Método da Bissecção para Raízes de Equações Não Lineares

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Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Professores 
Marcelo Alves de Barros 
Bruno C. N. Queiroz 
J. Antão B. Moura 
José Eustáquio R. de Queiroz 
Ulrich Schiel 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Métodos Iterativos para a Obtenção 
de Zeros Reais de Funções 
 
Bissecção (ou de Bolzano) 
 
 
Falsa Posição 
 
 
Ponto Fixo 
 
 x1 
Newton-Raphson 
 
 
Secante 
2 
x1 = (a+b)/2 
x1 = ( a f(b) - b f(a) ) / (f(b) - f(a)) 
xk+1 = g(xk), x = g(x) 
 xk+1 = [xk-1 .f(xk) – xk . f(xk-1)]/[f(xk) - f(xk-1)] 
xk+1 = xk – f(xk)/f’(xk) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
1. Define-se o intervalo inicial a partir da 
aplicação do teorema de Bolzano (encontrar 
a e b tal que f(a)*f(b) < 0 
 
2. Calcula-se o ponto médio de a e b 
● x1 = (a+b)/2 
 
3. Calcula-se um erro absoluto f(x1) ou um erro 
relativo |(xk – xk+1)/xk| para verificar se x1 é 
uma aproximação aceitável da raiz da equação. 
 
Método da Bissecção (ou de Bolzano) 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] 
onde existe uma raiz única  , é possível determinar 
tal raiz subdividindo sucessivas vezes o intervalo que 
a contém pelo ponto médio de a e b. 
4. Compara-se o erro desta aproximação com 
uma tolerância dada (se erro de x1 < tol) 
● Se verdadeiro  x1 é a raiz procurada 
(raíz aceitável) 
● Caso contrário  define-se um novo 
intervalo para calcular x2 
 
5º) Calcula-se o produto f(a)*f(x1) para 
determinar em qual dos subintervalos - [a, x1] 
ou [x1 , b] - se encontra a raiz 
● Verifica-se se f(a)*f(x1) < 0 
● Se verdadeiro    (a, x1) (Logo a = 
a e b = x1) 
● Caso contrario    (x1 , b) (Logo a = 
x1 e b = b) 
 
 
 
 
Volta-se ao passo 2 e repete-se os passos 2 a 5 
até que o método atenda à condição de parada 
● |f(x)|  tolerância 
● |(xk – xk+1)/xk|  tolerância 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
x a = a0  
f(x) 
b = b0 
x1 = (a + b)/2 
x1 
x a = a1  
f(x) 
x1 = b1 
x2 = (a + x1)/2 
x2 
x  
f(x) 
x1 = b2 
x3 = (x2 + x1)/2 
x2 = a2 
x3 
Repete-se o processo até que o valor de x 
atenda às condições de parada (tolerância). 
Tolerância (aproximação de zero): é um nível 
de precisão exigido pela aplicação do cálculo 
numérico. Depende do equipamento de cálculo 
e principalmente do cliente do cálculo. 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Algoritmo 
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; 
xk+1 := (ak + bk)/2; 
while critério de convergência não satisfeito and k  L 
 if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */ 
 ak+1 := ak; bk+1 := xk+1; 
 else /* raiz em [xk+1, bk] */ 
 ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ; 
 endif 
 k := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2; 
endwhile 
if k > L 
 convergência falhou 
endif 
Método da Bissecção (ou de Bolzano) 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única  , é possível determinar tal raiz 
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém pelo ponto médio de a e b. 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
6 
Oficina 
Considere que temos um sistema computacional de aritmética de 
ponto não flutuante de quatro dígitos, sem circuito arredondador, 
com base decimal e com acumulador de precisão dupla, para 
fazer cálculo numérico das raízes da função abaixo: 
 
 
1. Encontre uma raiz desta função com 3 iterações do método 
da Bisecção, usando este computador. 
2. Comente sobre os erros produzidos neste cálculo numérico 
f(x) = 1,7 x3 – 70,85x – 1,0934 
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Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 6: 
 Resgatando o Exemplo 5, no qual f(x) = xlogx – 1 
7 
 Verificou-se que   [2, 3] 
 
