + 5 = 0.
(d) x+ y + 3 = 0.
(e) 2y + x = 0.
(f) x− y − 4 = 0.
Respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ;
(e) ; (f)
21. Determine a intersec¸a˜o das retas x+ 2y = 3 e 2x+ 3y = 5.
Resposta: (1, 1)
22. Determine a para que as retas de equac¸o˜es x+ 2y− 2a = 0, ax− y− 3 = 0 e 2x− 2y− a = 0 sejam concorrentes
no mesmo ponto.
Resposta: a = 2 ou a = −3
2
23. Mostre que as retas de equac¸o˜es 2x + 3y = 0, (2k + 1)x + (3k − 2)y + 5 = 0 e x − 2y + 5 = 0 sa˜o concorrentes
no mesmo ponto, qualquer que seja k.
24. Determine m de modo que as retas de equac¸o˜es 3x + y −m = 0, 3x − y + 1 = 0 e 5x − y − 1 = 0 definam um
triaˆngulo.
Resposta: m 6= 7 e m ∈ R
25. Dado o ponto A(1, 2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente sobre as retas
y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o ponto me´dio do segmento PQ.
Resposta: P (
4
3
,
4
3
) e Q(
2
3
,
8
3
)
26. Determine o ponto B da reta s de tal forma que o segmento AB intercepte a reta r no ponto C que o divide na
raza˜o
1
2
. Sa˜o dados: A(−3, 1), (r) x+ y = 0 e (s) 2y − 3x+ 1 = 0.
Resposta B(
9
5
,
11
5
)
27. Determine a posic¸a˜o relativa das seguintes retas, tomadas duas a duas:
2
(r) 2x− y + 3 = 0 (s) x− 2y + 3 = 0 (t) 2x− y + 5 = 0 (u) 4x− 2y = −6
Resposta: concorrentes: r e s, s e t, s e u; paralelas: r e t, t e u; coincidentes: r e u
28. Discuta a posic¸a˜o relativa das retas (r) 3mx−my − 4 = 0 e (s) 12x− 4my −m = 0 em func¸a˜o de m.
Resposta: m = 0⇒ @ r;m = 1⇒ r ∩ s = ∅;m ∈ R,m 6= 1,m 6= 0⇒ r × s
29. Discuta em func¸a˜o de m a posic¸a˜o relativa das retas (r) 2x− y + 2 = 0 e (s) 3x−my + 2m = 0.
Resposta: m =
3
2
⇒ r = s;m ∈ R,m 6= 3
2
⇒ r × s
30. Para que valores de k as retas (k − 1)x+ 6y + 1 = 0 e 4x+ (k + 1)y − 1 = 0 sa˜o paralelas?
Resposta: k = −5 ou k = 5
31. Discuta em func¸a˜o de a e b a posic¸a˜o relativa das retas (r) ax+ 3y − b = 0 e (s) 2x+ 9y − 1 = 0.
Resposta: a ∈ R, a 6= 2
3
⇒ r × s; a = 2
3
, b 6= 1
3
, b ∈ R⇒ r ∩ s = ∅; a = 2
3
, b =
1
3
⇒ r = s
32. O que representa a equac¸a˜o 2x+ y + 1 + t(x− 2y − 7) = 0, sendo t uma varia´vel real?
Resposta: Um feixe de retas concorrentes no ponto (1,−3)
33. Determine o centro do feixe de retas concorrentes cuja equac¸a˜o e´: k1(7x− 11y + 1) + k2(3x+ 11y + 9) = 0.
Resposta: (−1,− 6
11
)
34. Determine a equac¸a˜o da reta que pertence ao feixe definido pela equac¸a˜o 7x + 3y − 15 + k(3x − 3y − 5) = 0 e
que passa pela origem do sistema cartesiano.
Resposta: x− 6y = 0
35. Mostre que as retas de equac¸o˜es (2m + 1)x + (1 − 3m)y − 1 = 0 onde m e´ uma varia´vel real, passam por um
mesmo ponto.
