Vibrações Mecanicas

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Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
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 Vibrações amortecidas 
 
 O Amortecedor 
Se não houvesse amortecedores em um carro, a 
mola aumentaria e dissiparia a energia absorvida em um 
impacto vertical descontroladamente e 
continuaria oscilando na sua freqüência natural até que 
toda a energia originalmente aplicada a ela dissipasse. 
Uma suspensão que consiste apenas de molas 
ficaria balançante e, dependendo do terreno, seria 
impossível de controlar o carro. 
O amortecedor é um dispositivo que controla o 
deslocamento indesejado da mola pelo processo 
conhecido como amortecimento. Ele reduz a magnitude 
dos deslocamentos oscilatórios. Isso ocorre quando o 
equipamento transforma a energia cinética do movimento 
da suspensão em calor, energia dissipada através do fluido 
hidráulico. Para entender como isso funciona, observemos 
sua estrutura e função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um amortecedor consiste basicamente de uma 
bomba de óleo posicionada entre o chassi do carro e as 
rodas. Sua parte superior fixa-se ao chassi e inferior fixa-
se ao eixo, próximo à roda. No amortecedor tipo de dois 
tubos, (mais comuns), a parte de cima é fixa a uma haste 
e esta ligada a um pistão. O amortecedor está inserido em 
um tubo contendo fluido hidráulico. O tubo interno é 
conhecido é o tubo de pressão. O externo é o tubo de 
reserva, que armazena o excesso do fluido hidráulico. 
Quando a roda do carro encontra um obstáculo 
via, se comprime e se distende. Sua energia transfere-se 
ao amortecedor através da parte de cima e segue-se 
pela haste para dentro do pistão. Os orifícios no pistão 
permitem que o fluido passe através dele movendo-se 
para cima e para baixo no tubo de pressão. Os orifícios 
são relativamente pequenos; assim, somente uma pequena 
quantidade de fluido passa sob grande pressão causando 
desaceleração do pistão, desacelerando assim a mola. 
Os amortecedores operam em dois ciclos: o de 
compressão e o de distensão. O ciclo da compressão 
ocorre quando o pistão se move para baixo, comprimindo 
o fluido hidráulico na câmara abaixo. O ciclo da extensão 
ocorre quando o pistão se move acima do tubo de pressão, 
comprimindo o fluido na câmara acima. Um carro comum 
terá maior resistência durante o ciclo da extensão do que 
no ciclo da compressão, pois esse ciclo controla o 
deslocamento do peso não-suspenso do veículo; o ciclo de 
distensão controla o mais pesado, o suspenso. 
Todos os amortecedores modernos são sensíveis 
à velocidade: ao se mais rápido a suspensão movimentar, 
maior a resistência que o amortecedor fornece, permitindo 
ajustarem-se às condições da estrada controlando todos 
os movimentos indesejados que ocorrem num veículo em 
marcha, incluindo balanço, oscilação, mergulho na 
frenagem e agachamento na aceleração. 
 
 Colunas de suspensão e barras estabilizadoras 
 
Uma outra estrutura de amortecimento bastante 
comum é a coluna de suspensão, conhecida por 
suspensão MacPherson. É um amortecedor montado 
dentro da coluna e geralmente de uma mola helicoidal 
externa a ela. As colunas de suspensão têm duas funções: 
fornecem uma função de amortecimento como os 
amortecedores e, apoio estrutural para a suspensão do 
veículo. Isso significa que a coluna de suspensão faz mais 
do que os amortecedores, que não suportam o peso do 
veículo - eles somente controlam a velocidade na qual o 
peso é transferido em um carro, mas não o peso em si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os amortecedores e as colunas de suspensão são 
essenciais para a estabilidade do carro e são considerados 
itens de segurança. Amortecedores e colunas gastas podem 
permitir uma excessiva transferência veículo-peso de um 
lado para outro e de frente para trás, reduzindo a aderência 
do pneu ao solo, a estabilidade e o desempenho na 
frenagem. 
As barras anti-oscilação (conhecidas como barras 
estabilizadoras) são usadas junto com as colunas de 
suspensão ou braços triangulares para fornecer 
estabilidade adicional ao veículo em movimento. É uma 
haste metálica, que se estende sobre todo o eixo e se 
conecta a cada um dos lados da suspensão. 
Quando a suspensão em uma roda se move para 
cima e para baixo, a barra estabilizadora transfere o 
movimento para a outra roda, fazendo com que o carro 
ande mais nivelado lateralmente e com menos inclinação 
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nas curvas e evitando que o carro role sobre a sua 
suspensão nas curvas. Por esse motivo, quase todos os 
carros possuem as barras estabilizadoras instaladas como 
item de série. No entanto, caso não estejam colocadas, os 
kits tornam fácil a instalação a qualquer momento. 
 
 
 
 
As barras estabilizadoras permitem que o carro 
tenha molas mais macias, causando maior conforto de 
rodagem, sem que sofra os efeitos da inclinação nas 
curvas. 
 
 Tipos de suspensão 
As quatro rodas de um carro funcionam juntas 
em dois sistemas independentes - as duas rodas fixadas 
pelo eixo dianteiro e as duas rodas fixadas pelo eixo 
traseiro o que significa que o carro pode ter tipos 
diferentes de suspensão na frente e atrás. Um único eixo 
rígido pode conter as duas rodas ou elas podem se mover 
independentemente. O primeiro arranjo é conhecido como 
sistema de eixo rígido, enquanto o segundo é conhecido 
como sistema independente. 
As suspensões dianteiras de eixo rígido 
possuem um rígido eixo ao qual se montam as rodas da 
frente. Basicamente, ele se parece com uma barra sólida 
sob a parte dianteira do carro, mantida no lugar pelo feixe 
de molas e amortecedores. Comuns em picapes, as 
suspensões dianteiras por eixo rígido não são usadas em 
carros há muitos anos. 
Em um sistema independente de suspensão 
dianteira, as rodas podem se mover independentemente. 
A coluna MacPherson, desenvolvida em 1947 por Earle 
S. McPherson, da General Motors, é o sistema de 
suspensão dianteira mais utilizado, especialmente em 
carros originados na Europa. 
A coluna MacPherson combina um amortecedor e 
uma mola helicoidal numa mesma peça fazendo com que 
o sistema de suspensão seja mais compacto, leve e 
podendo ser usado em veículos com tração nas rodas 
dianteiras. 
 Funções dos AMORTECEDORES 
 
Os amortecedores, portanto, são muito importantes 
para a regulagem do chassis. Eles têm três funções: 
 absorver choques (pressão do óleo) 
 distribuir a transferência de peso (pressão do 
óleo e molas) 
 ajustar a tensão da mola (molas). 
 
