Mat Economia III Capítulo 2 Sistemas Lineares

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1 
CAPÍTULO 2 
Sistemas de Equações Lineares 
Introdução e Operações Elementares sobre Linhas 
 
 
 
Introdução: Algumas Definições 
 
Definição: Uma equação linear é uma equação com a seguinte forma: 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 
 
Definição: Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. Um sistema 
com 𝑚 equações e 𝑛 variáveis pode ser representado por: 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
 Uma solução de um sistema é uma 𝑛–upla de números (𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛) que 
satisfaça simultaneamente estas 𝑚 equações. 
Dois sistemas são equivalentes quando possuem a(s) mesma(s) solução (ões). 
 
Podemos escrever o sistema acima numa forma matricial 𝐴𝑥 = 𝑏: 
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
] [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] = [
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
] 
Onde: 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
] é a matriz dos coeficientes, 
𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] a matriz das incógnitas 
 2 
𝑏 = [
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
] a matriz dos termos independentes. 
Um sistema de equações lineares onde os termos independentes são todos nulos 
é chamado homogêneo. 
Outra matriz que pode ser associada ao sistema é [𝐴 ⋮ 𝐵]: 
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
] 
 
chamada matriz aumentada (ou ampliada) do sistema. 
 
Exemplo: 
Considere o sistema e a matriz aumentada correspondente: 
{
4𝑦 + 5𝑧 = 23
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 14
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 [
0 4 5
2 3 2
1 1 1
23
14
6
] 
Na busca da solução do sistema, rearranjar a ordem das equações não altera o 
sistema, portanto não altera sua solução. Então, este sistema é equivalente à: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 14
4𝑦 + 5𝑧 = 23
 [
1 1 1
2 3 2
0 4 5
6
14
23
] 
Obs: em relação ao sistema original, este foi obtido fazendo: 
𝑒𝑞1 ↔ 𝑒𝑞3 correspondendo à 𝐿1 ↔ 𝐿3 (i) 
(𝑒𝑞: equação; 𝐿: linha) 
Se a segunda equação do sistema for substituída por: 
𝑒𝑞2 ← 𝑒𝑞2 − 2𝑒𝑞1 correspondendo à 𝐿2 ← 𝐿2 − 2𝐿1 (ii) 
O sistema (e sua matriz aumentada) resulta em outro equivalente: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑦 = 2
4𝑦 + 5𝑧 = 23
 [
1 1 1
0 1 0
0 4 5
6
2
23
] 
Se a última equação também for combinada: 
𝑒𝑞3 ← 𝑒𝑞3 − 4𝑒𝑞2 correspondendo à 𝐿3 ← 𝐿3 − 4𝐿2 (iii) 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑦 = 2
5𝑧 = 15
 [
1 1 1
0 1 0
0 0 5
6
2
15
] 
 3 
Dividindo a última equação por 5: 
𝑒𝑞3 ← 𝑒𝑞3/5 correspondendo à 𝐿3 ← 𝐿3/5 (iv) 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑦 = 2
𝑧 = 3
 [
1 1 1
0 1 0
0 0 1
6
2
3
] 
A substituição dos valores de 𝑦 e 𝑧 obtidos nas equações 2 e 3 é equivalente à: 
𝑒𝑞1 ← 𝑒𝑞1 − 𝑒𝑞2 − 𝑒𝑞3 correspondendo à 𝐿1 ← 𝐿1 − 𝐿2 − 𝐿3 (v) 
{
𝑥 = 1
𝑦 = 2
𝑧 = 3
 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
3
] 
Que é a única solução do sistema original. 
 
Operações Elementares 
Neste passo a passo da resolução, de modo a obter um sistema equivalente mais 
simples até sua solução, foram efetuadas três tipos de operações: 
Nas equações: 
i) Permutação de duas equações; 
ii) Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo; 
iii) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente 
multiplicada por um número real não nulo. 
Correspondendo à matrizes aumentadas que sofreram as respectivas operações: 
i) Permutação de duas linhas; 
ii) Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo; 
iii) Substituição de uma linha por sua soma com outra linha previamente 
multiplicada por um número real não nulo. 
Estas operações são chamadas Operações Elementares. 
 