g(x) 
x 1 2 3 4 
h(x) 
y 
5 6 
 2 3 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 6: 
 Considerando o método da bissecção e adotando [2, 3] como 
intervalo inicial 
8 
 x1 = (2 + 3)/2 = 2,5 
 f(2) = -0,3979 < 0 
 f(3) = 0,4314 > 0 
 f(2,5) = -5,15.10-3 < 0 
  [2,5 , 3] 
 a1 = x1 = 2,5 
 b1 = b0 = 3 
 x2 = (2,5 + 3)/2 = 2,75 
 f(2,5) = -5,15.10-3 < 0 
 f(3) = 0,4314 > 0 
 f(2,75) = 0,2082 > 0 
   [2,5 , 2,75] 
 a2 = a1 = 2,5 
 b2 = x2 = 2,75 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 6: 
9 
 x3 = (2,5 + 2,75)/2 = 2,625 
 f(2,5) = -5,15.10-3 < 0 
 f(2,75) = 0,2082 > 0 
 f(2,625) = 0,1002 > 0 
   [2,5 , 2,625] 
 a3 = a2 = 2,5 
 b3 = x3 = 2,625 
 x4 = (2,5 + 2,625)/2 = 2,5625 
 f(2,5) = -5,15.10-3 < 0 
 f(2,625) = 0,1002 > 0 
 f(2,5625) = 0,0472 > 0 
   [2,5 , 2,5625] 
 a3 = a2 = 2,5 
 b3 = x4 = 2,5625 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 7: 
 Considere-se f(x) = x3 – x – 1 
10 
x 1 2 3 4 
y 
5 0 -1 -2 -3 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
Intervalo inicial atribuído: [1, 2] 
 
tol = 0,002 
 
f(a0) = -1 
 
f(b0) = 5 
 
 
 
f’(x) = 3x2 – 1 
 
f(a0) * f(b0) = -5 < 0 
 
Sinal da derivada constante 
(f’(a0) = 2 e f’(b0) = 11) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 7 
11 
 Cálculo da 1ª aproximação 
 
 x1 = (a0 + b0)/ 2 = (1 + 2)/2 = 1,5 
 
 f(x1) = 1,5
3 – 1,5 – 1 = 0,875 
 
 Teste de Parada 
 
● |f(x1)| =|0,875| = 0,875 > 0,002 
 
 Escolha do novo intervalo 
 
● f(a0).f(x1) = (-1).0,875 = -0,875 
 
 logo: a1 = a0 = 1,0 e b1 = x1 = 1,5 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 7 
12 
 
Cálculo da oitava aproximação 
x8 = (1,32032 + 1,32813) /2 = 1,32423 
Teste de parada 
!f(x8)! = ! – 0,002! = 0,002 
k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1 ) 
0 1,0000000 2,0000000 -1,000000 5,000000 1,50000000 0,875000 
1 1,0000000 1,5000000 -1,000000 0,875000 1,25000000 -0,296875 
2 1,2500000 1,5000000 -0,296875 0,875000 1,37500000 0,224609 
3 1,2500000 1,3750000 -0,296875 0,224609 1,31250000 -0,051514 
4 1,3125000 1,3750000 -0,051514 0,224609 1,34375000 0,082611 
5 1,3125000 1,3437500 -0,051514 0,082611 1,32812500 0,014576 
6 1,3125000 1,3281250 -0,051514 0,014576 1,32031250 -0,018711 
7 1,3203125 1,3281250 -0,018700 0,014576 1,32421875 -0,002128 
tol = 0,002 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Método da Falsa Posição 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe 
uma raiz única, é possível determinar tal raiz a partir de 
subdivisões sucessivas do intervalo que a contém, 
substituindo f(x) no intervalo [a,b] de cada iteração por uma 
reta e tomando como aproximação da raiz a intersecção da 
reta com o eixo das abscissas. 
 
 
MB: calcula a média aritmética entre a e b, e 
 
 MPF: calcula a média ponderada entre a e b com pesos 
lf(b)l e lf(a)l, respectivamente. 
 
13 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
MPF: calcula a média ponderada entre a e b com 
pesos l(b)l e lf(a)l, respectivamente. 
 
X = ( a lf(b)l + b lf(a)l ) / (lf(b)l + lf(a)l) 
 
 = ( a f(b) - b f(a) ) / (f(b) - f(a)) 
 
Observe que f(a) e f(b) têm sinais opostos. 
14 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Definição do intervalo inicial 
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial 
● a0 = a 
● b0 = b 
 
 Condições de aplicação 
 
● f(a)*f(b) < 0 
 
● Sinal da derivada constante 
15 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Definição dos subintervalos 
 Subdivide-se o intervalo pelo ponto de intersecção 
dareta que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas 
 
 Verifica-se se x1 é uma aproximação da raiz da 
equação () 
 
● Se verdadeiro  x1 é a raiz procurada 
 
● Caso contrário  define-se um novo intervalo 
16 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Determina-se em qual dos subintervalos - 
[a0, x1] ou [x1, b0] - se encontra a raiz  
 
●Calcula-se o produto f(a)*f(x1) 
 