 
 
 AMORTECIMENTO (PRESSÃO DO ÓLEO) 
O amortecimento (pressão do óleo) é feito no 
cilindro cheio de óleo do amortecedor. O pistão restringe o 
fluxo de óleo quando o amortecedor entra e sai. A taxa de 
pressão é uma combinação da viscosidade do óleo (peso) e 
da restrição do pistão. 
As características da viscosidade do fluido e seu tipo 
são características da constante de amortecimento c do 
fluido existente no pistão. 
A unidade da constante de amortecimento c é o 
Newton.segundo/metro: 
Unidade de c: Constante de amortecimento: 
N.s/m 
Adaptado de: 
http://carros.hsw.uol.com.br/suspensoes-dos-carros1.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
 
 Vibrações livres e amortecidas: 
 
Em geral todos os sistemas vibrantes apresentam 
amortecimento, seja por atrito fluido, quando corpos 
rígidos se movem num fluido, sejam por atrito interno, 
entre as moléculas de um corpo aparentemente elástico. 
Um tipo de amortecimento é o amortecimento 
viscoso, causado pelo atrito fluido a baixas velocidades. 
Esse atrito é caracterizado pelo fato da força de atrito ser 
diretamente proporcional à velocidade: 
xcFa t 
 
 c é determinado de coeficiente de 
amortecimento viscoso. 
 Considere um corpo de massa m suspenso por 
uma mola de constante k e preso ao êmbolo de um 
cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 equilíbrio 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
estk x
 
 
 
 v 
 P = m.g 
 
 
 
 - c.v 
 
 
Utilizando a segunda lei de Newton, a equação 
de movimento será: 
xcxkPxmF e  )(
 
 
Podemos escrever: 
0kxxcxm 
 
0
c k
x x x
m m
 
ou 
2
2
02
0
d x c dx
x
dt m dt
 
Com: 
2
0 0
k k
m m
 
m
k
0
 é a freqüência angular natural, 
depende apenas da massa da suspensão e da constante 
elástica da mola k. 
A solução proposta para essa equação diferencial 
homogênea é do tipo 
te
 com satisfazendo a equação 
característica: 
2 2
0 0
c
m
 
(Vide Apêndice). 
Teremos, resolvendo a equação do 2º grau: 
2
2
04
2
c c
m m
 
Podemos escrever: 
2
0
2
22 m
c
m
c 
 
Definimos como coeficiente de amortecimento 
crítico cc o valor que torna nulo o radicando acima: 
02cc m
 
 Podemos distinguir três casos de amortecimento, 
dependendo do valor do coeficiente c: 
 
1. Amortecimento supercrítico c > cc: 
 
As raízes da equação característica são reais e 
distintas e a solução da equação diferencial homogênea é: 
1 2( )
t t
x t A e B e
 
Ou 
2( )
c
t
t tmx t e Ae Be
 
Com: 
2
0
2
2m
c
 
 Características: Movimento não 
vibratório. A posição x tende a zero quando t vai a infinito: 
2lim ( ) lim 0
c
t
t tm
t t
x t e Ae Be
 
 
O sistema, na realidade retorna à sua posição de 
equilíbrio depois de um tempo finito. 
As constantes A e B dependem das condições 
iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade 
inicial (v0). 
Para acharmos a velocidade instantânea, 
encontramos a derivada de x(t): 
1 2
1 2
t tdx
v t A e B e
dt
 
A aceleração instantânea será dada por: 
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 4 
4 
x(t)
v(t)
a(t)
Series4
Series5
Gráficos
t(s)
0,40,350,30,250,20,150,10,050
x(
t)
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
1 22 2
1 2
t tdv
a t A e B e
dt
 
Assim, para acharmos as constantes A e B 
devemos resolver o sistema: 
0 1 2
0
v A B
x A B
 
0 2 0
2 1
x v
A
 
 
0 0 1
2 1
v x
B
 
Assim, podemos resumir: 
 
1 20 2 0 0 0 1
2 1 2 1
( )
t tx v v x
x t e e
 
 
1 20 2 0 0 0 1
1 2
2 1 2 1
( )
t tx v v x
v t e e
 
 
1 22 20 2 0 0 0 1
1 2
2 1 2 1
( )
t tx v v x
a t e e
 
 Parâmetros: 
2
2
1,2 0
2 2
c c
m m
 
 Gráfico x versus t: 
Exemplo para: 
 m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 40 N.s/m 
x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Amortecimento crítico c = cc: 
 
A equação característica tem raiz dupla: 
 = - c/2m 
A solução geral da equação diferencial é: 
 
2( ) ( )
c
t
mx t A B t e
 
 Características: Movimento também 
não vibratório. Esses sistemas são de interesse desde que 
retornem à posição de equilíbrio após um tempo finito. 
As constantes A e B dependem das condições 
iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade 
inicial (v0). 
Novamente, para acharmos a velocidade 
instantânea, encontramos a derivada de x(t): 
2 2( )
2
c c
t t
m m
dx c
v t B e e A Bt
dt m
 
2
2
c
t
m
c
v t e B A B t
m
 
A aceleração instantânea será dada por: 
2 2
2 2 2
c c
t t
m m
dv c c c
a t e B A B t B e
dt m m m
 
2 2
2 2
c
t
m
c c
a t e B A B t
m m
Assim, para acharmos as constantes A e B devemos 
resolver o sistema: 
0
0
2
c
v B A
m
x A
 
0A x
 
0 0
2
c
B v x
m 
Assim:
 
2
0 0 0( ) ( )
2
c
t
m
c
x t x v x t e
m
 
 
 Parâmetros: 
0
k
m 
A,B, = -c/2m
 
 Gráfico x versus t: 
Exemplo para: 
 m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 20 N.s/m 
x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s 
 
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 5 
5 
x(t)
v(t)
a(t)
+Exp(-c/2m)t
-Exp(-c/2m)t
Gráficos
t(s)
10,90,80,70,60,50,40,30,20,1
x(
t)
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
 
 
 
3. Amortecimento subcrítico c < cc 
 
As raízes da equação característica são 
complexas e conjugadas. Mostramos no Apêndice, com o 
auxílio da teria de série de potências que a solução da 
equação diferencial é dada por: 
 
2( ) cos
c
t
mx t e A t B sen t
 
 
Com: 
2
2
0
2
c
m
 
Pode-se escrever também: 
2
0 1
c
c
c
 
 Características: Movimento vibratório 
de amplitude decrescente. Podemos escrever a solução na 
forma: 
2( ) ( )
c
t
m
mx t x e sen t
 
Chamamos de período da vibração amortecida, 
apesar do movimento não se repetir nesse caso, ao valor: 
 
2
 
 Parâmetros: 
 
0
0 0
2
2
m x
tg
m v c x 
 
2
2 0 0
0
2
2
m
m v c x
x x
m
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico x versus t: 
Exemplo para: 
 m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 2 N.s/m 
x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x(t)
v(t)
a(t)
Series4
Series5
Gráficos
t(s)
0,40,350,30,250,20,150,10,050
x(
t)
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
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 6 
6 
 Casos possíveis de amortecimento: 
Resumo: 
2
00 0
c k c
x x x x x x
m m m
   
 
0 02c
k
c m
m
 
 
 1. Amortecimento supercrítico: c > cc: 
1 20 2 0 0 0 1
2 1 2 1
( )
t tx v v x
x t e e
 
 Parâmetros: 
2
2
1,2 0
2 2
c c
m m 
 
2. Amortecimento crítico: c = cc: 
2
0 0 0( )
2
c
t
m
c
x t x v x t e
m 
 Parâmetros: 
0
k
m
 
3. Amortecimento subcrítico: c < cc 
2( ) cos
c
t
mx t e A t Bsen t
2
0 1
c
c
q
c
Ou 
2( ) ( )
c
t
m
mx t x e sen t
 
 Parâmetros: 
0
0 0
2
2
mqx
tg
mv cx
 
2
2 0 0
0
2
2
m
mv cx
x x
mq
 
2Gráficos mostrando os três tipos de 
amortecimento. 
 
 
 Analogia: Circuito RLC alimentado por 
uma fonte de tensão alternada V(t)=V0cos t. 
 