 
Sistemas de equações lineares: Eliminação Gaussiana e Eliminação de Gauss-Jordan 
 
Eliminação Gaussiana 
Sistematizando agora o procedimento adotado no exemplo anterior, seja o 
sistema: 
{
−2𝑥3 + 7𝑥5 = 12
2𝑥1 + 4𝑥2 − 10𝑥3 + 6𝑥4 + 12𝑥5 = 28
2𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 + 6𝑥4 − 5𝑥5 = −1
 [
0
2
2
0
4
4
−2
−10
−5
0
6
6
7
12
−5
12
28
−1
] 
 4 
Como existe equivalência dos sistemas e matrizes aumentadas sujeitas às 
operações elementares correspondentes, daqui por diante serão trabalhadas apenas as 
matrizes aumentadas. 
 
 Passo 1: Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída 
inteiramente de zeros. 
[
𝟎
𝟐
𝟐
0
4
4
−2
−10
−5
0
6
6
7
12
−5
12
28
−1
] 
A primeira coluna é a coluna não-nula mais à esquerda. 
 
 Passo 2: Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, 
para obter uma entrada não-nula ao topo da coluna encontrada no Passo 1. 
[
0
2
2
0
4
4
−2
−10
−5
0
6
6
7
12
−5
12
28
−1
] 
𝐿1 ↔ 𝐿2
 [
2
0
2
4
0
4
−10
−2
−5
6
0
6
12
7
−5
28
12
−1
] 
Foram permutadas a primeira e a segunda linhas da matriz. 
 
Passo 3: Se a entrada que agora está no topo da coluna encontrada no 
Passo 1 é 𝑎, multiplique a primeira linha inteira por 1/𝑎 para que o elemento da 
primeira linha e da primeira coluna não-nula seja 1. 
[
2
0
2
4
0
4
−10
−2
−5
6
0
6
12
7
−5
28
12
−1
] 
𝐿1 ←
1
2
𝐿1
 [
1
0
2
2
0
4
−5
−2
−5
3
0
6
6
7
−5
14
12
−1
] 
A primeira linha da matriz foi multiplicada por ½. 
 
Passo 4: Some múltiplos convenientes da primeira linha às linha inferiores 
para obter zeros em todas as entradas abaixo do 1. 
[
1
0
2
2
0
4
−5
−2
−5
3
0
6
6
7
−5
14
12
−1
] 
𝐿3 ← 𝐿3 − 2𝐿1
 [
1
0
0
2
0
0
−5
−2
5
3
0
0
6
7
−17
14
12
−29
] 
A primeira linha foi multiplicada por (−2) e somada à terceira linha. 
 
 Passo 5: Agora desconsidere a primeira linha da matriz e recomece 
aplicando o Passo 1 à submatriz resultante. Continue desta maneira até que toda a 
matriz esteja em forma escalonada. 
 5 
[
1
0
0
2
0
0
−5
−𝟐
𝟓
3
0
0
6
7
−17
14
12
−29
] 
Ao se ignorar a primeira linha, observa-se que a primeira coluna não-nula à esquerda da 
submatriz é a terceira coluna. 
Os passos seguintes mostram como se reaplica o procedimento: 
 
 (Passo 6): A primeira linha da submatriz foi multiplicada por (−1/2) para 
que o elemento (−2) seja igual a 1. 
[
1
0
0
2
0
0
−5
−2
5
3
0
0
6
7
−17
14
12
−29
] 𝐿2 ← −
1
2
𝐿2 [
1
0
0
2
0
0
−5
1
5
3
0
0
6
−7 2⁄
−17
14
−6
−29
] 
 
 (Passo 7): A primeira linha da submatriz foi multiplicada por (−5) e somada 
à segunda linha da submatriz: 
[
1
0
0
2
0
0
−5
1
5
3
0
0
6
−7 2⁄
−17
14
−6
−29
] 
𝐿3 ← 𝐿3 − 5𝐿2
....[
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
6
−7 2⁄
1 2⁄
14
−6
1
] 
 
 (Passo 8): Desconsiderando a primeira e segunda linhas da matriz e 
recomeçando no Passo 1, a primeira coluna não-nula à esquerda da submatriz resultante 
é a quinta coluna. 
[
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
6
−7 2⁄
𝟏 𝟐⁄
14
−6
1
] 
 
 (Passo 9): A primeira linha da submatriz foi multiplicada por 2 para que o 
elemento (1/2) fique igual a 1. 
[
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
6
−7 2⁄
1 2⁄
14
−6
1
] 
𝐿3 ← 2𝐿3
 [
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
6
−7 2⁄
1
14
−6
2
] 
 
