GeometriaAnalticaaula06 2011 20151114204439

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O Plano 
Equação Geral do Plano: 
Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente 
a um plano pi e 
→
n = (a, b, c), →n ≠ 0, um 
vetor normal (ortogonal) ao plano 
(figura ao lado). 
 
Como 
→
n ⊥ pi, 
→
n é ortogonal a todo vetor representado em pi. 
Então, um ponto P(x, y, z) pertence a pi se, e somente se, o vetor 
→
AP é ortogonal a 
→
n , isto é, 
→
n . (P − A) = 0 
ou 
(a, b, c) . (x – x1, y – y1, z – z1) = 0 
ou 
a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0 
ou, ainda 
ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 
fazendo 
– ax1 – by1 – cz1 = d, 
obtemos 
ax + by + cz + d = 0 
Esta é a equação geral do plano pi. 
 
 
Obs: 
1) Qualquer vetor k →n , k ≠ 0, é também vetor normal ao plano. 
2) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da 
equação geral representam as componentes de um vetor normal ao 
plano. 
3) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, 
basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o 
valor da outra na equação dada. 
 
Assim, por exemplo, se na equação 3x + 2y – z + 1 = 0 fizermos 
x = 4 e y = –2, teremos: 
3(4) + 2(–2) – z + 1 = 0 
12 – 4 – z + 1 = 0 
z = 9 
e, portanto, A(4, –2, 9) pertence a este plano. 
Exemplos: 
1) Obter uma equação geral do plano pi que passa por A(2, –1, 3) e 
tem 
→
n = (3, 2, –4) como um vetor normal. 
Solução: Como 
→
n é normal a pi, sua equação é do tipo: 
3x + 2y – 4z + d = 0 
E sendo A um ponto do plano, temos: 
3(2) + 2(–1) – 4(3) + d = 0 
6 – 2 – 12 + d = 0 
d = 8 
Logo, uma equação geral de pi é: 3x + 2y – 4z + 8 = 0 
2) A reta r





−
x =5+3t
: y = 4+2t
z =1+t
 é ortogonal ao plano pi que passa pelo 
ponto A(2, 1, –2). Determinar uma equação geral de pi e representá-
lo graficamente. 
Solução: Como r ⊥ pi, qualquer vetor de r é um vetor normal ao 
plano. Sendo 
→
n = (3, 2, 1) um destes vetores, uma equação de pi é 
da forma: 
3x + 2y + z + d = 0. 
Como A Є pi , deve-se ter 3(2) + 2(1) + (–2) + d = 0 → d = –6; 
portanto, uma equação de pi é 3x + 2y + z – 6 = 0. 
Para representação gráfica do plano, obteremos três de seus 
pontos fazendo: 
a) y = 0 e z = 0 → x = 2 
b) x = 0 e z = 0 → y = 3 
c) x = 0 e y = 0 → z = 6 
Obtemos, assim, os pontos A1(2 ,0 0), A2(0, 3, 0) e A3(0, 0, 6) nos 
quais o plano intercepta os eixos coordenados (figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
Se um plano pi intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), 
(0, q, 0) e (0, 0, r) com p . q . r ≠ 0, ou seja, p ≠ 0, q ≠ 0 e r ≠ 0, 
então pi admite a equação: 
x y z+ + = 1p q r 
denominada equação segmentária do plano pi. 
Para o caso do exemplo anterior, a equação segmentária do plano 
é: 
x y z+ + = 12 3 6 que é equivalente a 3x + 2y + z – 6 = 0, ao 
eliminarmos os denominadores e ordenarmos os termos. Se 
dividirmos ambos os membros da equação, 3x + 2y + z = 6, por 
6, voltaremos a ter a equação segmentária. 
 
Equação Vetorial e Equação Paramétrica do Plano: 
Seja A(x0, y0, z0) um ponto pertencente a um plano pi e 
→
u = (a1, b1, c1) e →v = (a2, b2, c2) dois vetores paralelos a pi (figura 
abaixo), porém, →u e →v não-paralelos. 
 