36. Dadas as retas rm : (2m+ 1)x− (3m− 1)y + 3m− 1 = 0, onde m e´ um nu´mero real qualquer, pergunta-se:
(a) As retas passam por um ponto fixo? (b) Existe m para o qual rm coincide com um dos eixos?
Justifique as respostas.
Respostas: (a) Sim (0, 1); (b) Sim, m =
1
3
37. Determine a equac¸a˜o do feixe de paralelas a` reta 3x− 5y + 1 = 0.
Resposta: 3x− 5y + c = 0, c ∈ R
38. Determine a reta do feixe k1(x+ 3y − 8) + k2(5x− 7y + 4) = 0 que e´ paralela a` reta (r) 11x− 5y + 7 = 0.
Resposta: 11x− 5y − 12 = 0
39. Determine a equac¸a˜o reduzida da reta
←→
AB quando A(−1, 1) e B(7, 25).
Resposta: y = 3x+ 4
40. Dados A(3, 10) e B(−6,−5), determine a equac¸a˜o segmenta´ria da reta ←→AB.
Resposta:
x
−3 +
y
5
= 1
41. Determine a equac¸a˜o geral das retas abaixo:
(a) (b) (c)
Respostas: (a) 3x− 2y + 6 = 0; (b) x− 2y − 2 = 0; (c) 3x+ 2y + 4 = 0
3
42. Dadas as equac¸o˜es parame´tricas de uma reta (r)x = 5t− 3 e y = 2t+ 4, obtenha sua equac¸a˜o segmenta´ria.
Resposta:
x
−13 +
y
26
5
= 1
43. Ache as coordenadas do ponto de intersecc¸a˜o das retas
r
{
x = 3t
y = 2t
, t ∈ R e s
{
x = 3− u
y = 2 + u
, u ∈ R.
Resposta: (3, 2)
44. Qual e´ a posic¸a˜o relativa das retas (r)
x
2
+
y
4
= 1 e (s)x = 8t, y = 1− 16t?
Resposta: Paralelas
45. Calcule o coeficiente angular das retas:
(a) x− 3y + 4 = 0.
(b) 5x+ 1 = 3y.
(c) y = −3x+ 4.
(d)
x
5
+
y
−2 = 1.
(e)
{
x = 4t
y = 1− 7t .
(f) x = 11.
(g) 2y = −3.
(h) 2x+ 3y = 0.
(i) µ(x+ 3y − 1) + λ(x− y + 1) = 0.
(j) x · cos(pi/6) + y · sen(pi/6) = 7.
(k) conte´m
{
A(a, b)
B(b, a)
.
Respostas: (a)
1
3
; (b)
5
3
; (c) −3; (d) 2
5
; (e) −7
4
; (f) @; (g) 0; (h) −2
3
; (i)
λ+ µ
λ− 2µ ; (j) −
√
3; (k) −1
46. Determine a equac¸a˜o da reta que passa por P e tem inclinac¸a˜o α em relac¸a˜o ao eixo x nos casos seguintes:
(a) P (−1,−3) e α = pi
4
.
(b) P (2,−4) e α = pi
3
.
(c) P (−1,−4) e α = pi
2
.
(d) P (−1, 3) e α = arcsen 3
5
.
(e) P (7, 2) e α = 0.
(f) P (−1, 5) e α = arctg 2.
Resposta: (a) x− y− 2 = 0; (b)
√
3x− y− (2
√
3 + 4) = 0; (c) x+ 1 = 0; (d) 3x− 4y+ 15 = 0 ou3x+ 4y− 9 = 0;
(e) y − 2 = 0; (f) 2x− y + 7 = 0
47. Qual e´ a equac¸a˜o do feixe de retas concorrentes em P (5, 2)?
Resposta: y − 2 = m(x− 5),m ∈ R ou x− 5 = 0
48. Determine a equac¸a˜o da reta que passa por P (−5, 2) e e´ paralela a` reta definida por A(1
2
,
6
5
) e B(
3
2
,−4
5
).
