Aula 02 Sistemas de Numeração

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Curso de Bacharelado em Tecnologia da Informação 
Introdução à Computação e aos Sistemas de Informação (60h/a) 
 
Sistemas de Numeração (Parte II) 
Aula 05 
Prof. Lenardo Chaves e Silva, D.Sc. 
lenardo@ufersa.edu.br 
quinta-feira, 03 de agosto de 2017 
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA) 
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Tópicos 
2 
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Sistemas de Numeração (Parte II): 
 Conversões entre os Sistemas de Numeração: 
 Conversão Binário-Decimal; 
 Conversão Decimal-Binário; 
 Conversão Binário-Hexadecimal; 
 Conversão Hexadecimal-Binário; 
 Conversão Decimal-Hexadecimal; 
 Conversão Hexadecimal-Decimal. 
 Referências. 
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Vimos também... 
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Computador Digital 
 Tudo são Números! 
 
Sistemas de Numeração: 
 Decimal: 10 símbolos (base 10); 
 Binário: 2 símbolos (base 2); 
 Octal: 8 símbolos (base 8); 
 Hexadecimal: 16 símbolos (base 
16). 
FONTE: http://www.bbc.co.uk/education/guides/z26rcdm/revision 
CONVERSÃO 
Sinais Elétricos ON e OFF  Sequência de 1s e 0s 
Conversão entre os 
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6 
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1. Conversão de Binário para Decimal 
1.1 Técnica: somar os pesos das posições que contém o bit 1. 
Exemplos: 
Número Binário: 110112 
1 1 0 1 1 
24 + 23 + 0 + 21 + 20 
= 
16 + 8 + 2 + 1 
= 
2710 
Número Binário: 101101012 
1 0 1 1 0 1 0 1 
27 + 0 + 25 + 24 + 0 + 22 + 0 + 20 
= 
128 + 32 + 16 + 4 + 1 
= 
18110 
Método Padrão 
�
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7 
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1. Conversão de Binário para Decimal 
1.2 Técnica: Double-Dabble. 
Exemplos: Número Binário: 110112 
1 1 0 1 1 
1x2 = 2 
+1 
3x2 = 6 
+0 
6x2 = 12 
+1 
13x2 = 26 
+1 
2710 
Método Double-Dabble: 
 
1. Escreva o bit 1 mais à 
esquerda no número binário; 
2. Multiplique-o por 2 e adicione 
o próximo bit à direita; 
3. Escreva o resultado abaixo do 
próximo bit; 
4. Continue com os passos 2 e 3 
até finalizar com o número 
binário. 
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2. Conversão de Decimal para Binário 
2.1 Técnica: processo inverso ao descrito em 1.1. 
Exemplos: 
Número Decimal: 4510 
25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 
32 16 8 4 2 1 
= 
1 0 1 1 0 1 
= 
1011012 
Número Decimal: 7610 
26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 
64 32 16 8 4 2 1 
= 
1 0 0 1 1 0 0 
= 
10011002 
Método Padrão 
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2. Conversão de Decimal para Binário 
2.2 Técnica: Divisão Repetida por 2. 
Exemplo: Número Decimal: 2510 
Método da Divisão Repetida: 
 
1. Divida o número decimal por 2; 
2. Escreva o resto após cada 
divisão; 
3. Continue com os passos 1 e 2 
até obter um quociente igual a 
zero; 
4. O primeiro resto equivale ao 
LSB e o último resto ao MSB. 
Exemplos: Número Decimal: 3710 
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2. Conversão de Decimal para Binário 
SIM 
INÍCIO 
Divida 
por 2 
Registre o quociente 
(Q) e o resto (R) 
Recolha os R’s no número 
binário desejado com o 
primeiro R como LSB e o 
último R como MSB 
FIM 
NÃO 
É 
Q = 0? 
F
lu
xo
gr
a
m
a
 d
o 
M
ét
od
o 
 
d
a
 D
iv
is
ã
o 
R
ep
et
id
a
 
DICA: Você pode usar a calculadora para fazer as divisões por 2. Se o 
resultado da divisão for exato, o resto é 0, caso contrário, o resto é 1. 
= 1001012 
Q R 
2 37 1 
2 18 0 
2 9 1 
2 4 0 
2 2 0 
2 1 1 
0 
Sistema Binário (base 2) e Sistema Decimal (base 10): 
 
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Qual o valor de 11011010112 em Decimal? 
 