 
 
Para todo ponto P do plano, os vetores 
→
AP , 
→
u e 
→
v são coplanares. 
Um ponto P(x, y, z) pertence a pi se, e somente se, existem 
números reais h e t tais que 
P – A = h
→
u + t
→
v 
ou 
P = A + h
→
u + t
→
v 
ou, em coordenadas: 
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2), h, t Є R. 
Esta equação é denominada equação vetorial do plano pi. Os 
vetores 
→
u e 
→
v são vetores diretores de pi . 
da equação acima, obtém-se: 
(x, y, z) = (x0 + a1h + a2t, y0 + b1h + b2t, z0 + c1h + c2t) 
que, pela condição de igualdade, vem: 





∈
1
0 2
1
0 2
1
0 2
x = x + a h + a t
y = y + b h + b t h, t
z = z + c h + c t
R 
Estas equações são chamadas equações paramétricas de pi e h 
e t são os parâmetros. 
Exemplo: 
1) Seja o plano pi que passa pelo ponto A(2, 2, –1) e é paralelo 
aos vetores 
→
u = (2, –3, 1) e →v = (–1, 5, –3). Obter uma equação 
vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação 
geral de pi . 
Solução: 
a) Equação Vetorial: (x, y, z) = (2, 2, –1) + h(2, –3, 1) + t(–1, 5, –3) 
b) Equações paramétricas: 





−
−
− −
x =2 + 2h t
y = 2 3h + 5t
z = 1 + h 3t
 
c) Equação Geral: 
Como o vetor 
→ →
−
− −
i j k
u x v = 2 3 1
1 5 3
= (4, 5, 7) 
é simultaneamente ortogonal a 
→
u e 
→
v , ele é um vetor 
→
n normal ao 
plano pi (figura abaixo). 
 
Então, uma equação geral do plano pi é da forma 
4x + 5y + 7z + d = 0 e, com A Єpi tem-se: 
4(2) + 5(2) + 7(–1) + d = 0 e d = –11. 
Temos, assim, uma equação geral de pi : 4x + 5y + 7z –11 = 0. 
Obs: 
1) Como P(x, y, z) representa um ponto qualquer do plano, os 
vetores 
→
AP , 
→
u e 
→
v são coplanares e, portanto, o produto misto 
deles é nulo. Podemos, então, determinar uma equação geral de pi 
de outra maneira: 
− −
−
− −
x 2 y 2 z+1
2 3 1
1 5 3
 = 0 
que é equivalente a 4x + 5y + 7z –11 = 0. 
 
Ângulo de Dois Planos: 
Sejam os planos pi
1
 e pi
2
com vetores normais 
→
1
n e 
→
2
n , 
respectivamente (figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chama-se ângulo de dois planos pi
1
 e pi
2
 o menor ângulo que um 
vetor normal a pi
1
 forma com um vetor normal a pi
2
. Sendo θ este 
ângulo, tem-se: 
| | | |
piθ θ
→ →
→ →
= ≤ ≤
1
2
1
2
n . n
cos , com 0 2n n
 
Exemplo: 
1) Determinar o ângulo entre os planos: 
pi
1
: 2x + y – z + 3 = 0 e pi
2
: x + y – 4 = 0. 
Solução: Sendo 
→
1
n = (2, 1, –1) e →
2
n = (1, 1, 0) vetores normais a pi
1
 
e pi
2
, temos: 
θ
piθ
= = =
+
 
  
 
−
=
−
=
2 2 2 2 2
(2,1, 1)(. 1,1,0) 2+1+0 3 3 3cos = 26 2 12 2 32 +1 +( 1) 1 1
Logo,
3=arc cos 2 6
 
Planos Perpendiculares: 
Consideremos dois planos pi
1
 e pi
2
 e sejam →
1
n e 
→
2
n vetores normais 
a pi
1
 e pi
2
, respectivamente. Pela figura abaixo conclui-se 
imediatamente: 
pi
1
 ⊥ pi
2
⇔
→
1
n ⊥
→
2
n ⇔
→
1
n . 
→
2
n = 0. 
 
