AULA 4 VETOR GRADIENTE DERIVADA DIRECIONAL

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aula 4 – Gradiente 
 Derivada direcional 
 
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Conteúdo Programático desta aula 
 Regra da cadeia; 
 Derivadas parciais de segunda ordem; 
 Gradiente; 
 Curvas de nível; 
 Derivada direcional 
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Derivada de funções compostas (Regra da Cadeia) 
 Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t). 
A derivada desta função em relação a “t” é 
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Derivada de funções compostas (Regra da Cadeia) 
 Exemplo: Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –
5, onde x(t) = et e y(t) = t3. 
 Temos que a derivadas parciais são: 
 
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Derivadas parciais de segunda ordem 
 Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais 
são fx=∂f /∂x e fY= ∂f/∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma 
vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que 
são representadas por 
 
 
 
 
 Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas 
cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx . 
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Derivadas parciais de segunda ordem 
 Exemplo: Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y 
 
 Temos 
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Gradiente 
 Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se 
por grad f ou ∇f, a expressão: 
 
 
 
 
 O gradiente é um vetor e i, j, k são os vetores unitários. 
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Propriedades Algébricas do Vetor Gradiente 
 Vejamos algumas propriedades relacionadas ao cálculo do gradiente: 
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Curvas de Nível 
 Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um 
método semelhante ao da representação de uma paisagem 
tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. 
Vamos supor que a superfície z=f(x,y) seja interceptada por um plano 
z=k, e a curva de intersecção seja projetada no plano xOy. Essa curva 
tem equação f(x,y)=k e é chamada de curva de nível (ou curva de 
contorno) da função f em k . 
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Curvas de Nível 
Na figura podemos observar as vinhas na 
região do Douro, em que as videiras foram 
dispostas em linhas segundo as curvas de 
nível, para evitar problemas de erosão e 
para melhorar a exposição solar 
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Curvas de Nível 
 As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no 
plano xOy de equações da forma f(x,y)=k . 
 O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. 
 Todos os pontos (x,y) que estão na mesma curva de nível têm a 
mesma imagem z. 
 
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Curvas de Nível (Exemplos) 
 Seja a função dada por z = x2 + y2. As curvas de nível para z = 0, 
z =1, z = 2 e z = 4 são: 
 
 
 
 
 
 
 As curvas de nível nunca se interceptam 
 
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Curvas de Nível (Exemplos) 
 Seja a função dada por z = x2 + y2. 
 
 Como todas as curvas de nível são 
círculos com centros em (0,0) 
concluímos que o gráfico de f(x,y) 
é uma superfície de revolução em 
torno de OZ. Concluímos que o 
gráfico é um parabolóide de 
revolução. 
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Derivada direcional 
 Suponha estarmos numa ladeira de uma montanha e desejamos 
determinar a inclinação da montanha na direção do eixo dos z. Se a 
montanha fosse representada pelo gráfico da função z = f(x,y), então, 
já saberíamos determinar a inclinação em duas direções diferentes, a 
saber, na direção do eixo dos x utilizando 
 
 
e na direção do eixo dos y utilizando 
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Derivada direcional 
 Neste momento veremos como utilizar derivada para determinar a 
inclinação em qualquer direção; para isto definimos um novo tipo de 
derivada chamada direcional. 
 
 Este conceito generaliza o de derivada parcial, isto é, as derivadas 
parciais de uma função podem ser obtidas como casos particulares 
das derivadas direcionais. 
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Derivada direcional 
 Sejam A ⊂ Rn aberto, f: A ⊂ Rn→ R uma função, x ∈ A e v um vetor 
unitário em R . A derivada direcional de f no ponto x e na direção v é 
denotada por: 
 
 
 e definida por 
 
 
 se o limite existir. 
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Derivada direcional 
 Se n=3, A ⊂ R3 aberto, f:A ⊂ R3 →R uma função, x = (x,y,z)∈A e v 
= (v1,v2,v3) um vetor unitário em R. A derivada direcional de f no 
ponto (x,y,z) e na direção v é denotada por: 
 
 é definida por 
 
 
 
 se o limite existe. Analogamente para n = 2: 
 
 
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Derivada direcional (Exemplo) 
 Calcule a derivada direcional de f(x,y) = x2 + y2 na direção (2,2). 
 
 O vetor (2, 2) não é unitário. Logo 
 
 Assim sendo, 
 
 
 Portanto, 
 
 
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Derivada direcional (Exemplo) 
 Calcule a derivada direcional de f(x,y) = x2 + y2 na direção (2,2). 
 
 O vetor (2, 2) não é unitário. Logo 
 
 Assim sendo, 
 Portanto, 
 
 Finalizando, temos 
 
 
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