Que corresponde ao sistema: 
[
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
6
−7 2⁄
1
14
−6
2
] {
𝑥1 + 2𝑥2 − 5𝑥3 + 3𝑥4 + 6𝑥5 = 14
 𝑥3 −
7
2
𝑥5 = −6𝑥5 = 2
 
 
 6 
Este método é chamado de Eliminação Gaussiana, e a matriz resultante tem a 
forma dita Escalonada. 
 
Matriz Escalonada 
Uma matriz 𝑚 × 𝑛 está na forma escalonada se: 
i) Se existirem linhas nulas, estas são agrupadas na parte inferior da 
matriz; 
ii) O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula é 1, chamado pivô 
ou líder; 
iii) O pivô da linha inferior sempre ocorre mais à direita que o pivô da linha 
superior; 
iv) Uma coluna que contenha pivô tem entradas nulas abaixo dele. 
 
Lembrando que esta matriz aumentada corresponde ao sistema equivalente: 
{
𝑥1 + 2𝑥2 − 5𝑥3 + 3𝑥4 + 6𝑥5 = 14
 𝑥3 −
7
2
𝑥5 = −6
 𝑥5 = 2
 
Pode-se obter a solução do sistema por retro-substituição, ou seja, como 𝑥5 = 2, 
isolando o pivô da equação anterior e substituindo o valor de 𝑥5: 
𝑥3 = −6 +
7
2
𝑥5 = −6 + 7 = 1 
E isolando o pivô da primeira equação, substituindo os valores de 𝑥5 e 𝑥3: 
𝑥1 = 14 − 2𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 − 6𝑥5 = 14 − 2𝑥2 + 5 − 3𝑥4 − 12 = 7 − 2𝑥2 − 3𝑥4 
Colocando na forma vetorial: 
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
7 − 2𝑥2 − 3𝑥4
𝑥2
1
𝑥4
2 ]
 
 
 
 
 
Este sistema apresenta infinitas soluções, pois fixados 𝑥5 = 2 e 𝑥3 = 1, para 
quaisquer valores de 𝑥2 e 𝑥4 que se arbitre é possível calcular 𝑥1 correspondente, de 
forma que se satisfaçam todas as equações do sistema. 
 
 Ainda analisando a resposta obtida, que está na forma de Solução Geral do 
problema, pode-se escrever: 
 7 
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
7 − 2𝑥2 − 3𝑥4
𝑥2
1
𝑥4
2 ]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
7
0
1
0
2]
 
 
 
+ 𝑥2
[
 
 
 
−2
1
0
0
0 ]
 
 
 
+ 𝑥4
[
 
 
 
−3
0
0
1
0 ]
 
 
 
 
 Assumindo 𝑥2 = 0 e 𝑥4 = 0 obtém-se uma Solução Particular para este 
problema, correspondendo ao primeiro vetor da decomposição da resposta. 
 
Eliminação de Gauss-Jordan 
 Retornando agora à última matriz aumentada obtida pela eliminação de Gauss: 
[
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
6
−7 2⁄
1
14
−6
2
] 
E procedendo de forma análoga, de modo a obter zeros acima dos pivôs, 
começando pelo último pivô até o primeiro: 
 
 (Passo 10): As linhas com elementos não-nulos acima do último pivô são 
somadas aos múltiplos convenientes da linha com pivô para obter zeros em todas as 
entradas acima deste. 
[
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
6
−7 2⁄
1
14
−6
2
] 
𝐿1 ← 𝐿1 − 6𝐿3
𝐿2 ← 𝐿2 +
7
2
𝐿3 [
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
0
0
1
2
1
2
] 
 Pala definição do pivô como 1, o múltiplo adequado corresponde ao valor da 
entrada correspondente multiplicado por (−1). 
 
 (Passo 11): Repita o procedimento para os demais pivôs: 
[
1
0
0
2
0
0
−5
1
0
3
0
0
0
0
1
2
1
2
] 
𝐿1 ← 𝐿1 + 5𝐿2
 [
1
0
0
2
0
0
0
1
0
3
0
0
0
0
1
7
1
2
] 
 
Esta matriz corresponde ao sistema: 
[
1
0
0
2
0
0
0
1
0
3
0
0
0
0
1
7
1
2
] {
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥4 = 7
 𝑥3 = 1
 𝑥5 = 2
 
 
A matriz estará na forma Escalonada Reduzida por Linhas. 
Este procedimento mais prolongado é chamado Eliminação de Gauss-Jordan. 
 
