Trabalho 1-Janiere

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1 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mestrando: José Janiere Silva de Souza 
Professor: Laurinda L. N. dos Reis 
Disciplina: Sistemas Lineares 
 
 
 
 
Fortaleza - CE 
Março de 2018 
2 
 
QUESTIONÁRIO 
1. Calcule os autovalores para: 
1
3 6
1 4
A
 
  
 
 
2
2 6
2 2
A
 
   
 
3
0 1 1
1 0 1
1 1 2
A
 
  
 
  
 
2. Calcule os ranks para: 
1
1 3 2
1 3 0
2 6 1
B
 
   
 
  
 2
1 2 4
0 1 1
2 4 8
1 1 0
B
 
 
 
 
 
 
 3
1 1 2 1
0 2 2 5
3 1 2 1
1 1 0 0
B
 
 
 
  
 
 
 
3. Calcule o determinante para: 
1
1 2 4 5
3 1 0 1
2 1 2 0
4 0 1 1
C
 
 
 
 
 
 
 2
0 1 0 1
1 3 4 0
2 0 3 1
1 2 2 1
C
 
 
 
 
 
  
 
 
SOLUÇÃO 
1. 
1A
: 
1det( ) 0
0 3 6
det 0
0 1 4
3 6
det 0
1 4
I A




 
    
     
    
    
     
 
Aplicando a definição de determinantes, tem-se: 
2
[( 3) ( 4)] [( 6) ( 1)] 0
7 6 0
 
 
       
  
 
Aplicando a Fórmula de Bhaskara, tem-se: 
2
2
4
2
( 7) ( 7) 4 (1) (6)
2 (1)
b b ac
a


  

      


 
3 
 
1
2
7 25
1
2
7 25
6
2



 

 
 
Logo, 
 1,6 
 são autovalores da matriz
1A
. 
2A
 2det( ) 0
0 2 6
det 0
0 2 2
2 6
det 0
2 2
I A




 
    
         
    
     
 
Aplicando a definição de determinantes, tem-se: 
2
[( 2) ( 2)] [( 6) ( 2)] 0
16 0
16
4
 



       
 
 
 
 
Logo, 
 4, 4  
 são autovalores da matriz
2A
. 
3A
: 
3det( ) 0
0 0 0 1 1
det 0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 2
1 1
det 1 1 0
1 1 2
I A






 
     
          
        
   
     
      
 
Aplicando a regra de Sarrus, para encontrar o determinante: 
3
3
1 1 1
1 1 1
1 1 2 1 1
( 2 1 1) ( 2) 0
2 0
 
 

   
 
 
 
    
        
  
 
4 
 
Para facilitar o cálculo aplica-se o dispositivo de Briot-Ruffini . Para tal é necessário encontrar 
uma possível raiz da equação, ou seja, um número que anule a equação. Esse número pode ser 
o -1. Assim: 
 1 0 1 2 
-1 ↓ -1 1 -2 
 1 -1 2 0 
Assim a equação pode ser escrita da seguinte forma 
2 2 0   
 
Ao aplicar Bhaskara, conclui-se que essa equação não possui outras raízes reais. Portanto o 
 1  
 é o autovalor da matriz 
3A
. 
 
2. 
1B
-Aplicando as operações elementares: 
1 3 2
1 3 0
2 6 1
 
  
 
  
 
1 3 32 L L L  
 
1 3 2
1 3 0
0 0 5
 
  
 
  
 
1 2 23C C C   
 
1 0 2
1 0 0
0 0 5
 
 
 
  
 
Como na coluna 2 todos os elementos são nulos então o seu 
1det 0B 
, logo 
1( ) 3B 
. Para 
uma sub-matriz 2x2, tem-se: 
1 2
det 2
1 0
1 2
det 0
1 0
 
  
 
   
 
Logo, 
1( ) 2B 
. 
2B
- Aplicando as operações elementares: 
1 2 4
0 1 1
2 4 8
1 1 0
 
 
 
 
 
 
 
1 3 32 L L L   
 
1 2 4
0 1 1
0 0 0
1 1 0
 
 
 
 
 
 
 
4 1 1L L L 
 
0 3 4
0 1 1
0 0 0
1 1 0
 
 
 
 
 
 
 
Para uma sub-matriz 3x3: 
0 4 4
det 0 1 1 7
1 1 0
0 4 4
det 0 1 1 0
1 1 0
 
   
 
  
 
   
 
  
 
5 
 
Logo, 
2( ) 3B 
. 
3B
- Aplicando as operações elementares na matriz 
1B
: 
1 1 2 1
0 2 2 5
3 1 2 1
1 1 0 0
 
 
 
  
 
 
 
1 2 2C C C 
 
1 2 2 1
0 2 2 5
3 2 2 1
1 0 0 0
 
 
 
 
 
 
 
Como 
1 2C C
, 
3det( ) 0B 
, logo 
3( ) 4B 
. Para uma sub-matriz 3x3: 
1 2 1
det 0 2 5 12
3 2 1
1 2 1
det 0 2 5 0
3 2 1
 
  
 
  
 
  
 
  
 
Logo, 
2( ) 3B 
. 
3. 
1C
-Aplicando as operações elementares: 
1 2 4 5
3 1 0 1
2 1 2 0
4 0 1 1
 
 
 
 
 
 
 
1 3 32 C C C  
 
1 2 8 5
3 1 2 1
2 1 0 0
4 0 1 1
 
 
 
 
 
 
 
2 1 12 C C C  
 
5 2 8 5
5 1 2 1
0 1 0 0
4 0 1 1
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Laplace para encontrar o determinante de 
2C
: 
3 2
1
1
2
5 8 5
det( ) 1 ( 1) 5 2 1
4 1 1
det( ) 18
( ) 4
C
C
C
    
 

 
2C
-Aplicando as operações elementares: 
0 1 0 1
1 3 4 0
2 0 3 1
1 2 2 1
 
 
 
 
 
  
 
1 4 4L L L 
 
0 1 0 1
1 3 4 0
2 0 3 1
1 1 2 0
 
 
 
 
 
  
 
Aplicando o Teorema de Laplace para encontrar o determinante de 
2C
: 
6 
 
1 4 3 4
2
2
2
1 3 4 0 1 0
det( ) 1 ( 1) 2 0 3 1 ( 1) 1 3 4
1 1 2 1 1 2
det( ) 20
( ) 4
C
C
C
         
   
 
