Relatório - Momento de inércia

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MOMENTO DE INÉRCIA
TOLEDO/PR
2014
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MATHEUS ALLAN MAIOR
MATHEUS PIASECKI
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA
MOMENTO DE INÉRCIA
Relatório entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones.
TOLEDO/PR
2014
RESUMO.
	Esse experimento teve como objetivo relacionar o momento de inércia e seu período de oscilação. Para isso pendurou-se uma chapa com 15 furos equidistantes entre si, verificando através do teorema dos eixos paralelos a concordância do método prático e método teórico. Para realização deste experimento tratou-se a placa como pêndulo físico, sendo o torque total que age sobre ele resultado da aplicação da força peso. Para obter medidas coerentes dos momentos de inércia em diferentes eixos, deslocou-se a chapa de um ângulo de aproximadamente 5° e foi medido com auxílio de um cronômetro o tempo de dez oscilações em cada furo da chapa. Analisou-se os dados obtidos e os possíveis erros associados com os valores teóricos e experimentais calculados. Ao fim, encontrou-se os resultados do momento de inércia para o método prático e teórico, sendo respectivamente e . Analisou-se a abrangência da margem de erro, e assim verificou-se a concordância nas medidas.
INTRODUÇÃO.
O momento de inércia mede a distribuição da massa de um sistema em torno de um eixo de rotação, ou seja, envolve não apenas a massa, mas também a forma como esta massa está distribuída. Quanto maior for o momento de inércia do sistema, maior será a resistência imposta ao movimento a fazê-lo girar (TIPLER, 1995). A Equação (1) introduz o conceito do momento inercial relativo ao eixo de rotação, onde m é o valor da massa do sistema e r é a distância até o centro de massa do sistema. Observa-se que, contribui mais para a elevação do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro.
 (1)
	O conceito do momento inercial pode ser estendido para todo o sistema de n partículas sob rotação, através da aplicação da superposição, ou seja, da soma do momento inercial de cada partícula em relação à sua distância ao eixo de rotação, resultando na Equação (2).
 (2)
	
Para um corpo rígido, separando a massa em setores infinitesimais, pode-se determinar o somatório através da integração sob todo o corpo C, do produto da massa  em cada ponto pelo quadrado de sua distância   até o eixo de rotação (Equação 3).
 (3)
	Quando é conhecido o valor do momento de inércia do centro de massa de um corpo em torno de um eixo paralelo que passa pelo seu centro de massa, pode-se utilizar a Equação (4), conhecida como o teorema dos eixos paralelos (HALLIDAY, 1988).
 (4)
		Onde é o momento de inércia no centro de massa do sistema, e são a massa e a distância ao centro de massa do ponto onde se encontra o eixo de rotação.
	Para uma chapa sólida retangular de comprimento L e largura D, o momento inercial no centro de massa é calculado conforme Equação (5).
 (5)
	Porém é necessária ainda a subtração do momento de inércia dos 15 furos distribuídos uniformemente ao longo do comprimento da chapa. O espaçamento entre os furos é b e o raio destes é a. Calculando o momento de inércia total dos furos relativo ao centro de massa da chapa, determina-se a equação (6).
 (6)
	A relação entre as massas pode ser observada nas Equações (7) e (8).
 (7)
 (8) 
	Usando a propriedade aditiva, o momento de inércia de uma chapa com 15 furos equidistantes entre si, é o momento de inércia de uma chapa sólida menos o momento de inércia dos furos (Equação 9).
 (9)
	Se um objeto pendurado oscila em torno de um eixo fixo que não passa através de seu centro de massa e, além disto, não pode ser tratado como uma massa pontual, então ele deve ser tratado como um pêndulo físico ou composto. Analisando a oscilação de uma tira metálica cumprida que gira em torno de um ponto O, afastado de seu centro de massa, pela distância , conforme Figura 1.
Figura 1: Representação de um pêndulo físico onde o corpo gira em torno de um eixo fixo e paralelo ao seu centro de massa (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
	A Equação (10) demonstra o torque que age sobre o corpo e que é gerado pela força-peso que está sendo aplicada no centro de massa.
(10)
	Pode-se definir a posição do centro de aplicação da força-peso, relativa ao ponto de giro, através de uma análise vetorial, conforme Equação (11).
 (11)
Substituindo a expressão de (Equação 11) na Equação (10) referente ao torque, tem-se o produto vetorial das componentes de pelo peso. Observa-se que o segundo termo de é paralelo a força peso, resultando no vetor nulo. Portanto, a expressão para o torque resultante da força peso é a Equação (12).
				(12)
O torque aplicado também pode ser obtido através da relação do momento de inércia com a aceleração angular () do objeto (Equação 13).
(13)
	Neste caso, o sinal negativo indica que o torque em torno do ponto tende a decrescer o ângulo θ, ou seja, a força-peso do objeto produz um torque contrário ao exercido no mesmo, restaurando assim a posição de equilíbrio do sistema.
	Igualando-se as Equações (12) e (13), que expressam os valores do torque de uma força aplicada, obtém-se a Equação (14).