 8 
Matriz Escalonada Reduzida por Linhas (Forma de Jordan) 
A forma escalonada reduzida (ou forma escada) implica em, além de estar na 
forma escalonada: 
v) Cada coluna que contenha pivô tem zeros nas demais entradas. 
 
Uma característica importante da forma escalonada reduzida é que ela é única para 
cada sistema, ou seja, um sistema pode apresentar várias formas escalonadas 
equivalentes, mas apenas uma forma escalonada reduzida. 
 
 Retornando ao sistema obtido na forma escalonada reduzida: 
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥4 = 7
 𝑥3 = 1
 𝑥5 = 2
 ou seja, {
𝑥1 = 7 − 2𝑥2 − 3𝑥4
𝑥3 = 1
𝑥5 = 2
 
 Sendo desnecessária a retro-substituição. 
 
 O processo de eliminação de Gauss-Jordan pode ser feito por colunas, sem que 
se zere inicialmente as entradas inferiores do primeiro ao último pivô e depois as 
superiores, do último ao primeiro pivô. A cada pivô fixado, procede-se a aplicar 
operações elementares nas entradas acima e abaixo do pivô, zerando assim todas as 
entras da coluna correspondente. Esta é a forma que em geral se implementa o 
procedimento como subrotina computacional. 
 Considerando agora um sistema homogêneo associado à mesma matriz 𝐴: 
{
−2𝑥3 + 7𝑥5 = 0
2𝑥1 + 4𝑥2 − 10𝑥3 + 6𝑥4 + 12𝑥5 = 0
2𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 + 6𝑥4 − 5𝑥5 = 0
 













056542
01261042
070200
 
 Uma vez que o procedimento de eliminação gaussiana foi focado na parte 𝐴 da 
matriz aumentada [𝐴 ⋮ 𝐵], como a única diferença está em B, é fácil concluir que as 
mesmas operações elementares feitas no problema anterior serão empregadas. Mais do 
que isso, as operações elementares aplicadas em 𝐵 = 0 não terão efeito, porque 
permutar zeros, multiplicar zero por um número ou somar zero a um múltiplo de zero 
mantém todos os elementos nulos. 
 Então após o mesmo procedimento tem-se: 
 9 










010000
000100
003021
 que corresponde à {
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥4 = 0
𝑥3 = 0
𝑥5 = 0
 
 Observe que a resposta decomposta: 
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
−2𝑥2 − 3𝑥4
𝑥2
0
𝑥4
0 ]
 
 
 
 
= 𝑥2
[
 
 
 
−2
1
0
0
0 ]
 
 
 
+ 𝑥4
[
 
 
 
−3
0
0
1
0 ]
 
 
 
 
Assemelha-se muito à obtida para o sistema não homogêneo, diferindo apenas 
pela solução particular, ou seja, o sistema não-homogêneo tem sua solução geral 
composta por uma solução particular somada à solução do sistema homogêneo 
associado. 
 Esta diferença apenas na solução particular vem do fato que este vetor (solução 
particular) tem seus valores gerados na coluna B da matriz aumentada após a 
eliminação. 
 Outra observação muito importante é que as variáveis independentes ou livres, 
𝑥2 e 𝑥4, correspondem às colunas sem pivôs (segunda e quarta), enquanto que as 
colunas com pivôs (primeira, terceira e quinta) correspondem às variáveis dependentes 
𝑥1, 𝑥3 e 𝑥5. 
 O número de pivôs de uma matriz é dito posto da matriz. 
 Uma última observação importante é que um sistema linear homogêneo sempre 
admite o vetor nulo como solução, ou seja, 𝑋 = 0. Neste caso: 
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
0
0
0
0
0]
 
 
 
 
 
Chamada solução trivial. 
 
Mais um Exemplo de Eliminação de Gauss: Resolva 








0563
1342
92
yyx
zyx
zyx
 
por eliminação gaussiana. 
 Solução 
 Passo 1: Escrever a matriz ampliada para o sistema 
 10 












0563
1342
9211
 
 Passo 2: Escrever a matriz ampliada em sua forma escalonada 
 Passo 2.1: Multiplicar a primeira linha por -2 e somar à segunda linha. 