●Verifica-se se f(a)*f(x1) < 0 
 
Se verdadeiro    (a0, x1) 
 Logo: a1 = a0 e b1 = x1 
 
Caso contrario    (x1, b0) 
 Logo a1 = x1 e b1 = b0) 
17 
 Definição do novo intervalo 
Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada. 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
18 
 Análise gráfica 
x a = a0  
f(x) 
b = b0 
x1 = (a|f(b)| + b|f(a)| )/ (|f(b)| + |f(a)|) 
x1 
Repete-se o processo até que o 
valor de x atenda às condições de 
parada. 
x a = a1 
 
f(x) 
b1 = x1 
x2 = (a|f(x1)| + x1|f(a)| )/ (|f(x1)| + |f(a)|) 
x2 
x a = a2 
f(x) 
b2 = x1 
x3 = (a|f(x2)| + x2|f(a)| )/ (|f(x2)| + |f(a)|) 
x2 
 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
19 
 Condições de parada 
Se os valores fossem exatos 
 
● f(x) = 0 
● (xk – xk+1)/xk = 0 
 
Não o sendo 
● |f(x)|  tolerância 
● |(xk – xk+1)/xk|  tolerância 
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Raízes de Equações Não Lineares 
Algoritmo 
 
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0); 
xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); ou xk+1 := (akGk- bkFk)/(Gk – Fk); 
while critério de convergência não satisfeito and k  L 
 if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */ 
 ak+1 := ak; bk+1 := xk+1; 
 else /* raiz em [xk+1, bk] */ 
 ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ; 
 endif 
 k := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); 
endwhile 
if k > L 
 convergência falhou 
endif 
20 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Utilizando o método da falsa posição e adotando [a0, b0] = 
[2, 3] como intervalo inicial 
21 
1ª iteração 
 
 a0 = 2 b0 = 3 
 f(a0) = -0,3979 < 0 
 f(b0) = 0,4314 > 0 
x1 = [2.0,4314 – 3.(-0,3979)]/[0,4314 – (-0,3979)] = 
 = 2,4798 
f(x1) = -0,0219 < 0 
Exemplo 8: Considerando f(x) = xlogx – 1 (Exemplo 6) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
22 
Exemplo 8: 
2ª iteração 
 
 a1 = x1 = 2,4798 b1 = b0 = 3 
 f(a1) = -0,0219 < 0 
 f(b1) = 0,4314 > 0 
x2 = [2,4798.0,4314 – 3.(-0,0219)]/[0,4314 – (-0,0219)] = 
 = 2,5049 
f(x2) = -0,0011 < 0 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
23 
Exemplo 8: 
3ª iteração 
 
 a2 = x2 = 2,5049 b1 = b0 = 3 
 f(a2) = -0,0011 < 0 
 f(b2) = 0,4314 > 0 
x3 = [2,5049.0,4314 – 3.(-0,0011)]/[0,4314 – (-0,0011)] = 
 = 2,5061 
f(x3) = -7,0118.10
-5 < 0 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 9: 
 Resgatando a função do Exemplo 7, f(x) = x3 – x – 1 
24 
x 1 2 3 4 
y 
5 0 -1 -2 -3 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
Intervalo inicial atribuído: [1, 2] 
 
tol = 0,002 
 
f(a0) = -1 
 
f(b0) = 5 
 
 
 
f’(x) = 3x2 – 1 
 
f(a0) * f(b0) = -5 < 0 
 
Sinal da derivada constante 
(f’(a0) = 2 e f’(b0) = 11) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 9 
25 
 Cálculo da 1ª aproximação 
 
 x1 = [(a0.f(b0) - b0.f(a0)] / [f(b0) - f(a0)] 
 = [1.5 – 2.(-1)]/[5 – (-1)] = 1,166667 
 
 f(x1) = 1,166667
3 – 1,166667 – 1 = -0,578703 
 
 Teste de Parada 
 
● |f(x1)| =|-0,578703| = 0,578703 > 0,002 
 
 Escolha do novo intervalo 
 
● f(a0).f(x1) = (-1).(-0,578703) = 0,578703 
 logo: a1 = x1 = 1,166667 e b1 = b0 = 2 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
26 
 
Cálculo da oitava aproximação 
x8 = (1,32032 + 1,32813) /2 = 1,32423 
Teste de parada 
!f(x8)! = ! – 0,002! = 0,002 
k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1 ) 
0 
1,00000000 2,00000000 -1,00000000 5,00000000 1,16666667 -0,57870370 
1 
1,16666667 2,00000000 -0,57870370 5,00000000 1,25311203 -0,28536303 
2 
1,25311203 2,00000000 -0,28536303 5,00000000 1,29343740 -0,12954209 
3 
1,29343740 2,00000000 -0,12954209 5,00000000 1,31128102 -0,05658849 
4 
1,31128102 2,00000000 -0,05658849 5,00000000 1,31898850 -0,02430375 
5 
1,31898850 2,00000000 -0,02430375 5,00000000 1,32228272 -0,01036185 
6 
1,32228272 2,00000000 -0,01036185 5,00000000 1,32368429 -0,00440395 
7 1,32368429 2,00000000 -0,00440395 5,00000000 1,32427946 -0,00186926 
tol = 0,002 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Oficina 
1. Crie uma função Polinomial f(x) de grau maior que 2, encontre 
uma raiz desta função usando 3 iterações do método da 
Bisecção e determine o erro absoluto e erro relativo deste 
resultado 
 