 (14)
	Considerando que o afastamento do objeto de sua posição de equilíbrio tenderá a zero com o passar do tempo, pode-se utilizar a aproximação . Podendo assim, reduzir a equação anterior na Equação (15). 
	 (15)
	Esta expressão é uma forma de equação diferencial, resultando em uma equação harmônica (Equação 16).
 (16)
	A derivada de segunda ordem resulta na equação 17.
 (17)
Substituindo as Equações (15) e (17), obtém-se a Equação 18.
 (18)
O período de uma oscilação, ou tempo de ida e volta do objeto, é determinado pela Equação (19).
 (19)
	Pode-se usar este resultado para medir o momento de inércia de um corpo planar tal como uma tira metálica comprida. Se a distância entre o ponto de giro e o centro de massa é conhecida, o momento de inércia pode ser obtido apenas pela medida do período.
	Fazendo a relação entre o período e o momento de inércia no centro de massa, elevando ao quadrado a equação do período (Equação 19) e substituindo o momento de inércia dado pelo teorema de Steiner (Equação 4), encontra-se a Equação (20) e as subsequentes (20a) e (20b).
 (20)
 (20a)
 (20b)
	A prática tem por objetivo a determinação do período de oscilação de um pêndulo físico e a relação deste com o momento de inércia do corpo rígido.
MATERIAIS E MÉTODOS.
Materiais empregados.
	Utilizou-se uma chapa metálica com 15 furos equidistantes distribuídos ao longo de seu comprimento com 2,0 cm de diâmetro cada. Utilizando um suporte com um pivô de giro conectado a um prumo para se fazer as oscilações nos furos.
Metodologia aplicada.
	Primeiramenteidentificou-se o centro de massa da chapa e de cada furo e logo em seguida mediu-se a massa da chapa metálica. Fixou-se o primeiro furo no rolamento do suporte, e afastou-se a um ângulo de 5º da vertical com o auxílio do prumo, como ilustra a figura 2. Soltou-se a chapa e mediu-se o tempo de 10 oscilações, repetiu-se o procedimento 5 vezes. O mesmo procedimento foi feito para outros furos, até o furo central da chapa.
Figura 2: Suporte com rolamento conectado a chapa metálica.
(Fonte: Roteiro de Prática III, Momento de Inércia. ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
RESULTADOS E DISCUSSÃO.
Dados experimentais para o pêndulo físico.
	Mediu-se a massa da chapa metálica utilizada no experimento, e mediu-se as dimensões da chapa, o raio e a distância de cada furo do centro de massa da chapa metálica. Por ser uma chapa simétrica, considerando-se distribuição uniforme de densidade, considera-se o centro de massa da chapa como sendo a intersecção dos eixos de simetria da mesma. A Tabela A no Anexo I indica a massa e as dimensões encontradas.
	Escolheu-se a angulação de 5º para fazer-se as oscilações, pois, assim, pode-se aplicar a simplificação
	Dessa forma, trunca-se o valor de θ na terceira casa decimal, a fim de se fazer valer a igualdade. O mesmo é feito com os valores das demais variáveis.
	A partir das medidas realizadas em laboratório, montou-se a Tabela 1 com os dados de distância entre eixo de rotação e centro de massa, medidas de tempo para 10 oscilações, e o respectivo tempo médio para cada configuração.
Tabela 1: Dados experimentais coletados para o pêndulo físico.
	Configuração
	Distância
Eixo-CM
(m)
	Tempo de 10 oscilações (s)
	Tempo Médio de 10 oscilações (s)
	
	
	Repetição 1
	Repetição 2
	Repetição 3
	Repetição 4
	Repetição 5
	
	1
	0,35±0,002
	14,30
	14,31
	14,17
	14,30
	14,32
	14,28±0,05
	2
	0,30±0,002
	13,92
	13,86
	13,86
	13,92
	13,88
	13,89±0,03
	3
	0,25±0,002
	13,67
	13,64
	13,73
	13,73
	13,69
	13,69±0,04
	4
	0,20±0,002
	13,67
	13,63
	13,61
	13,61
	13,67
	13,63±0,03
	5
	0,15±0,002
	14,11
	14,07
	14,08
	14,07
	14,07
	14,08±0,02
	6
	0,10±0,002
	15,86
	15,86
	15,81
	15,80
	15,83
	15,83±0,02
	7
	0,05±0,002
	20,70
	20,61
	20,67
	20,62
	20,61
	20,64±0,04
Tratamento dos dados experimentais.
	Partindo da equação (9), tendo-se os valores da massa da chapa com furos, suas dimensões e as dimensões dos furos, calculou-se o momento de inércia no centro de massa da chapa, expondo o valor na Tabela A do Anexo I.
	Com os dados da Tabela 1, calculou-se o período médio e seu desvio padrão dividindo-se o tempo medido por 10, uma vez que o tempo medido foi para 10 oscilações. Calculou-se também o valor de período médio quadrado com seu respectivo desvio padrão, montando a Tabela 2.