0563
17720
9211
 
 Passo 2.2: Multiplicar a primeira linha por -3 e somar à terceira linha. 












271130
1720
9211
 
 Passo 2.3: Multiplicar a segunda linha por ½. 












271130
2
17
2
7
10
9211Passo 2.4: Multiplicar a segunda linha por -3 e somar à terceira linha 


















2
3
2
1
00
2
17
2
7
10
9211
. 
 Passo 2.5: Multiplicar a terceira linha por -2 











3100
2
17
2
7
10
9211
 
 Passo 3: Escrever o sistema a partir da matriz ampliada e encontrar o valor 
das variáveis. 
3
2
17
2
7
92



z
zy
zyx
 
 Observemos que, a partir do sistema acima, por retro-substituição, conclui-se 
que 𝑧 = 3, 𝑦 = 2 e 𝑧 = 1. 
 11 
O Mesmo Exemplo por Gauss-Jordan: Consideremos novamente sistema linear 








0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
 
Encontrar a solução do sistema operando nas linhas da matriz aumentada e 
transformando-a na forma escalonada reduzida (escada). 
 Solução: 
 Passo 1: Escrever a matriz aumentada para o sistema. A matriz aumentada 
para o sistema dado é 












0563
1342
9211
 
 Passo 2: Multiplicar a primeira linha por -2 e somar à segunda linha 












0563
17720
9211
 
 Passo 3: Multiplicar a primeira linha por -3 e somar à terceira linha 












271130
17720
9211
 
 Passo 4: Multiplicar a segunda linha por 
2
1
 












271130
2
17
2
7
10
9211
 
 Passo 5: Multiplicar a segunda linha por -3 e somar à terceira linha 


















2
3
2
1
00
2
17
2
7
10
9211
 
 Passo 6: Multiplicar a terceira linha por -2 
 12 











3100
2
17
2
7
10
9211
 
 Passo 7: Multiplicar a segunda linha por -1 e somar à primeira linha 


















3100
2
17
2
7
10
2
35
2
11
01
 
 Passo 8: Multiplicar a terceira linha por 
2
11

e somar à primeira linha 











3100
2
17
2
7
10
1001
 
 Passo 9: Multiplicar a terceira linha por 
2
7
e somar à segunda linha. 










3100
2010
1001
 
 Novamente, a partir da construção da matriz ampliada escalonada, é possível 
determinar diretamente a solução do sistema: 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 e 𝑧 = 3. 
 Se você reparar, desta vez o procedimento para zerar elementos acima dos pivôs 
seguiram a sequência do primeiro ao último. O resultado não se altera, uma vez fixados 
os pivôs. 
 Pode-se inclusive zerar o restante da coluna a cada pivô obtido, operando nas 
linhas acima e abaixo deles (Gauss-Jordan por colunas). 
 
Um Último Exemplo: 
Considere agora o sistema: 








4
3
1
yx
zyx
zyx
 [
1 1 1
1 1 −1
1 1 0
1
3
4
] (matriz aumentada) 
Escalonando... 
 13 
[
1 1 1
1 1 −1
1 1 0
1
3
4
] 𝐿2 ← 𝐿2 − 𝐿1
𝐿3 ← 𝐿3 − 𝐿1
 
[
1 1 1
0 0 −2
0 0 −1
1
2
3
] 𝐿2 ∙ (−1 2⁄ ) 
[
1 1 1
0 0 1
0 0 −1
1
−1
3
] 
𝐿1 ← 𝐿1 − 𝐿2
𝐿3 ← 𝐿3 + 𝐿2
 
[
1 1 0
0 0 1
0 0 0
2
−1
2
] 
Observando o que ocorreu na última linha, correspondente à equação: 
2000  zyx
 
Conclui-se que este sistema não tem solução. 
 Se tivéssemos continuado o procedimento de escalonamento, teríamos obtido 
um pivô na coluna correspondente aos termos constantes (originariamente B): 
[
1 1 0
0 0 1
0 0 0
2
−1
2
] 
𝐿3 ∙ 1 2⁄
 
[
1 1 0
0 0 1
0 0 0
2
−1
1
] 
O posto da matriz aumentada é 3. O posto da matriz 𝐴 é 2, pois 𝐴 corresponde à 
submatriz formada pelas três primeiras colunas. Quando o posto de A é menor que o 
posto da matriz aumentada, o sistema não tem solução. 
Observando os exemplos anteriores, verificamos que quando o posto de A é 
igual ao da matriz aumentada e ao número de incógnitas o sistema tem uma única 
solução. Quando o posto de A é igual ao da matriz aumentada, mas menor que o 
número de incógnitas o sistema tem infinitas soluções. 
 
