6 Aula Ajuste curvas

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6 AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS QUADRADOS 
 
6.1 Introdução 
 
 O ajuste de curvas é muito utilizado para, a partir de dados conhecidos, fazerem-se 
extrapolações. Por exemplo, conhecem-se os dados de consumo anual de carga elétrica de 
uma cidade. A partir destes dados conhecidos, podem-se fazer projeções para o futuro e 
com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja suprida de forma adequada nos 
anos subsequentes. A idéia é ajustar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. 
Conhecida a equação da curva, podem-se determinar valores fora do intervalo conhecido. 
Os dados conhecidos podem ser tabelados e obtidos por meio de experimentos. 
Como exemplo, sejam os dados da Tabela 1. 
 
 Tabela 1 – Pontos a serem ajustados 
x 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 
)(xf 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 
 
A partir dos dados disponíveis, pode-se desejar saber uma estimativa do valor da função 
)(xf em 9=x . Porém, pode-se construir um diagrama de dispersão, que é a representação 
em gráfico dos dados disponíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Representação dos pontos da tabela 1 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x) 
x 
O objetivo é encontrar uma função )(xϕ que seja uma boa aproximação para os 
valores tabelados de )(xf e que nos permita extrapolar com certa margem de segurança. 
 
6.2 Formulação Matemática 
 
Definição: A aproximação por mínimos quadrados consiste em encontrar a função que 
“melhor ajusta”, ao conjunto de pontos, minimizando o erro restante do ajustamento, ou 
seja, pretende-se minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores tabelados 
e os valores obtidos pela aproximação. O método dos mínimos quadrados consiste em: 
 
• Ajuste Linear; 
• Ajuste quadrático. 
 
De modo geral consideramos as variáveis ou grandezas x e y que definem 
fenômenos a analisar, sujeitas a um conjunto de n medidas ou experimentos. 
 
 ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, , , ;...; ,n nA x y x y x y= (1.1) 
 
Conjunto A formado por pares ordenados. Seja a função 1: kf R R+ → , 
( ) ( )1 2; , ,..., ny x f x α α α= , onde 1 2, ,..., nα α α são parâmetros desconhecidos. 
A relação que existe entre a variável independente x e y e dada através da 
função f , que depende do x e aparecem k parâmetros, que irão caracterizar a forma da 
função f são parâmetros desconhecidos. O processo é encontrar esses parâmetros que irá 
dar origem a poder encontrar f : 
O método dos mínimos quadrados consiste em determinar esses parâmetros de 
modo que minimize o valor de: 
 ( ) ( ) 21 2 1 2
1
, ,..., ; , ,...,
n
k n i
i
S F x yα α α α α α
=
=   ∑ (1.2) 
 
A função S que depende de k parâmetros. O método consiste em minimizar a 
soma dos quadrados de: 
 ( )1 2; , ,...,i n iF x yε α α α= − (1.3) 
 
entre os diversos valores de iy observados e os valores ajustados 
( ) ( )1 2; , ,...,i ny x F x α α α= . Os valores iy são chamados desvios ou erros do processo de 
aproximação. Os erros são a diferença que existe de cada ponto ao valor da função f curva 
queremos considerar a menor distância de cada pontinho para o ponto da curva, e fazendo a 
soma de todas as distâncias, estaremos minimizando o erro. 
Seja o diagrama de dispersão anterior. A partir de uma análise do diagrama de 
dispersão deve-se definir uma curva para ser ajustada aos dados. No caso, ajusta-se os 
dados por uma reta dada pela função xx 21)( ααϕ += . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ajuste Linear 
 
Suponhamos que as grandezas x e y , cujas medidas são dadas por Eq. (1.2) se 
relacionam linearmente. O ajuste linear é definido pela equação da reta: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f (x) 
x 
f i (x)=alfa1+(alfa2)x 
 
 ( ) ( ); ,y x F x a b ax b= = + (1.4) 
É denominado linear, se a função 3: .f R R→ Devido os erros de medida, os 
valores ( ),i ix y não necessariamente satisfazem exatamente à Eq. (1.4), isto é: 
 
 i iy ax b≅ + (1.5) 
Para que a expressão se torne uma igualdade devemos levar em conta os erros 
ou desvios ( )ε cometidos na medida. Assim: 
 
 i i iy ax b ε= + + (1.6) 
 
Portanto, iε também depende de a e b : porque a função f depende de a e 
b : 
 ( ) ( ),i i ia b y ax bε = − + (1.7) 
 
A soma dos quadrados dos desvios é dado por: 
 