 
 
 
Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano: 
• r // pi ⇔
→
v ⊥
→
n ⇔
→
v . 
→
n = 0 (a) 
• r ⊥ pi ⇔
→
v //
→
n ⇔
→
v = α
→
n (b) 
 
Exemplo: 
1) A reta 





−
x =1 + 2t
r : y = 3t
z = t
é paralela ao plano pi : 5x + 2y – 4z – 1 = 0 
pois o vetor diretor 
→
v = (2, –3, 1) de r é ortogonal ao vetor normal 
→
n = (5, 2, –4) de pi , isto é, →v . →n = (2, –3, 1) . (5, 2, –4) = 0. 
Esta mesma reta, por sua vez, é perpendicular ao plano 
pi
1
: 4x – 6y + 2z – 5 = 0, pois o vetor diretor 
→
v = (2, –3, 1) de r é 
paralelo ao vetor normal 
→
1
n (4, –6, 2) de pi
1
, isto é, 
→ →
1
1v = n2 
ou de modo equivalente, 
−
−
2 13= =64 2 
Reta Contida em Plano: 
Uma reta r está contida em um plano pi se: 
• dois pontos A e B de r forem também de pi 
• 
→
v . 
→
n = 0, onde 
→
v é um vetor diretor de r e 
→
num vetor normal 
a pi e A Є pi , sendo A Є r. 
Exercícios Propostos: 
1) Obter a equação geral do plano pi que passa pelo ponto 
A(2, –1, 3) e tem 
→
n = (3, 2, –4) como vetor normal. 
 
Resposta: 3x + 2y –4z + 8 = 0. 
 
2) Seja o plano pi que passa pelo ponto A(2, 2, –1) e é paralelo 
aos vetores 
→
u = (2,-3,1) e 
→v = (-1,5,-3). Obter uma equação vetorial, 
um sistema de equações paramétricas e uma equação geral do 
plano pi . 
 
Respostas: 
Equação vetorial: (x,y,z) = (2, 2, –1) + h(2, –3, 1) + t(–1, 5, –3) 
Equações paramétricas: x = 2 + 2h – t; y = 2 –3h +5t; z = –1 +h –3t 
Equação Geral: 
→
n = 
→
u x 
→
v então pi : 4x + 5y +7z –11 = 0 
 
3) Dados os pontos A(1, –1, 2) e B(2,1, –3) e C (–1, –2, 6) obter 
um sistema de equações paramétricas e uma equação geral do 
planopi por eles determinado. 
 
Respostas: 
Equações paramétricas: x = 1 + h – 2t; y = –1 +2h – t; z = 2 –5h + 4t 
Equação Geral: pi : x + 2y +1 = 0 
 
4) Dado o plano pi : 2x – y – z +4 = 0 obter um sistema de 
equações paramétricas de pi . Sugestão: defina três pontos 
pertencentes a pi e obtenha os vetores diretores. 
 
Respostas: 
Equações paramétricas: x = h ; y = t; z = 4 + 2h – t para 
A(0, 0, 4);B(1, 0, 6) e C(0, 1, 3). 
 
5) Determinar uma equação geral do plano paralelo ao plano 
pi : 2x – 3y – z +5 = 0 e que contenha o ponto A(4, –2, 1). 
 
Resposta: 2x –3y – z – 13 = 0. 
 
 
6) Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta de 
equações: 
x = 2 + 2t; y = 1 – 3t; z = 4t e que contenha o ponto A(–1, 2, 3). 
 
Resposta: pi : 2x – 3y + 4z = 0