Lista_2

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Lista 2
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
1. Sendo k uma constante real, quais das equac¸o˜es seguintes sa˜o lineares?
(a) x1−x2 +x3 = sin k (b) kx1− 1
k
x2 = 9 onde k 6= 0 c) 2kx1 + 7x2−
x3 = 0
2. Encontre o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das seguintes equac¸o˜es lineares.
(a) 3x1 − 5x2 + 4x3 = 7 (b)−8x1 + 2x2 − 5x3 + 6x4 = 1
(c) 3v − 8w + 2x− y + 4z = 0
3. Escreva a matriz aumentada para os sistemas de equac¸o˜es lineares seguintes.
(a)

3x1 − 2x2 = −1
4x1 + 5x2 = 3
7x1 + 3x2 = 2
(b)

2x1 + 2x3 = 1
3x1 − x2 + 4x3 = 7
6x1 + x2 − x3 = 0
(c)

2x2 + x1 − x4 + x5 = 1
3x2 + x3 − x5 = 2
x3 + 7x4 = 3
(d)

x1 = 1
x2 = 2
x3 = 1
4. Encontre os sistemas lineares que correspondem a`s matrizes aumentadas.
(a)
 2 0 03 −4 0
0 1 1
 (b)
 3 0 −2 57 1 4 −3
0 −2 1 7
 (c)
 1 0 0 0 70 1 0 0 −2
0 0 0 1 4

5. Para que valor(ou valores) da constante k o sistema linear seguinte, na˜o tem
soluc¸o˜es? Tem exactamente uma soluc¸a˜o? Tem infinitas soluc¸o˜es?{
x− y = 3
2x− 2y = k
1
6. Considere as matrizes aumentadas na forma escalonada por linhas. Resolva os
sistemas.
(a)
 1 −3 4 70 1 2 2
0 0 1 5
 (b)
 1 0 8 −5 60 1 4 −9 3
0 0 1 1 2

(c)

1 7 −2 0 −8 −3
0 0 1 1 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0
 (d)
 1 −3 7 10 1 4 0
0 0 0 1

7. Resolva os sistemas seguintes usando o me´todo de eliminac¸a˜o gaussiana.
(a)

x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
(c)

x− y + 2z − w = −1
2x+ y − 2z − 2w = −2
−x+ 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
(d)

−2b+ 3c = 1
3a+ 6b− 3c = −2
6a+ 6b+ 3c = 5
(e)

3x1 + 2x2 − x3 = −15
5x1 + 3x2 + 2x3 = 0
3x1 + x2 + 3x3 = 11
−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30
(f)

4x1 − 8x2 = 12
3x1 − 6x2 = 9
−2x1 + 4x2 = −6
(g)
{
5x1 − 2x2 + 6x3 = 0
−2x1 + x2 + 3x3 = 1 (h)

w + 2x− y = 4
+ x− y = 3
+ w + 3x− 2y = 7
2u+ 4v + w + 7x = 7
8. Indique quais dos seguintes sistemas teˆm soluc¸o˜es na˜o-triviais.
(a)

2x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = 0
7x1 + x2 − 8x3 + 9x4 = 0
2x1 + 8x2 + x3 − x4 = 0
(b)

x1 + 3x2 − x3 = 0
x2 − 8x3 = 0
4x3 = 0
(c)
{
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
(d)
{
3x1 − 2x2 = 0
6x1 − 4x2 = 0
9. Resolva os sistemas.
2
(a)

2x1 + x2 + 3x3 = 0
x1 + 2x2 = 0
x2 + x3 = 0
(b)
{
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
5x1 − x2 + x3 − x4 = 0
(c)

2x− y − 3z = 0
−x+ 2y − 3z = 0
x+ y + 4z = 0
(d)

x1 + 3x2 + x4 = 0
x1 + 4x2 + 2x3 = 0
−2x2 − 2x3 − x4 = 0
2x1 − 4x2 + x3 + x4 = 0
x1 − 2x2 − x3 + x4 = 0
10. Resolva o seguinte sistema de equac¸o˜es na˜o-lineares para x, y e z.
x2 + y2 + z2 = 6
x2 − y2 + 2z2 = 2
2x2 + y2 − z2 = 3
11. Resolva o sistema 
2x1 − x2 = λx1
2x1 + x2 + x3 = λx2
−2x1 + 2x2 + x3 = λx3
com
(a)λ = 1 (b)λ = 2
12. Quais das matrizes seguintes sa˜o elementares?
(a)
[
1 0
−5 1
]
(b)
[ −5 1
1 0
]
(c)
[
1 0
0
√
3
]
(d)
 0 0 10 1 0
1 0 0

(e)
 1 1 00 0 1
0 0 0
 (f)
 1 0 00 1 9
0 0 1
 (g)
 2 0 0 20 1 0 0
0 0 0 1

13. Utilize o me´todo que foi ensinado na aula para inverter as seguintes matrizes,
caso estas sejam invert´ıveis.
(a)
[
1 4
2 7
]
(b)
[ −3 6
4 5
]
(c)
 1 0 10 1 1
1 1 0
 (d)
 2 6 62 7 6
2 7 7

(e)
 1 0 1−1 1 1
0 1 0
 (f)

1
5
1
5
−2
5
1
5
1
5
1
10
1
5
−4
5
1
10
 (g)

1 0 0 0
1 3 0 0
1 3 5 0
1 3 5 7

(h)

−8 17 2 1
3
4 0 2
5
−9
0 0 0 0
−1 13 4 2
 (i)

0 0 2 0
1 0 0 1
0 −1 3 0
2 1 5 −3
 (k)
 0 0 k10 k2 0
k3 0 0

3
14. Considere as matrizes
A =
 2 1 22 2 −2
3 1 1
 e x =
 x1x2
x3

(a) Mostre que a equac¸a˜o Ax = x pode rescrita como (A − I)x = 0 e use este
resultado para resolver Ax = x em x.
(b) Resolva Ax = 4x.
Exerc´ıcios de Revisa˜o
1. Usando o me´todo de eliminac¸a˜o gaussiana, resolva o sistema:
−2x1 + x2 = 0
x1 + x3 + x4 = −1
2x1 + 3x2 + 6x3 + x4 = 2
x1 + 4x2 + 7x3 + 2x4 = 1
2. Considere a equac¸a˜o matricial Ax = b onde:
A =

1 −2 4 2
1 −2 3 2
−2 3 2 1
−2 4 −6 −4
 , x =

x1
x2
x3
x4
 e b =

2
1
5
−2

(a) Escreva o sistema de equac¸o˜es correspondente.
(b) Utilizando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan determine as soluc¸o˜es
do sistema
3. Usando o me´todo de eliminac¸a˜o gaussiana, resolva o sistema:
−2x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 1
2x2 + x4 = −1
2x1 + x2 − x4 = 3
x3 − 2x1 = 0
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