 ( ) [ ]
2
1
,
n
i i
i
S a b y ax b
=
= − −∑ (1.8) 
 
Aplicando o método dos mínimos quadrados, temos que os melhores para a 
e b e, portanto a melhor reta são aquelas que minimizam ( ),S a b . 
Uma solução é encontrar a e b , tais que ( ),F a b seja mínimo. Minimizando 
( ),F a b , está-se minimizando os desvios quadráticos. Em função deste procedimento, é 
que se adota o nome de ajuste de curvas por mínimos quadrados. 
A condição necessária para que ( ),F a b seja um mínimo de ( )a,bF é que as 
derivadas parciais de ( )a,bF em relação a a e b sejam zero. 
Como se ( ),S a b é a função de duas quantidades a e b tem-se: 
 
 ( ) ( )
2
1
,
n
i i
i
S a b y ax b
=
= − +  ∑ (1.9) 
 
Escrevemos essas condições necessárias de mínimo como: 
 
 0 e 0S S
a b
∂ ∂
= =
∂ ∂
 (1.10) 
 
Ou seja, são conhecidos para que aconteça o mínimo: 
 
 ( )2
1
2 0,
n
i i i i
i
S
x y ax bx
a
=
∂
= − − − =
∂ ∑
 (1.11) 
 
 ( )
1
2 0,
n
i i
i
S y ax b
b
=
∂
= − − − =
∂ ∑
 (1.12) 
Podemos resolver as Eqs. (1.11) e (1.12) por Cramer para obter a e b . 
 
 
1 1 1
2
2
1 1
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
x y n x y
a
x n x
= = =
= =
     
−     
     
=
   
−   
   
∑ ∑ ∑
∑ ∑
 (1.13) 
 
 
2
1 1 1 1
2
2
1 1
n n n n
i i i i i
i i i i
n n
i i
i i
x y x x y
b
x n x
= = = =
= =
       
−       
       
=
   
−   
   
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
 (1.14) 
 
Ou rearranjando as Eqs.(1.11) e (1.12) chega-se: 
 
 
1 1 1
2
1 1 1
0
0
m m m
k k
k k k
m m m
k k k k
k k k
y b ax
y x bx ax
= = =
= = =

− − =



− − =

∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
 (1.15) 
 
Isolando as variáveis dos termos constantes, tem-se: 
 
 
1 1
2
1 1 1
 + )
m m
k k
k k
m m m
k k k k
k k k
mb x a y
x b x a x y
= =
= = =
  
=  
  

    + =      
∑ ∑
∑ ∑ ∑
 (1.16) 
 
Observe que resulta num sistema de equações lineares. Essas equações são 
conhecidas como equações normais. A solução das equações normais, ( ),F a b apresenta 
seu menor valor. Solucionando para os valores numéricos do exemplo da Tabela 1, tem-se: 
 
54,127)8,5()0,8()1,6()8,6()8,3()1,5()2,5()4,3()0,2()3,1()(
5,149)0,8()8,6()1,5()4,3()3,1()(
9,228,51,68,32,50,2)(
6,240,88,61,54,33,1
5
1
222
5
1
222
5
1
5
1
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
=++++=
=++++=
=++++=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
xfx
x
xf
x
 
 
Substituindo na equação normal, tem-se: 
 
5 24,6 22,9
24,6 149,5 127,54
b
a
     
=     
     
 
 
A solução deste sistema linear resulta em: [ ] [ ], 2,01 0,522T Tsoluçãox a b= = . A 
reta que melhor aproxima ( )f x pelo método dos mínimos quadrados é dada por: 
 
 ( ) 2,01 0,522f x x= + (1.17) 
 
Ajuste quadrático 
 
Definição: Suponhamos que as grandezas x e y , cujas medidas são dadas por Eq. (1.2) um 
ajuste de curvas é denominado quadrático se a função que relaciona as grandezas é definido 
por: 
 
 ( ) ( )2; , ,y x F x a b c a bx cx= = + + (1.18) 
 
 
A função 4:f R R→ definindo a parábola. Aplicando o método dos mínimos 
quadrados, determinamos os parâmetros , a b e c minimizando a função: 
 
 ( ) ( )
2 2
2
1 1
, , ; , ,
n n
i i i i
i i
S a b c y F x a b c y a bx cx
= =
 = − = − − −    ∑ ∑ (1.19) 
 
As condições necessárias de mínimo são dadas pela seguinte condição: 
 
 0 ; 0 e 0S S S
a b c
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
 (1.20) 
 
 
Resultando em: 
 