2. Faça o mesmo com o método da Falsa Posição. 
 
27 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Método da Falsa Posição Modificado 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b], o qual contém uma 
raiz única, é possível determinar tal raiz a partir de subdivisões 
sucessivas do intervalo que a contém, evitando, ao mesmo tempo, 
que as aproximações geradas pela fórmula de iteração se 
aproximem da raiz por um único lado. 
28 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Definição do intervalo inicial 
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial 
● a0 = a 
● b0 = b 
 
 Condições de aplicação 
 
● f(a)*f(b) < 0 
 
● Sinal da derivada constante 
29 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Definição dos subintervalos 
 Subdivide-se o intervalo pelo ponto de intersecção 
da reta que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas 
 
 Verifica-se se x1 é uma aproximação da raiz da 
equação () 
 
● Se verdadeiro  x1 é a raiz procurada 
 
● Caso contrário  define-se um novo intervalo 
30 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Determina-se em qual dos subintervalos - [a0, x1] 
ou [x1, b0] - se encontra a raiz  
 
●Calcula-se o produto f(a)*f(x1) 
 
●Verifica-se se f(a)*f(x1) < 0 
Se verdadeiro    (a0, x1) 
 Logo: a1 = a0 e b1 = x1 
 
Caso contrario    (x1, b0) 
 Logo a1 = x1 e b1 = b0) 
31 
 Definição do novo intervalo 
Repete-se o processo até que o valor de x atenda às 
condições de parada. 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
32 
 Análise gráfica 
x a = a0  
f(x) 
b = b0 
x1 = (a|f(b)| + b|f(a)| )/ (|f(b)| + |f(a)|) 
x1 
Repete-se o processo até que o 
valor de x atenda às condições de 
parada. 
x a = a1 
 
f(x) 
b1 = x1 
x2 = (a|f(x1)| + x1|f(a)| )/ (|f(x1)| + |f(a)|) 
x2 
x2 
f(a1)/2 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
33 
 Condições de parada 
Se os valores fossem exatos 
 
● f(x) = 0 
● (xk – xk+1)/xk = 0 
 
Não o sendo 
● |f(x)|  tolerância 
● |(xk – xk+1)/xk|  tolerância 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Algoritmo 
 
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0); 
xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); 
while critério de convergência não satisfeito and k  L 
 if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */ 
 ak+1 := ak; bk+1 := xk+1; Gk+1 = f(xk+1) 
 if f(xk)f(xk+1) > 0 then Fk+1 = Fk/2 
 endif 
 else /* raiz em [xk+1, bk] */ 
 ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ; Fk+1 = f(xk+1) 
 if f(xk)f(xk+1) > 0 then Gk+1 = Gk/2 
 endif 
 endif 
 k := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); 
endwhile 
if k  L 
 xk+1 é umaaproximação aceitável para a raiz 
endif 
34 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Oficina 3 
Dada a função : 
A. Determine o intervalo em x que contém pelo menos uma raiz de f(x) 
(graficamente ou aritmeticamente usando o Teorema de Bolzano); 
B. Partindo-se desse intervalo, utilize o método da falsa posição para 
determinar o valor dessa raiz após 3 iterações. 
C. Qual é o erro no seu resultado final? 
 
35 
    4sen 2  xxxf
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Método do Ponto Fixo (MPF) 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma 
raiz única, f(x) = 0, é possível transformar tal equação em uma 
equação equivalente x = g(x) e, a partir de uma aproximação 
inicial x0, gerar uma seqüência {xk} de aproximações para  pela 
relação xk+1 = g(xk), uma vez que g(x) é tal que f() = 0 se e 
somente se g() = . 
36 
xk+1 = g(xk), x = g(x) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Método do Ponto Fixo (MPF) 
 
 Implicação de tal procedimento: 
 
 
37 
Problema de determinação 
de um zero de f(x) 
Problema de determinação 
de um ponto fixo de g(x) 
função de 
iteração 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 9: 
Seja a equação x2 + x – 6 = 0 . Funções de iteração 
possíveis: 
 
 g1(x) = 6 - x
2 
 
 g2(x) = ±√6 - x
2 
 
 g3(x) = 6/x – 1 
 
 g4(x) = 6/(x + 1)
 
 
 
 
38 
Dada uma equação do 
tipo f(x) = 0, há para 
tal equação mais de 
uma função de 
iteração g(x), tal que: 
f(x) = 0  x = g(x) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
39 
 Análise gráfica da Convergência 
x 
{xk}   quando k  inf 
 
y 
x1 
g(x) 
x0 
y = x 
x2 
Situação 1 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
40 
 Análise gráfica da Convergência 
x 
{xk}   quando k  inf 
 
y 
x1 
g(x) 
x0 
y = x 
x2 
Situação 2 
x3 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
41 
 Análise gráfica da Convergência 
x  
y 
x1 
g(x) 
x0 
y = x 
x2 
Situação 3 
{xk}   
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
42 
 Análise gráfica da Convergência 
x  
y 
x1 
g(x) 
x0 
y = x 
x2 
Situação 4 
{xk}   
x3 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 10: 
 