Resposta: 2x+ y + 8 = 0
49. Determine a equac¸a˜o da reta u que passa pelo ponto de intersecc¸a˜o das retas r e t e e´ paralela a` reta s, onde
(r)
x
2
+
y
2
= 1, (s)x = 3t e y = 2 + 3t e (t) 3x+ 4y = 0.
Resposta: (u)x− y − 14 = 0
50. Mostre que (r)
x
7
+
y
9
= 1 e (s)
x
9
=
y
7
sa˜o retas perpendiculares.
51. Determine p de modo que as retas (r) p2x+ py + 2 = 0 e (s) 3x+ (p+ 1)y − 7 = 0 sejam perpendiculares.
Resposta: p = −1
4
52. Dentre os seguintes pares de retas, qual na˜o e´ formado por retas paralelas ou perpendiculares?
(a) 3x− 5y + 4 = 0 e x
3
+
y
5
= 1.
(b)
{
x = 4t− 1
y = 4− 2t e 4x− 2y + 7 = 0.
(c) 3x+ 4 = 0 e 5y − 3 = 0.
(d) x =
√
3 e x =
√
2.
(e) (a+ 1)x+ (a− 1)y = 0 e (a− 1)x = (a+ 1)y.
Resposta: Nenhum
4
53. Determine a equac¸a˜o da reta s que conte´m P (3, 4) e e´ perpendicular a` reta (r) 2x+ 3y = 0.
Resposta: (s) 3x− 2y − 1 = 0
54. Determine o ponto Q, sime´trico de P (−3, 2) em relac¸a˜o a` reta (r)x+ y − 1 = 0, seguindo os passos abaixo:
(a) Determine a reta s que passa por P e e´ perpendicular a r.
(b) Determine o ponto M de intersec¸a˜o das retas r e s.
(c) Determine as coordenadas de Q, sabendo que M e´ ponto me´dio de PQ.
Respostas: (a) (s)x− y + 5 = 0; (b) M(−2, 3); (c) Q(−1, 4)
55. Em um sistema cartesiano ortogonal xOy sa˜o dados os pontos A, sobre Ox de abscissa 1, e B sobre Oy de
ordenada 2. Calcule as coordenadas do ponto P sime´trico da origem O em relac¸a˜o a` reta
←→
AB.
Resposta: P (
8
5
,
4
5
)
56. Determine a reta s, sime´trica de (r)x− y + 1 = 0 em relac¸a˜o a (t) 2x+ y + 4 = 0, seguindo os passos abaixo:
(a) Determine o ponto R de intersec¸a˜o das retas r e t.
(b) Escolha P ∈ r qualquer, tal que P 6= R.
(c) Determine a equac¸a˜o da reta u, perpendicular a t que passa por P .
(d) Determine o ponto M de intersec¸a˜o das retas u e t.
(e) Determine o ponto Q, sime´trico de P em relac¸a˜o a t.
(f) A reta s procurada e´ a reta
←→
RQ.
Respostas: (a) (−5
3
,−2
3
); (f) (s)x− 7y − 3 = 0
57. Determine a equac¸a˜o da reta s sime´trica da reta (r)x+ 2y − 3 = 0 em relac¸a˜o a` bissetriz do 2o quadrante, isto
e´, a` reta (t) y = −x.
Resposta: (s) 2x+ y + 3 = 0
58. Escreva a equac¸a˜o cartesiana da reta sime´trica da reta 2x− y − 4 = 0 em relac¸a˜o a` reta 4x− 2y + 3 = 0.
Resposta: 2x− y + 7 = 0
59. Dados os pontos A(a, 0) e B(0, b), tomemos sobre a reta
←→
AB um ponto C de modo que BC = m · AB (m real
positivo). Determine a equac¸a˜o da reta perpendicular a
←→
AB, a qual passa pelo ponto me´dio do segmento AC.
Resposta: 2ax− 2by − a2(1 +m) + b2(1−m) = 0
60. Encontre a distaˆncia da reta r
{
x = −2 + 3t
y = −7 + 2t (t ∈ R) a` origem.
Resposta: dO,r =
17√
13
61. Calcule a distaˆncia do ponto P a` reta r nos seguintes casos:
(a) P (−3,−1) e (r)3x− 4y + 8 = 0.