 
 
 
A equação diferencial associada é: 
dt
tdV
C
I
dt
dI
R
td
Id
L
)(
2
2
 
A equação diferencial homogênea é: 
0
1
2
2
I
LCdt
dI
L
R
td
Id
 
Propondo uma solução do tipo e
mt
 teremos: 
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 7 
7 
0
12
LC
mm
L
R
 
Teremos como solução: 
2
1
4
4
2
1
4 2
22
LCL
R
L
R
LCL
R
L
R
m
 
Logo: 
ni
L
R
m
L
R
LC
i
L
R
m
22
4
1
4
2
2
2
 
Pode-se mostrar que a solução é dada por: 
)(}{)( 2 tIeBeAetI p
ttiti L
R
nn
 
ttiti
H
L
R
nn eBeAetI 2}{)(
 
Aqui IH(t) a solução da equação diferencial 
homogênea, com: 
2
2
4
1
L
R
LC
n
 
Podemos considerar ainda que 
biaA
 
biaAB
 
Substituindo em I(t) teremos: 
ttitititi
H
L
R
nnnn eeebieeatI 2}{)(
 
 Observe: 
i
ee
t
ee
t
titi
n
titi
n
nn
nn
2
sen
2
cos
 
 
 Analogia Elétrica 
 
 A analogia entre sistemas elétricos e mecânicos é 
válida tanto para oscilações transitórias como para o 
estado estacionário. 
 
Sistema Mecânico Circuito Elétrico 
m Massa L Indutância 
c Coeficiente de 
amortecimento viscoso 
R Resistência 
k Constante da mola 1/C Inverso da 
Capacitância 
x Deslocamento q Carga 
v Velocidade i Corrente 
F Força aplicada E Tensão 
aplicada 
 Usando a Lei de Kirchhoff, a soma algébrica da 
tensão aplicada e das quedas de potencial ao longo de um 
circuito é nula, podemos escrever a equação da carga no 
circuito RLC alimentado por uma tensão alternada Em 
sen t por: 
1
0m
di
E sen t L R i q
dt C
 
1
mL q R q q E sen t
C
 
 
 
2
221
m
m
E
i
L R
C
 
 
2
2 1
m
m
E
i
R L
C
 
Definimos como impedância, ao termo: 
 
2
2 1Z R L
C
 
 
 Exemplos 
1. A figura representa o modelo de um 
amortecedor de um automóvel cuja massa da suspensão é 
de 80kg e é suportado por uma mola de constante elástica 
de 32 kN/m, e um amortecedor de constante de 
amortecimento de c = 3000 Ns/m. O proprietário do 
automóvel esqueceu-se de trocar o amortecedor, portanto 
sua constante de amortecimento c tornou-se menor que a 
constante de amortecimento crítica cc .O valor da 
constante de amortecimento crítica cc e a solução da 
equação diferencial são dadas por: 
Dados:
0
k
p
m
;
02mcc
 
22
2
0 0 1
2 c
c c
q
m c
 
BsenqtqtAetx
t
m
c
cos)( 2
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 8 
8 
0
32000
20
80
rad
s
p
;
02 2 80 20 3200
N s
c m
c m
 
22 2
2
0 0
3000
1 20 1
2 3200c
c c
m c
6.96 rad
s
 
18.75( ) cos6.96 6.96tx t e A t Bsen t 
 
2. Para um sistema de massa m = 1 kg, c = 50 
N.s/m e constante elástica k = 400N/m a solução para a 
equação: 
estmx P k x cx 
, nas condições 
iniciais x0 = 0.05m e v0= 0,1m/s é: 
 
Dados: 
2
00 0
c k c
x x x x x x
m m m
   
 
0 02c
k
c m
m
 
a. Amortecimento supercrítico c > cc: 
1 20 2 0 0 0 1
2 1 2 1
( )
t tx v v x
x t e e
 
2
2
1,2 0
2 2
c c
m m
 
 b. Amortecimento crítico c = cc : 
0
0 0 0( )
2
tc
x t x v x t e
m
 
c. Amortecimento subcrítico c < cc 
2( ) cos
c
t
mx t e A t Bsen t
 
2
0 1
c
c
q
c
Ou 
)()( 2 qtsenextx
t
m
c
m
 
0
0 0
2
2
m x
tg
mv cx
; 2
2 0 0
0
2
2
m
mv cx
x x
m
 
 
2
00 0
c k c
x x x x x x
m m m
   
 
0 0
400
20
1
rad
s
k
m
02 40 ; 50
Ns Ns
c c m m
c m c c
 
Amortecimento supercrítico c > cc : 
2 2
2 2
1,2 0
50 50
20
2 2 2 1 2 1
c c
m m
 
2
2
1,2 0 25 625 400
2 2
c c
m m
 
1,2 1 125 225 25 15 10; 40
 
1 20 2 0 0 0 1
2 1 2 1
( )
t tx v v x
x t e e
 
10 40
0.05 40 0.1 0.1 0.05 10
( )
40 10 40 10
t tx t e e
 
10 40( ) 0.07 0.02t tx t e e
 
 
3. Um sistema de massa-mola amortecedor possui 
m = 0.5 kg e constante elástica k = 20000N/m. 
A constante de amortecimento do sistema é c, 
dada pela tabela. 
3.1 – Encontre a freqüência angular natural 0 do 
sistema. 
0
20000
200
0.5
rad
s
k
m
 
3.2 – Determine a constant de amortecimento 
crítica cc. 
02 2 0.5 200 200
N s
c m
c m
 
3.3 - As condições iniciais posição inicial x0 e 
velocidade inicial v0 são dadas na tabela. Para cada caso, 
classifique o amortecimento, dando a solução para: 
 A posição x(t). 
 A velocidade instantânea v(t). 
 A aceleração instantânea a(t). 
Dado: Condições iniciais: x0 = 5 cm e v0= 1m/s 
C
a
so
 i
 
c 
(N
.s
/m
) 
C
la
ss
if
ic
a
çã
o
 
a
m
o
o
rt
ec
im
o
 
P
a
râ
m
et
ro
s 
x(t) 
(m) 
v(t) 
(m/s) 
v(t) 
(m/s) 
1 250 
2 205 
3 200 
4 195 
5 50 
6 100 
 
1
0
Caso: 
c = 250 > cc amortecimento supercrítico 
 Parâmetros: 
2
2
1,2 0
2 2
c c
m m
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 9 
9 
2
2
1,2
250 250
200
2 0.5 2 0.5
 
1,2 250 22500
 
1
1,2
2
100
250 150
400
Hz
Hz
 
 Posição x(t): 
1 20 2 0 0 0 1
2 1 2 1
( )
t tx v v x
x t e e
 
400 100( ) 0.02 0.07t tx t e e
  Velocidade instantânea v(t): 
d
v t x t
dt
 
400 100( ) 8 7t tv t e e
  Aceleração instantânea a(t): 
d
a t v t
dt
 
400 100( ) 3200 700t ta t e e
 
 Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
0
Caso: 
c = 200 = cc amortecimento crítico 
 Parâmetros: 
 
0
20000
200
0.5
rad
s
k
m
 
2
0 0 0( )
2
c
t
m
c
x t x v x t e
m
 
200( ) 0.05 11.5 tx t t e
 
 Velocidade instantânea v(t): 
d
v t x t
dt
 
200( ) 11.5 200 0.05 11.5 tv t t e
Aceleração instantânea a(t): 
d
a t v t
dt
 
200( ) 4600 40000 0.05 11.5 ta t t e
 
 Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 10 
10 
5
0
Caso: 
c = 50 = cc submortecimento 
 Parâmetros: 
2
0 1
c
c
q
c 
2
180
200 1 193
200
rad
s
 
0
0 0
2
2
m x
tg
mv cx 
2.766tg
 
1.22rad
 
2
0.032s
 
2
2 0 0
0
2
2
m
mv cx
x x
m 
0.053mx m
 
2( ) ( )
c
t
m
mx t x e sen t
 
 
 Posição x(t): 
2( ) ( )
c
t
m
mx t x e sen t
 
50( ) 0.053 193 1.22tx t e sen t
  Velocidade instantânea v(t): 
d
v t x t
dt
 
50( ) 10.2956 cos 193.6 1.22 2.65 193.6 1.22tv t e t sen t
 
 Aceleração instantânea a(t): 
d
a t v t
dt
 
50( ) 1029.56 cos 193.6 1.22 1860.8 193.6 1.22ta t e t sen tMecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 11 
11 
4. No caso do amortecimento subcrítico, os 
deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11, 
podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos. 
Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos, 
xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta 
razão, chamado de decremento logarítmico, é 
2
1
2
ln
1
cn
n
c
c cx
x c c
 
 
xm 
 xn xn+1 
 
 
 