 
2
1 1 1
2 3
1 1 1 1
2 3 4 2
1 1 1 1
 + ) 
 
 
m m m
k k k
k k k
m m m m
k k k k k
k k k k
m m m m
k k k k k
k k k k
ma x b x c y
x a x b x c x y
x a x b x c x y
= = =
= = = =
= = = =
    
+ =    
   
     
+ + =     
     
     
+ + =     
     
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
 (1.21) 
 
A curva a ser ajustada não necessariamente precisa ser uma reta. Uma maneira 
de se definir que tipo de função deve ser feita a partir da análise do diagrama de 
dispersão (dados). Seja o exemplo dado pelo diagrama de dispersão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o diagrama sugere o ajuste através de uma parábola. 
Exemplo: Seja os valores da função apresentados na Tabela 2. Através do Método de 
Mínimos Quadrados determine a equação da curva que melhor ajuste os pontos dados. 
 
Tabela 2 – Dados a serem ajustados 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 
 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f (x) 
x 
Representando os pontos através do seu diagrama de dispersão tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se observar que uma boa possibilidade é ajustar os pontos a uma parábola 
passando pela origem. 
Portanto, procura-se a função 2)( xx αϕ = que melhor represente f(x). Para a 
notação utilizada, 2)( xxg = . 
 
A partir das equações do método, tem-se: 
 
)()()]([
11
1
11
1
2
k
k
k
k
k xgxfxg ∑∑
==
=α 
 
Substituindo: 
 
k
k
k
k
k xxfx ⋅=⋅ ∑∑
==
11
1
11
1
22 )(][ α 
 
como ∑
=
=
11
1
22 8464,2][
k
kx e 8756,5)(
11
1
=⋅∑
=
k
k
k xxf , tem-se a equação linear: 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f (x) 
x 
 
0642,28756,58464,2 =⇒= αα 
 
A equação 20642,2)( xx =ϕ é a parabola que melhor aproxima a função 
tabelada através do Método de Mínimos Quadrados. 
 
Exemplo: Aproximar a função Tabela 3 representada no exemplo anterior por uma função 
do tipo: 2321)( xxx αααϕ ++= 
Tabela 3 – Dados a serem ajustados 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 
 
 
Deve-se montar o sistema linear bA =α , onde: 
 
3,...,13,...,1)()(
11
1
==== ∑
=
jeiparaxgxgaa kj
k
kijiij ; 
3,...,1)()(
11
1
==∑
=
iparaxgxfb ki
k
ki . 
 
Para a função )(xϕ proposta, tem-se: 
2
321 )(,)(,1)( xxgexxgxg === 
 
Chega-se portanto a: 
 
111
11
1
2
11 ==∑
=k
a 
∑
=
⋅==
11
1
2112 1
k
kxaa 
∑
=
⋅==
11
1
2
3113 1
k
kxaa 
∑
=
=
11
1
2
22
k
kxa 
∑
=
⋅==
11
1
2
3223
k
kk xxaa 
 
∑
=
=
11
1
22
33
k
kk xxa 
∑
=
=
11
1
1 )(
k
kxfb 
∑
=
=
11
1
2 )(
k
kk xfxb 
∑
=
=
11
1
2
3 )(
k
kk xfxb 
 
Para facilitar os cálculos, pode-se construir a tabela: 
 
Valores Tabelados 
 
∑ 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 -0,35 
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 9,115 
2
x 1,0 0,5625 0,36 0,25 0,09 0,0 0,04 0,16 0,25 0,49 1 4,2025 
3
x -1,0 -0,4218 -0,216 -0,125 -0,027 0,0 0,008 0,064 0,125 0,343 1 -0,2498 
4x 1,0 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0,0 0,0016 0,0256 0,0625 0,240 1 2,8464 
kk xxf )( -2,05 -0,8647 -0,270 -0,200 -0,150 0,0 0,04 0,24 0,256 0,84 2,05 -0,1087 
2)( kk xxf 2,05 0,6486 0,162 0,100 0,045 0,0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756 
 
Com os valores calculados, chega-se ao sistema linear: 
 










−=




















−
−−
−
8756,5
1087,0
115,9
8464,22498,02025,4
2498,02025,435,0
2025,435,011
3
2
1
α
α
α
 
 
Resultando em: 
 










=
9377,1
0970,0
0914,0
α 
 
A equação da parábola ajustada é dada por: 
 