(b) P (3, 2) e (r)5x− 5y + 2 = 0.
(c) P (1,−2) e (r) x
12
+
y
5
= 1.
(d) P (−2, 3) e (r)
{
x = 7t− 1
y = 24t+ 1
.
(e) P (−1,−2) e (r) cos pi
3
x+ sen
pi
3
y = 5.
Resposta: (a) dP,r =
3
5
; (b) dP,r =
7
5
√
2
; (c) dP,r =
79
13
; (d) dP,r =
38
25
; (e) dP,r =
11 + 2
√
3
2
62. Calcule a distaˆncia entre as retas cujas equac¸o˜es sa˜o ax+ by + c = 0 e ax+ by − c = 0.
Resposta: d =
2|c|√
a2 + b2
63. Determine os pontos da reta (r) y = 2x que esta˜o a` distaˆncia 2 da reta (s) 4x+ 3y = 0.
Resposta: (−1,−2) e (1, 2)
5
64. Obtenha uma reta paralela a (r)x+ y + 6 = 0 e distante
√
2 do ponto C(1, 1).
Resposta: x+ y = 0 ou x+ y − 4 = 0
65. Determine a equac¸a˜o de uma reta que passa por P (3, 0) e dista 2 unidades da origem.
Resposta: y =
2√
5
(x− 3) ou y = − 2√
5
(x− 3)
66. Calcule a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(a, a+ 3), B(a− 1, a) e C(a+ 1, a+ 1).
Resposta:
5
2
67. Determine a a´rea do triaˆngulo ABC onde A, B e C sa˜o, respectivamente, os pontos me´dios dos segmentos MN ,
NP e PM , sendo M(−1,−5), N(1, 3) e P (7,−5).
Resposta: S = 8
68. Dados os pontos A(1, 4), B(3,−2) e C(2, y), calcule y para que a a´rea do triaˆngulo ABC seja 10.
Resposta: y = 11 ou y = −9
69. Calcule as coordenadas do ve´rtice C do triaˆngulo ABC de a´rea 6, sabendo que A = (0, 2), B e´ a intersecc¸a˜o da
reta (r)x− y − 4 = 0 com o eixo dos x e C ∈ r.
Resposta: C(6, 2) ou C(2,−2)
70. Determine a a´rea do triaˆngulo ABC sabendo-se que:
i) A = (1,−1) e B = (−3, 2);
ii) y = −x− 1 e´ a equac¸a˜o do lado BC;
iii) o coeficiente angular da reta AC e´ 1.
Resposta: S =
7
4
71. Obtenha uma reta que passe por P (−4, 6) e defina com os eixos coordenados um triaˆngulo de a´rea 6, no primeiro
quadrante.
Resposta: 3x+ 4y − 12 = 0
72. Resolva graficamente as inequac¸o˜es:
(a) 2x+ 3y + 1 > 0.
(b) 3x− 4y − 6 < 0.
(c) 2x− y < 0.
(d) 2x− 4y + 4 ≥ 0.
(e) 3x+ 4y ≥ 0.
(f) 5x+ y − 5 ≤ 0.
Respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ;
(f)
73. Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro C e raio r nos seguintes casos:
6
(a) C(0, 0) e r = 3.
(b) C(2, 0) e r = 4.
(c) C(−1,−2) e r = 5.
(d) C(2, 4) e r = 1.
(e) C(0,−3) e r = 2.
(f) C
(
1
2
,
3
2
)
e r = 4.
Respostas: (a) x2 + y2 = 9; (b) (x− 2)2 + y2 = 16; (c) (x+ 1)2 + (y + 2)2 = 25; (d) (x− 2)2 + (y − 4)2 = 1;
(e) x2 + (y + 3)2 = 4; (f)
(
x− 1
2
)2
+
(
y − 3
2
)2
= 16
74. Qual e´ a equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro C(1, 2) que passa por P (5, 5)?
Resposta: (x− 1)2 + (y − 2)2 = 25
75. Determine o centro e o raio das seguintes circunfereˆncias:
(a) x2 + y2 − 6x+ 4y − 12 = 0.