 
 
 
 
 tn tn+1 
 
 
 τ 
 
 
 Solução: 
 
Teremos nesse caso a considerar: 
2( ) ( )
c
t
m
mx t x e sen t
 
Para dois máximos consecutivos, ocorrendo nos 
instantes tn e tn+1, teremos, lembrando a função senθ: 
2
nt
 
1 2 5
2 2
nt
 
2( ) ( )
n
c
t
m
n m nx t x e sen t
 
2
2
n
c
t
m
n mx x e sen 
2 1
n
c
t
m
n mx x e 
1
2
1 1( ) ( )
n
c
t
m
n m nx t x e sen t
 
1
2
1
5
2
n
c
t
m
n mx x e sen
 
1
2
1 1
n
c
t
m
n mx x e
 
 Fazendo a razão entre xn e xn+1: 
 
1
2
1 2
n
n
c
t
m
n m
c
t
n m
m
x x e
x
x e
 
1
2
1
n n
c
t t
n m
n
x
e
x
 
Observando a figura: 
1
2
n nt t
 
2
2
1
c
n m
n
x
e
x
 
Aplicando o logaritmo natural: 
2
2
1
ln ln
c
n m
n
x
e
x
 
Utilizando a propriedade dos logaritmos: 
log lognB Ba n a 
E: ln e = 1
 
1
2
ln
2
n
n
x c
x m
 
Substituindo: 
2
0 1
c
c
c
 
2
1
0
2
ln
2
1
n
n
c
x c
x m
c
c
 
0
2
1
2
2
ln
1
n
n
c
c
x m
x
c
c
 
Como: 
02cc m 
2
1
ln 2
1
cn
n
c
c
cx
x
c
c
 
2
1
2
ln
1
cn
n
c
c cx
x c c
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 12 
12 
5. Desloca-se o bloco mostrado na figura, 
posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio, 
quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o 
deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar 
(a) o fator de amortecimento c/cc e 
(b) o valor do coeficiente do amortecimento 
viscoso c. 
 
 Solução: 
 
Do exemplo anterior: 
2
1
2
ln
1
cn
n
c
c cx
x c c 
Note que: 
71 2
2
2 3 8
2
ln ln ln
1
c
c
c c xx x
x x xc c

 
71 2
2
2 3 8
2
ln ln ln 7
1
c
c
c cxx x
x x x c c

 
Mostre que, usando agora a propriedade: 
ln ln ln
A
A B
B
 
71 2
1 8
2 3 8
ln ln ln ln ln
xx x
x x
x x x

 
71 2 1
2 3 8 8
ln ln ln ln
xx x x
x x x x

 
1
2
8
2
ln 7
1
c
c
c cx
x c c 
2 22
1
2
8
4
ln 49
1
c
c
c cx
x c c
 
2
2 221
8
1 ln 196c c
x
c c c c
x
 
2 2
2 221 1
8 8
ln ln 196c c
x x
c c c c
x x
 2
1
2 8
2
2 1
8
ln
196 ln
c
x
x
c c
x
x
 
2
1
8
2
2 1
8
ln
196 ln
c
x
x
c c
x
x
 
1
8
2
2 1
8
ln
196 ln
c
x
x
c c
x
x
 
1
8
2
2 1
8
ln
196 ln
c
x
x
c c
x
x
 
1
8
2
2 1
8
ln
2
196 ln
x
x k
c m
m
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 13 
13 
 Exercícios 
 
1. O movimento do pistão no interior do motor 
de um carro é aproximadamente um MHS. 
(a) Sabendo que o percurso (o dobro da 
amplitude) é igual a 0.100m e que o motor gira a 3500 
rpm, calcule a aceleração do pistão no ponto final do 
percurso. 
(b) Sabendo que a massa do pistão é 0.45 kg, 
qual é a força resultante exercida sobre ele nesse ponto? 
(c) Calcule a velocidade e a energia cinética do 
pistão no ponto médio do percurso. 
(d) Qual é a potência média necessária para 
acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no 
item (c)? 
(e) Se o motor gira com 7000 rpm, quais são as 
respostas dos itens (b), (c) e (d)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2. Uma força de amortecimento F = - cv atua 
sobre um rato infeliz de 0,300 kg que se move preso na 
extremidade de uma mola cuja constante é k = 2.50 N/m. 
(a) Se a constante c possui um vaior igual a 
0.900 kg/s, qual é a freqüência da oscilação do rato? 
(b) Para qual valor da constante c o movimento é 
criticamente arnortecido? 
 
3. Um ovo de 50,0 g fervido durante muito 
tempo está preso na extremidade de uma mola cuja 
constante é k = 25.0 N/m. Seu deslocamento inicial é 
igual a 0.300 m. Uma força de amortecimento F = -c v 
atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de 
0.100 m em 5.00 s. Calcule o módulo da constante de 
amortecimento c. 
 
4. O movimento de um oscilador com 
subamortecimento é descrito pela Equação descrita na 
teoria. Considere o ângulo de fase igual a zero. 
(a) De acordo com esta equação, qual é o valor 
de x para t = 0? 
(b) Qual é o módulo, a direção e o sentido da 
velocidade para t = 0? O que este resultado informa sobre 
a inclinação do gráfico de x contra t nas vizinhanças de t = 
0? 
(c) Obtenha uma expressão para a aceleração a 
para t = O. Para que valores ou intervalo de valores da 
constante de amortecimento c (em termos de k e de m) é a 
aceleração para t = 0 negativa, nula e positiva? 
Discuta cada caso em termos do gráfico de x 
versus t nas vizinhanças de t = 0. 
 
5. Quatro passageiros com massa total igual a 250 
kg comprimem 4.00 cm as molas de um carro com 
amortecedores gastos. Modele o carro e os passageiros 
como um único corpo sobre uma única mola ideal. 
Sabendo que o período da oscilação do carro com os 
passageiros é igual a l.08 s, qual é o período da oscilação 
do carro vazio? 
 
6. Um cavaleiro executa um MHS com amplitude 
A; sobre um trilho de ar. Você freia o cavaleiro de modo 
que sua amplitude é reduzida à metade do valor inicial. O 
que ocorre com os valores: 
(a) do seu período, freqüência e freqüência 
angular? 
(b) da sua energia mecânica total? 
(c) da sua velocidade máxima? 
(d) da sua velocidade no ponto x = ±A/4? 
(e) da sua energia potencial e energia cinética 
no ponto x = ±A/4? 
 
7. Você pendura um peso desconhecido na 
extremidade de uma mola e, segurando o peso, deixa-o 
descer suavemente até que ele estique a mola a uma 
distância L na posição de equilíbrio. 
Se a mola possui massa desprezível, prove que o 
peso pode executar um MHS com o mesmo período de um 
pêndulo simples de comprimento L. 
 
8. Uma criança irrequieta faz deslizar em uma 
mesa horizontal seu prato de jantar de 250 g com MHS 
com amplitude 0.100 m. Em um ponto situado a 0.060 m 
da posição de equilíbrio a velocidade do prato é igual a 
0.300 m/s. 
(a) Qual é o período? 
(b) Qual é o deslocamento quando a velocidade é 
igual a 0.160 m/s? 
(c) No centro do prato existe um pedaço de 
cenoura de 10.0 g. Se o pedaço de cenoura está na 
iminência de escorregar no ponto final da trajetória, qual o 
coeficiente de atrito estático entre o pedaço de cenoura e o 
prato? 
 