Tabela 2: Medidas de período médio para as configurações testadas.
	Configuração
	Distância Eixo-CM (m)
	Período médio (s)
	Quadrado do Período (s²)
	1
	0,35
	1,428±0,005
	2,039±0,014
	2
	0,30
	1,389±0,003
	1,929±0,008
	3
	0,25
	1,369±0,004
	1,874±0,011
	4
	0,20
	1,363±0,002
	1,858±0,005
	5
	0,15
	1,408±0,002
	1,982±0,006
	6
	0,10
	1,583±0,002
	2,506±0,013
	7
	0,05
	2,064±0,004
	4,260±0,016
	Plotou-se, então, o gráfico de período médio ao quadrado em função da distância entre o centro de massa e o eixo de rotação, demonstrado na Figura 3.
Figura 3: Gráfico do período médio ao quadrado em função da distância eixo-centro de massa.
	Ajustou-se a curva utilizando-se métodos estatísticos, encontrando-se a equação da curva da forma
y = 59,5x² - 29,461x + 5,2669
	Analisando-se a curva, percebe-se que o período vai aumentando à medida que o eixo de rotação vai se aproximando ao centro de massa do pêndulo, de modo que, quanto mais a distância entre o eixo e o centro de massa se aproxima de zero, o período vai tendendo ao infinito. Matematicamente,
	O limite expressa que, quando o eixo de rotação coincide com o centro de massa do pêndulo, a oscilação tem período indeterminado.
	Manipulando-se a equação (20) e suas extensões (20a) e (20b), multiplicando-se os dois lados da equação por r, obtém-se a equação (21):
 (21)
	Plotou-se então o gráfico do produto entre período médio ao quadrado e a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa (T²r) em função do quadrado da distância entre o eixo de rotação e o centro de massa (r²), expresso na Figura 4.
Figura 4: Gráfico do produto do período médio quadrado com a distância eixo-CM em função do quadrado da distância eixo-CM.
	Ajustando-se a curva, obtém-se uma equação de primeiro grau, o que indica um comportamento linear da curva. A equação da reta obtida é da forma
y = (4,1544 ±0,011)x + (0,2056 ±0,008)
	Uma vez que a equação (21) pode ser reescrita em termos das equações (20a) e (20b), tem-se
	Como y = T²r e x = r², obtém-se os valores de a e b, relacionando-os com as equações (20a) e (20b) descritas anteriormente. Assim,
	A partir do valor de b, encontrou-se o valor de Segundo a literatura (Wolfram-Alpha, 2014), a aceleração da gravidade em Toledo-PR é de 9,786 m/s². Comparando-se os dois valores, percebe-se que o valor da aceleração da gravidade real está dentro do intervalo de erro para o valor de g calculado. 
	Com o valor de a, calculou-se o momento de inércia da chapa metálica no seu centro de massa, tendo a massa da chapa , encontrando-se que Comparando-se com o valor teórico calculado pela equação (9), que se encontra na Tabela A do Anexo I, percebe-se que os valores teórico e experimental estão dentro dos intervalos de incerteza.
Discussão dos resultados.
	Analisando-se os dados obtidos nos cálculos, percebe-se que tanto o valor da aceleração da gravidade quanto o momento de inércia no centro de massa estão incluídos nos intervalos de incerteza das medidas. Assim, pode-se inferir que há uma boa concordância entre os dois métodos, teórico e experimental.
CONCLUSÃO.
	A partir dos dados obtidos e das considerações tomadas, pode-se concluir que o experimento atingiu seu objetivo, relacionando o período de oscilação de um pêndulo físico com o momento de inércia do mesmo. Os valores de momento de inércia teórico e experimental encontram-se dentro dos intervalos de incerteza, o que indica uma concordância entre os dois métodos, servindo bem de ilustração para o sistema físico estudado.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas III – Momento de Inércia, Toledo, 2014.
HALLIDAY, D., RESNIK R., KRANE, D.S. Física 1, Volume 1, 4ª Ed, Rio de Janeiro: LTC, 1996.
TIPLER, Paulo A. Física para Cientistas e Engenheiros – Vol.2, 3ª Ed, Rio de Janeiro: LTC, 1995.
“Gravity acceleration in Toledo, Brazil – Wolfram|Alpha”. Disponível em < http://www.wolframalpha.com/input/?i=gravity+acceleration+in+toledo%2C+brazil>, acesso em 08 mai 2014.
ANEXOS
	Anexo I – Tabelas empregadas no experimento.
Tabela A: Cálculo do momento de inércia para a chapa metálica utilizada.
	Dado
	Valor
	Massa da chapa com os furos (g)
	858,1 ± 0,05
	Largura da chapa (cm)
	79,9 ± 0,05
	Comprimento da chapa (cm)
	5,0 ± 0,05
	Raio do furo (cm)
	1,0 ± 0,05
	Distância entre os furos (cm)
	5,0 ± 0,05
	Momento de inércia no centro de massa da chapa com furos (g m/s²)
	0,046 ± 0,001
	Anexo II – Equações aplicadas no experimento.