(b) x2 + y2 − 8x+ 7 = 0.
(c) x2 + y2 + 8y + 6x = 0.
(d) 2x2 + 2y2 − 8x− 6y = 0.
(e) 3x2 + 3y2 − 6x+ 12y + 14 = 0.
Respostas: (a) C(3,−2), r = 5; (b) C(4, 0), r = 3; (c) C(−3,−4), r = 5; (d) C
(
2,
3
2
)
, r =
5
2
;
(e) C(1,−2), r = 1√
3
76. Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelo centro da circunfereˆncia (x− 3)2 + (y − 2)2 = 8 e e´ perpendicular a` reta
x− y − 16 = 0.
Resposta: y = −x+ 5
77. Para que valores de m e k a equac¸a˜o abaixo representa uma circunfereˆncia?
(a) mx2 + y2 + 4x+ 6y + k = 0. (b) mx2 + 2y2 + 2x+ 8y − k = 0. (c) mx2 + y2 + 2x− 4y + k = 0.
Respostas: (a) m = 1, k < 13; (b) m = 2, k > −17
2
; (c) m = 1, k < 5
78. Determine a, b, c de modo que a equac¸a˜o 2x2 + ay2 + bxy + 3x+ 4y + c = 0 represente uma circunfereˆncia.
Resposta: a = 2, b = 0, c <
25
8
79. Determine a posic¸a˜o de P em relac¸a˜o a` circunfereˆncia λ nos seguintes casos:
(a) P (2, 1) e (λ) 2x2 + 2y2 = 9.
(b) P (−4,−5) e (λ)x2 + y2 + 2x+ 2y − 2 = 0.
(c) P (0, 0) e (λ)x2 + y2 −
√
3x+ piy − 1 = 0.
Respostas: (a) P e´ exterior a` λ; (b) P e´ exterior a` λ; (c) P e´ interior a` λ
80. Determine p de modo que o ponto A(7, 9) seja exterior a` circunfereˆncia de equac¸a˜o x2 + y2 − 2x− 2y − p = 0.
Resposta: −2 < p < 98
81. Calcule a distaˆncia do centro da circunfereˆncia x2 + y2 + 5x− 7y − 1 = 0 a` reta 4x+ 3y = 0.
Resposta: d =
1
10
82. Dadas a reta (r) 3x+ 2y + 17 = 0 e a circunfereˆncia (λ)x2 + y2 + 6x+ 8y + 12 = 0, pede-se:
(a) a posic¸a˜o relativa de r e λ. (b) a intersec¸a˜o de r com λ.
Respostas: (a) secantes; (b) (−1,−7) e (−5,−1)
83. Determine os pontos P e Q onde a circunfereˆncia x2 + y2 − 5x+ 4y + 4 = 0 encontra o eixo dos x.
Resposta: P (1, 0) e Q(4, 0)
84. Quais sa˜o as equac¸o˜es das retas paralelas ao eixo dos x e tangentes a` circunfereˆncia (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9?
Resposta: y = −1 e y = 5
7
85. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelocentro da circunfereˆncia de equac¸a˜o 2x2 + 2y2 + 4x + 1 = 0 e e´
perpendicular a` reta de equac¸a˜o x+ 2y − 1 = 0.
Resposta: y = 2x+ 2
86. Obtenha a equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro C(−2, 1) e que tangencia a reta de equac¸a˜o 4x+ 3y = 0.
Resposta: (x+ 2)2 + (y − 1)2 = 1
87. Escreva as equac¸o˜es das retas tangentes a` circunfereˆncia x2 + y2 − 8x− 8y + 24 = 0, paralelas a` reta y = x.
Resposta: x− y + 4 = 0 e x− y − 4 = 0
88. Obtenha uma circunfereˆncia, cujo centro esta´ no eixo dos x, sabendo que e´ tangente a`s retas x + y − 3 = 0 e
x− y − 1 = 0.
Resposta: (x− 2)2 + y2 = 1
2
8