9. Um touro mecânico se move verticalmente 
com MHS de amplitude iguala 0.250 m e freqüência igual 
a l.50 Hz, que permanecem as mesmas independentemente 
de existir ou não alguém montado no touro. Um vaqueiro 
monta no touro e diz que para um macho não é necessário 
segurar em nenhuma parte do touro, 
(a) Ele abandona a sela quando o touro está se 
movendo para cima. Qual é o módulo da aceleração da 
sela para baixo quando ele perde o contato com ela? 
(b) Em que altura está a sela acima de sua posição 
de equilíbrio quando ele perde o contato com ela pela 
primeira vez? 
(c) Qual é o módulo da sua velocidade quando ele 
perde o contato com a sela? 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 14 
14 
(d) Ele está em queda livre até retomar para a 
sela. Mostre que isto ocorre 0.538 s mais tarde. 
(e) Qual é a velocidade relativa entre ele e a sela 
no momento em que ele retoma? 
 
10. Um bloco de massa M repousa sobre uma 
superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal 
cuja constante é k, a outra extremidade da mola está presa 
a uma parede. Um segundo bloco de massa m repousa 
sobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os 
blocos é s. Ache a amplitude máxima da oscilação para 
que o bloco superior não deslize sobre o bloco inferior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Um bloco de massa igual a 0.200 kg está 
submetido a uma força restauradora elástica e a constante 
da força é igual a 10.0 N/m. 
(a) Faça um gráfico da energia potencial U em 
função do deslocamento x no intervalo de x = - 0.300 m 
até x = +0.300 m. Em seu gráfico adote a escala l cm = 
0.05 J no eixo vertical e l cm ~ 0,05 m no eixo horizontal. 
O bloco inicia o movimento oscilatório com uma energia 
potencial igual a 0.140 J e uma energia cinética igual a 
0.060 J. Examinando o gráfico, responda às perguntas 
seguintes: 
(b) Qual é a amplitude da oscilação? 
(c) Qual é a energia potencial quando o 
deslocamento é igual à metade da amplitude? 
(d) Para qual deslocamento a energia potencial é 
igual à energia cinética? 
(e) Qual é o valor do ângulo de fase sabendo que 
a velocidade inicial é positiva e o deslocamento inicial é 
negativo? 
 
12. A Figura indica um corpo de massa m 
suspenso a uma mola vertical cuja constante é k. O 
sentido positivo do eixo Ox está orientado de baixo para 
cima e x = 0 é a posição de equilíbrio do corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Mostre que quando o corpo está na 
coordenada x, a energia potencial elástica da mola é dada 
por: 
21
2
elU k l x
 
(b) Seja x = x0 a coordenada para a qual a energia 
potencial gravitacional é igual a zero. Mostre que a 
energia potencial total é dada por: 
22
0
1 1
2 2
elU kx k l mgx
 
(c) A expressão para a energia potencial da parte 
(b) é da forma 
21
2
U kx C
, onde a constante C é 
dada por 
2
0
1
2
C k l mgx
. Explique por que o 
comportamento do sistema não depende do valor desta 
constante, de modo que o MHS vertical não é 
fundamentalmente diferente do que o MHS horizontal 
para o qual 
21
2
U kx
. 
13. Um fio de l.80 m de comprimento é suspenso 
verticalmente. Quando uma bola de aço de 60.0 kg é 
suspensa na extremidade do fio, este se dilata 2.00 m. Se a 
bola for puxada para a baixo a uma distância adicional e 
libertada, com que freqüência ela oscilará? Suponha que a 
tensão no fio seja menor do que o limite de 
proporcionalidade. 
 
14. Uma perdiz de 5.00 kg está pendurada em 
uma pereira presa na extremidade de uma mola ideal com 
massa desprezível. Quando a perdiz é puxada para baixo a 
uma distância de 0.100 m abaixo da sua posição de 
equilíbrio e libertada, ela oscila com um período igual a 
4.20 s. 
(a) Qual é sua velocidade quando ela passa pela 
posição de equilíbrio? 
(b) Qual é sua aceleração quando ela está a 0.050 
m acima da posição de equilíbrio? 
(c) Quando ela está se movendo para cima, 
quanto tempo é necessário para que ela se mova de um 
ponto 0.050 m abaixo da posição de equilíbrio até um 
ponto 0.050 m acima do equilíbrio? 
(d) O movimento da perdiz é interrompido e ela 
é removida da mola. De quanto a mola se encurta? 
 
14. Um prego de 0.0200 kg executa um MHS 
com amplitude igual a 0.240 m e período igual a l.500 s. O 
deslocamento do prego é igual a +0.240 m quando t = 0. 
Calcule: 
(a) o deslocamento do prego quando t = 0.500 s; 
(b) o módulo, a direção e o sentido da força que 
atua sobre o prego quando t = 0,500 s; 
(c) o tempo mínimo necessário para que o prego 
se desloque da posição inicial até um ponto x = -0.180 m; 
(d) a velocidade do prego quando x = -0.180m. 
 
15. Uma mola de massa desprezível e constante k 
= 400 N/m está suspensa verticalmente e um prato de 
0.200 kg está suspenso em sua extremidade interior. 
Um açougueiro deixa cair sobre o prato de uma 
altura de 0.40 m uma posta de carne de 2.2 kg. A posta de 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 15 
15 
carne produz uma colisão totalmente inelástica com o 
prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule: 
(a) a velocidade do prato e da carne logo após a 
colisão; 
(b) a amplitude da oscilação subsequente; 
(c) o período do movimento. 
 
15. Uma força de 40,0 N estica 0,250 m uma 
mola vertical. 
(a) Qual é o valor da massa que deve ser 
suspensa da mola para que o sistema oscile com um 
período igual a l.00 s? 
(b) Se a amplitude do movimento for igual a 
0.050 m e o período for o especificado na parte (a), onde 
estará o objeto e em qual sentido ele estará se movendo 
0.35 s depois de ele atravessar a posição de equilíbrio de 
cima para baixo? 
(c) Qual é o módulo, a direção e o sentido da 
força que a mola exerce sobre o objeto quando ele esta 
0.030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para 
cima? 
 
16. Um pequeno barco de excursão com um 
convés largo oscila verticalmente com MHS em virtude 
das ondas de um lago. A amplitude do movimento é de 
0.200 m e o período é igual a 2.80 s. Uma doca estável 
está próxima do barco em um nível igual ao nível mais 
elevado da oscilação do convés. As pessoas desejam 
descer do barco para a doca, mas isto só pode ser feito 
confortavelmente quando o nível do convés estiver a uma 
distância menor do que 0.100 m do nível da doca. Quanto 
tempo as pessoas dispõem para descer confortavelmente 
do barco durante cada período do MHS? 
 
17. Um exemplo interessante de oscilação, 
embora fortemente impraticável, é o movimento de um 
objeto lançado em um furo que passa através do centro da 
Terra, oscilando de um lado até o outro da Terra. Usando 
a hipótese (que não é realista) de que a Terra seja uma 
esfera com densidade uniforme, prove que a oscilação 
constitui um MHS e determine seu período. 
 
18. Seja t, o tempo necessário para que um corpo 
que executar MHS se desloque de x = 0 (para t = 0) até x 
= A. Obtenha uma equação para t do seguinte modo. Na 
Equação, substitua v por dx/dt. Separe as variáveis 
deixando todas as grandezas contendo x em um dos 
membros da equação e todas as grandezas contendo t no 
outro membro. Integre a equação entre os limites de t 
desde 0 até t, e os limites de x desde 0 até A e, a partir 
daí, 
obtenha uma expressão para t1. Como t1 se compara com 
o 
período T? 
 