Soluções de um sistema de equações lineares 
 Em um sistema de uma equação e uma incógnita, 𝑎𝑥 = 𝑏 existirão três 
possibilidades: 
i) 𝑎 ≠ 0. Neste caso a equação tem uma única solução 𝑥 = 𝑏/𝑎. 
ii) 𝑎 = 0 e 𝑏 = 0. Então temos 0 ∙ 𝑥 = 0 e qualquer número real 𝑥 será 
solução da equação, 𝑥 ∈ ℝ. 
iii) 𝑎 = 0 e 𝑏 ≠ 0. Temos 0 ∙ 𝑥 = 𝑏. Não existe solução para esta equação. 
 14 
 
Caso geral 
Consideremos um sistema de 𝑚 equações lineares com n incógnitas 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
Cujos coeficientes 𝑎𝑖𝑗 e termos independentes 𝑏𝑖 são números reais (ou complexos). 
Este sistema poderá ter 
i) Uma única solução: {
𝑥1 = 𝑘1
𝑥2 = 𝑘2
⋮
𝑥𝑛 = 𝑘𝑛
, onde 𝑘𝑗 são escalares. 
O sistema é dito possível (compatível, consistente) e determinado. 
ii) Infinitas soluções. 
O sistema é possível (compatível, consistente) e indeterminado. 
iii) Nenhuma solução. 
O sistema é impossível (incompatível ou inconsistente). 
 
 
Exercícios 
Obtenha as soluções do sistema abaixo, por eliminação de Gauss-Jordan : 
1) {
2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 = 11 
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 7
3𝑥1 + 3𝑥2 + 9𝑥3 + 𝑥4 = 16
 
2) {
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 = 6
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥5 = 5
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥4 + 3𝑥5 = 5
 
3) {
3𝑥1+ 6𝑥2 + 2𝑥3 + 11𝑥4 + 𝑥5 + 10𝑥6 = 14
2𝑥1+ 4𝑥2 + 𝑥3 + 7𝑥4 + 𝑥5 + 7 𝑥6 = 9
𝑥1+ 2𝑥2 + + 3𝑥4 + + 𝑥6 = 3
 
4) {
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 4
2𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 = 5
 𝑥1 + 8𝑥3 = 9
 
5) {
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
2𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 = 6
 𝑥1 + 8𝑥3 = −6
 
 15 
6) {
2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥5 = 0
−𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥4 + 𝑥5 = 0
𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 −𝑥5 = 0
 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0
 
7) {
𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 2𝑥5 = 0
2𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 − 2𝑥4 + 4𝑥5 − 3𝑥6 = −1
 5𝑥3 + 10𝑥4 + 15𝑥6 = 5
2𝑥1 + 6𝑥2 + 8𝑥4 + 4𝑥5 + 18𝑥6 = 6
 
 
Determine os valores de k para que o sistema apresente uma única solução, mais de uma 
solução ou nenhuma solução: 
8) {
𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1
 
9) {
𝑥 + 2𝑦 = −1
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 4
3𝑥 + 5𝑦 + 𝑘2𝑧 = 𝑘
 
10) {
2𝑥 + 5𝑦 + 8𝑧 = 2
𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 0
4𝑥 + 10𝑦 + 𝑘2𝑧 = 𝑘
 
11) {
22
35
0682
2



zyx
kzkyx
zyx
 
12) {
2𝑥 + 2𝑦 + 10𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑦 + 8𝑧 = 4
𝑥 + 3𝑦 + 𝑘2𝑧 = 𝑘
 
13) Considere as matrizes A e b abaixo: 
𝐴 = [
1 1
2 0
5 1
6 1
0 1
1 0
2 3
3 2
6
7
10
8
 ] 𝑏 = [
14
15
14
12
] 
Resolva o sistema de equações lineares 𝐴𝑥 = 𝑏, utilizando o método de Gauss-
Jordan.