Lista_1

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Lista 1
Matrizes
1. Considere as matrizes
A =
 3 0−1 2
1 1
 , B = [ 4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
,
D =
 1 5 2−1 0 1
3 2 4
 , E =
 6 1 3−1 1 2
4 1 3

Calcule (se poss´ıvel)
(a) D + E (b) D − E (c) 5A (d) − 7C
(e) 2B − C (f) 4E − 2D (g)− 3(D + 2E) (h) A− A
(i) tr(D) (j) tr(D − 3E) (k) 4tr(7B) (l) tr(A)
2. Usando as matrizes do exerc´ıcio anterior, calcule (se poss´ıvel)
(a) 2AT + C (b) DT − ET (c) (D − E)T
(d) BT + 5CT (e)
1
2
CT − 1
4
A (f) B −BT
(g) 2ET − 3DT (h) (2ET − 3DT )T (i) tr(4ET −D)
(k) tr(CTAT + 2ET ) (l)DTET − (ED)T
3. Seja
A =
 3 −2 76 5 4
0 4 9
 e B =
 6 −2 40 1 3
7 7 5
 (1)
Calcule
(a) AB
(b) BA
(c) Que pode concluir do resultado das al´ıneas anteriores?
4. Encontre em cada um dos casos as matrizes A, x, e b que exprimem o sistema
de equac¸o˜e s lineares na equac¸a˜o matricial Ax = b.
(a)

2x1 − 3x2 + 5x3 = 7
9x1 − x2 + x3 = −1
x1 + 5x2 + 4x3 = 0
(b)

4x1 − 3x3 + x4 = 1
5x1 + x2 − 8x4 = 3
2x1 − 5x2 + 9x3 − x4 = 0
3x2 − x3 + 7x4 = 2
(2)
1
5. Expresse as equac¸o˜es matriciais seguintes como sistemas lineares de equac¸o˜es.
(a)  3 −1 24 3 7
−2 7 5
 x1x2
x3
 =
 2−1
4
 (3)
(b) 
3 −2 0 1
5 0 2 −2
3 1 4 7
−2 5 1 6


x
y
z
w
 =

0
0
0
0
 (4)
6. Encontre a matriz [aij], 6× 6 que satisfaz a condic¸a˜o. Deˆ respostas o mais gerais
poss´ıveis usando letras como entradas sempre que estas forem na˜o nulas.
(a) aij = 0 se i 6= j (b) aij = 0 se i > j
(c) aij = 0 se i < j (d) aij = 0 se |i− j| > 1
7. Seja A a matriz [
8 1
7 6
]
Calcule A3, A−3, e A2 − 2A + I.
8. Seja A a matriz [
3 1
2 1
]
Calcule para cada um dos casos p(A).
(a) p(x) = x− 2 (b) p(x) = 2x2 − x + 1 (c) p(x) = x3 − 2x + 4
9. Mostre que se uma matriz A satisfaz A2 − 3A + I = 0, enta˜o A−1 = 3I − A.
10. (a) Encontre uma matriz A, 3× 3 na˜o-nula tal que AT = A.
(b) Encontre uma matriz A, 3× 3 na˜o-nula tal que AT = −A.
11. Uma matriz A diz-se sime´trica se AT = A, e anti-sime´trica se AT = −A.
Mostre que se B e´ uma matriz quadrada, enta˜o
(a) BBT e B + BT sa˜o sime´tricas. (b) B −BT e´ anti-sime´trica.
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