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Cinemática Direta Prof. Samuel Gonçalves Carvalho UFOP – Escola de Minas Introdução O objetivo da cinemática direta é calcular a posição e a orientação do efetuador com relação a um sistema de coordenadas fixo, em função das variáveis das juntas, sendo elas de rotação (R) ou prismática (P). No caso de um robô articulado do tipo RRR-RRR: Θi, i = 1,2, ... ,6 Cinemática Direta de Posição e Orientação xn , yn , zn , n, s, a Posição Orientação São as coordenadas cartesianas do efetuador. São vetores unitários cujos componentes são os cossenos diretores dos ângulos dos eixos do sistema de coordenadas O6 com os eixos do sistema de coordenadas O0. Introdução A obtenção das equações de cinemática direta por meio da geometria e trigonometria é relativamente fácil para manipuladores muito simples, como no caso do manipulador planar. Para robôs mais complexos, vamos utilizar a representação de Denavit-Hartenberg, consagrada em mecanismos e em robótica. Tal representação permite tratar qualquer tipo de manipulador de uma maneira sistemática, facilitando muito a obtenção das equações da cinemática direta de posição. 1 - Cadeias Cinemáticas Um robô é composto por juntas de revolução e/ou prismáticas que unem elos rígidos fomando uma cadeia cinemática. Um extremo da cadeia está fixada à base, enquanto que a outra termina no efetuador. Cada junta adiciona um grau de mobilidade e está associada a uma variável de junta (ângulo ou deslocamento). 1 - Cadeias Cinemáticas Dado o manipulador a seguir: A cadeia cinemática deste manipulador é constituída por n+1 elos, numerados de 0 a n, começando com o elo 0 sendo a base. Os elos são unidos por juntas numeradas de 1 a n. Base (elo 0) Portanto, a junta i une o elo i ao elo i-1. 1 - Cadeias Cinemáticas Seja Ti-1,i a matriz de transformação homogênea do sistema do elo i para o sistema do elo i-1. Como cada junta tem apenas um GDL, a matriz Ti-1,i é função apenas da variável da junta, qi: Ti-1,i = Ti-1,i (qi) Onde, qi Θi: variável da junta R di: variável da junta P Considerando que cada junta fornece um grau de mobilidade associado a uma variável de junta, temos T0n(q) = T01(q1) . T12(q2) ... Tn-1,n(qn) (1.1) 1 - Cadeias Cinemáticas A transformação homogênea descrevendo a posição e orientação do efetuador com respeito à base do manipulador é dada por: T0e(q) = T0nTne Onde, Tne é a transformada homogênea do efetuador para o sistema de coordenada n. Cada transformada homogênea é dada por: Ti-1,i = Ri−1,i pi−1,i 0 1 Matriz de Rotação Vetor posição 1 - Cadeias Cinemáticas A matriz de transformação homogênea do sistema On para o sistema O0 é dada por: T0n = R0n p0n 0 1 (1.2) Portanto, a cinemática direta resume-se em determinar as matrizes de TH dadas pelas eqs (1.1) e (1.2) e igualá-las, obtendo-se 12 equações, sendo 3 elementos correspondentes ao vetor posição e 9 elementos referentes à matriz de rotação. É possível obter-se uma simplificação utilizando a chamada representação de Denavit-Hartenberg. 2 – Representação de Denavit-Hartenberg Na representação DH cada matriz Ti-1,i é representada pelo produto de quatro transformações básicas: Ti-1,i = Rotz,θi . Transz,di . Transx,ai . Rotx,αi (2.1) Rotz,θ: representa a rotação θ em torno do eixo z (sinal positivo dado pela regra da mão direita); Transz,d: representa a translação d ao longo do eixo z (sinal positivo quando a translação concorda com o sentido do eixo); Transx,a: representa a translação a ao longo do eixo x (sinal positivo quando a translação concorda com o sentido do eixo) Rotx,α: representa a rotação α em torno do eixo x (sinal positivo dado pela regra da mão direita). 2 – Representação de Denavit-Hartenberg Conforme visto anteriormente, a matriz de transformação homogênea é caracterizada por seis grandezas: três ângulos de rotação e três coordenadas do vetor posição. Na representação DH, existem apenas quatro parâmetros (ai, αi, di, θi), por isso dizemos que a representação DH simplifica a obtenção da cinemática direta. ai: comprimento αi: torção di: excentricidade θi: ângulo da junta 2 – Representação de Denavit-Hartenberg Desenvolvendo a equação (2.1), temos: Ti-1,i = Cθi −S𝜃𝑖 0 0 S𝜃𝑖 C𝜃𝑖 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 di 0 1 1 0 0 ai 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 C𝛼𝑖 −S𝛼𝑖 0 0 0 S𝛼𝑖 0 C𝛼𝑖 0 0 1 2 – Representação de Denavit-Hartenberg Ti-1,i = Cθi −S𝜃𝑖C𝛼𝑖 S𝜃𝑖S𝛼𝑖 𝑎𝑖C𝜃𝑖 S𝜃𝑖 C𝜃𝑖C𝛼𝑖 −C𝜃𝑖S𝛼𝑖 𝑎𝑖S𝜃𝑖 0 0 S𝛼𝑖 0 C𝛼𝑖 di 0 1 Na representação DH, existem apenas quatro parâmetros. Tal redução na quantidade de parâmetros é possível devido a uma certa liberdade de escolha da posição da origem e dos eixos coordenados do sistema do membro i, se forem satisfeitas as seguintes condições DH: DH1: o eixo x1 é perpendicular ao eixo z0; DH2: o eixo x1 intercepta o eixo z0; 2 – Representação de Denavit-Hartenberg Condições DH: DH1: o eixo x1 é perpendicular ao eixo z0; DH2: o eixo x1 intercepta o eixo z0; 2 – Representação de Denavit-Hartenberg Com base na figura acima pode-se dar uma interpretação física a cada parâmetro: ai: distância, ao longo de xi, de Oi à interseção dos eixos xi e zi-1 (ou a distância mais curta entre os eixos zi-1 e zi); di: distância, ao longo de zi-1, de Oi-1 à interseção dos eixos xi e zi-1; 2 – Representação de Denavit-Hartenberg Com base na figura acima pode-se dar uma interpretação física a cada parâmetro: αi: ângulo do eixo zi-1 para o eixo zi, medido em torno de xi (sinal dado pela regra da mão direita); θi: ângulo do eixo xi-1 para o eixo xi, medido em torno de zi-1, (sinal dado pela regra da mão direita). Referências • Spong. M., W., Hutchinson, S., Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control. 1st ed. New York, NY, US: Wiley, 2005. • Craig, J.J., Robótica. 3ª ed. Pearson, 2013. • Notas de Aula, Prof. José Alberto Naves Cocota Júnior, DECAT- UFOP.
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