29377,10970,00914,0)( xxx ++=ϕ 
 
 
Exemplo: Ajuste os dados apresentados na Tabela 4, utilizando o Método dos Mínimos 
Quadrados por: 
a) Uma reta ( )x b axφ = + . 
b) Uma parábola do tipo 2( )x c bx axφ = + + . 
c) Como você compararia as duas curvas com relação aos dados. 
Tabela 4 – Dados a serem ajustados. 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 
 
O diagrama de dispersão é dado pela figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f (x) 
x 
Constrói-se a tabela: 
 
Valores Tabelados ∑ 
kx 1 2 3 4 5 6 7 8 36 
)( kxf 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 9,2 
2
kx 1 4 9 16 25 36 49 64 204 
3
kx 1 8 27 64 125 216 343 512 1296 
4
kx 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 8772 
)( kk xfx 0,5 1,2 2,7 3,2 6,0 9,0 11,9 16,0 50,5 
)(2 kk xfx 0,5 2,4 8,1 12,8 30,0 54 83,3 128 319,1 
 
a) xx 21)( ααϕ += ⇒ xxgxg == )(,1)( 21 
81
8
1
2
11 ==∑
=k
a 
361
8
1
2112 =⋅== ∑
=k
kxaa 
204
8
1
2
22 ==∑
=k
kxa 
2,9)(1
8
1
1 =⋅=∑
=k
kxfb 
5,50)(
8
1
2 ==∑
=k
kk xfxb 
 
 






=











5,50
2,9
20436
368
2
1
α
α
 





=
21667,0
175,0
α 
 
A equação da reta ajustada é dada por: xx 21667,0175,0)( +=ϕ 
 
 
 
b) 21 2 3( )x x xφ α α α= + + ⇒ 2321 )(,)(,1)( xxgexxgxg === 
81
8
1
2
11 ==∑
=k
a 
361
8
1
2112 =⋅== ∑
=k
kxaa 
2041
8
1
2
3113 =⋅== ∑
=k
kxaa 
204
8
1
2
22 ==∑
=k
kxa 
1296
8
1
2
3223 =⋅== ∑
=k
kk xxaa 
8772
8
1
22
33 ==∑
=k
kk xxa 
2,9)(
8
1
1 ==∑
=k
kxfb 
5,50)(
8
1
2 ==∑
=k
kk xfxb 
∑
=
==
8
1
2
3 1,319)(
k
kk xfxb 
 
Resultando no sistema linear: 
 










=




















1,319
5,50
2,9
87721296204
129620436
204368
3
2
1
α
α
α
 










=
01548,0
07738,0
40714,0
α 
 
A equação da parábola ajustada é dada por: 
 
201548,007738,040714,0)( xxx ++=ϕ 
 
 
c) Para a verificação do melhor ajuste, pode-se calcular a soma dos desvios quadráticos: 
 
Para a reta : 08833,0
8
1
2
=∑
=k
kd 
Para a parábola : 04809,0
8
1
2
=∑
=k
kd 
Portanto, neste caso a parábola se ajusta melhor aos pontos tabelados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ajuste linear para o modelo exponencial 
 
Supondo que os dados se comportam de um tipo exponencial é definido por uma 
função do tipo: 
 
 ( ) ; 0 xf x eαβ β= > (1.22)Queremos encontrar essa aproximação aplicando o método dos mínimos quadrados. 
Para ser possível vamos fazer uma mudança de variável, ( ) lnf x f= com o objetivo de 
transformar a equação que define a Eq. (1.22) na forma de uma equação da reta resulta: 
 
 ( ) ln lnf x f xα β= = + (1.23) 
 
 
Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial, pela 
facilidade de trabalhar em Eq. (1.23), tomando a α= e lnb β= a equação da reta ajustada 
ou equação auxiliar é: 
 
 ( ); ,y ax b f x a b= + = (1.24) 
 
 
 
2 1 2
5 19,5 7,481 5 19,5 7, 481
3,9*
19,5 91,75 35,201 19,5 91,75 35,201
5 19,5 7,481 6,0251 19,5*(0,3837643) 7,4810,3837643; 0,000480
0 15,7 6,0251 15,7 5
L L L
β
α
α β
      
= ⇒ ≈ = −      
       
 
− − +
⇒ = = = = − 
− − − 
 
De modo geral, depois de encontrarmos os valores 
 a e b aplica-se a exponencial de 
ambos os lados e obtém o ajuste com 0,3837643; 0,000480α β= = − . 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
ln ln ln ln
0,3837643
 : ln
0,9995
y x x b b
y ax b
e e e e obs b e e e
y x e
α β α β ββ β+
= +
= → ⋅ = → = → =
=