19. Para um certo oscilador a força resultante 
sobre um corpo de massa m é dada por F = -cx
3
. 
(a) Qual é a função energia potencial deste 
oscilador se considerarmos U = O para x =0? 
(b) Um quarto do período é otempo 
necessário para o corpo se deslocar de x = 0 até x = A. 
Determine este tempo e, portanto, o período. 
(c) De acordo com o resultado obtido na parte 
(b), verifique se o período depende da amplitude do 
movimento. Este movimento constitui um MHS? 
 
20. Para medir o valor de g de modo não 
ortodoxo, uma estudante coloca uma bola de bilha sobre o 
lado côncavo de uma lente. Ela coloca a lente sobre um 
oscilador harmônico simples (fornecido efetivamente por 
um pequeno (alto-falante estéreo) cuja amplitude A e cuja 
freqüência f podem variar. Ela pode medir A usando a luz 
de um estroboscópio. 
(a) Se a bola possui massa m, ache a força normal 
exercida pela lente sobre a bola de bilha em função do 
tempo. Seu resultado deve ser dado em função de A, f, m, g 
e do ângulo de fase . 
(b) A freqüência é aumentada lentamente. 
Quando ela atinge um valor fb, sua oscilação pode ser 
ouvida. Qual é o valor de g em termos de A e de fb? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. Dois cilindros homogêneos de raio R e massa 
total M são conectados ao longo de seu eixo comum por 
uma barra leve e curta e estão em repouso sobre o topo de 
uma mesa horizontal. Uma mola cuja constante é k possui 
uma extremidade presa na mesa por uma braçadeira e sua 
outra extremidade é ligada a um anel sem atrito no centro 
de massa dos cilindros (Figura 13.31). Os cilindros são 
puxados para a esquerda esticando a mola até uma 
distância .c e a seguir são libertados. Existe entre o topo da 
mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer os 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 16 
16 
 Vibrações Forçadas e amortecidas: 
 
Se o sistema considerado anteriormente é 
submetido a uma força periódica 
tsenFF m
, a 
equação de movimento torna-se: 
 
tsenFkxxcxm m
 
A solução da equação diferencial acima é dada 
pela soma da solução da correspondente homogênea (xH 
(t), já discutida anteriormente) com a solução particular 
xp(t). 
)()()( txtxtx pH
 
 
A solução particular pode ser dada por: 
tsenxtx mp )(
 
Substituindo na equação diferencial, 
)(),(),( txtxtx ppp 
teremos: 
txtx mp cos)(
 
tsenxtx mp
2)(
 
tsenFtsenxktxctsenxm mmmm cos
2
 Reagrupando os termos, teremos: 
tsenFxctxkmtsen mmm cos
2
 Como: 
2
00 mk
m
k 
tsenFxctmxtsen mmm cos
22
0
 
Utilizando as relações: 
coscos)( sensensen
 
e: 
sensencoscos)cos(
 
 
tsenFxctsensent
mxtsentsen
mm
m
coscos
coscos 220
 
Reagrupando os termos, teremos: 
 
tsenFxcmsent
xsencmtsen
mm
m
coscos
cos
22
0
22
0
 
Para a equação acima validar-se em qualquer 
instante de tempo t, teremos: 
 
 
0cos
cos
22
0
22
0
m
mm
xcmsen
Fxsencm
 
[1]
 
22
0
22
0 0cos
m
c
tgxcmsen m
 
Podemos ainda escrever: 
 
0
2
0
2
1
c
c
c
tg 
Fazendo t sucessivamente ser igual a 0 e a /2, 
em [1] teremos: 
cos220 mm
mm
Fmx
senFxc 
Elevando ao quadrado ambos os termos: 
2
222
0
m
c
m
F
x mm
 
Ou: 
Chamando de: 
m
m
F
k
 
2
2 2
0 0
1
1 2
m
m
c
x
c
c
 
 
Esta equação pode ser usada para determinar a 
amplitude do estado estacionário produzido por uma força 
excitadora de intensidade 
tsenFF m
. 
Os gráficos abaixo ilustram esse comportamento, 
para 
0;125.0;25.0;50.0;00.1
cc
c
(de baixo para 
cima). 
m
m
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 
0
 
 
Observe que a amplitude de uma oscilação 
forçada pode ser mantida pequena escolhendo um 
coeficiente de amortecimento viscoso c grande ou 
mantendo bem diferentes as freqüência natural e forçada. 
 
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17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos 
 
 1. Um motor de M = 400kg é suportado por 8 
molas, cada uma com constante elástica de k = 20 kN/m, e 
possui um amortecedor de constante de amortecimento de 
c = 8000 Ns/m, e pode-se mover verticalmente. O 
desbalanceamento do rotor é causado por uma massa de m 
= 20g a r = 30 mm do eixo de rotação. Numa freqüência 
de vibração de f =5000 rpm, qual a deformação máxima xm 
? 
 
Dados:
2
2 2
0 0
1 2
m
m
c
x
c
c
 
2
mF m r
;
2 f
m
m
e
F
k
 
 
 
 
M = 400kg; ke = 8.20000=160000N/m 
0
160000
20
400
rad
s
p
02 2 400 20 16000
N s
c m
c m
 
m = 0.02kg; r = 0.03m
5000
2 2 523.59
60
rad
s
f
 
2
2 50000.02 2 0.03 164.49
60
mF m r N
164.49
0.001028
160000
m
m
e
F
m
k
 
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18 
2
2 2
0 0
1 2
m
m
c
x
c
c
2
2 2
0.001028
523.29 8000 523.29
1 2
20 16000 20
mx
 
60.001028 1.503 10
684.08
mx m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 19 
19 
 Exercícios 
 Oscilações amortecidas, e amortecidas e 
forçadas: 
 
19.107 Mostre que, no caso do amortecimento 
supercrítico (c > cc); um corpo nunca passa por sua 
posição de equilíbrio O (a) se é liberado com velocidade 
inicial nula de uma posição arbitrária ou (b) se parte de O 
com uma velocidade inicial arbitrária. 
 
19.108 Mostre que, no caso do amortecimento 
supercrítico (c>cc), um corpo liberado de uma posição 
arbitrária não pode passar mais de uma vez por sua 
posição de equilíbrio. 
 
19.109 No caso do amortecimento subcrítico, os 
deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11, 
podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos. 
Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos, 
xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta 
razão, chamado de decremento logarítmico, é 
2
1
2
ln
1
cn
n
c
c cx
x c c
 
19.110 Na prática é muitas vazes difícil 
determinar o decremento logarítmico definido no 
Problema 19.109 medindo-se dois destacamentos 
máximos sucessivos. Mostre que o decremento 
logarítmico pode ser expresso como (1 / k) ln (xn / xn+k ), 
onde k é o número de ciclos entre as leituras do 
deslocamento máximo. 
 
19.111 Num sistema com amortecimento 
subcrítico (c < cc), o período de vibração é comumente 
definido como o intervalo de tempo = 2 /q que 
corresponde a dois pontos sucessivos onde a curva 
deslocamento-tempo toca uma das curvas-limites 
ilustradasna Fig. 19.11. Mostre que um intervalo de 
tempo 
(a) entre um deslocamento máximo positivo e o 
deslocamento máximo negativo seguinte é /2, 
(b) entre dois deslocamentos nulos sucessivos é 
 /2 e 
(c) entre um deslocamento máximo positivo e o 
deslocamento nulo seguinte é maior que /4. 
 
19.112 Deslocamentos máximos sucessivos de 
um sistema massa-mola-amortecedor, semelhante àquele 
ilustrado na Fig. 19.10, são 50, 40, 32 e 25,6 mm. 
Sabendo-se que m = 12 kg e k = 1500 N/m, determine 
(a) o fator de amortecimento c/cc e 
(b) o valor do coeficiente do amortecimento 
viscoso c (Sugestão: Ver os Problemas 19.109 e 19.110). 
 