 
Qual o valor de 25110 em Binário? 
 
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3. Conversão de Hexadecimal para Decimal 
Técnica: somar os produtos de cada dígito hex por seus pesos. 
Exemplos: 
Número Hexa: 
35616 
Número Hexa: 
2AF16 
= 
(3 x 162) + (5 x 161) + (6 x 160) 
= 
768 + 80 + 6 
= 
85410 
= 
(2 x 162) + (10 x 161) + (15 x 160) 
= 
512 + 160 + 15 
= 
68710 
Note que no segundo exemplo o valor 10 foi substituído por A 
e o valor 15 por F na conversão para decimal. 
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4. Conversão de Decimal para Hexadecimal 
Técnica: Divisão Repetida por 16. 
Exemplos: 
Número Decimal: 42310 Número Decimal: 21410 
DICA: Você pode usar a calculadora para fazer as divisões por 16. 
Porém, o resultado irá incluir uma fração decimal em vez de um resto. 
O resto da divisão pode ser obtido multiplicando a fração por 16. 
Sistema Hexadecimal (base 16) e Sistema Decimal (base 10): 
 
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Qual o valor de 1BC216 em Decimal? 
 
 
Qual o valor de 42810 em Hexadecimal? 
 
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5. Conversão de Hexadecimal para Binário 
Técnica: cada dígito hexa é convertido em seu equivalente binário de 
quatro bits. 
Exemplos: 
Número Hexa: BA616 Número Hexa: 9F216 
9 F 2 
1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 
= 
1001111100102 
B A 6 
1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 
= 
1011101001102 
DICA: Zeros podem ser adicionados à esquerda do MSB para 
preencher o último grupo de 4 bits. 
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6. Conversão de Binário para Hexadecimal 
Técnica: processo inverso ao descrito em 5. 
1. Agrupar bits em grupos de 4 a partir do LSB; 
2. Converter cada grupo para o hexadecimal equivalente. 
Exemplos: 
Número Binário: 
11101001102 
Número Binário: 
1010111112 
0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 { { { 
3 A 6 
= 
3A616 
0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 { { { 
1 5 F 
= 
15F16 
Conversão entre os 
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6. Conversão de Binário para Hexadecimal 
HEXADECIMAL BINÁRIO 
0 0000 
1 0001 
2 0010 
3 0011 
4 0100 
5 0101 
6 0110 
7 0111 
8 1000 
9 1001 
A 1010 
B 1011 
C 1100 
D 1101 
E 1110 
F 1111 
Conheça os números binários de 
quatro bits (0000 - 1111) e seus dígitos 
hexadecimais equivalentes. 
Sistema Hexadecimal (base 16) e Sistema Binário (base 2): 
 
Conversão entre os 
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Qual o valor de 6FD16 em Binário? 
 
 
Qual o valor de 10001110112 em Hexadecimal? 
 
Contagem no Sistema Hexadecimal: 
 Cada posição do dígito (de 0 à F)  incrementado em + 1: 
 Exemplo: 
... 38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 40, 41, ... 
 +1  39 
 +1  3A 
 +1  3B 
 +1  3C 
 +1  3D 
 +1  3E 
 +1  3F 
 +1  40 
 +1  41 
 +1 ... 
 
 
 
 
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Quando há um 9 na posição de um dígito, ele 
torna-se um A quando ele é incrementado. 
Ao atingir a posição com valor F, ela é redefinido para 
0 e a próxima posição do dígito é incrementada. 
Com n dígitos hexadecimais: contagem  0 à 16n – 1 
Ex.: n = 3  00016 até FFF16 = 010 até 409510 - um total de 4096 = 16
3 valores. 
Utilidade do Sistema Hexadecimal: 
 Sistemas Digitais: 
 Representar grandes (e.g., acima de 64bits) cadeias de bits (i.e., 
abreviação): 
Exemplo: Não apenas valores numéricos,mas também informações 
não numéricas  códigos. 
 Vantagens: 
 Conveniência  lidar com um grande número de bits; 
 Facilitar a manipulação (e.g., escrita)  reduzir a propensão a erros; 
 Conversão facilitada: hex  binário. 
 