 Resgatando o Exemplo 9, no qual x2 + x – 6 = 0 : 
43 
 Não há necessidade de uso de método numérico 
para a determinação das raízes 1 = -3 e 2 = 2 
 Aproveitamento do Exemplo 9 puramente para 
demonstração numérica e gráfica da convergência 
ou não do processo iterativo 
 Seja a raiz 2 = 2 e g1 (x) = 6 - x2 
 Considere-se x0= 1,5 e g(x) = g1 (x) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 10: 
 
 A partir de x0 = 1,5 e g(x) = g1 (x) : 
44 
 x1 = g(x0) = 6 – 1,5
2 = 3,75 
 x2 = g(x1) = 6 – 3,75
2 = -8,0625 
 x3 = g(x2) = 6 – (-8,0625)
2 = -59,003906 
 
 Conclui-se que {xk} não convergirá para 2 = 2 
 x4 = g(x3) = 6 – (-59,003906)
2 = -3475,4609 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 10: 
 
 Análise Gráfica: 
45 
x 2 
y 
x1 
g(x) 
x0 
y = x 
{xk}  2 
x2 1 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 10: 
 
 Seja ainda a raiz 2 = 2, g2 (x) = √6 - x e x0 = 1,5 
46 
 x1 = g(x0) = √6 – 1,5
 = 2,121320343 
 x2 = g(x1) = √6 – 2,121320343 = 1,969436380 
 
 x3 = g(x2) = √6 – 1,969436380 = 2,007626364 
 Conclui-se que {xk} tende a convergir para 2 = 2 
 x4 = g(x3) = √6 – 2,007626364 = 1,998092499 
 x5 = g(x4) = √6 – 1,998092499 = 2,000476818 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 10: Análise Gráfica 
47 
g(x) 
x 
y 
y = x 

2 
x1 
x0 
x2 
{xk}  2 quando k  inf 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
48 
 TEOREMA 2: 
 
 Sendo  uma raiz de f(x) = 0, isolada em um 
intervalo I centrado em  e g(x) uma função 
de iteração para f(x) = 0. Se 
 
1. g(x) e g’(x) são contínuas em I 
 
2. |g’(x)|  M < 1,  x  I e 
 
3. x1  I 
 
 então a seqüência {xk} gerada pelo processo 
iterativo xk+1 = g(xk) convergirá para  . 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 11: 
 
 Resgatando o Exemplo 10, verificou-se que: 
 
 g1 (x)  geração de uma seqüência divergente de 2=2 
 
 g2 (x)  geração de uma seqüência convergente p/ 2=2 
49 
 g1 (x) = 6 - x
2 e g’1 (x) = - 2x
  contínuas em I 
 |g’1 (x)| < 1  |-2x| < 1  -½ < x < ½ 
 Não existe um intervalo I centrado em 2=2, tal 
que |g’(x)| < 1,  x  I  g1 (x) não satisfaz a 
condição 2 do Teorema 2 com relação a 2=2 . 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 11: 
50 
 g2 (x) = √ 6 - x
 e g’2 (x) = - (1/2 )√ 6 - x
 
 
  g2 (x) é contínua em S = {x  R | x  6} 
 
 g’2 (x) é contínua em S’ = {x  R | x < 6} 
 |g’2 (x)| < 1  |1/2 √ 6 - x | < 1  x < 5,75 
 É possível obter um intervalo I centrado em 2=2, 
tal que todas as condições do Teorema 2 sejam 
satisfeitas. 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
51 
 Critérios de parada 
Se os valores fossem exatos 
 
● f(xk) = 0 
● |xk – xk-1| = 0 
 
Não o sendo 
● |f(xk)|  tolerância 
● |xk – xk-1|  tolerância 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Algoritmo 
 
 k := 0; x0 := x; 
 while critério de interrupção não satisfeito and k  L 
 k := k +1; 
 xk+1 := g(xk); 
 endwhile 
52 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Algoritmo Completo 
 
(1) Seja f(x)= 0 e a equação Equivalente x=g(x) 
 Dados: x0 (aprox. inicial) e 1 e 2 (precisões) 
 Supor que as hipóteses do Teorema 2 foram satisfeitas 
 
(2) Se: lf(x0)l < 1, Então: x´= x0. FIM 
 
(3) Senão: k = 0; NI = 1; 
 
(4) xk+1 = g(xk); 
 
(5) Se ( lf(xk+1)l < 1 ou l xk+1 – xk l < 2 ou NI >L ) 
 Então x´= xk+1. FIM 
 
(6) Xk = xk+1 ; NI = NI+1 
 
 Volta para (4) 
 
53 
X´= raiz aproximada 
(NI = No. de iterações) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Método de Newton-Raphson 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, é possível determinar uma 
aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente à 
curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas. 
 