19.113 Desloca-se o bloco mostrado na figura, 
posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio, 
quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o 
deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar 
(a) o fator de amortecimento c/cc e 
(b) o valor do coeficiente do amortecimento 
viscoso. (Sugestão: ver os Problemas 19.109 e 19.110). 
 
 
 
 k = 120 N/m c 
 
 
 
 
 4 kg 
 
 
 
 
 
19.114 O cano de um canhão de campanha peso 
6,23 kN e retorna à posição de tiro, após recuar, graças a 
um recuperador de constante k = 1,75 x 10
6
 N/m. 
(a) Determine o valor do coeficiente de 
amortecimento do mecanismo de recuo que fez o cano 
retornar à posição de tiro, no menor tempo possível, sem 
oscilação, 
(b) Calcule o tempo gasto pelo cano para mover-
se da sua posição e máximo recuo até o ponto médio de 
seu percurso total. 
 
19.115 Supondo-se que se efetuou uma alteração 
do cano do canhão tratado no Problema 1.114, resultando 
num aumento de peso de 1,78 kN, determine 
(a) a constante k que deve ser empregada para 
manter o cano criticamente amortecido e 
(b) o tempo gasto pelo cano modificado para 
deslocar-se de sua posição de máximo recuo ao ponto 
médio de seu percurso total. 
 
19.116 No caso da vibração forçada com um 
dado fator de amortecimento c/cc , determine a razão entre 
as freqüências /p para que a amplitude de vibração seja 
máxima. 
 
19.117 Mostre que, para um valor pequeno do 
fator de amortecimento c/cc 
(a) a amplitude máxima de uma vibração forçada 
quando = p, e 
(b) o valor correspondente o fator de ampliação é 
aproximadamente (cc/2)/c. 
 
19.118 Um motor de 13,6 kg é sustentado por 
uma viga leve horizontal que apresenta uma deflexão 
estática de 1,27 mm causada pelo peso do motor. Sabendo-
se que o desbalanceamento do rotor é equivalente a uma 
massa de 28,3 g localizada a 0,191 m do eixo de rotação, 
determine a amplitude das vibrações do motor a uma 
velocidade de 900 rpm, supondo 
(a) ausência de amortecimento e 
(b) que o fator de amortecimento é c/cc = 0,075. 
 
19.119 Um motor de 22,7 kg é sustentado por 
quatro molas, cada uma possuindo uma e de 1,75. l0
5
 N/m. 
O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa 
de 28,3g situada a 127 mm do eixo de rotação. Sabendo-se 
que o motor é obrigado a se mover verticalmente, 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 20 
20 
determine a amplitude de vibração do estado estacionário 
do motor numa velocidade de n, supondo 
(a) que não há amortecimento, 
(b) que o fator de amortecimento c/cc é igual a 
0.125. 
 
19.120 Resolva o Problema 19.94, supondo que 
se conectou ao motor e ao solo um amortecedor de 
coeficiente de amortecimento c = 200 Ns/m. 
 
19.121 Um motor de 50 kg é sustentado 
diretamente por uma viga leve horizontal que a deflexão 
estática de 6 mm devida ao peso do motor. O 
desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 
100 g localizada a 75 mm do eixo de rotação. A amplitude 
das vibrações do motor é 0,9 mm a uma velocidade de 
400 rpm. Determine 
(a) o fator de amortecimento c/cc 
(b) o coeficiente de amortecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
19.122 Um elemento de máquina de 400 kg é 
sustentado por duas molas, cada uma possuindo uma 
constante de 38 kN/m. Uma força periódica, de valor 
máximo igual a 135N, é aplicada ao elemento com uma 
freqüência de 2,5 ciclos por segundo. Sabendo que o 
coeficiente de amortecimento é 1400 N.s/m, determine 
(a) a amplitude de vibração do estado 
estacionário do elemento. 
 (b) o coeficiente de amortecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F = Fmsen t 
 
 
19.123 No Problema 19.122, determine o valor 
do coeficiente de amortecimento para que a amplitude de 
vibração do estado estacionário do elemento seja de 3,5 
mm. 
 
19.124 Uma plataforma de 90,7 kg, sustentada 
por duas molas, cada uma de constante k = 4,38 x 10 
N/m, é submetida a uma força periódica de 556N de 
módulo máximo. Sabendo que o coeficiente de 
amortecimento é 1,75 kN s/m, determine 
(a) a freqüência natural, em rpm, da plataforma, 
se não há amortecimento, 
(b) a freqüência, em rpm, da força periódica 
correspondente ao valor máximo do fator de ampliação, 
supondo amortecimento, e 
(c) a amplitude do movimento real da plataforma 
para cada uma das freqüências encontradas nos itens (a) e 
(b). 
 F = Fmsen t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19.125 Resolva o problema anterior, supondo-se 
que o coeficiente de amortecimento é 3 kN.s/m. 
 
19.126 A suspensão de um automóvel pode ser 
representada pelo sistema simplificado mola mortecedor 
como ilustrado, 
(a) Escreva a equação diferencial que define o 
movimento absoluto da massa m, quando o sistema se 
desloca a uma velocidade v sobre uma estrada de seção 
longitudinal senoidal, como indica a figura, 
(b) Deduza uma expressão para a amplitude do 
movimento absoluto de m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
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21 
19.127 Duas cargas, A e B, cada uma de massa 
m, estão suspensas, como ilustrado, por meio de cinco 
molas de mesma contanto k e conectadas por um 
amortecedor de coeficiente de amortecimento c. A carga 
B está submetida a uma força de intensidade F= Fmsen t. 
Escreva as equações diferenciais que definem os 
deslocamentos xA e xB das duas cargas, medidos a partir 
das posições de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 xA 
 
 
 
 
 
 B xB 
 
 
 F = Fmsen t 
 
19.128 Determine a faixa de valores da 
resistência R, para os quais aparecerão oscilações no 
circuito ilustrado quando a chave S for fechada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.129 Considere o circuito do Problema 19.128, 
quando a capacitância é igual a zero. Se a chave S for 
fechada no instante t = 0, determine 
(a) o valor final da corrente no circuito e 
(b) o instante t em que a corrente atingirá 
 (1 - 1/e) de seu valor final (este valor de t é 
conhecido por constante de tempo do circuito). 
 
19.130 e 19.131 Desenhe o análogo elétrico do 
sistema mecânico ilustrado. (Sugestão: trace as malhas 
correspondentes ao corpos livres).F = Fmsen t 
 
19.132 e 19.133 Escreva as equações diferenciais que 
definem 
(a) os deslocamentos da massa m e do ponto A e 
(b) as correntes nas malhas correspondentes do 
análogo elétrico. 
 
 
 
 k1 
 A 
 
 c 
 
 
 
 m 
 
 
 k2 
 
 
 
 
19.134 e 19.135 Desenhe o análogo elétrico do sistema 
mecânico ilustrado. 
 
 
 
 
 
 k1 c1 
 
 
 m1 
 
 
 k2 
 
 m2 
 
 
 
 c2 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
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22 
19.136e19.137 Escreva as equações diferenciais 
que definem (a) os deslocamentos das massas m1 e m2 
as correntes nas malhas correspondentes do análogo 
elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F = Fmsen t 
 
 
 Problemas de Recapitulaçâo 
 
19.138 Um bloco pesando 17,8 N está preso à 
carcaça de um motor que gira a 1250 rpm. O rotor é 
desbalanceado e a amplitude do movimento do bloco é de 
10,2 mm. Sabendo-se que a constante do sistema de 
molas é k = 2,62.10
4
 N/m, determine a amplitude do 
movimento do motor. 
 