 
 
 
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Você prefere verificar 50 números como este 
01101110011001112 ou 50 números como este 6E6716? 
Conversão de Decimal para Hexadecimal para Binário: 
 
Conversão entre os 
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Qual o valor de 37810 em Binário usando o número em 
Hexadecimal como primeira etapa da conversão? 
 
Conversão de Números Fracionários: 
 Decimal para outros sistemas: 
 Operação inversa: multiplicar a parte fracionária pela base até 
que a parte fracionária do resultado seja zero. 
Conversão entre os 
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Exemplos: Número Decimal: 8,37510 
• Parte Inteira: 810 = 10002 
• Parte Fracionária: 0,37510 
0,375 
 x 2 
0,750 
  
 0 
0,750 
 x 2 
1,500 
  
 1 
0,500 
 x 2 
1,000 
  
 1 
0,000 
= 0112 
= 1000,0112 
Aritmética Binária
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Adição Binária
 Regras:
OPERANDOS BINÁRIOS SOMA 
(S)
TRANSPORTE 
(Carry1)A B
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1 1
Carry A
B +
S
RESULTADO
0
1
1
10
11
1 “Vai-um” para a posição de ordem superior 
p/ esquerda:
+1
Caso Especial: 12 + 12 = 102 = 210 01
+ 01
10
No Sistema Decimal: 1610 + 710 = 2310
+1 (dezena )
 1 6 
+ 7
2 3
Aritmética Binária
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Adição Binária
Exemplos:
1. Adicionar (1010)2 e (0101)2
1010
+ 0101
1111
= 1010
= +510
= 1510
10 = 1010
11 = + 1011
10101 = 2110
3. Adicionar 1011,0112 e 110,12
1011,011
+ 110,1
10001,111
= 11,37510
= +6,510
= 17,87510
4. Adicionar 4,2510, 7,7510 e 810
em binário
4,25 = 100,01
7,75 = 111,11
8,00 = + 1000,00
10100,002 = 20,0010
11
2. Adicionar 1010 e 1110 em binário
00
111
11111 1
Aritmética Binária
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Subtração Binária
 Regras:
OPERANDOS BINÁRIOS DIFERENÇA
(D)
EMPRÉSTIMO 
(Borrow2)A B
0 0 0 0
0 1 1 10
1 0 1 0
1 1 0 0
Borrow A
B -
S
RESULTADO
0
1
1
0
2 “Vem-um” da posição de ordem superior  da 
esquerda:
0 +10 = 210
Caso Especial: 102 - 12 = ?  1 0
- 1
1
No Sistema Decimal: 2410 - 1710 = 710
1 +10
 2 4 
- 1 7
0 7
Aritmética Binária
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Subtração Binária
Exemplos:
1. Subtrair (10101)2 de (11011)2
11011
- 10101
00110
= 2710
= -2110
= 610
2. Subtrair 1010 de 2210 em binário
22 = 10110
10 = - 1010
01100 = 1210
1
0
3. Subtrair 1010 de 1610 em binário
16 = 10000
10 = - 1010
00110 = 610
12
12
02
4. Subtrair 410 de 910 em binário
+9 = 01001
+4 = 00100
= +510
Complemento de 2:
+42 = 00100
-42 = 11011  cp1
+ 1
11100
+9 = 01001
-4 = +11100
100101
10
Subtraindo 
uma unidade 
do minuendo à 
esquerda!
Somando uma 
unidade ao 
subtraendo à 
esquerda!
Representando
Grandezas com Sinal
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Sistema Sinal-Magnitude:
MSB sinal: 0 número positivo; 1 número negativo.
 Demais bits grandeza (i.e., magnitude):
 Valor dos bits independe do sinal.
Magnitude = 5210
Magnitude = 5210
Bit de Sinal (+)
Bit de Sinal (-)
R
e
gi
st
ra
d
o
re
s
d
e
 6
 b
it
s
Representando
Grandezas com Sinal
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Sistema Sinal-Magnitude:
Exemplos: 8 bits
Obs.: Representação em binário com n bits:
Sinal = 1 bit (MSB);
Magnitude = n-1 bits.
VALOR DECIMAL VALOR BINÁRIO
(Bit Sinal + 7 Bits de Magnitude)
+9 00001001
-9 10001001
+127 01111111
-127 11111111
Representando
Grandezas com Sinal
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Sistema de Complemento de 2:
 Principal representação para números binários com sinal;
 Passos:
1. Converter o número binário para a forma Complemento de 1:
2. Converter da forma Complemento de 1 para Complemento de 2:
 Adicionar +1 ao LSB do número na forma do Complemento de 1.
Número Binário Original
Trocar cada bit pelo seu bit oposto (i.e., 0  1 e 1 0)
1 0 1 1 0 1
     