 
 
x0 - atribuído em função da geometria do método e do 
comportamento da curva da equação nas proximidades da 
raiz. 
54 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Considerações Iniciais 
 Método do Ponto Fixo (MPF) 
 
● Uma das condições de convergência é que |g’(x)| 
 M < 1,  x  I , onde I é um intervalo centrado na 
raiz 
 
● A convergência será tanto mais rápida quanto 
menor for |g’(x)| 
 
 O método de Newton busca garantir e acelerar a 
convergência do MPF 
 
● Escolha de g(x), tal que g’() = 0, como função de 
iteração 
55 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Considerações Iniciais 
 Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral 
para g(x) 
 
g(x) = x + A(x)f(x) 
 
 busca-se obter a função A(x) tal que g’() = 0 
 
 g(x) = x + A(x)f(x)  
 
 g’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x)  
 
 g’() = 1 + A’()f() + A()f’()  
 
 g’() = 1 + A()f’() 
56 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Considerações Iniciais 
 Assim 
 
g’() = 0  1 + A()f’()= 0  A() = -1/f’() 
 
 donde se toma A(x) = -1/f’(x) 
 
 Então, dada f(x), a função de iteração 
 g(x) = x - f(x)/f’(x) será tal que g’() = 0, posto que 
 
 g’(x) = 1 – {[f’(x)]2 – f(x)f”(x)}/[f’(x)]2 
 
 e, como f() = 0, g’() = 0 (desde que f’()  0 ) 
57 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Considerações Iniciais 
 Deste modo, escolhido x0 , a seqüência {xk} será 
determinada por 
 
xk+1 = xk – f(xk)/f’(xk) 
 
 onde k = 0, 1, 2, ... 
58 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Motivação Geométrica 
 Dado o ponto (xk , f(xk)) 
 
● Traça-se a reta Lk(x) tangente à curva neste 
ponto: 
 
Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x-xk) 
 
● Determina-se o zero de Lk(x), um modelo linear 
que aproxima f(x) em uma vizinhança xk 
 
Lk(x) = 0  x = xk - f(xk)/f’(xk) 
 
● Faz-se xk +1 = x 
59 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
60 
x 
 
f(x) 
x1 x0 
x2 
x3 
1a iteração 
2a iteração 
3a iteração 
4a iteração 
Repete-se o processo até que 
o valor de x atenda às 
condições de parada. 
xk+1= xk – f(xk)/f’(xk) 
 
 onde k = 0, 1, 2, ... 
Método de Newton-Raphson 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 12: 
 
 Resgatando o Exemplo 9, no qual x2 + x – 6 = 0 : 
61 
 Seja a raiz 2 = 2 e x0 = 1,5 
 Assim: 
 x1 = g(x0) = 1,5 – (1,5
2 + 1,5 – 6)/(2.1,5 + 1) = 
 = 2,062500000 
 x2 = g(x1) = 2,000762195 
 x3 = g(x2) = 2,000000116
 
 g(x) = x - f(x)/f’(x) = x – (x 2 + x – 6)/(2x + 1) 
e 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 12: 
 
 Comentários: 
62 
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração 
(x = 2,000000116), caso a precisão do cálculo 
com 6 casas decimais for satisfatória para o 
contexto do trabalho 
 Observe-se que no Exemplo 10, o MPF com 
g(x) = √6 - x só veio a produzir 
x = 2,000476818 na 5a iteração 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
63 
 Estudo da Convergência 
 
 TEOREMA 3: 
 
 Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um 
intervalo I que contém uma raiz x =  de 
f(x) = 0 e supondo f’()  0, existirá um 
intervalo Ī  I contendo a raiz , tal que se 
x0  Ī , a seqüência {xk} gerada pela 
fórmula recursiva 
 
 xk+1 = xk - f(xk)/f’(xk) 
 
 convergirá para a raiz. 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 13: 
 
 Considere-se a função f(x) = x3 - 9x + 3 , cujos zeros 
encontram-se nos intervalos: 
64 
1  I1 = (-4, -3), 2  I2 = (0, 1) e 3  I3 = (2, 3) 
 Seja x0 = 1,5 
 xk+1 = xk - f(xk)/f’(xk) 
 xk+1 = xk – (xk
3 - 9xk + 3)/(3xk
2 – 9) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 13: 
 
 A seqüência {xk} gerada pelo método de Newton será: 
65 
f(x) 
13,37037028 
x 
-1,66666667 
18,38888989 
12,36601106 
8,40230714 
5,83533843 
4,23387371 
3,32291104 
2,91733895 
2,82219167 
2,81692988 
Iteração 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
6055,72648668 
1782,69441818 
520,57174528 
149,18208182 
40,79022981 
9,78451301 
1,57303193 
0,07837072 
0,00023432 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 13: 
 