19.139 Uma barra delgada de comprimento l 
está articulada por um pino sem atrito a um cursor de 
massa desprezível. Determine o período de pequenas 
oscilações da barra, supondo que o coeficiente de atrito 
entre o cursor e a barra horizontal 
(a) é suficiente para impedir qualquer 
movimento do colar, e 
(b) é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.140 A barra AB de 10 kg está presa aos 
discos de 4 kg cada um, como ilustrado. Sabendo que os 
discos rolam sem escorregar, detfrmine a frequência de 
pequenas oscilações do sistema. 
 
 
 
 
 
450 min . 
 
19.141 Coloca-se um ponto material sem 
velocidade inicial sobre um plano tangente à superfície da 
Terra, 
(a) Mostre que o ponto material executará um 
movimento harmónico simples de período de oscilação 
igual ao de um pêndulo simples de comprimento igual ao 
raio da Terra, 
(b) Calcule numericamente o período, 
(c) Mostre que o resultado obtido em (a) também 
é igual ao período 
 
19.142 Um cursor de 1,5 kg, preso a uma mola 
de constante k =750 N/m, 20 mm, comprimindo a mola 
(a) Calcule a máxima velocidade que o cursor 
adquirirá dep 
(b) Determine também a posição e a velocidade 
do cursor 0,08 s após a sua liberação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.143 Uma barra de massa m e comprimento l 
repousa sobre duas polias giram nos sentidos indicados. 
Denotando por C , o coeficiente de atrito cinético entre as 
barras e as polias, determine a frequência de vibração se 
for dado à barra um pequeno deslocamento para a direita, 
soltando-a em seguida. 
 
19.144 Um pêndulo de torção pode ser usado 
para determinar experimentalmente o momento de inércia 
de um dado objeto. A plataforma horizontal P é sustentada 
por várias barras rígidas, que estão ligadas a um arame 
vertical. O período de oscilação da plataforma é igual a τ0 
quando a plataforma está vazia e igual a τA quando um 
objeto de momento de inércia conhecido é colocado na 
plataforma, de modo que seu centro de massa esteja 
diretamente acima do centro da placa, 
(a) Mostre que o momento de inércia I0 da 
plataforma e seus suportes pode ser expresso por: 
2
0
0 2 2
0
A
A
I I
 
(b) Se um período de oscilação, τB é medido 
quando um objeto B de inércia IB 
desconhecido é colocado na plataforma, mostre que 
2 2
0
2 2
0
B
B A
A
I I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.145 Uma viga de 15 kg é suportada por dois 
discos homogêneos, cada um com 10 kg de raio de 100 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
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23 
mm. Sabendo que os discos rolam sem escorregar, 
determine o período de vibração do sistema se se der à 
viga um pequeno deslocamento para a direita, sendo 
abandonada a seguir, 
 
19.146 Resolva o Problema 19.145 supondo-se 
que se removeu a mola presa à viga. 
 
19.147 Um certo vibrômetro usado para medir 
amplitudes de vibração consiste essencialmente numa 
caixa contendo uma barra delgada que tem presa numa 
das extremidades umbloquinho de massa m. O sistema 
barra-bloquinho tem uma frequência natural de 8 Hz. 
Quando se prende rigidamente a caixa à carcaça de um 
motor que gira a 960 rpm, o bloquinho vibra com 
amplitude de 2.03 m relativamente à caixa. Determine a 
amplitude do movimento vertical do motor. 
 
19.148 Um aro fino de raio r e massa m está 
suspenso por meio de uma barra áspera como ilustrado. 
Determine a frequência das pequenas oscilações do aro 
(a) no plano do aro, e 
(b) numa direção perpendicular ao plano do aro. 
Suponha que o atrito é suficientemente grande para 
impedir o deslizamento em A. 
 
19.149 Um volante de 181 kg tem um diâmetro 
de 0,812 m e um raio de giraçâo de 0,356m. Uma correia 
é colocada ao redor da borda e presa a duas molas, cada 
uma de constante k = 1.05 x 10 N/m. A tensão inicial na 
correia é suficiente para impedir escorregamento. Se a 
extremidade C da correia é puxada 0.0318m para baixo e 
liberada, determine 
(a) o período de vibração e 
(b) a máxima velocidade angular do volante. 
 
 
 
 Figura.P19.149 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 24 
24 
 Trabalho – Opcional 
 
1. Reproduzir em laboratório de informática, usando 
o programa interactive physics. 
 
2. Encontrar para cada tipo de amortecimento, os 
valores de: 
0
k
p
m
 
02 2cc m m p
 
 
 
3. Escrever a solução de y(t) para cada caso animado. 
 
4. Elaborar os gráficos de velocidade versus tempo e 
aceleração versus tempo para cada caso. 
 
 
 2a Parte: 
 
 Utilizando o programa Interactive Physics 
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do arquivo 
osh2.ip e osh3.ip. 
 
 
1. Para cada caso: 
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural. 
Encontre o período T e a freqüência f. 
Complete a tabela. 
Caso 
i 
ke 
(N/m) 
m 
(kg) 
v0 
(m/s) 
0 
(rad/s) 
x0 
(m) 
T 
(s) 
f 
(Hz) 
1 0,75 0 0,25 
2 0,75 0 0,25 
3 0,75 0 0,25 
 
(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso, onde 
x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s. 
Dados: 
k = 50N/m; m = 0,75 kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dado o pêndulo simples com 0 = 2
0
. 
 
(a) Façao cálculo do período para: 
 l = 0,2 m e l = 0,3 m. 
 (b) Encontre a freqüência angular para os valores do 
comprimento do pendulo acima. 
 (c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0. 
 
 
 
3. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado 
a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um 
amortecedor de constante de amortecimento c. Para cada 
valor de c na tabela: 
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural. 
(b) Determine a constante de amortecimento 
crítica cc. 
(c) Classifique o amortecimento e forneça os 
parâmetros importantes para cada caso classificado. 
 (d) Determine as funções posição x(t), velocidade 
instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as 
condições iniciais: v0 = 0 e x0 = 5 mm. 
 (e) Construa os gráficos das funções posição x(t), 
velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t). 
 Faça utilizando o programa graphdpr em: 
www.claudio.sartori.nom.br 
 Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas. 
 
Complete a tabela. 
 
C
a
so
 i
 
c 
(N
.s
/m
) 
C
la
ss
if
ic
a
çã
o
 
a
m
o
o
rt
ec
im
o
 
P
a
râ
m
et
ro
s 
x(t) 
(m) 
v(t) 
(m/s) 
v(t) 
(m/s) 
1 40 
2 35 
3 30 
4 25 
5 20 
6 19 
7 18 
8 16 
9 14 
10 10 
 
 
4. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado 
a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um 
amortecedor de constante de amortecimento c. Para cada 
valor de c na tabela: 
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural. 
(b) Determine a constante de amortecimento 
crítica cc. 
(c) Classifique o amortecimento e forneça os 
parâmetros importantes para cada caso classificado. 
 (d) Determine as funções posição x(t), velocidade 
instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as 
condições iniciais: v0 = 0.1m/s e x0 = 2 mm. 
 (e) Construa os gráficos das funções posição x(t), 
velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t). 
 Faça utilizando o programa graphdpr em: 
www.claudio.sartori.nom.br 
 Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 
 25 
25 
 
Complete a tabela. 
 
C
a
so
 i
 
c 
(N
.s
/m
) 
C
la
ss
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ic
a
çã
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P
a
râ
m
et
ro
s 
x(t) 
(m) 
v(t) 
(m/s) 
v(t) 
(m/s) 
1 40 
2 35 
3 30 
4 25 
5 20 
6 19 
7 18 
8 16 
9 14 
10 10