(Valor: 3,0 pontos) Considere a seguinte matriz, quadrada, real: A =   −2 0 0 1 0 1 0 −2 −2   . (a) (1,5 ponto) Calcular seus autovalores e aut...

(a) Para calcular os autovalores e autovetores da matriz A, podemos utilizar o método da diagonalização. Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Calculando det(A - λI), temos: | -2-λ 0 0 | | 1 -λ 1 | | 0 -2-λ -2 | Expandindo essa determinante, obtemos a equação característica: (-2-λ)(-λ)(-2-λ) + (1)(-λ)(-2) + (0)(1)(0) - (0)(-λ)(-2-λ) - (0)(-2)(-2-λ) - (1)(0)(0) = 0 Simplificando essa equação, temos: (λ+2)λ(λ+2) + 2λ + 0 - 0 - 0 - 0 = 0 (λ+2)λ(λ+2) + 2λ = 0 Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = -2, λ2 = 0 e λ3 = 0. Agora, para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor, substituímos cada autovalor na matriz A - λI e resolvemos o sistema homogêneo (A - λI)v = 0. Para λ1 = -2: | -2-(-2) 0 0 | | 1 -(-2) 1 | | 0 -2-(-2) -2 | Simplificando essa matriz, temos: | 0 0 0 | | 1 0 1 | | 0 0 0 | Resolvendo o sistema homogêneo, encontramos o autovetor v1 = (0, 1, 0). Para λ2 = 0: | -2-0 0 0 | | 1 -0 1 | | 0 -2-0 -2 | Simplificando essa matriz, temos: | -2 0 0 | | 1 0 1 | | 0 -2 -2 | Resolvendo o sistema homogêneo, encontramos o autovetor v2 = (0, 1, -1). Para λ3 = 0: | -2-0 0 0 | | 1 -0 1 | | 0 -2-0 -2 | Simplificando essa matriz, temos: | -2 0 0 | | 1 0 1 | | 0 -2 -2 | Resolvendo o sistema homogêneo, encontramos o autovetor v3 = (0, 1, -1). (b) Para determinar a matriz de transformação V que coloca a matriz A na forma modal, utilizamos os autovetores encontrados anteriormente como colunas da matriz V. Portanto, temos: V = [v1 v2 v3] = [0 0 0; 1 1 1; 0 -1 -1] A representação de A na forma modal é dada por: D = V^(-1)AV Onde D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.