 Comentários: 
66 
 Constata-se nas primeiras iterações uma 
divergência da região em que se encontram as 
raízes, a qual é revertida a partir da 7a iteração 
 Tal divergência inicial deve-se à proximidade de x0 
de √3 , que é um zero de f’(x). Tal proximidade 
inicial gera x1 = -1,66666667 ≈ -√3, outro zero 
de f’(x). 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Cálculo das aproximações 
 
 As aproximações subseqüentes serão determinadas a 
partir da equação 
 
 
67 
|(f(x0).f”(x0))/f’(x0) 
2)| = 
|(f(xk).f’(xk+1))/f’(x0)
2)| 
 
onde xk+1 = xk – (f(xk)/f’(xk+1)) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Testes de Parada 
 
 A cada iteração, testa-se se a aproximação 
encontrada poderá ser considerada como a 
solução do problema. 
 
●|f(xk)|  tolerância 
 
●|((xk+1 – xk)/xk+1 )|  tolerância 
68 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Algoritmo 
 
 k := 0; x0 := x; 
 while critério de interrupção não satisfeito and k  L 
 k := k +1; 
 xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk) 
 endwhile 
69 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Método da Secante 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, é possível determinar uma 
aproximação de tal raiz a partir da interseção da 
secante à curva em dois pontos x0 e x1 com o eixo 
das abscissas. 
 
 
x0 e x1 - atribuídos em função da geometria do 
método e do comportamento da curva da equação 
nas proximidades da raiz. 
70 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Método de Newton-Raphson 
Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f’(x) 
e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração 
 
Forma de desvio do inconveniente: 
Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das diferenças 
 
f’(xk) ≈ [f(xk) - f(xk-1)]/(xk - xk-1) 
 
onde xk-1 e xk são duas aproximações para a raiz 
71 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 A função de iteração será 
 
g(x) = xk - f(xk)/[(f(xk) - f(xk-1))/(xk - xk-1)] 
 = (xk - xk-1) . f(xk)/[f(xk) - f(xk-1)] 
 = [xk-1 .f(xk) – xk . f(xk-1)]/[f(xk) - f(xk-1)] 
 
72 
g(x) = [xk-1 .f(xk) – xk . f(xk-1)]/[f(xk) - f(xk-1)] 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Interpretação Geométrica 
73 
 A partir de duas aproximações xk-1 e xk 
 
● Obtém-se o ponto xk+1 como sendo a 
abscissa do ponto de intersecção do eixo ox 
e da reta que passa pelos pontos 
(xk-1, f(xk-1)) s (xk, f(xk)) (secante à curva 
da função) 
 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
 Análise Gráfica 
74 
x  
f(x) 
x1 x0 x2 
x3 
1a iteração 
2a iteração 
3a iteração 
4a iteração 
Repete-se o processo até que 
o valor de x atenda às 
condições de parada. 
x4 
x5 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Exemplo 12: 
 
 Resgatando o Exemplo 9, no qual x2 + x – 6 = 0 : 
75 
 Sejam x0 = 1,5 e x1 = 1,7 
 Assim: 
 x3 = [x1 .f(x2) – x2 . f(x1)]/[f(x2) - f(x1)] 
 = 1,99774 
 x2 = [x0 .f(x1) – x1 . f(x0)]/[f(x1) - f(x0)] 
 = [1,5.(-1,41) – 1,7.(2,25)]/(-1,41 + 2,25) 
 = 2,03571 
 x4 = [x2 .f(x3) – x3 . f(x2)]/[f(x3) - f(x2)] 
 = 1,99999 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Testes de Parada 
A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada 
poderá ser considerada como a solução do problema. 
 
|f(xk)|  tolerância 
 
|((xk+1 – xk)/xk+1 )|  tolerância 
76 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Algoritmo 
 
k := 0; x0 := X0; x1 := X1 
while critério de interrupção não satisfeito and k  L 
 k := k +1; 
 xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) endwhile 
77 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Oficina 
1. Encontre uma raiz da função 3x2 + 2x – 12 = 0 
usando 4 iterações do método da Bisecção e 
determine um erro absoluto e um erro relativo 
deste resultado 
 
2. Faça o mesmo usando o método de Newton 
Raphson. 
 
3. Comente as diferenças dos erros dos dois 
cálculos numéricos. 
 
78 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
79 
Critérios de comparação 
 
Garantiade convergência 
Método da Bissecção e Falsa Posição - têm convergência 
garantida desde que a função seja contínua num intervalo 
[a,b], tal que f(a)f(b)<0. 
Método de Ponto Fixo, de Newton e Secante – têm condições 
mais restritivas de convergência. 
Se as condições de convergência são satisfeitas, os dois últimos 
métodos são mais rápidos que os três primeiros. 
Para todos os métodos deve-se considerar que o intervalo 
contém uma única raiz. 
 