0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0
+ 1
0 1 0 0 1 1 Complemento de 2
Complemento de 1
Representando
Grandezas com Sinal
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Sistema de Complemento de 2:
 Número Positivo (MSB = 0): bit 0 + forma binária original.
 Número Negativo (MSB = 1): bit 1 + complemento de 2.
Binário Original
Complemento de 2
Bit de Sinal (+)
Bit de Sinal (-)
DICA: Esse sistema é importante porque permite que o computador digital
execute a operação de subtração binária por meio da adição binária.
0’s + 
1’s + 
N
ão
 h
á 
al
te
ra
çã
o
 d
e
 v
al
o
r!
Aritmética Binária
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Subtração Binária no Sistema de Complemento de 2:
No exemplo...
4. Subtrair 410 de 910 em binário
+9 = 01001 e +4 = 00100 
= +510
Passo 1:
Complemento de 2:
+42 = 00100
-42 = 11011  cp1
+ 1
11100
Passos 2 e 3:
+9 = 01001
-4 = +11100
100101 
A - B = A + (-B)
Passos:
1. Negar o subtraendo usando o 
sistema de complemento de 2;
2. Adicionar o resultado ao minuendo. 
Se o minuendo for negativo, aplicar 
também o complemento de 2;
3. A resposta representa a diferença.
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Multiplicação Binária
 Regras:
OPERANDOS BINÁRIOS PRODUTO
(P1)A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
RESULTADO
0
0
0
1
2 O produto de dois números binários é igual a 1, somente se ambos os operandos 
são 1, caso contrário o produto é igual a 0.
Aritmética Binária
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Multiplicação Binária
Exemplos:
= 3510
1. Multiplicar 710 por 510 em 
binário
710 = 111
510 = x 101
111
000
+ 111
100011
111
= 13210
2. Multiplicar 2210 por 610 em 
binário
2210 = 10110
610 = x 110
00000
10110
+ 10110
10000100
1111
Aritmética Binária
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Divisão Binária
 Regras:
OPERANDOS BINÁRIOS
DIVISÃO3
A B
0 1 0
1 1 1
RESULTADO
0
1
3 Divisão por zero não é permitida.
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Divisão Binária
Exemplos:
1. Dividir 7510 por 310 em 
binário
7510 = 1001011
310 = 11
2. Dividir 110012 por 102
=
1001011 11
-11 11001
0011
-11
00011
-11
(0)
{
= 2510
110012 = 2510
102 = 210
=
11001 10
-10 1100,1
010
-10
0001
-00
(1)
{
= 12,510
Estouro Aritmético
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Estouro de Bits (Overflow):
 Ocorrência:
 Na adição, apenas quando dois números positivos/negativos são
adicionados;
 Na subtração, apenas quando o minuendo e subtraendo possuem
sinais diferentes.
Exemplo:
 Detecção: Verificar se o bit de sinal do resultado é idêntico aos bits
de sinais dos números que estão sendo adicionados.
Magnitude Incorreta (i.e., 4 bits)
+9  0 1 0 0 1
+8  0 1 0 0 0
1 0 0 0 1{
Sinal Incorreto (-)
Resposta Correta:
+1710 = 000100012
 TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas digitais: Princípios e
Aplicações. 11ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2011. 840p. Cap. 2 e 6.
 CAPUANO, F. G.; IDOETA, I. V. Elementos da eletrônica digital. 41. ed. São
Paulo: Érica, 2012. 544p.
Referências
18lenardo@ufersa.edu.br