 
Rapidez de Convergência 
O número de iterações é, normalmente, a 
medida utilizada para determinar a rapidez 
de convergência de um método (esta não 
deve ser uma medida conclusiva sobre o 
tempo de execução do programa, pois o 
tempo gasto na execução de uma iteração 
veria de método para método). 
 
 
Esforço Computacional 
Medido através de: 
número de operações efetuadas a cada iteração, 
da complexidade destas operações, 
do número de decisões lógicas, 
do número de avaliações de função a cada iteração e 
do número total de iterações. 
 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
80 
Esforço Computacional 
É difícil tirar conclusões gerais sobre a eficiência 
computacional de um método. Por exemplo: 
Bissecção - efetua cálculos mais simples por iteração. 
Newton - requer cálculos mais elaborados. Porém, O 
número de iterações da Bissecção é, na grande maioria 
das vezes, muito maior que o número de iterações 
efetuadas por Newton. 
 
Considerando que o método ideal deve satisfazer as 
condições: 
convergência assegurada 
ordem de convergência alta 
cálculos por iteração simples 
 
Deve-se escolher: 
Método de Newton - se for fácil verificar as condições 
de convergência e calcular f´(x). 
Método da Secante - se for trabalhoso obter e/ou 
avaliar f´(x), pois não é preciso obter f´(x). 
 
 
 
Deve-se evitar o uso do Método de Newton e da 
Secante quando: 
a curva tende a ser paralela a qualquer um 
dos eixos. 
a função tangencia o eixo das abscissas em 
um ou mais pontos. 
 
Conclusão 
A escolha do método está diretamente relacionada 
com a equação que se quer resolver, no que diz 
respeito ao comportamento da função na região da 
raiz exata, às dificuldades com o cálculo de f´(x), ao 
critério de parada, etc 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
81 
Exemplo 1 
4
21
-x 10εε (1,2);ξ ;)(cose)(f
2  xx
Tolerância para 
|f(x)|<1 ou 
|xk- xk-1|< 2 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
82 
Exemplo 2 
6
21
3 10εε (1,2);ξ 1;-x-x)(f x
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
83 
Exemplo 3 
5
21
x 10εε (0,1);ξ ;e-4sen(x))(f x
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
84 
Exemplo 4 
7
21 10εε (2,3);ξ 1;-xlog(x))(f
x
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Métodos Iterativos para a Obtenção 
de Zeros Reais de Funções 
 
Bissecção (ou de Bolzano) 
 
 
Falsa Posição 
 
 
Ponto Fixo 
 
 
Newton-Raphson 
 
 
Secante 
85 
x1 = (a+b)/2 
x1 = ( a f(b) - b f(a) ) / (f(b) - f(a)) 
xk+1 = g(xk), x = g(x) 
 xk+1 = [xk-1 .f(xk) – xk . f(xk-1)]/[f(xk) - f(xk-1)] 
xk+1 = xk – f(xk)/f’(xk) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
1. Descreva um problema (uma questão) em que é necessário um cálculo de uma 
raíz para encontrar uma solução (uma resposta). Deixe claro qual é a variável 
dependente (a questão) e as variáveis independentes (os fatores que influenciam 
direta ou inversamente o problema). 
2. Descreva um modelo matemático para o problema. Use o seu conhecimento do 
problema para propor relações coerentes de dependência direta e inversa das 
variáveis. Explicite o significado prático de todas as variáveis envolvidas. 
3. Descreva um cenário (um conjunto de dados) que representa uma situação 
particular deste problema e que permite encontrar sua resposta para o problema 
encontrando uma raiz por meio de um método numérico 
4. Encontre uma resposta para o problema usando 3 iterações do método 
numérico estudado bisecção. 
5. Calcule o erro relativo do resultado obtido pelo método usado. 
Desafio de MathVille (60 min) 
Cálculo Numérico 
Raízes de Equações Não Lineares 
Oficina Visita à Fetech2014 - Data: 26 de Nov. Você é o líder do seu 
grupo. Você quer criar uma história (uma narrativa) na qual você é um 
herói porque salva a sua cidade de uma problema eliminando alguma 
coisa que aflige a cidade. Responda a este tópico com o seu relatório 
da visita do seu grupo à Fetech 2014, contendo os seguintes ítens: 
 
1. Nome do Grupo, 2. Nome do líder. 3. Nomes dos demais membros do 
grupo. 4. Dentre as soluções tecnológicas vistas na Fetech2014, qual 
foi aquela que você (o seu herói da sua história) poderia usar como 
recurso para eliminar um problema da sua cidade. 5. Um resumo da 
história (meia página) que tem uma parte onde o herói usa esta 
solução tecnológica e outra parte onde ele usa um método numérico 
qualquer de cálculo de raízes para calcular o valor de um fator que vai 
zerar o problema da cidade. 
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